Retos geométricos con GEOGEBRA

Transcripción

1 Retos geométricos con GEOGEBRA Muñoz Santonja, José 1 Fernández Domínguez, Jesús 1 Resumen La resolución de problemas geométricos, difíciles de visualizar y representar en papel, ha sido siempre un reto complicado para todos aquellos que armados con su inteligencia, regla y compás se han enfrentado a ellos. La aparición de programas de geometría dinámica ha implicado que alumnos de Secundaria, y a veces de Primaria, puedan enfrentarse y abordar las situaciones que en ellos se plantea. En el taller presentaremos una selección de estos retos geométricos. Desde teoremas más conocidos como el de Varignon, hasta otros que actualmente están algo olvidados como el de Viviani o el de Napoleón, pasando por el estudio de curiosos lugares geométricos de puntos y rectas. 1. Introducción Desde el principio de los tiempos el hombre ha utilizado la matemática en casi todos los momentos de su vida. Seguramente, las primeras creaciones iban dirigidas en el sentido de contar, agrupar y ordenar, pero también desde muy pronto la geometría hizo su presentación para facilitar la distribución y organización del espacio. Aunque en un principio la geometría fuese eminentemente práctica, a partir de Pitágoras, los ya denominados matemáticos, comenzaron a investigar equipados de la tecnología punta de aquella época: la regla y el compás. Descubrir propiedades de las figuras, calcular áreas y volúmenes, o relacionar entre sí objetos geométricos, fueron algunos de los retos a los que se enfrentaron. A lo largo de toda la historia, los matemáticos, tanto profesionales como aficionados, han obtenido singulares propiedades que han llamado la atención de otros colegas y de los aficionados a la geometría en general. Incluso en el pasado siglo XX es posible encontrar ejemplos de localización de propiedades y curiosidades en construcciones geométricas. Sin ir más lejos, varios de los enunciados que vamos a 1 IEDA (Instituto de Educación a Distancia de Andalucía)

2 proponer en este taller los hemos encontrado en los antiguos exámenes de grado que se realizaban al acabar el antiguo PREU, como paso previo para acceder a la Universidad. Por suerte para nosotros, hoy en día no es necesario acudir a la regla y el compás para comprobar algunas de estas bellas construcciones. En la actualidad podemos recurrir al uso de la geometría dinámica. Con un programa como Geogebra podemos hacer construcciones y observar fácilmente relaciones que difícilmente podríamos ver mentalmente (al menos los que no recibimos una buena formación en Geometría Clásica). Es nuestro deseo que pasen un rato entretenido descubriendo propiedades que son curiosas y no evidentes. 2. Retos geométricos El objetivo de este taller es jugar con la geometría. Utilizando las potentes herramientas geométricas de Geogebra vamos a realizar un recorrido por una colección de construcciones que nos permitirán conocer propiedades curiosas de figuras planas y acercarnos a problemas clásicos de geometría. Creemos que las herramientas necesarias para afrontar estos retos están a disposición de cualquiera que conozca básicamente el programa, por eso no indicaremos, salvo en aquellos casos que lo creamos oportuno, instrucciones sobre cómo afrontar su resolución. Vamos pues con las actividades. Actividad 1: Teorema de Viviani. En un triángulo equilátero la suma de distancias, desde un punto interior, a los tres lados se mantiene constante. Comprueba el Teorema. Qué característica del triángulo equilátero mide la constante? Solución: Dado que la suma de distancias se mantiene constante para cualquier punto interior, en el caso límite de que el punto estuviera en un vértice, la suma anterior correspondería a la medida de la altura (o cualquier otra recta notable al ser equilátero) entre un vértice cualquiera y el lado opuesto Actividad 2: Triángulo órtico.

3 Dado un triángulo cualquiera, se llama triángulo órtico al que tiene de vértices los pies de las alturas del triángulo anterior. Comprueba que el ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo órtico. Actividad 3: Triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo trazamos la altura y la mediana relativas a la hipotenusa. El ángulo formado por estas dos líneas, qué relación tiene con respecto a los ángulos no rectos del triángulo? Solución: Es fácil comprobar que el ángulo formado por la mediana y la altura correspondiente a la hipotenusa es igual a la diferencia entre los ángulos agudos del triángulo. Actividad 4: Centro de gravedad de un cuadrilátero. Dibuja el centro de gravedad de un cuadrilátero. Indicación: Dibuja una de sus diagonales y traza el segmento que une los dos baricentros de los triángulos resultantes. Traza la otra diagonal y el segmento que une los baricentros de los nuevos triángulos. El punto de corte de los dos segmentos es el centro buscado. Actividad 5: Cuadrado a partir de la diagonal. Dibuja un segmento cualquiera AB. Dibuja un cuadrado cuya diagonal sea el segmento AB. Actividad 6: Circunferencias tangentes. Realiza la construcción que aparece en la figura 1, sabiendo que la distancia entre B y C es triple que entre A y C, y comprueba que: a) El cuadrilátero CEDF es un rectángulo. b) La recta EF es tangente a las dos circunferencias interiores. Actividad 7: Tres circunferencias tangentes. Dibuja tres puntos cualesquiera del plano. Halla las tres circunferencias, con centros en esos puntos, que sean tangente dos a dos. Indicación: Una pistas sobre la construcción la puedes consultar en el ejemplo del proyecto Gauss en la dirección:

4 tijos/tres_circulos/actividad.html Solución: Si unimos los tres puntos formando un triángulo, los puntos de tangencia de las circunferencias coinciden con los puntos de tangencia con el triángulo de la circunferencia inscrita. Actividad 8: Camino más corto. Investiga cuál es el camino más corto que une los tres lados de un triángulo volviendo al punto de partida. Para ello dibuja un triángulo con vértices en los lados del triángulo original y, modificando esos puntos, estudia cuándo se obtiene el valor mínimo. Solución: Basta colocar visible, mediante un texto, cuanto vale la suma de las tres distancias e ir moviendo los puntos por los lados del triángulo para obtener la menor medida. Una vez conseguido se puede comprobar que los tres puntos forman el triángulo órtico del que hablamos en la actividad 2. Actividad 9: Puntos simétricos. Dibuja tres puntos fijos en el plano, A, B y C. Dibuja un punto variable P. Halla P el simétrico de P respecto A, P simétrico de P respecto de B y P simétrico de P respecto de C. Halla el punto medio PM del segmento que une P y P. Qué ocurre con PM cuándo se mueve el punto P? Solución: Basta realizar la construcción y comprobar que el punto PM es fijo y no depende de dónde se sitúe el punto P inicial. Basada en esta propiedad existen muchas actividades de búsqueda de tesoros en los que se puede localizar un tesoro aunque haya desaparecido alguna de sus referencias. Actividad 10: Triángulo de Napoleón. Si sobre los lados de un triángulo cualquiera se dibujan triángulos equiláteros, los centros de esos triángulos equiláteros también forman un triángulo equilátero. Se llama triángulo de Napoleón exterior. Qué ocurre si los triángulos equiláteros se dibujan hacia el interior del triángulo? Solución: Es fácil comprobar que si los triángulos se dibujan hacia el interior se sigue cumpliendo la propiedad. En este caso se llama triángulo de Napoleón interior.

5 Aunque no es intención comprobarlo en el taller, el área del triángulo inicial es igual a la diferencia entre las áreas de los triángulos exterior e interior. Actividad 11: Punto de Fermat. Se conoce como punto de Fermat al punto interior a un triángulo acutángulo tal que, la suma de las distancias a los tres lados sea mínima. Hay dos formas de encontrarlo. a) Se dibujan triángulos equiláteros sobre los tres lados. Se hallan las circunferencias circunscritas a esos triángulos. Se comprueba que las tres se cortan en un punto. b) Se dibujan triángulos equiláteros sobre los tres lados. Se unen cada uno de los vértices exteriores de los triángulos equiláteros con el vértice opuesto del triángulo original (el que no forma parte de ese triángulo equilátero). Las tres rectas se cortan en un mismo punto. Dibujar un triángulo, hallar su punto de Fermat y comprobar que es el que da la suma mínima de distancias. Actividad 12: Rectas de Simson y Steiner. a) Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo. Comprueba que las proyecciones de ese punto sobre los tres lados del triángulo (o sus prolongaciones) están alineadas y forman la llamada recta de Simson. b) Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo. Comprueba que los simétricos de P respecto a los tres lados están en una recta llamada de Steiner. c) Comprueba que la recta de Steiner pasa por el ortocentro del triángulo. d) La recta de Steiner es paralela a la recta de Simson. Hay resultados que son bastante conocidos, por ejemplo, es fácil encontrar la referencia de que si unimos los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera se obtiene siempre un paralelogramo conocido como paralelogramo de Varignon. Sin embargo, no es tan corriente conocer otra propiedad parecida cuando se trazan líneas que pasan por las divisiones de los lados en tres partes.

6 Actividad 13: Paralelogramo de Wittenbauer. 2 Se dividen los lados de un cuadrilátero convexo cualquiera en tres partes. Al trazar las líneas que unen las dos divisiones más cercanas de los lados que componen cada vértice, con sus cruces se obtiene un paralelogramo llamado de Wittenbauer. a) Comprueba que es un paralelogramo. b) Se seguirá manteniendo la propiedad si el cuadrilátero no es convexo? c) Comprueba que el punto de corte de las dos diagonales del paralelogramo de Wittenbauer coincide con el centro de gravedad del paralelogramo inicial. d) Aprovechando las posibilidades dinámicas del dibujo estudia qué debe cumplir el cuadrilátero original para que el de Wittenbauer sea un rombo. e) Y para qué sea un rectángulo? Solución: Lo más complicado es estudiar los dos últimos apartados. Basta ir probando y estudiar las medidas de las diagonales del cuadrilátero original. Cuando miden lo mismo, el paralelogramo de Wittenbauer es un rombo. Cuando son perpendiculares entonces se obtiene un rectángulo. Actividad 14: Teorema de Von Aubel. Dado un cuadrilátero convexo, construye cuatro cuadrados exteriores sobre sus lados. Une los centros de los cuadrados correspondientes a lados opuestos del triángulo. Qué relación hay entre los dos segmentos que se dibujan? Solución: es fácil ver que los dos segmentos son perpendiculares y de la misma medida. 2 Hay un excelente artículo del no menos excelente grupo G4D en la página de divulgamat en el que se trata los elementos obtenidos al unir los puntos medios en triángulos y cuadriláteros y también se trabaja el paralelogramo de Wittenbauer. Se puede consultar en:

7 Actividad 15: Teorema de Feuerbach. a) Dibuja un triángulo cualquiera. Comprueba que existe una circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados y por los pies de las tres alturas del triángulo. Su descubridor fue el matemático alemán Karl Feuerbach (1800, 1834) y es conocida como la circunferencia de los seis puntos. b) Comprueba que la circunferencia anterior pasa además por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro de un triángulo con los vértices. Esta circunferencia la nombró el matemático J.V. Poncelet (1788, 1867) como la circunferencia de los nueve puntos. c) Demuestra el Teorema de Feuerbach que dice: La circunferencia inscrita a un triángulo es tangente a la circunferencia de los nueve puntos. Actividad 16: Recta y punto exterior. Sea P un punto de una recta r y A un punto exterior de r. Traza la circunferencia que pasa por A y es tangente a la recta en el punto P. Activar el rastro del centro de la circunferencia y mover el punto P por la recta. Qué elemento se obtiene? Indicación: Para hallar el centro de la circunferencia basta hallar la mediatriz del segmento PA y una perpendicular a r en el punto P. El punto de corte de ambas rectas es el centro. Solución: El lugar geométrico descrito da lugar a una parábola que tiene de recta directriz r, y de foco al punto A. Actividad 17: Punto interior de una circunferencia. Dado un punto interior a una circunferencia, hallar el lugar geométrico del centro de las circunferencias que pasan por el punto y son tangentes a la circunferencia. Qué ocurre si el punto P está fuera de la circunferencia? Indicación: Tenemos que fijar un punto interior P a la circunferencia c y un punto A sobre la circunferencia. Trazamos la circunferencia que pasa por P y es tangente en el punto A, a c. Al

8 mover el punto A por la circunferencia los centros de la nueva circunferencia crean lugares geométricos. Solución: Si el punto es interior se obtiene una elipse y si es exterior es una hipérbola. Actividad 18: Estrofoide. Tenemos una circunferencia de centro O. Tomamos A y B dos puntos de la circunferencia. Halla el lugar geométrico descrito por el baricentro del triángulo OAB, cuando el punto B recorre la circunferencia. Ver qué ocurre con el lugar geométrico del ortocentro. (Folium de Descartes, estrofoide). Y con el incentro? Estudiar también lo que ocurre con el circuncentro. Solución: En el caso del baricentro se obtiene una circunferencia. Se puede preguntar qué relación tiene dicha circunferencia con respecto a la inicial. En el caso del circuncentro se obtiene una recta, cuál sería? Actividad 19: Caracol de Pascal. Sea Q un punto exterior a una circunferencia c. Traza una tangente a c en el punto A y halla el punto P de corte de la perpendicular a la recta tangente trazada desde Q. Halla el lugar geométrico de los puntos P cuando A recorre la circunferencia. Lo obtenido se llama Caracol de Pascal. Ver qué ocurre con el lugar geométrico si movemos el punto Q. Qué ocurre si el punto queda dentro de la circunferencia? Si el punto Q pertenece a la circunferencia se obtiene la cardioide. Actividad 20: Cisoide de Diocles.

9 Sea la circunferencia c y A, B dos puntos de la circunferencia que son extremos de un diámetro. Se traza la tangente a c en B, y sobre ella se coloca un punto P. Sea d la distancia entre P y B. Se une P con A y se dibuja la circunferencia con centro en A y radio d. La intersección con el segmento AP nos da un punto Q de este segmento que cumple que d(aq)=d(b,p). Halla el lugar geométrico del punto Q al mover P (Cisoide de Diocles). Actividad 21: La Bruja de Agnesi. Tenemos una circunferencia c de centro O que pasa por A. Sea B el extremo opuesto del diámetro de extremo A. Se traza la tangente t a la circunferencia en A. Se dibuja un punto P sobre c. Se traza la recta que pasa por B y P y sea Q el punto intersección con la tangente t. Desde P se halla la paralela a la tangente t y desde Q la perpendicular a la misma tangente. Sea M el punto intersección de la paralela y la perpendicular. Halla el lugar geométrico del punto M cuando P recorre la circunferencia. Se obtiene la curva de Agnesi. Actividad 22: El rastro de la Recta de Simson. Hallar el lugar geométrico de la recta de Simson de P cuando P recorre la circunferencia circunscrita. Actividad 23: Cónica 1 por envolvente. Dibujar una circunferencia de centro O y que pasa por A (ambos en el eje). Situar un punto F en el segmento OA. Situar un punto P en la circunferencia y hallar la perpendicular r al segmento FP en el punto P. Activar el rastro de r y recorrer la circunferencia con el punto P. Solución: Se obtiene una elipse. Actividad 24: Cónica 2 por envolvente.

10 Dibuja una recta y un punto exterior F cercano a ella. Sobre la recta se dibuja un punto A y se halla la perpendicular r en A al segmento que FA. Activar el rastro de r y mover el punto A sobre la recta. Solución: En este caso obtenemos una parábola por envolventes. 3. Conclusiones La mayoría de asistentes a estas jornadas conocemos las increíbles posibilidades del programa Geogebra en muchos ámbitos: algebraico, numérico, gráfico, estadístico, etc. Elementos tan potentes como la ventana algebraica o la hoja de cálculo permiten afrontar problemas muy diversos. Y esto no es nada para la que se avecina en las versiones 4 y 5 que actualmente se encuentran en formato beta, donde podremos encontrarnos con cálculo simbólico y las posibilidades de las 3D. Sin embargo, el objetivo de este taller ha sido aplicar las herramientas básicas de Geogebra para trabajar resultados curiosos y, a veces, inesperados del inmenso mundo geométrico. Hemos intentado recoger construcciones que no necesitan grandes montajes de forma que cualquier alumno de Secundaria con unos conocimientos mínimos pueden afrontarlas. Es indiscutible que para poder resolver muchos de ellos hay que aplicar propiedades geométricas que se deben manejar, es decir, hay que saber geometría para resolver los retos planteados pues el programa por si solo no los va a solucionar. Quién desconozca el hecho de que para que dos circunferencias sean tangentes, el centro de ambas se debe encontrar en la perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, es imposible que construya dicha circunferencia o que dibuje una circunferencia inscrita que se mantenga al cambiar los vértices. Por tanto las construcciones que hemos visto nos permiten ver si nuestros alumnos, además de dominar las construcciones básicas, conocen los conceptos geométricos que hay que utilizar para llegar a la solución. Resumiendo, hemos intentado hacer matemáticas de una manera entretenida. Esperamos haberlo conseguido. Referencias

11 Agustín Carrillo (2009): Geogebra: Mucho más que Geometria Dinamica. Ed. Alfaomega. Manuel Sada Alto (2011): Geometría dinámica. Explorando los triángulos y sus centros. Material incluido en el proyecto Ven x + matemáticas del ITE (pendiente de publicación). Markus y Judith Hohenwarter (2009): Documento de Ayuda de Geogebra. Manual Oficial de la versión