FUNDAMENTOS DE CONVEXIDAD (Parte 2)
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- Gonzalo Quintana Medina
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1 19 de Mayo de 2016 FUNDAMENTOS DE CONVEXIDAD (Parte 2) Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación No Lineal José Luis Quintero 1
2 Puntos a tratar 1. Función convexa 2. Vector gradiente y matriz hessiana 3. Función convexa diferenciable 4. Convexidad para una dimensión 5. Subgradiente Programación No Lineal José Luis Quintero 2
3 Función convexa Sea f:s E 1, donde S es un conjunto no vacío y convexo en E n. La función f es convexa sobre S si f( λ x + (1 λ) x ) λ f( x) + (1 λ)f( x ) para cadax, x S y λ (0,1). 1 2 Programación No Lineal José Luis Quintero 3
4 Función cóncava Sea f:s E 1, donde S es un conjunto no vacío y convexo en E n. La función f es cóncava sobre S si f( λ x + (1 λ) x ) λ f( x) + (1 λ)f( x ) para cadax, x S y λ (0,1). 1 2 Programación No Lineal José Luis Quintero 4
5 Ejemplos Programación No Lineal José Luis Quintero 5
6 Ejemplos f(x) = x f(x) = x 2 f(x) = x f(x) = x Programación No Lineal José Luis Quintero 6
7 Ejemplos f(x,y) = 2x + y 2xy f(x,y) = x + y Programación No Lineal José Luis Quintero 7
8 Observaciones Si f es cóncava, su hipografo es convexo Si f es convexa, su epigrafo es convexo Programación No Lineal José Luis Quintero 8
9 Función estrictamente convexa Sea f:s E 1, donde S es un conjunto no vacío y convexo en E n. La función f es estrictamente convexa sobre S si f( λ x + (1 λ ) x ) < λ f( x) + (1 λ)f( x ) para cada x con y 1, x2 S x1 x2 λ (0,1). Programación No Lineal José Luis Quintero 9
10 Ejemplo 8 Demuestre que la siguiente función es convexa sobre R: Programación No Lineal José Luis Quintero
11 Ejemplo 8 Programación No Lineal José Luis Quintero
12 Ejemplo 8 Programación No Lineal José Luis Quintero
13 Ejemplo 8 Programación No Lineal José Luis Quintero
14 Puntos a tratar 1. Función convexa 2. Vector gradiente y matriz hessiana 3. Función convexa diferenciable 4. Convexidad para una dimensión 5. Subgradiente Programación No Lineal José Luis Quintero 14
15 Programación No Lineal José Luis Quintero 15 Vector gradiente x x x x 1 2 n f( ) x f( ) x f( ) f( ) x = M
16 Matriz hessiana f( x) f( x) f( x)... x1 x1 x1 x2 x1 xn 2 2 f( x) f( x) 2... M f( x) = x2 x1 x2 x2 M M M M f( x) f( x) f( x)... xn x1 xn x2 xn xn Programación No Lineal José Luis Quintero 16
17 Vector gradiente y matriz hessiana 2 4 3x1 1 2 = f(x,x) x 3x e 4xx 3x 2x e + 4x 2 f(x,x) 1 2 = 3 12x 2 + 4x1 3x e 4 f(x,x) 1 2 = x x = [0,1], f(x) =, f(x) 12 = 4 36 Programación No Lineal José Luis Quintero
18 Puntos a tratar 1. Función convexa 2. Vector gradiente y matriz hessiana 3. Función convexa diferenciable 4. Convexidad para una dimensión 5. Subgradiente Programación No Lineal José Luis Quintero 18
19 Función convexa diferenciable Sea 1 f:s E,f, donde S es un 1 C conjunto no vacío y convexo en E n. La función f es convexa sobre S si y sólo si f( x) f( y) + f( y)( t x y) para cada xy, S. Programación No Lineal José Luis Quintero 19
20 Función convexa diferenciable Si es convexa se verifica que f(x) f(y) + f(y) t (x-y) f(x) f(y) f(y) f(y) + f(y) t (x-y) y x Desplazamiento en dirección (x-y) f(y) f(y) f(x) x y Desplazamiento en dirección (x-y) Programación No Lineal José Luis Quintero
21 Función convexa diferenciable En minimización no restringida el teorema anterior es interesante pues f(x) f(y) + f(y) t (x-y) cuando f(y) = 0 f(x) f(y) óptimo global. Específicamente y S es un óptimo global si f es convexa. El punto y S es un óptimo global único si f es estrictamente convexa. Si f(x) f(y) pueden haber varios óptimos x tal que f(x) = f(y), en cambio f(x) > f(y) implica un único óptimo. Programación No Lineal José Luis Quintero
22 Ejemplo 9 Demuestre que la siguiente función diferenciable es convexa sobre R: Programación No Lineal José Luis Quintero
23 Ejemplo 9 Programación No Lineal José Luis Quintero
24 Función convexa diferenciable Sea 2 f:s E,f, donde S es un 1 C conjunto no vacío y convexo en E n. La función f es convexa sobre S si y sólo si la matriz hessiana 2 f( x) de f es semidefinida positiva en todo S. Programación No Lineal José Luis Quintero 24
25 Función convexa diferenciable La matriz hessiana H es positiva semidefinida (p.s.d.) si y solo si, para cada vector y: y t Hy 0 La matriz hessiana H es positiva definida (p.d.) si y solo si para cada vector y: y t Hy > 0 Análogamente para negativa (semi) definida. Programación No Lineal José Luis Quintero
26 Función convexa diferenciable Para determinar si la matriz hessiana H es positiva semidefinida o negativa semidefinida o ninguno de ellos, se recurre a los eigenvalores, resolviendo la ecuación: det(h-λi) = 0 Casos de Convexidad: Si todos los eigenvalores son positivos, H es positiva definida (p.d). Si todos los eigenvalores son no negativos, H es positiva semidefinida (p.s.d). Casos de Concavidad: Si todos los eigenvalores son negativos, H es negativa definida (n.d.). Si todos los eigenvalores son no positivos, H es negativa semidefinida (n.s.d). De lo contrario H es no definida. Programación No Lineal José Luis Quintero
27 Puntos a tratar 1. Función convexa 2. Vector gradiente y matriz hessiana 3. Función convexa diferenciable 4. Convexidad para una dimensión 5. Subgradiente Programación No Lineal José Luis Quintero 27
28 Convexidad para una dimensión Suponga que existen f (c) y un intervalo abierto I que contiene a c. a. Se dice que la gráfica de una función f es convexa o cóncava hacia arriba en el punto (c,f(c)), si para todos los valores dex c en I, el punto (x,f(x)) de la gráfica está arriba de la recta tangente a la gráfica en (c,f(c)) b. Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en el punto (c,f(c)), si para todos los valores de x c en I, el punto (x,f(x)) de la gráfica está debajo de la recta tangente a la gráfica en (c,f(c)) Programación No Lineal José Luis Quintero 28
29 Convexidad para una dimensión Concavidad hacia arriba: g(x) f(c) = f'(c)(x c) g(x) = f(c) + f'(c)(x c) f(x) g(x) f(x) f(c) + f'(c)(x c) f(x) f(c) f'(c)(x c) 0 h(x,c) 0 Programación No Lineal José Luis Quintero 29
30 Convexidad para una dimensión Sea f una función que es diferenciable en algún intervalo abierto que contiene a c. Entonces a. Si f''(c) > 0, la gráfica de f es convexa o cóncava hacia arriba en el punto (c,f(c)) b. Si f''(c) < 0, la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el punto (c,f(c)), Programación No Lineal José Luis Quintero 30
31 Ejemplo 10 Sean I = (0,2) 2 x 2 f(x) = sen(x) 2xcos() = sen(x) x(1 + cos(x)) [x,y]=meshgrid(0:.25:2); z=sin(x)+(y.^2-x.*y-1).*sin(y)+y.*cos(y)-x.*cos(x); surf(x,y,z) axis square xlabel('eje X'),ylabel('Eje Y'),zlabel('Eje Z') hold on z=0.*x.*y; surf(x,y,z) Programación No Lineal José Luis Quintero 31
32 2 Ejemplo 10 h(x,y) = sen(x) xcos(x) + (y xy 1)sen(y) + ycos(y) Eje Z Eje Y Programación No Lineal José Luis Quintero Eje X 1.5 2
33 Ejemplo 10 f''(x) = sen(x) + xcos(x) Programación No Lineal José Luis Quintero 33
34 Puntos a tratar 1. Función convexa 2. Vector gradiente y matriz hessiana 3. Función convexa diferenciable 4. Convexidad para una dimensión 5. Subgradiente Programación No Lineal José Luis Quintero 34
35 Subgradiente Sea f:s E 1, donde S es un conjunto no vacío y convexo en E n y f es una función convexa. Entonces el vector llamadoξ se llama subgradiente de f enx S si f( x) f( x) + ξ t ( x x) Programación No Lineal José Luis Quintero 35
36 Subgradiente Sea f:s E 1, donde S es un conjunto no vacío y convexo en E n y f es una función cóncava. Entonces el vector llamadoξ se llama subgradiente de f enx S si f( x) f( x) + ξ t ( x x) Programación No Lineal José Luis Quintero 36
37 Ejemplo 11 Sea { 2 } f(x) = min4 x,4 (x 2) 4 (x 2) x < 1 = 4 x 1 x 4 2 > 4 (x 2) x 4 2 Programación No Lineal José Luis Quintero 37
38 Ejemplo 11 Programación No Lineal José Luis Quintero 38
39 Ejemplo 11 2(x 2) x < 1 λ ( 1) + (1 λ )2 x = 1 ξ = 1 1 < x < 4 λ ( 1) + (1 λ )( 4) x = 4 2(x 2) x > 4 ξ = 2(x 2) x < 1 2 3λ x = < x < 4 3λ 4 x = 4 2(x 2) x > 4 λ (0,1) Programación No Lineal José Luis Quintero 39
40 Pensamiento de hoy No es lo que no sabemos lo que nos inquieta, es lo quesabemosquenoesasí. Will Rogers Programación No Lineal José Luis Quintero 40
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