Conjuntos y funciones convexas

Transcripción

1 Conjuntos y funciones convexas Un conjunto X R n se dice convexo si para todo par de puntos x 1 y x 2 en X, λ x 1 + ( 1- λ) x 2 X, para todo λ [0,1] Qué significa esto geométricamente? Un punto λ x 1 + ( 1- λ) x 2, con λ [0,1] se llama una combinación convexa de x 1 y x 2. Si λ (0,1) se dice que la combinación es estricta. Dado un conjunto convexo X, un punto x X se llama un punto extremo de X si no puede ser representado como una combinación convexa estricta de dos puntos distintos en X.

2 Ejemplos de conjuntos convexos: {(x 1, x 2 )/ x 12 + x 2 2 1} { x/ Ax = b} donde A es una matriz de mxm y b un vector. { x/ Ax = b, x 0} { x/ Ax b, x 0} {x/ x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3,, λ 1 +λ 2 + λ 3 = 1, λ 1, λ 2, λ 3 0} donde v 1 = (1 0 0), v 2 = (1 2 1), v 3 = (-1 2-3)

3 Un hiperplano H en R n es un conjunto de la forma H= {x R n / px = k} El vector p es el vector normal del hiperplano H. Si x 0 es un punto de H entonces se puede poner H= {x R n / p (x - x 0 ) = 0} O sea vector p es ortogonal al vector (x - x 0 ) para cualquier x H. Un hiperplano divide R n en dos semiespacios: {x R n / px k} {x R n / px k} Cómo se pueden expresar estos semiespacios en función de (x - x 0 )?. Representar gráficamente en R 2.

4 Rayos y direcciones Dado un vector d no nulo, en R n el conjunto { x 0 + λd / λ 0} se llama un rayo. Se dice que x 0 es el vértice y d es la dirección del rayo. Dado un conjunto convexo X, un vector d no nulo es una dirección de X si el rayo { x + λd / λ 0} está contenido en X para todo x X.

5 Si X = { x/ Ax b, x 0} entonces d es una dirección de X si se verifica que: A (x + λd) b x + λd 0 para todo λ 0 y x X. Como Ax by y x + λd 0 para cualquier λ 0 resulta que d es una dirección de X si y sólo si se verifica que: d 0, d 0 y Ad 0 Geométricamente el conjunto de soluciones de este último sistema se llama cono de recesión.(graficar en un ejemplo en R 2) Definimos D = {d/, Ad 0,1d = 1, d 0}, conjunto de direcciones de recesión normalizadas. (1 vector de unos)

6 Una dirección extrema de X es una dirección d tal que no puede ser representada como λ 1 d 1 + λ 2 d 2 con λ 1, λ 2 >0 para ningún par de direcciones distintas d 1, d 2 de X (cuándo dos direcciones son distintas?) Ejemplo: Determinar las direcciones y las direcciones extremas de X = {{(x 1, x 2 )/ x 1-2x 2 6,, x 1 - x 2-2, x 1 0, x 2 1 }

7 Conos Un cono convexo C es un conjunto convexo tal que además, λ x C para todo x C y λ 0. Un cono convexo siempre contiene al origen y las semirectas {λx/ λ 0 } para todo x C. Un cono convexo queda completamente definido por sus direcciones extremas. Ejemplo: definir el cono convexo, cuyas direcciones extremas sean (1,1), (0,1) Dado un conjunto de vectores se puede formar el cono generado por dichos vectores.

8 Funciones convexas y cóncavas Una función f: R n > R es convexa si para todo x 1 y x 2, f (λ x 1 +(1- λ) x 2 ) λf(x 1 )+(1- λ) f(x 2 ) para todo λ [0,1] Qué significa esto geométricamente? F se dice cóncava si f es convexa.

9 Poliedros Un poliedro en R n se define como la intersección de un número finito de semiespacios de R n. Por lo tanto un poliedro puede representarse por un sistema finito de desigualdades. Un poliedro acotado se llama un politopo. Ejemplo: graficar el poliedro definido por -2X1 + X2 4 X1 + X2 3 X1 2 X1, X2 0

10 En las definiciones y resultados siguientes asumiremos que tenemos un poliedro definido por X = { x/ Ax b, x 0} con A matriz de mxn y b un vector de m componentes. (algunas de las desigualdades pueden ser redundantes) El conjunto de hiperplanos que definen X es linealmente independiente si y sólo si A tiene rango completo. Sea x es tal que la restricción αx βes activa ( o ajustada) en x. Entonces si x se escribe como combinación convexa estricta de x y x, la restricción αx βes activa también en x y x. Decimos que x es un punto extremo o un vértice de X si x pertenece a n hiperplanos linealmente independientes de los que definen X. Si hay más de n hiperplanos que pasan por un punto extremo decimos que x es un extremo degenerado. Esta definición de punto extremo es equivalente a decir que x no se pude escribir como una combinación convexa estricta de dos puntos distintos de X. (porqué?)

11 Caras, facetas, dimensión de poliedros Una cara propia F de X es un conjunto no vacío de puntos que son solución de la intersección de un conjunto de hiperplanos de X. El rango de F, r(f) es el máximo número de hiperplanos linealmente independientes que son activos en todos los puntos de F. La dimensión de F se define como n r(f) Un poliedro X es de dimensión completa si r(x) = 0 o sea si dim (X) = n. (o sea ninguna de las restricciones l.i. que lo definen es verificada por todos los puntos de X por igualdad). Una arista (o eje) del poliedro es una cara de dimensión 1. Una faceta es una cara de dimensión n-1. Dos puntos extremos de X se llaman adyacentes si el segmento que los une es una arista de X. O sea hay (n-1) hiperplanos activos que los definen en común.

12 Representación de Poliedros: Queremos ver como representar los poliedros en función de sus puntos extremos y direcciones. Teorema de Caratheodory: Sea X = { x/ Ax b, x 0} un poliedro no vacío. Entonces: el conjunto de puntos extremos x 1, x 2 x k de X es no vacío. el conjunto de direcciones extremas es vacío si y sólo si X es acotado. si X es no acotado sea d 1, d 2, d l el conjunto de direcciones extremas de X, x X si y sólo si puede ser escrito como una combinación convexa de x 1, x 2 x k más una combinación lineal no negativa de los d 1, d 2, d l, o sea: x = i λ i x i + j µ j d j i λ i = 1 λ i 0 µ j 0

13 Correspondencia entre soluciones básicas y puntos extremos del poliedro st Max cx Ax = b x 0 donde A es una matriz mxn de rango m Entonces si x es un punto extremo de la región factible es también una solución básica del problema de PL. Recíprocamente si x es una solución básica del problema de PL es también un punto extremo de la región factible.