9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN

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1 9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula la derivada de f() = Solución: f '() = - 6 en o = utilizando la definición Calcula la derivada de f() = - en o = 6 utilizando la definición Solución: f '(6) = Calcula la derivada de la función f() = en o = utilizando la definición Solución: f '() = - - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 6 Calcula la derivada de y = + utilizando la definición y halla su valor en o = Solución: y'() = 8 7 Calcula la derivada de - utilizando la definición y halla su valor en o = Solución: y '() = -6 8 Calcula la derivada de f() = Solución: f '() = - 6 utilizando la definición y halla su valor en o = 9 Calcula la derivada de f() = - utilizando la definición y halla su valor en o = 6 Solución: f '(6) = 0 Calcula la derivada de la función f() = utilizando la definición y halla su valor en o = Solución: f '() = - - REGLAS DE DERIVACIÓN Calcula las siguientes derivadas simplificando al máimo, el resultado obtenido: f() = + - Solución:

2 a) f() = ( -) Solución: a) f '() =, b) g() = L( -) - -, b) g'() = - - a) f() = - cos L, b) g() = - L + cos + Solución: a) f '() =, b) g'() = sen a) f() = + L, b) g() = L - - Solución: a) f '() =, b) g'() = - + sen - sen cos a) f() = L ( sen ), b ) g() = sen ( tg) Solución: a) f '() =ctg(), b) g'() = cos( tg ) tg cos L() 6 a) f() =, b) g() = L(arc sen ) - L() Solución: a) f '() =, b) g'() = arc sen( ) - 7 a) f() = /, b) g() = Solución: a) f '() = ( ) ( -) /, b) g'() = -( ) ( -) 8 a) f() = L( tg ), b) g() = L(sen) ( -) tg Solución: a) f '() =, b) g'() = tg ( )cos 6 senl(sen) sen( ) 9 a) f() = b) g() = ( ) ( -) e sen tg Solución: a) f '() =, -6( ) ( -), b) g'() = e sen tg cos tg - sen( tg tg ) - sen 0 a) f() = L, + sen b) g() = Ln Solución: a) f() =, b) g() = cos Ln

3 - RECTAS TANGENTE Y NORMAL Halla las rectas tangente y normal a f() = en o = 0 Solución: Tangente: y = 0 Normal: = 0 Halla las rectas tangente y normal a y = en o = Solución: Tangente: y = -+ Normal: y = Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f()= - + en el punto 0 = Solución: f' () = - Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f() = - en el punto 0 = - Solución: f' (-) = Calcula a para que la recta tangente a la función y = +a en el punto = -, sea paralela al eje de abscisas Solución: a = 6 Calcula la recta tangente a la curva y = - en los puntos en los que esta recta es horizontal Solución: En = la tangente es y = En = 9 la tangente es y = 9 7 Prueba que y = - es tangente a y = Halla el punto de tangencia y estudia si esa recta corta a la curva en otro punto distinto del de tangencia Solución: Punto de tangencia (, -) y punto de corte (0, 0) 8 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva f() = - en el punto de abscisa = Solución: y = - 9 Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y = Solución: y = -+ en el punto de abscisa = - 0 Halla el punto de la curva y = - en el que la tangente tiene de pendiente Halla la ecuación de dicha tangente Solución: = 0, y = - MONOTONÍA Y OPTIMIZACIÓN Averigua si es creciente o decreciente la función f() = Solución: Creciente, f (0) = > 0 + en = 0 - Averigua si es creciente o decreciente la función f() = + Solución: Decreciente en = Halla el conjunto de puntos para los cuales la función y = -- es creciente o decreciente Solución: Creciente en,, decreciente en -,

4 Estudia para qué valores de está definida la función f()=l[(-)(-)] y en qué valores es creciente o decreciente Solución: Está definida en (-, )(, ) Es decreciente en (-, ) y creciente en (, ) Considera la función f: definida por f() = (- )e Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f Solución: Creciente en 0 0, - Decreciente en, 0 0, 6 Estudia el crecimiento y el decrecimiento de y = - Solución: Decreciente en, Creciente en, Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f() = e Calcula también sus máimos y mínimos relativos 6 Solución: Crecimiento (-,-)(0,+) Decrecimiento (-,0) Máimo,, Mínimo (0,0) e 8 Determina si la función f() = - + posee puntos donde alcance valores máimos o mínimos locales, y, en caso afirmativo, calcúlalos Solución: Máimo en M = (0, ) Mínimos en m = (-, 0) y m = (, 0) 9 Halla los etremos relativos de la función f() = Solución: Máimo -,, Mínimo, Halla los etremos relativos de las función f() = + Solución: Eiste máimo en (-8, -6) y mínimo en (0,0) Halla los máimos y mínimos de y = Solución: No hay ni máimos, ni mínimos 6- OPTIMIZACIÓN La función y = Presenta un mínimo absoluto en algún punto? dónde es derivable? Solución: En = 0 En -{0} Dada la función y=a +B, hallar A y B para que tenga un mínimo en el punto (, -8) Solución: A =, B = -6 La curva dada por y = + a + b pasa por el punto P = (-, ) y alcanza un etremo relativo en =- Halla a y b Solución: a = 6, b = 9 Halla a, b, c, d, en la función f() = a + b + c + d para que tenga un máimo en el punto (0,) y un mínimo en el (, 0) Solución: a =, b = -, c = 0, d =

5 6 Cómo hay que doblar un trozo de alambre de metros de longitud para que forme un rectángulo cuya área sea lo más grande posible? Solución: habrá que doblarlo formando un cuadrado de metro de lado 7 Un deposito de chapa y abierto de base cuadrada, debe tener capacidad para 00 litros Cuáles han de ser sus dimensiones para que se precise la menor cantidad de chapa? Solución: l = 0dm, h = dm 8 Halla dos números cuya suma sea 0 y su producto el mayor posible Solución: =0, y= 0 9 Descompón el número en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo Solución: =, y = 0 0 Un consultorio médico abre a las de la tarde y cierra cuando no hay pacientes La epresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t) = t-t A qué hora el número medio de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo? Solución: t = 6- CURVATURA Qué relación ha de eistir entre a y b para que la función f() = a + e -b tenga un punto de infleión en = 0? Solución: La relación buscada es b = -a Estudia la concavidad o conveidad de f() = Solución: Es cóncava en (-,0) y es convea en (0,) Halla b, c y d en la función f() = +b +c+d para que tenga un punto de infleión de abscisa =, pase por el punto P = (, 0) y alcance un mínimo en = Solución: f() = Estudia la concavidad, conveidad y puntos de infleión de la función f() = Solución: Cóncava en (-, - +) Convea en (-,) Puntos de infleión: (-,) y (, -96) Estudia la concavidad, conveidad de la función f() = e Solución: Cóncava en (-, +) Convea en (-, -)

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