PROBLEMAS DE ESTÁTICA

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Eva Romero Jiménez
hace 7 años
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1 UCM PEMS DE ESÁIC undmentos ísicos de l Ingenierí. Deprtmento ísic plicd UCM Equipo docente: ntonio J rbero lfonso Cler Mrino Hernández. ES grónomos lbcete Pblo Muñiz Grcí José. de oro Sáncez EU. I.. grícol Ciudd el

2 PEM UCM Un tblón de longitud y ms m se encuentr encjdo entre dos predes liss, sujeto del teco por un cble unido l punto C y soportndo un contrpeso de ms M en D (vése esquem). Si l distnci D es, clculr l tensión del cble y ls recciones en y en. s distncis de C ls esquins izquierd y derec son respectivmente x y x. plicción numéric: m kg, M 5 kg, 3 m, m, x.5 m, x.5 m. C D Digrm de sólido libre C x mg 9- x 9- D Mg s recciones en los puntos y en son normles ls predes y que ésts son liss y no presentn rozmiento Cálculo ángulo sen x + x cos ( x + x )

3 PEM (/) UCM Y x x C cos X mg 9- sen ( M + m) g y x + x x 9- Mg D ( x + x ) M x ( M + m)g mg sen(8 ) Mgsen( 8 ) + sen(9 + ) x mg sen Mgsen + cos cos mg sen + Mgsen ( M + m) gx mg sen + Mgsen ( M + m) gx cos 588 Vlores numéricos 4.5 3

4 PEM UCM Un cilindro de peso 4 kp está poydo sobre dos plnos inclindos que formn ángulos de 3º y 6º con l orizontl. Suponiendo que ls superficies de los dos plnos inclindos son liss, clcúlese l rección de cd uno de los plnos inclindos sobre el cilindro. 3º 6º Y X sen sen X 4 kp 3º 6º Y sen sen + cos + cos sen cos + cos sen sen cos sen + sen cos sen sen ( + ) 3 kp sen cos sen + sen cos sen sen ( + ) kp 4

5 PEM 3 UCM Un escler de longitud y ms m está poyd contr un pred verticl formndo un ángulo con l mism. Cundo un ombre de ms M sube por l escler y lcnz un punto situdo un distnci del extremo inferior, l escler se encuentr punto de deslizr. Si el coeficiente de rozmiento estático entre l escler y l pred es µ, se pide: ) Dibújese el D.S.. De l escler cundo el ombre subido l punto indicdo. b) Determínese el coeficiente de rozmiento estático entre l escler y el suelo. c) Clcúlese numéricmente el coeficiente de rozmiento pedido en el prtdo nterior si 4 m, m kg, M 8 kg, 3 m, 3º, µ.. ómese el vlor de l celerción de l grvedd como g m/s. Mg mg 5

6 PEM 3 (/4) Digrm de sólido libre fuerz de rozmiento en el punto está dirigid ci rrib, y que si l escler deslizse su extremo superior se rrstrrí ci bjo. demás tenemos l rección norml en el punto. UCM fuerz de rozmiento en el punto está dirigid ci l izquierd, y que si l escler deslizse su extremo inferior se rrstrrí ci l derec. demás tenemos l rección norml en el punto. Equilibrio de fuerzs x µ mg y Y X Mg + ( M + m) g + ( M + m) g µ 6

7 PEM 3 (3/4) Equilibrio de momentos 9 + mg especto l punto M sen(8 ) + Mgsen( 8 ) sen(9 + ) + sen UCM m + M g sen cos + µ sen 8 m + M g sen cos + µ sen Mg mg m + M g sen cos + µ sen 7

8 PEM 3 (4/4) UCM Sistem de ecuciones x y µ µ + ( M + m) g m + M g sen cos + µ sen ( M + m) g µ µ ( M + m) g µ µ ( M + m) g µ esolución numéric: 4 m, m kg, M 8 kg, 3 m, 3º, µ., g m/s µ.44 8

9 PEM 4 UCM Un brr omogéne de longitud y peso se poy sobre el punto de un pred lis inclind un ángulo α y sobre el punto de un suelo rugoso. En equilibrio l brr form un ángulo β con el suelo. Se pide determinr l fuerz orizontl de rozmiento en el punto de contcto con el suelo, ls recciones normles en los dos poyos y el coeficiente de rozmiento en. Dtos: 5 kp, m, α 6º, β 3º. β α Y X D.S.. 9-α β 9º α -β α β y son ls normles en y, respectivmente x y cos( 9 α) + sen α [] sen( 9 α ) β 9+β α -β α 8-α + cos α [] 9

10 PEM 4 (/) UCM Y [] [] X D.S.. M α -β α sen(9 + β ) sen(9 ) 9º + α β 9-α β β cos β cos( α β ) [3] β 9+β 8-α sen α + α cos α α -β senα cos β cos( α β ) cosα cos β cos( α β ) cos β cos( α β ) esultdos numéricos.5 kp.7 kp 3.75 kp Coeficiente rozmiento µ µ µ senα cos β cos( α β ) cosα cos β µ.577

11 PEM 5 UCM En un ro semicirculr de centro y un nill de l que pende un peso. nill está sujet medinte un ilo inextensible que ps por un eje norml l ro en el punto (ver digrm), de cuyo extremo cuelg un peso. nill resbl sin rozmiento sobre el ro st lcnzr l posición de equilibrio, en cuyo momento los ángulos subtendidos con l verticl por ls posiciones y son respectivmente y. Determínese l rzón de los pesos /. Digrm de sólido libre de l nill º) Como no y rozmiento entre nill y ro, l rección en el punto de equilibrio debe ser rdil: crece de componentes en dirección tngente. º) componente del peso en l dirección tngente y en sentido descendente de ser compensd por l componente tngente de l tensión del ilo en sentido scendente. 3º) tensión del ilo es igul l peso colgdo en.

12 PEM 5 (/) UCM En equilibrio se verific α β cosα cos β 9- ϕ β 9-ϕ + ϕ y son igules l rdio del ro, de modo que el triángulo es isósceles ϕ ϕ α 9 + β Como l tensión l proporcion el peso colgdo en, se verific cos ( 9 ) cos + sen cos +

13 PEM 6 UCM Se tiene que cer psr un rodillo cilíndrico de rdio y peso por encim de un esclón de ltur. Pr ello se enroll un cble lrededor del rodillo y se tir del mismo orizontlmente (vése esquem). El borde del esclón es rugoso. Clcúlese el vlor de l tensión plicd l cble prtir del cul se consigue superr el esclón y l rección correspondiente en el borde. plicción numéric: 4 ; m; 5 cm. medid que se increment l tensión del cble ument l rección en el borde y disminuye l norml plicd en (punto de contcto con el suelo). y x y x Menor tensión y x Myor tensión 3

14 PEM 6 (/3) Equilibrio estático: mientrs que el rodillo no supere el esclón y x y x y x + El rodillo está punto de superr el esclón cundo se cumplen dos condiciones: º) Cundo l norml vle cero: en ese momento no ejerce presión contr el suelo en el punto Y Z X UCM º) Cundo ls línes de cción de los vectores, y concurren en un punto (son vectores coplnrios) Condiciones en el y momento en que b - x y uscmos un relción geométric dicionl que ligue x y y x d d 4 -

15 PEM 6 (3/3) UCM d + ( ) d + + y x b d - d - d ( ) d ( ) VES UMÉICS 5.9 tg d º Disponemos de ls siguientes tres ecuciones x x y tg Componentes de y x y x + y + tg Este es el vlor mínimo pr que empiece remontr el esclón! 5

16 PEM 7 UCM Un brr omogéne D de longitud y peso se poy en los puntos y C indicdos en el digrm djunto. os rozmientos en los poyos son desprecibles. Determinr el ángulo pr el que se consigue el equilibrio y clculr ls recciones en los poyos y C. Dtos: 5 kp,.4. C D C 9- C D x y C sen( 9 ) C cos( 9 ) C cos C sen Y D.S.. X 8- sen C M sen sen C sen C sen(8 ) sen 6

17 PEM 7 (/) UCM C cos C sen C sen sen C sen sen sen sen sen 3 sen / 3 C sen / 3 / 3 C cos cos sen sen sen sen / 3 esultdos numéricos: usndo 5 kp,.4 tenemos: /3.4 sen º 7

18 PEM 8 UCM En un mudnz es preciso trsldr un rmrio de peso mg deslizándolo sobre el piso y pr ello se le empuj orizontlmente con un fuerz constnte. ncur del rmrio es (vése figur). El coeficiente de rozmiento estático es µ. Cuál es l máxim ltur mx l que puede plicrse l fuerz sin que el rmrio vuelque? Supongmos que plicmos l fuerz en el punto preciso pr que esté punto de volcr. El DS en ese cso es mx bserve que cundo el vuelco es inminente l rección en es nul, mientrs que en l rección norml de ser igul l peso: Y mg mg Y CM condición pr que se produzc el vuelco es que el momento con respecto l punto de l fuerz se myor que el del peso respecto l mismo punto, sí que el vuelco result inminente cundo se cumpl que: X mg mx τ mx mg 8

19 PEM 8 (/) UCM demás, en el momento en que el vuelco es inminente, l fuerz de rozmiento estátic de ser igul : X µ µ mg Sustituyendo en l ecución de los momentos mx mg µmg mx mg mx µ bserve que el vlor de l ltur máxim pr que el rmrio vuelque es independiente del vlor de, depende de dónde se plique l fuerz. Si l ltur l que se plic es menor que ést, entonces el rmrio se deslizrá sobre el piso sin volcr, tl y como se pretende. 9

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