Complementos de Análisis. Año 2016

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1 Complementos de Análisis. Año 2016 Práctica 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 1 Modelando con ecuaciones diferenciales Modelar con ecuaciones diferenciales las siguientes situaciones. Intentar resolver dichas ecuaciones. 1. La curva en el plano α(t) = (x(t), y(t)) es tal que si se traza desde un punto arbitrario de la curva una recta ortogonal a ella, ésta se intersecta con el eje x formando un segmento de longitud constante. (Sugerencia: parametrizar con parámetro longitud de arco.) 2. La ley de enfriamento de Newton dice: La razón a la cual un objeto se enfría (o se calienta si el entorno es más caliente) es proporcional a la diferencia entre las temperaturas del objeto y su entorno.(temperatura del entorno: 10, constante de proporción: 2, temperatura inicial del objeto: 20.) 3. Una curva de ecuación y = f(x) pasa por el origen. Dibujando lineas paralelas a los ejes coordenados desde cualquier punto de la curva se forma un rectángulo con dos lados sobre los ejes. La curva divide a cada uno de los rectángulos en dos regiones A yb, una de las cuales tiene área λ veces igual al área de la otra. 2 Métodos para resolver EDOs de primer orden. 2.1 Técnicas analíticas para EDOs de primer orden. 1. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) (3 x)y (2 + y) = 0, (b) e x y + e y = En los problemas siguientes, resolver las ecuaciones diferenciales sujetas a la condición inicial que se indica: (a) (1 x)dy y 2 dx = 0, y(1/2) = 1, (b) x 3 sin(y)y = 2, y π 2, x Las ecuaciones del tipo y = f(ax + by + c), con a, by c constantes dadas, se reducen a ecuaciones de variables separables mediante el cambio de variables z = ax + by + c. Resolver: (a) y = 1 x y + 1, (b) y = x + 2y 8 2x + 4y 1. 1

2 4. Se dice que una función f(x, y) es homogénea positiva de grado n si f(λx, λy) = λ n f(x, y), λ R +. Las ecuaciones de la forma y = f(x, y), con f una función homogónea de cualquier grado o las ecuaciones de la forma P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, con P y Q funciones homogéneas del mismo grado se denominan ecuaciones diferenciales homogéneas. Demostrar que estas ecuaciones se reducen a ecuaciones de variables separables mediante la sustitución y(x) = xv(x) y resolver: (a) ydx + xdy = x 2 + y 2 dx, (b) y = xy x 2 y Las ecuaciones de la forma y ax + by + c = f se convierten en ecuaciones homogéneas dx + ey + f mediante el cambio de variables u = ax + by + c y v = dx + ey + f. Resolver: (x + y + 2) + (x y + 4)y = Resolver mediante el método de factor integrante las siguientes EDOs lineales: (a) y 2 y x + 1 = ex (1 + x) 2, (b) (1 + x 2 )y + y = arctan(x), (c) y 2y x + 1 = (x + 1)3, pasando por (x0, yo) = (0, 1). 7. Las ecuaciones diferenciales del tipo y + P (x)y = Q(x)y α, se denominan ecuaciones de Bernoulli. Probar que, para α 1, el cambio de variable z = y 1 α reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal en z(x). Resolver (a) xy + y = y 2 log x, (b) y 4y x = x y. 8. Verificar que las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales exactas y resolver: (a) (2x y)dx + (3y 2 x)dy = 0, (b) (e y + 1) cos x dx + e y sin x dy = Verificar que los factores integrantes 1 x 2 y 1 x 2 +y 2 transforman la ecuación diferencial xdy ydx = 0 en una ecuación exacta. Resolver la ecuación resultante en ambos casos. Coinciden las soluciones encontradas? 10. Resolver las siguientes EDOs lineales mediante el método de coeficientes indeterminados: (a) y = xy, y(0) = 1. (b) y = 2 y, y(1) = 1. x (c) y + 3y = 1, y(0) = 0. 1 x 2

3 2.2 Método de aproximaciones sucesivas. Teorema de existencia y unicidad. Técnicas cualitativas para EDOs de primer orden. 1. Considerar el problema de valores iniciales y + y = 2e x, y(0) = 1. (a) Hallar la solución exacta y(x) de este problema. (b) Aplicar el método de aproximaciones sucesivas y determinar explícitamente y n (x). (c) Demostrar que y n (x) y(x) para todo x. 2. Resolver mediante el método de aproximaciones sucesivas la siguiente ecuación y = y, y(1) = 1. x 3. Encontrar una función f(x) que satisfaga la siguiente ecuación integral: f(x) = 1 + x 2 t 2 f(t)dt. 4. El lema de Gronwall establece que si una función continua y no negativa g satisface la inecuación t g(t) A + B g(s)ds, t (t 0 α, t 0 + β), t 0 donde A y B son positivos, entonces g(t) Ae B t t 0, t (t 0 α, t 0 + β). Usando el lema de Gronwall probar que si x 1 yx 2 son soluciones de x = f(t, x), x i (t 0 ) = a i, i = 1, 2, donde f C 1 (R 2 ), entonces para todo intervalo I conteniendo a t 0, existe L > 0 tal que x 1 (t) x 2 (t) a 1 a 2 e L t t 0, t I. 5. Hallar la familia de funciones y = y(x) solución de y = f(x, y) : (a) f(x, y) = 2, (b) f(x, y) = y(1 y). En cada caso graficar el campo de pendientes (sobre el plano se dibujan algunos segmentos pequeños centrados en (x,y) con pendiente f(x, y) ) y algunas de las soluciones encontradas. Qué se observa? 6. Sea f : R 2 R una función continua. Por el teorema de Peano, existe solución local (posible- mente no única) al problema (x) = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 Supongamos que vale d dx ( y(x) 2 ) K + y(x) 2 en cualquier intervalo donde la solución está definida. Probar que existe una solución global para la ecuación. 7. Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales: { 2y (i) y = x x 0 0 x = 0, (ii) y = y (a) Hallar sus curvas integrales y representarlas en un gráfico. (b) En qué puntos no se satisfacen las condiciones del Teorema de existencia y unicidad de Picard? Qué se observa en estos puntos? 3

4 2.3 EDOs lineales. Aspectos generales. a(t) b(t) 1. (a) Sea Ψ(t) = una matriz de coeficientes derivables y sea P = c(t) d(t) una función vectorial. Probar que (ΨP) (t) = Ψ (t)p(t) + Ψ(t)P (t). (b) Consideremos el sistema de EDOs lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales Y (t) = Ψ(t)Y(t). (1) Supongamos que la función matricial M satisface la ecuación M (t) = Ψ(t)M(t). ( p1 (t) p 2 (t) Probar que Y(t) = M(t)C, donde C es un vector arbitrario, es solución del sistema (1). Qué otra propiedad se le debe pedir a la matriz M para asegurar que todas las soluciones de (1) han sido halladas? (c) Consideremos ahora el sistema de EDOs lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales Y (t) = Ψ(t)Y(t) + F(t). Supongamos que la función matricial M satisface M (t) = Ψ(t)M(t), y det M(t) 0. Probar que Y(t) = M(t)C(t), donde C(t) es una función vectorial apropiada, es solución del sistema. Encontrar un sistema de ecuaciones diferenciales que cumpla C(t). ) 2. Verificar que d dt e t te t 1 2 t2 e t 0 e t te t 0 0 e t = e t te t 1 2 t2 e t 0 e t te t 0 0 e t Usar lo anterior para encontrar soluciones de y 1 = y 1 + y 2 y 2 = y 2 + y 3 y 3 = y 3 3. Sea L(y) = y + a 1 (x)y + a 2 (x)y, donde a j, j = 1, 2, son funciones continuas en un intervalo I y sean φ 1 y φ 2 soluciones de L(y) = 0. Sea W [φ 1, φ 2 ] el wronskiano asociado a φ 1 y φ 2 : φ1 (x) φ W [φ 1, φ 2 ](x) = 2 (x) φ 1 (x) φ 2 (x) (a) Probar que (b) Probar que W [φ 1, φ 2 ] (x) = a 1 (x)w [φ 1, φ 2 ](x). W [φ 1, φ 2 ](x) = e x x 0 a 1 (t)dt W [φ1, φ 2 ](x 0 ), x 0 I. (c) Probar que φ 1 y φ 2 son linealmente independientes en I sii W [φ 1, φ 2 ](x) 0 x I. 4. Resolver la ecuación diferencial x 3 y xy +y = 0, sabiendo que y 1 (x) = x es una solución. Sugerencia: usar el ejercicio anterior. 4

5 5. Hallar una solución general de xy + 2y + xy = 0 (a) Haciendo el cambio de variables u = xy. (b) Usando que y 1 = cos x es una solución en x > 0. x 6. Si (1 + x) 2 es una solución de la ecuación y + p(x)y + q(x)y = 0 y el Wronskiano de cualesquiera dos soluciones de la ecuación es constante, encontrar la solución general de y + p(x)y + q(x)y = 1 + x. 2.4 Métodos analíticos para EDOs lineales a coeficientes constantes. 1. Encontrar la solución general para los siguientes sistemas: (a) 1 = y 1 y 2 = y 1 + y 2 (b) 1 = y 1 5y 2 y 2 = 2y 1 y 2 (c) 1 = 3y 1 2y 2 y 2 = 2y 1 y 2 y 1 = y 1 + 2y 2 + 3y 3 (d) y 2 = 4y 2 + 3y 3 y 3 = 2y 3 2. Si Φ(t) es una matriz fundamental del sistema Y = AY, mostrar que el problema de valores iniciales Y = AY, Y(t 0 ) = Y 0 tiene como solución a Y(t) = Φ(t)Φ(t 0 ) 1 Y 0. Usar este resultado para resolver Y = Y, Y(1) = Hallar la solución del sistema 1 (t) = 2y 1 (t) + y 2 (t) + 1 y 2 (t) = 3y 2(t) + t 2 4. Encontrar todas las soluciones de las siguientes ecuaciones: (a) y = 4y, (b) y 3y + 2y = 0, (c) y + 10y = 0, y(0) = π, y (0) = π 2. (d) y 10y + 25y = 0, y(0) = 1, y (0) = Utilizando el método de variación de los parámetros resolver y + y = 1 cos x. 6. Sea L(y) = y + ay + by, con a y b constantes. Sea p(r) = r 2 + ar + b su polinomio característico. (a) Si α no es una raíz de p (p(α) 0), probar que el problema L(y) = e αx tiene una solución de la forma y = Be αx. (b) Si α es una raíz simple de p (p(α) = 0 y p (α) 0), probar que el problema L(y) = e αx tiene una solución de la forma y = Bxe αx. (c) Y si α es una raíz doble de p? 5

6 En general se puede probar que el problema L(y) = P n (x)e αx, con P n un polinomio de grado n, tiene una solución de la forma x s Q n (x)e αx, donde Q n es un polinomio de grado n y s es la multiplicidad de la raíz α ( s = 0 si α no es raíz de p). 7. Usando el resultado anterior encontrar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones (a) y 5y + 6y = e x, (b) y + 4y + 3y = 1 + e 3x, (c) y + y = xe x. 6