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1 Universidd Simón Bolívr. Deprtmento de Mtemátics Purs Aplicds. MA-.Tipo A Nombre: Crnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA- (0% Conteste ls siguientes pregunts justiicndo detlldmente sus respuests..- ( Puntos. c/u Derive ls siguientes unciones: ( tn b ( rc sen sen( (.- Se l unción ( determine: ( Pts Dominio b ( Pts Intersecciones con los ejes c ( Pts Asíntots d ( Pts Puntos críticos e ( Pts Intervlos de Crecimiento Decrecimiento ( Pts Etremos: Puntos Máimos Mínimos g ( Pts Puntos de Inleión ( Pts Concviddes i ( Pts Elbore l gric.- (6 Puntos Encontrr l rect tngente l curv de ecución en el punto (, 0.- (6 Puntos Un ombre tiene 0 metros de cerco pr circundr un áre rectngulr dividirl en dos prtes medinte un cerc prlel uno de los ldos. Que dimensiones debe tener el rectángulo pr que el áre cercd se máim?

2 SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA- Tipo A (0% tn sec b ( / ( ( tg ( ( / sen cos ( sen( Dominio: R-{0} b No tiene intersecciones con el eje Intersección con el eje :,0.,0 ( ( c Asíntots: 0 ( 0 ( Por lo tnto 0 es un síntot verticl No tiene síntot orizontl, ni oblicu. d Puntos Críticos: ' ( (, ' ( 0 en por lo tnto es un punto crítico estcionrio e Intervlos de Crecimiento Decrecimiento ( Crece en (, decrece en (, 0 Υ( 0, Etremos: puntos máimos mínimos ( Es un vlor mínimo (Criterio de l Primer Derivd g Puntos de inleión '' ( (, " 0 si. Es un punto de inleión ( Concviddes ( es cóncv ci rrib en (,. Υ( 0, (conve en (.,0 cóncv ci bjo

3 8 0 d d d ( 8 Evlundo en el punto (, se tiene que d 0 rect tngente l curv, que es l pendiente de l sí l ecución de est rect es ( ( 0 b 0 ( b ' ( b b 0 b 80 b 0 b ' ( b 0 b 60 0 " ( b < 0 Por lo tnto, ls dimensiones pr que el áre cercd se máim son 0*60

4 Universidd Simón Bolívr. Deprtmento de Mtemátics Purs Aplicds. MA-.Tipo A Nombre: Crnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA- (0% Conteste ls siguientes pregunts justiicndo detlldmente sus respuests..- ( Puntos. c/u Derive ls siguientes unciones: ( cos b ( rc sen( tn(7.- Se l unción ( determine: j ( Pts Dominio k ( Pts Intersecciones con los ejes l ( Pts Asíntots m ( Pts Puntos críticos n ( Pts Intervlos de Crecimiento Decrecimiento o ( Pts Etremos: Puntos Máimos Mínimos p ( Pts Concviddes q ( Pts Puntos de Inleión r ( Pts Elbore l gric.- (6 Puntos Encontrr l rect tngente l curv de ecución en el punto (,0.- (6 Puntos Un ombre tiene 0 metros de cerco pr circundr un áre rectngulr dividirl en dos prtes medinte un cerc prlel uno de los ldos. Que dimensiones debe tener el rectángulo pr que el áre cercd se máim?

5 SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA- Tipo A (0% cos sen b / ( (cos tn( 7 7 / ( ( tn( 7 sec ( 7 Dominio: R-{0} b No tiene intersecciones con el eje,0 Punto intersección con el eje : ( c Asíntots: 0 ( 0 ( 0 es un síntot verticl No tiene síntot orizontl, ni oblicu. d Puntos Críticos: ' (, ( 0 en / ' es un punto crítico estcionrio e Intervlos de Crecimiento Decrecimiento ( Decrece en (, 0 Υ( 0; crece en ( 0.79, Etremos: puntos máimos mínimos ( es un vlor mínimo ( Criterio de l Primer Derivd g Puntos de inleión ( (, " ( 0 si '' inleión es un punto de Concviddes ( es cóncv ci rrib en (, Υ( 0, (conve en (,0 cóncv ci bjo

6 d d 8 d ( 8 0, Evlundo en el punto (,0 se tiene que d l rect tngente l curv, que es l pendiente de sí l ecución de est rect es ( 0 0 b b 0 ( b b 0 b ' ( b 0 b ' b 0 b 0 0 ( " ( b < 0 Por lo tnto, ls dimensiones pr que el áre cercd se máim son 0*0

7 Universidd Simón Bolívr. Deprtmento de Mtemátics Purs Aplicds. MA-.Tipo B Nombre: Crnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA- (0% Conteste ls siguientes pregunts justiicndo detlldmente sus respuests..- ( Puntos. c/u Derive ls siguientes unciones: ( rc sen tn ( 5 b ( sen (cos 7.- Se l unción ( determine: s ( Pts Dominio t ( Pts Intersecciones con los ejes u ( Pts Asíntots v ( Pts Puntos críticos w ( Pts Intervlos de Crecimiento Decrecimiento ( Pts Etremos: Puntos Máimos Mínimos ( Pts Concviddes z ( Pts Puntos de Inleión ( Pts Elbore l gráic.-(6 Puntos Encontrr l rect tngente l curv de ecución 9 7 en el punto (,.- (6 Puntos Hllr ls dimensiones de un tringulo rectángulo de áre máim dd su ipotenus.

8 SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA- Tipo B (0% ( 5 (tn( 5 / ( (tn( 5 sec ( 5 sen 7 b / ( cos(cos 7 sen (cos 7 7 Dominio: R-{} bintersecciones: (0, - ; (,0 c Asíntots: ( Por lo tnto es un síntot verticl No tiene suntot orizontl ( ( ; b ( ( ; Así - es un síntot oblicu d Puntos críticos ' ( ( ( ( 0 en 0 en ' críticos estcionrios de l unción por lo tnto estos son los vlores e Intervlos de crecimiento decrecimiento. crece en (, 0 en (,. Decrece en (0, en (, ( Etremos: Puntos Máimos Mínimos (0 - es un vlor máimo ( 0 es un vlor mínimo g Puntos de inleión " ( si " ( 0 por lo tnto l unción no tiene puntos de inleión (

9 Concviddes ( es cóncv ci bjo en (, cóncv ci rrib en (, d d d ( d 7 d Evlundo en el punto (, se tiene que l pendiente de l ( 7 rect tngente l curv 9 7 en el punto (, es m 5 es l ecución de l rect tngente 9 7 en (,. Así l ecución de l rect es ( ( Áre (bse * ltur/ Se ltur, bbse ipotenus. Como es un tringulo rectángulo se cumple que b b b ( ( ( '( '( 0 si 0 ó "( ( ( 7 6 ( " < 0 por lo tnto el rectángulo de áre máim es quel que tiene ctetos igules b

10 Universidd Simón Bolívr. Deprtmento de Mtemátics Purs Aplicds. MA-.Tipo B Nombre: Crnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA- (0% Conteste ls siguientes pregunts justiicndo detlldmente sus respuests..- ( Puntos c/u Derive ls siguientes unciones: 7 ( cos( tg( b rcsen ( Sec( 7.- Se l unción ( determine: bb ( Pts Dominio cc ( Pts Intersecciones con los ejes dd ( Pts Asíntots ee ( Pts Puntos críticos ( Pts Intervlos de Crecimiento Decrecimiento gg ( Pts Etremos: Puntos Máimos Mínimos ( Pts Concviddes ii ( Pts Puntos de Inleión jj ( Pts Elbore l gric.- (6 Puntos Encontrr l ecución de l rect tngente l curv de ecución en el punto (,.- (6 Puntos Hllr un tringulo rectángulo de áre máim dd su ipotenus,

11 SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA- Tipo B (0% 7 7 sen( tg( sec ( b Sec( Tg( / ( 7 Sec ( 7 Dominio: R-{-} b Intersecciones: (0,; (-,0 c Asíntots: ( ( Por lo tnto - es un síntot verticl No tiene suntot orizontl ( ; b ( Así es un síntot oblicu d Puntos críticos ' ( ( ( ' ( ( 0 0, e Intervlos de crecimiento decrecimiento. ( crece en (, Υ( 0, decrece en (-,0 Etremos: Puntos Máimos Mínimos (- es un máimo (0 es un mínimo g Puntos de inleión ( " si " ( 0 por lo tnto no puntos de inleión ( Concviddes ( es cóncv ci bjo en (, decrece en (, ;

12 ( se tiene que l pendiente de l rect tngente l curv en es m 7 Así l ecución de l rect tngente l curv dd es ( ( en el punto (,. Áre (bse * ltur/ Se ltur, bbse ipotenus. Como es un tringulo rectángulo se cumple que b b b ( ( ( ( 0 '( '( si 0 ó ( ( 6 7 "( 0 " < por lo tnto el rectángulo de áre máim es quel que tiene ctetos igules b donde, por lo tnto b

13 Universidd Simón Bolívr. Deprtmento de Mtemátics Purs Aplicds. MA-.Tipo C Nombre: Crnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA- (0% Conteste ls siguientes pregunts justiicndo detlldmente sus respuests.. ( ptos. c/u Derive ls siguientes unciones: ( rc sen ( 5sen ( b ( sen ( sen( sen. Se l unción ( Determine: ( pto. Dominio b ( pto. Intersecciones con los ejes c ( ptos. Asíntots d ( ptos. Puntos Críticos e ( pto. Intervlos de Crecimiento o Decrecimiento ( ptos Etremos: Puntos Máimos Mínimos g ( ptos. Concviddes ( ptos. Puntos de Inleión i ( ptos. Elbore l gráic.. (6 Puntos. Hllr, si d ( es derivble está deinid implícitmente por l ecución 7 Cos(. ( 6 puntos. Muestre que entre todos los rectángulos que tienen un perímetro ddo, el cudrdo es el de áre máim.

14 SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA- Tipo C (0%.-Derive ls siguientes unciones: ( rc sen ( 5sen ( b ( sen ( sen( sen ( ptos.c/u ( ( ( 5sen ( 5sen ( ( 5sen (.( 5cos( 5sen (. 5sen ( 5 cos( ( 5sen ( b / ( cos cos( sen cos( sen( sen.- Se l unción ( Determine: ( punto Dominio de l unción R / { } b ( punto. Intersecciones con los ejes Los puntos (,0 (0, c ( puntos. Asíntots Asíntot Verticl ( Asíntots Oblicus m ( Por lo tnto es un Asíntot Oblicu.

15 d ( puntos. Puntos Críticos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( Puntos Críticos Estcionrios e ( puntos. Intervlos de Crecimiento o Decrecimiento ( ( ( ( L unción Crece en (, en (,. Decrece (, en (, g. ( puntos Etremos: Puntos Máimos Mínimos Como ( 0 ( < 0 ; ( 0 ( > 0 por el Criterio de l Segund Derivd l unción dquiere un máimo en el punto (-,-8 un mínimo en el punto (,0 ( puntos Puntos de inleión. ( ( ( ( ( ( 8 ( ( ( 0 No eisten puntos de inleión j ( puntos Concviddes ( 8 ( L unción ( es cóncv ci bjo en el intervlo (, es Cóncv ci rrib en el intervlo (, k ( puntos Elbore l gráic.. Se tiene que 7 Cos(

16 7 d ( Sen( d d Sen( d Sen( ( Sen( d Sen( d Sen( Sen( (6 Puntos.- Muestre que entre todos los rectángulos que tienen un perímetro ddo, el cudrdo es el de áre máim. ( 6 puntos Sen e ls dimensiones del rectángulo, P el perímetro A el áre. El perímetro de un rectángulo viene ddo por P el áre A P ; P ; A, A ( P P da P ; Si da 0 d d P (Vlor crítico Reemplzndo en P cudrdo. se tiene P Por lo tnto el rectángulo es un d d A < 0 Por lo que P es un máimo locl.

17 Universidd Simón Bolívr. Deprtmento de Mtemátics Purs Aplicds. MA-.Tipo C Nombre: Crnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA- (0% Conteste ls siguientes pregunts justiicndo detlldmente sus respuests.. ( ptos. c/u Derive ls siguientes unciones: ( rc tn ( 5 sen ( b ( cos(cos(cos. Se l unción ( Determine: ( pto. Dominio b ( pto. Intersecciones con los ejes c ( ptos. Asíntots d ( ptos. Puntos Críticos e ( pto. Intervlos de Crecimiento o Decrecimiento ( ptos Etremos: Puntos Máimos Mínimos g ( ptos. Concviddes ( ptos. Puntos de Inleión i ( ptos. Elbore l gráic.. (6 Puntos. Hllr, si d ( es derivble está deinid implícitmente por l ecución sen(. ( 6 puntos. Muestre que entre todos los rectángulos de áre dd el cudrdo es el de perímetro mínimo.

18 SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL MA- Tipo C (0%.-Derive ls siguientes unciones: ( ( 5sen ( 5sen ( ( ( 5sen (.( 5cos(. 5sen ( 5sen ( ( 5 cos( ( 5sen ( / b ( sen sen (cos sen(cos(cos.- Se l unción ( Determine: ( punto Dominio de l unción R / { } g ( punto. Intersecciones con los ejes Los puntos (,0 (0, ( puntos. Asíntots Asíntot Verticl ( Asíntots Oblicus m ( Por lo tnto es un Asíntot Oblicu.

19 i ( puntos. Puntos Críticos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( Puntos Críticos Estcionrios j ( puntos. Intervlos de Crecimiento o Decrecimiento ( ( ( ( L unción Crece en (, en (,. Decrece (, en (, g. ( puntos Etremos: Puntos Máimos Mínimos Como ( 0 ( < 0 ; ( 0 ( > 0 por el Criterio de l Segund Derivd l unción dquiere un máimo en el punto (-,- un mínimo en el punto (,0 ( puntos Puntos de inleión. ( ( ( ( ( ( 8 ( ( ( 0 No eisten puntos de inleión l ( puntos Concviddes ( 8 ( L unción ( es cóncv ci bjo en el intervlo (, es Cóncv ci rrib en el intervlo (, m ( puntos Elbore l gráic.. Se tiene que Sen(

20 d d ( Cos( 8 d Cos( d Cos( 8 (6 puntos ( Cos( d Cos( Cos( d Cos(.-Muestre que entre todos los rectángulos de áre dd el cudrdo es el de perímetro mínimo. (6 puntos Sen e ls dimensiones del rectángulo, P el perímetro A el áre. El perímetro de un rectángulo viene ddo por P ( con A ijo P vrible. A P. A el áre A dp d un A ; Si dp 0 d se obtiene que A A este es vlor crítico. A A A Por lo tnto el rectángulo es un cudrdo. A d P d A > 0 Por lo que A es un vlor mínimo.

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