Análisis matemático de la función de Nelson y Siegel
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- Vicente Fidalgo Vega
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1 Anexos
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3 Anexo 1 Análisis matemático de la función de Nelson y Siegel La función que define el tipo forward según el modelo propuesto por Nelson y Siegel (1987) es la siguiente: con m 0 y τ 0. 1 > m m m f m ( β ) = β β1 exp β 2 exp, τ 1 τ 1 τ 1 Asíntotas de la función La asíntota horizontal se obtiene de calcular el límite de la función cuando m : lim f m β = β. A. H.: ( ) 0 m Asimismo, calculando el límite de la función cuando m 0: m 0 ( ) 0 1 lim f m β = β + β. A continuación se analiza el crecimiento y decrecimiento de la función así como la concavidad y convexidad tanto si la función presenta un punto estacionario como no.
4 220 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Función con punto estacionario En primer lugar, se analiza la función cuando existe un punto estacionario, es decir, cuando existe un valor que anula la primera derivada. El valor mínimo o máximo de la función equivale a: f = 0, m f 1 m m = exp β1+ β2 1 + = 0, m τ1 τ 1 τ 1 m β1 = 1 con m 0 y τ τ > 1 0. β 1 2 Para que exista el punto máximo o mínimo debe cumplirse, pues, la siguiente relación: β1 < β2. De este modo se garantiza que el punto estacionario esté definido en el tramo positivo del vencimiento. Calculando la segunda derivada y substituyendo el valor de m en el punto estacionario se conoce si el punto es máximo o mínimo: ( β ) 2 f 1 m m = 2 exp β1 2 β2 + β2, m τ1 τ1 τ1 ( β ) 2 f 1 m = exp τ τ 2 m 1 1 ( β ) 2. Si β 2 > 0, entonces 2 ˆ ( β ) f m por el contrario β 2 < 0, la segunda derivada en el punto m τ β 1 = 1. β2 < 0 y la función presenta un máximo en el punto 2 ˆf m ( β ) m τ β 1 = 1. Si β2 será positiva y la función tiene un mínimo
5 Anexo 1 Análisis matemático de la función de Nelson y Siegel 221 En general, tanto si la función presenta o no punto estacionario, si β 2 > 0, la función es cóncava y, si β 2 < 0, la función es convexa. Calculando los límites de la función forward del modelo definido se determina si la curva, en caso de presentar un punto estacionario, cruza el valor del parámetro β 0 o no. El límite de la función forward cuando el vencimiento tiende a cero, corresponde a β 0 + β 1 y cuando tiende a infinito a β 0. Bajo la condición β1 < β2 y suponiendo que existe un mínimo, es decir, β 2 < 0, si β 1 < 0 entonces la función empieza en un valor inferior a β 0, decrece hasta el punto estacionario y crece a partir de este hasta la asíntota horizontal. Si por el contrario β 1 > 0, la función decrece desde un punto superior a β 0, cruza β 0 y crece hasta la asuntota horizontal. Bajo la condición β1 < β2 y suponiendo que existe un máximo, es decir, β 2 > 0, si β 1 < 0 entonces la función parte de un punto de inferior a β 0, crece cruzando β 0 y a partir del punto estacionario decrece hasta la asíntota. En caso contrario, que β 1 > 0 entonces la función parte de un punto inicial por encima de β 0 y nunca cruza la asíntota, ya que todo el recorrido de la función se sitúa por encima de la asíntota. La tabla siguiente resume las condiciones especificadas: Condición Cóncava / Convexa Relación con la AH β 2 >0 y β 1>0 Cóncava La función está por encima de la AH. β 2 >0 y β 1<0 Cóncava La función cruza la AH. β 2 <0 y β 1>0 Convexa La función cruza la AH. β 2 <0 y β 1<0 Convexa La función está por debajo de la AH.
6 222 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Función sin punto estacionario A continuación se analiza la función cuando no hay un valor que anule la primera derivada. Para ello debe cumplirse la condición β1 β2. La expresión que describe la primera derivada está compuesta por tres factores, el primero es siempre negativo, el segundo es siempre positivo y el último puede ser positivo o negativo: f m 1 m m = exp β β 2 1. τ 1 τ 1 τ 1 Además el valor m 1 τ1 es inferior a la unidad. De modo que, el crecimiento o decrecimiento de la función vendrá dado por el signo de β 1. El parámetro β 1 corresponde a la pendiente de la función y su signo determina si la función crece o decrece. En general, si β 1 > 0, la función decrece y si β 1 < 0, la función crece. Para estudiar la concavidad y convexidad de la función, debe calcularse la segunda derivada. Ésta corresponde a: ( β ) f 1 m m = 2 exp β1+ β2 2. m τ1 τ 1 τ 1 2 m Si 1 es inferior a la unidad, entonces τ1 m 2 es inferior a cero. Dado que se cumple la τ1 condición β 1 β 2, si β 1 < 0 y β 2 > 0, la segunda derivada es negativa y la función es cóncava. Contrariamente, si β 1 > 0 y β 2 < 0, la segunda derivada es positiva y la función es convexa. Cuando se dan las condiciones alternativas, es decir, β 1 > 0 y β 2 > 0, o bien, β 1 < 0 y β 2 < 0, entonces no es posible conocer a priori el signo de la segunda derivada ya que depende del valor de los parámetros. Así pues, sólo puede conocerse la forma de la función si los parámetros β 1 y β 2 presentan distinto signo.
7 Anexo 1 Análisis matemático de la función de Nelson y Siegel 223 En la tabla siguiente se detalla, respectivamente, el signo de la primera y segunda derivada en función de los signos que presenten los parámetros β 1 y β 2 : Condición Signo primera derivada Signo segunda derivada Si β 1 > 0 y β 2 > 0 f 2 2 < 0 f f Decrece < 0o > 0? m m m Si β 1 > 0 y β 2 < 0 Si β 1 < 0 y β 2 > 0 Si β 1 < 0 y β 2 < 0 f < 0 Decrece m f > 0 Crece m f > 0 Crece m 2 f m > 0 Convexa 2 f < 0 Cóncava m 2 2 f f < 0o > 0? m m Finalmente, y para concluir este anexo, se resumen las condiciones y relaciones entre parámetros que determinan las distintas formas posibles de la curva definida según el modelo de Nelson y Siegel: β 1 β 2 Condición Forma de la curva + β1 β2 Creciente, cóncava β1 β2 Creciente + β1 β2 Decreciente, convexa + + β1 β2 Decreciente + + β1 < β2 Forma de, por encima de β 0 + β1 < β2 Forma de, cruza β 0 β1 < β2 Forma de, por debajo de β 0 + β1 < β2 Forma de, cruza β 0
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9 Anexo 2 Descriptivos estadísticos del ajuste de la curva de Nelson y Siegel De la tabla 1 a la tabla 6 se detalla, para cada país, la media, la desviación, la mediana y el valor mínimo y máximo para el error medio al cuadrado en función de la tasa de rendimiento y para cada uno de los parámetros estimados en el modelo.
10 226 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Tabla 1. Descriptivos estadísticos del ajuste para Alemania. Media Desviación Mediana Mínimo Máximo 1992 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 0, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , (continua en página siguiente)
11 Anexo 2 Descriptivos estadísticos del ajuste 227 (continuación tabla 1) 1998 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 5, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 4, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , ,
12 228 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Tabla 2. Descriptivos estadísticos del ajuste para España. Media Desviación Mediana Mínimo Máximo 1992 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 4, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , (continua en página siguiente)
13 Anexo 2 Descriptivos estadísticos del ajuste 229 (continuación tabla 2) 1998 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , ,
14 230 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Tabla 3. Descriptivos estadísticos del ajuste para Francia. Media Desviación Mediana Mínimo Máximo 1992 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , (continua en página siguiente)
15 Anexo 2 Descriptivos estadísticos del ajuste 231 (continuación tabla 3) 1998 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 4, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , ,
16 232 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Tabla 4. Descriptivos estadísticos del ajuste para Italia. Media Desviación Mediana Mínimo Máximo 1992 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 4, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 3, , , , , (continua en página siguiente)
17 Anexo 2 Descriptivos estadísticos del ajuste 233 (continuación tabla 4) 1998 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , ,
18 234 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Tabla 5. Descriptivos estadísticos del ajuste para Reino Unido. Media Desviación Mediana Mínimo Máximo 1992 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 0, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 0, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 0, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 1, , , , , (continua en página siguiente)
19 Anexo 2 Descriptivos estadísticos del ajuste 235 (continuación tabla 5) 1998 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 0, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 0, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 3, , , , ,
20 236 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Tabla 6. Descriptivos estadísticos del ajuste para Estados Unidos. Media Desviación Mediana Mínimo Máximo 1992 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 5, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 7, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 3, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , (continua en página siguiente)
21 Anexo 2 Descriptivos estadísticos del ajuste 237 (continuación tabla 6) 1998 Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 2, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2 0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 1, , , , , Error 0, , , , , β 0 0, , , , , β 0 +β 1 0, , , , , β 2-0, , , , , τ 1 2, , , , ,
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23 Anexo 3 Series temporales estimadas En los gráficos 1, 2, 3, 4 y 5 se ilustran las series temporales estimadas del tipo de interés a tres meses, a un año, a cinco años, a diez años y para un plazo muy largo ( β 0 ) según el modelo de Nelson y Siegel durante el período
24 240 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 1. Serie temporal del tipo de interés nominal a tres meses para el período
25 Anexo 3 Series temporales estimadas 241 Gráfico 2. Serie temporal del tipo de interés nominal a un año para el período
26 242 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 3. Serie temporal del tipo de interés nominal a cinco años para el período
27 Anexo 3 Series temporales estimadas 243 Gráfico 4. Serie temporal del tipo de interés nominal a diez años para el período
28 244 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico5. Serie temporal del tipo de interés nominal a muy largo plazo (β0) para el período
29 Anexo 4 Spread del tipo de interés instantáneo y el tipo a 15 años En el gráfico 1 se muestra el spread entre el tipo de interés instantáneo y el tipo a quince años.
30 246 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 1. Spread entre el tipo de interés instantáneo y el tipo de interés a quince años para el período
31 Anexo 5 Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación Del gráfico 1 al 5 puede observarse la estimación núcleo de la tendencia, con dos parámetros de alisamiento distintos, y el coeficiente de variación del tipo de interés instantáneo (β 0 +β 1 ) para España, Francia, Italia, Reino Unido y Estados Unidos. Paralelamente, en los gráficos del 6 al 10 se presentan los mismos resultados pero para el tipo de interés a 15 años.
32 248 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 1. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés instantáneo para España.
33 Anexo 5 Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación 249 Gráfico 2. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés instantáneo para Francia.
34 250 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 3. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés instantáneo para Italia.
35 Anexo 5 Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación 251 Gráfico 4. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés instantáneo para Reino Unido.
36 252 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 5. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés instantáneo para Estados Unidos.
37 Anexo 5 Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación 253 Gráfico 6. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés a 15 años para España.
38 254 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 7. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés a 15 años para Francia.
39 Anexo 5 Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación 255 Gráfico 8. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés a 15 años para Italia.
40 256 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 9. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés a 15 años para Reino Unido.
41 Anexo 5 Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación 257 Gráfico 10. Estimación núcleo de la tendencia y del coeficiente de variación del tipo de interés a 15 años para Estados Unidos.
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43 Anexo 6 Posición de los países para otros tipos de interés En los gráficos del 1 al 5 se muestra la posición de los países estudiados en cada una de las etapas definidas según el método de coordenadas principales. Los tipos de interés analizados son el tipo a tres meses, el tipo a un año, el tipo a cinco años, el tipo a diez años y el tipo a muy largo plazo (β 0 ). Las etapas aplicadas para analizar la evolución de cada país durante el período comprendido entre 1992 y 2004 son las que se determinan en el capítulo siete. Para el corto plazo se definen tres etapas dividas por dos sucesos: la última devaluación del SME (6 de marzo de 1995) y la implantación de la moneda única en la Unión Monetaria (1 de enero de 1999). Para el largo plazo se establecen únicamente dos etapas: antes y después de la Unión Monetaria (1 de enero de 1999).
44 260 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 1. Posición de los países para el tipo de interés a tres meses. a. Posición de los países en la etapa I. 0,040 0,020 x2 0,000 Italia España Francia Alemania GB x UK USA -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 b. Posición de los países en la etapa II. 0,040 0,020 x GB UK USA x2 0,000 Alemania Francia Italia España -0,020-0,040 (continua en página siguiente) -0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
45 Anexo 6 Posición de los países para otros tipos de interés 261 (continuación gráfico 1) c. Posición de los países en la etapa III. 0,040 0,020 USA x2 0,000 Francia España Italia Alemania x GB UK -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 Gráfico 2. Posición de los países para el tipo de interés a un año. a. Posición de los países en la etapa I. 0,040 0,020 x2 0,000 Italia España FranciaUK GB Alemania USA -0,020-0,040 (continua en página siguiente) -0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
46 262 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera (continuación gráfico 2) b. Posición de los países en la etapa II. 0,040 x2 0,020 0,000 x UK GB USA Alemania Francia España Italia -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 c. Posición de los países en la etapa III. 0,040 0,020 USA x2 0,000 Francia Italia España Alemania x GB UK -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
47 Anexo 6 Posición de los países para otros tipos de interés 263 Gráfico 3. Posición de los países para el tipo de interés a cinco años. a. Posición de los países en la etapa I. 0,040 0,020 x2 0,000 USA Francia UK GB Alemania España Italia -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 b. Posición de los países en la etapa II. 0,040 0,020 x2 0,000 x UK GB USA Alemania Francia Italia España -0,020-0,040 (continua en página siguiente) -0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
48 264 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera (continuación gráfico 3) c. Posición de los países en la etapa III. 0,040 0,020 x2 0,000 Fr Al USA Es It x UK GB -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
49 Anexo 6 Posición de los países para otros tipos de interés 265 Gráfico 4. Posición de los países para el tipo de interés a10 años. a. Posición de los países en la etapa I. 0,040 0,020 x2 0,000 USA x UK GB Alemania Francia Italia España -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 b. Posición de los países en la etapa II. 0,040 0,020 x2 0,000 Francia GB UK USA Alemania España Italia -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
50 266 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 5. Posición de los países para el tipo de interés a muy largo plazo (β 0 ). a. Posición de los países en la etapa I. 0,040 0,020 x2 0,000 Francia Alemania USA x GB UK España Italia -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 b. Posición de los países en la etapa II. 0,040 0,020 x2 0,000 It USA Al Es Fr x UK GB -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
51 Anexo 7 Posición de los países para el tipo instantáneo con el parámetro óptimo de validación cruzada En el gráfico 1 se muestra la posición de los seis países a partir de la estimación núcleo de la regresión del tipo de interés instantáneo ( β β ) + con un parámetro de alisamiento igual al valor 0 1 óptimo del criterio de validación cruzada (cross-validation).
52 268 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 1. Posición de los países para el tipo de interés instantáneo según el parámetro óptimo de validación cruzada. a. Posición de los países en la etapa I. 0,040 0,020 Alemania Francia x2 0,000 España Italia x UK GB USA -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 b. Posición de los países en la etapa II. 0,040 0,020 x2 0,000 Alemania Francia España Italia USA x UK GB -0,020-0,040 (continua en página siguiente) -0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
53 Anexo 7 Posición de los países para el tipo instantáneo 269 (continuación gráfico 1) c. Posición de los países en la etapa III. 0,040 0,020 USA x2 0,000 Francia España x GB UK Italia Alemania -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
54
55 Anexo 8 Posición de los países para el tipo de interés a 15 años con el parámetro óptimo de validación cruzada En el gráfico 1 se muestra la posición de los seis países a partir de la estimación núcleo de la regresión del tipo de interés a 15 años con un parámetro de alisamiento igual al valor óptimo del criterio de validación cruzada (cross-validation).
56 272 Comparación de curvas de tipos de interés. Efectos de la integración financiera Gráfico 1. Posición de los países para el tipo de interés a 15 años según el parámetro óptimo de validación cruzada. a. Posición de los países en la etapa I. 0,040 0,020 x2 0,000 Alemania USA GB UK Francia Italia España -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1 b. Posición de los países en la etapa II. 0,040 0,020 x2 0,000 USA UK GB Francia Alemania España -0,020-0,040-0,040-0,020 0,000 0,020 0,040 x1
57 Anexo 9 Parámetros óptimos de alisamiento para el tipo de interés real En la tabla 1 se recogen los parámetros óptimos obtenidos según el criterio de validación cruzada para los tipos de interés reales. Para la estimación núcleo de la tendencia propuesto por Nadaraya- Watson se ha utilizado este valor dividido entre diez. Tabla 1. Parámetro óptimo de alisamiento según el criterio de cross-validación. Tipo interés instantáneo (β 0 +β 1 ) Tipo interés 15 años Alemania 0,01 0,014 España 0,011 0,012 Francia 0,01 0,017 Italia 0,01 0,015 Reino Unido 0,013 0,014 Estados Unidos 0,009 0,014
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