Cinética. 1. Introducción Cantidad de movimiento Teorema del centro de masas... 2

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1 Índice Cinética 1. Introducción. Cantidad de movimiento.1. Teorema del centro de masas Momento cinético Teorema de König relativo al momento cinético Energía cinética Teorema de König relativo a la energía cinética Atributos cinéticos de un sólido con un punto de velocidad nula Cantidad de movimiento Momento cinético Energía cinética Atributos cinéticos de un sólido libre Cantidad de movimiento Momento cinético Energía cinética A. Teorema del transporte de Reynolds 7

2 1. Introducción La Cinética es la parte de la Mecánica encargada de definir y calcular los atributos cinéticos de un sistema material arbitrario en un movimiento dado. Recalcar el hecho de que no existe ninguna restricción sobre el tipo de movimiento, y eso incluye al referente del mismo, hasta el punto de que será habitual usar un movimiento genérico que satisfaga las ligaduras geométricas. El movimiento real que tenga el sistema vendrá determinado a posteriori por las ecuaciones generales de la Dinámica. Con el movimiento, además de las magnitudes de la geometría de masas, hacemos intervenir el tiempo, por lo que ya tenemos las tres magnitudes fundamentales de la Dinámica: masa, longitud y tiempo. Los atributos cinéticos de interés van a ser: Cantidad de movimiento Momento cinético Energía cinética Pasemos a definirlos y a calcularlos.. Cantidad de movimiento Sea O 1 x 1 y 1 z 1 el sistema referente del movimiento a considerar S 1. Se define la cantidad de movimiento de una partícula material M i o la cantidad de movimiento elemental como: c i = m i v i d c = vdm Es una magnitud vectorial con dimensiones de masa por longitud dividido por tiempo: [ c] = M L T 1. Se define la cantidad de movimiento de un sistema material como una magnitud extensiva de la siguiente forma: N C = m i v i C = vdm i=1 O 1 z 1 r i (i = 1,...,N) M i (m i ) Si consideramos el sistema de vectores deslizantes cantidad de movimiento ( c i = m i v i,d c = vdm), la cantidad de x 1 movimiento será su resultante, que como tal se considera un vector libre. El cálculo de esta magnitud parece ligado a la resolución de la integral correspondiente. Sin embargo, se va a enunciar y demostrar un teorema que simplifica el cálculo de forma notable..1. Teorema del centro de masas Por la definición de centro de masas se tiene: r G = rdm dm m rg = rdm Derivando respecto al tiempo en la expresión anterior en el sistema referente del movimiento elegido, se tiene 1 : m d rg = d( rdm) d r = dm m v G = vdm = dt 1 dt 1 dt C 1 1 Véase el apéndice para la justificación del paso indicado con * v i y 1

3 Luego la cantidad de movimiento de un sistema es la que tendrá toda su masa concentrada en el centro de masas y animada con la velocidad de este punto. 3. Momento cinético Se define el momento cinético de una partícula material M i o el momento cinético elemental respecto a un punto O 1 como el momento de la cantidad de movimiento: H i O 1 = r i m i v i d H O1 = r vdm Es una magnitud vectorial con dimensiones de masa por longitud al cuadrado dividido por tiempo: [ H O1 ] = M L T 1. Se define el momento cinético de un sistema material respecto a O 1 como una magnitud extensiva de la siguiente forma: N H O1 = r i m i v i H O1 = r vdm i=1 Por lo tanto, el momento cinético no es sino el momento en un punto del sistema de vectores deslizantes cantidad de movimiento, considerado como vector fijo. Se le pueden aplicar, por tanto, todas las propiedades de un sistema de vectores deslizantes. Por ejemplo, la fórmula del campo de momentos: H B = H A +BA m v G El momento en un punto B es igual al momento en otro punto A mas el momento que genera en el punto B la resultante situada en A. El cálculo de esta magnitud está ligado a la resolución de la integral correspondiente en una gran parte de los casos. Sin embargo, se va a enunciar y demostrar un teorema que simplifica el cálculo de forma notable en ciertas ocasiones Teorema de König relativo al momento cinético Se denomina sistema ligado al centro de masas (S 0 : Gx G y G z G ) a un sistema con origen en G (lo que implica z 1 que v 0 G = 0 y que v 1 G = vg 01) y ejes paralelos a los de S 1 : O 1 x 1 y 1 z 1 (lo que implica que ω 01 = 0). M (dm) Al movimiento del sistema material respecto a S 0 r v G 0 se le denomina movimiento relativo al centro de masas. El O x movimiento S G 0 /S 1 es un movimiento de arrastre que en 1 1 cada instante es una traslación pura y uniforme, por ser y 1 un sólido: v 01 M = v 01 G + ω 01 GM = v 01, G M Se tiene que: x 1 H O1 = O 1 M v 1 M dm = (O 1 G+GM) ( v 0 M + vm 01 )dm = v 01 G, M = O 1 G v 0 M dm+ O 1 G v 01 M dm+ GM v 0 M dm+ GM v 01 M dm = = O 1 G v 0dm+O M 1 G v 01 G dm+ GM v 0dm M +( GMdm) v 01 G = = h G +O 1 G m v G m h G z G y G

4 H G = GM v 1dm M = GM v 0dm+( M GMdm) v 01 M v M 01 = vg, M = h G H O1 = H G +O 1 G m v G (1) Se lee el momento cinético en un punto cualquiera O 1 de un sistema es igual al momento respecto al centro de masas en el movimiento relativo al mismo más el momento que produce en O 1 toda la masa concentrada en el centro de masas y animada con la velocidad de éste". El uso de este teorema solo trae beneficios si el cálculo de H G es más sencillo que el cálculo de H O1. 4. Energía cinética Se define la energía cinética de una partícula material M i o la energía cinética elemental como: T i = 1 mi v i dt = 1 v dm Es una magnitud escalar con dimensiones de masa por longitud al cuadrado dividido por tiempo al cuadrado: [ T] = M L T. Se define la energía cinética de un sistema material como una magnitud extensiva de la siguiente forma: T = 1 N m i v i T = 1 v dm i=1 Esta magnitud está relacionada con el virial del sistema de vectores deslizantes. El cálculo de esta magnitud está ligado a la resolución de la integral correspondiente en una gran parte de los casos. Sin embargo, se va a enunciar y demostrar un teorema que simplifica el cálculo de forma notable en ciertas ocasiones Teorema de König relativo a la energía cinética Sean el sistema material, S 1 el referente del movimiento y S 0 el sistema ligado al centro de masas de. Se tiene que: T = 1 v 1 M dm = 1 ( v 0 M + v 01) ( v M 0 M + v 01)dm M = = 1 v 0 M dm+ 1 v 01 M dm+ v 01 M vm 0 dm = = 1 v 0 M dm+ 1 v G dm+ v 01 M ( v 0 M dm) = T G + 1 m vg v 01 M= vg, M T G T = T G + 1 m vg () Se lee la energía cinética de un sistema es igual a la energía cinética en el movimiento relativo al centro de masas más la que tendría toda la masa concentrada en el centro de masas y animada con la velocidad de éste". El uso de este teorema solo trae beneficios si el cálculo de T G es más sencillo que el cálculo de T.

5 5. Atributos cinéticos de un sólido con un punto de velocidad nula Sea un solido S de cuyo movimiento con respecto a otro S 1 se sabe que tiene un punto O 1 con velocidad nula ( v O 1 1 = 0). El campo de velocidades es tal que: v 1 M = v O ω 1 O 1 M = ω 1 r M v 1 G = v O ω 1 O 1 G = ω 1 r G Esta situación puede darse de forma instantánea o permanente. En segundo caso, si el punto O 1 tiene velocidad nula permanentemente ( d vo 1 dt 1 = γ O 1 1 = 0) se denomina punto fijo Cantidad de movimiento C = m v G 1 = m ω 1 r G C = m ω 1 r G (3) 5.. Momento cinético [ ] H O1 = r M v 1 M dm = r M ( ω 1 r M )dm = r M ω 1 ( r M ω S 1 S 1 S 1 1 ) r M dm = U. ω [ r M r M ]. ω 1 1 = ( { r M Ū [ r M r M ] } ) dm. ω 1 = Ī O1. ω 1 S 1 H O1 = Ī O1. ω 1 (4) La fórmula de cálculo anterior es válida solo para un único sólido en el instante considerado o en cualquier instante en función de si el punto O 1 tiene velocidad instantánea nula o es fijo respectivamente Energía cinética T = 1 v 1 M dm = 1 ( ω 1 r M ) ( ω S 1 S 1 1 r M )dm = 1 A B C = ω 1 ( ) 1. r M ( ω 1 r M )dm = 1 ω 1. Ī O1. ω 1 S } 1 {{} H O1 ω 1 S 1 B ( r M C ) ( ω 1 r M ) dm = A T = 1 ω 1. Ī O1. ω 1 (5) La fórmula de cálculo anterior es válida solo para un único sólido en el instante considerado o en cualquier instante en función de si el punto O 1 tiene velocidad instantánea nula o es fijo respectivamente.

6 6. Atributos cinéticos de un sólido libre El movimiento de un solido libre S con respecto a un referente S 1 se puede considerar como la composición de dos movimientos: el movimiento relativo al su centro de masas S /S 0 y el movimiento de arrastre del sistema ligado al centro de masas S 0 /S 1. El movimiento de un sólido relativo a su centro de masas es el movimiento de un sólido con punto fijo, puesto que v 0 G = 0 siempre. Además se tiene que: ω 1 = ω 0 + ω 01 O lo que es lo mismo, la velocidad angular del solido respecto al referente y la relativa al sistema ligado al centro de masas son iguales Cantidad de movimiento En estas condiciones, la cantidad de movimiento será: C = m v G 1 (6) 6.. Momento cinético Si aplicamos el teorema de König para deducir la expresión de cálculo del momento cinético tendremos: (1) H O1 = H G +O 1 G m v 1 G (4) = Ī G. ω 1 +O 1 G m v 1 G H O1 = Ī G. ω 1 +O 1 G m v G 1 (7) 6.3. Energía cinética Si aplicamos el teorema de König para deducir la expresión de cálculo de la energía cinética: T () = T G + 1 m vg (5) 1 = ω 1 1. Ī G. ω vg 1 T = 1 ω 1. Ī G. ω m vg 1 (8) Recalcar que estas expresiones son válidas para un único solido libre, de ahí los subíndices numéricos que aparecen en la velocidad del centro de masas. Si nuestro sistema tuviera más de un sólido, habría que aplicar el hecho de que estas magnitudes son extensivas y sumar las contribuciones de cada sólido al total.

7 A. Teorema del transporte de Reynolds Sea Ω un volumen de control (conjunto abierto, conexo y acotado de R 3 ) y llamemos a su frontera Σ superficie de control. Sea H una magnitud física extensiva genérica (tensorial) y sea h su magnitud intensiva específica asociada (por unidad de masa), que será función de la posición en el espacio donde se considere y del instante de tiempo en que se considere. Sea ρ la función densidad volumétrica, también dependiente de la posición y del tiempo. Por lo tanto, ρh será la magnitud intensiva por unidad de volumen. La relación entre las descripciones intensiva y extensiva de la magnitud la proporciona la siguiente expresión: H(t) = ρ( r, t)h( r, t)dv = h( r, t)dm Ω Ω Si elegimos como sistema material de análisis la masa encerrada inicialmente por un volumen de control en un instante, su evolución temporal (geométrica y material) estará determinada por el movimiento de las partículas que contiene. Este volumen de control que cambia de esa forma se denomina volumen fluido y le denotaremos por. El teorema del transporte de Reynolds establece que para cualquier función h( r,t) suficientemente regular y volumen fluido se tiene que: d dt ρ( r, t)h( r, t)dv = ρ( r,t) Dh( r,t) dv Dt donde Dh( r, t) = h( r,t) + v h( r,t) Dt t y se denomina derivada sustancial o convectiva. El teorema del transporte de Reynolds relaciona la variación temporal de una propiedad extensiva con la generación y el flujo de la propiedad intensiva correspondiente (o en términos matemáticos, la derivada lagrangiana de una integral de volumen de un sistema con una integral en derivadas eulerianas). dh dt = d dt ρh( r,t)dv = ρ Dh( r,t) dv = ρ( r,t)[ h( r,t) + v h( r,t)]dv Dt t Si h( r,t) = 1 obtenemos la variación de la masa de un volumen fluido: dm = d ρ( r,t)dv = ρ( r,t) D1 dt dt Dt dv = 0 Obviamente la masa de un volumen fluido se conserva. Si h( r,t) = r obtenemos la variación del momento estático de inercia respecto al origen de un volumen fluido: d M 0 dt = d dt = ρ( r,t) rdv = ρ( r,t) v( r,t)dv = C(t) ρ( r,t) D r Dt dv = ρ( r,t)( r +( v ) r)dv = t Se obtiene la cantidad de movimiento del volumen fluido respecto al referente del movimiento. Para su demostración véase por ejemplo A Mathematical Introduction to Fluids Mechanics", Chorin & Marsden, Springer Verlag, 000