PROPORCIONES Y SEMEJANZA. LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se escribe b. a b.

Transcripción

1 Proporiones y Semejanza 1 PROPORCIONES Y SEMEJANZA LA RAZON entre dos antidades es el oiente indiado entre ellas, la razón de a y b se esribe b a y se lee: a es a b. PROPORCION: Es la igualdad de dos razones. a b d, y se lee: a es a b omo es a d. a y se llaman anteedentes, b y d se llaman onseuentes. y b se llaman medios; a y d se llaman extremos. Cualquier elemento se llama uarta proporional entre las otras tres. Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporional. x z 1 6, x es la media proporional entre y z; ; 6 es la media proporional entre 1 y 3 y x 6 3 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporión se umple que el produto de los extremos es igual al produto de los medios. a 4 a b d; b d En una proporión se pueden interambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporión a a b ; b d d a d ; b d b a En ada proporión se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporión. a b d ; b d a a a b d ; b d b d a a b d ; b d b d a e a e a 6. k k b d f b d f b

2 Proporiones y Semejanza TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporionales en los otros dos lados. HIPOTESIS: DE AB A D C y B E C TESIS: CD DA CE EB 1. Sobre CD se toman n segmentos 1. Construión ongruentes de longitud a y sobre DA se toman msegmentos ongruentes de longitud a. Se trazan paralelas por esos puntos a AB. Construión 3. En CE se determinan n segmentos s de 3. De. Teorema fundamental de las paralelas longitud b y en EB se determinan m segmentos ongruentes de longitud b. 4. CD n a; DA m a; CE n b; EB m b 4. De 1 y 3. Adiión de segmentos 5. CD n a n 5. De 4 DA m a m 6. CE n b n 6. De 4 EB m b m 7. CD CE 7. De 5 y 6. Propiedad transitiva. DA EB COROLARIO 1: CA CB DA CE COROLARIO : CA CB DA EB TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una reta orta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporionales en los otros dos lados, entones la reta es paralela al terer lado. (Consultar su demostraión) TEOREMA DE THALES Si tres o mas retas paralelas son ortadas por dos transversales, entones los segmentos de una transversal son proporionales a sus orrespondientes en la otra.

3 Proporiones y Semejanza 3 HIPOTESIS: m n s t 1 y t son transversales TESIS: AB DE BC EF DK t 1. Trazamos 1, tal que B L E y C K F. EL KF 1. Construión. De 1 y de hipótesis 3. DE DL 3. De. Teorema fundamental de la EF KL proporionalidad en DKF 4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hipótesis y de 1. Definiión de paralelogramo 5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son ongruentes 6. DE AB 6. Sustituión de 5 en 3 EF BC 7. BC AB 7. De 6. Propiedad de las proporiones. EF DE TEOREMA En todo triangulo la bisetriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporionales a los lados adyaentes. HIPOTESIS: CD es bisetriz del ángulo ACB A D B TESIS: AD AC DB BC 1. Por B se traza BE, tal que BE DC ; BE y AC se ortan en E. AD AC DB CE 1. Construión. De 1. Teorema fundamental de las proporiones en ABE

4 Proporiones y Semejanza De 1. Por ser alternos internos entre paralelas De 1. Por ser orrespondientes entre paralelas De Hipótesis. CD es bisetriz De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. CE BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados ongruentes AD DB 8. Sustituión de 7 en 8. AC BC TEOREMA: La bisetriz de un ángulo exterior de un triangulo no isóseles, divide a la prolongaión del lado opuesto al ángulo en segmentos proporionales a sus lados adyaentes. HIPOTESIS: CP es bisetriz del ángulo exterior BCE TESIS: AP AC BP BC 1. Se traza BD PC, que orta a AC en D 1. Construión. AP AC. De 1. Teorema fundamental de la BP DC proporionalidad en ACP De 1. Por ser alternos internos entre paralelas De 1. Por ser orrespondientes entre paralelas De hipótesis. PC es bisetriz De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. DC BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados ongruentes 8. AP AC 8. Sustituión de 7 en BP BC 9. AP BP 9. De 8. Propiedad de las proporiones. AC BC

5 Proporiones y Semejanza 5 1) EJERCICIOS DE AC (De hipótesis por formar ángulos orrespondientes ongruentes) BD BE 4 x x 96 x 96 AB 4 6 BA BC x 4 ) Con las siguientes longitudes: BC = 1; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ED AC? Si fueran paralelas se debería umplir que BA BC 14 1, lo ual es falso porque no se umple BD BE 5 1 que produto de medios es igual a produto de medios y por lo tanto ED no es paralelo a AC 3) a b TESIS: DC ; EC b a b b

6 Proporiones y Semejanza 6 BD AB 1. DC AC BD DC AB AC. DC AC a b 3. DC b 4. DC( b ) a b a b 5. DC b BE EC 6. AB AC BE AB 7. EC AC BE EC AB AC 8. EC AC a b 9. EC b 10. EC( b) a b 11. EC a b b SEMEJANZA DE POLIGONOS. Dos polígonos son semejantes si entre sus vérties existe una orrespondenia tal que los ángulos orrespondientes son ongruentes y los lados orrespondientes son proporionales. A A'; B B '; C C '; D D'; E E ' AB BC CD DE EA k A' B' B' C ' C ' D' D' E ' E ' A' Donde k, se llama onstante de proporionalidad Se esribe ABCDE A B C D E ; se lee: semejante a SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma. En los triángulos semejantes se umple que los ángulos orrespondientes son ongruentes y lados orrespondientes son proporionales.

7 Proporiones y Semejanza 7 A D; B E; C F AB AC BC DE DF EF La semejanza es una relaión de equivalenia, o sea que umple: 1. Propiedad reflexiva: ABC ABC. Propiedad simétria: ABC DEF DEF ABC 3. Propiedad transitiva: ABC DEF y DEF PQR, entones ABC PQR Las seis ondiiones dadas en la definiión de triángulos semejantes se pueden reduir a tres TEOREMA DE SEMEJANZA A A A Si dos triángulos tienen sus ángulos respetivamente ongruentes entones son semejantes. HIPOTESIS: A R; B S; C T TESIS: ABC RST 1. Sean D y E, puntos sobre CA y CB, 1. Construión tales que CD TR y CE TS. C T. De hipótesis 3. CDE TRS 3. De 1 y. L A L 4. CDE R 4. De 3. Son ángulos orrespondientes en triángulos s 5. R A 5. De hipótesis 6. CDE A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva 7. DE AB 7. De 6. Por formar on una transversal ángulos orrespondientes ongruentes. 8. CD CE 8. De 7. Teorema fundamental de la CA CB proporionalidad 9. TR TS 9. Sustituión de 1 en 8. CA CB 10. De igual modo, tomando F y G en AB y 10. BC, tal que puede demostrarse que BF SR y BG ST,

8 Proporiones y Semejanza 8 AB CB RS TS RS TS AB CB (hágalo) TR TS RS 11. De 9 y CA CB AB 1. A R; B S; C T 1. De hipótesis 13. ABC RST 13. De 11 y 1. Definiión de triángulos semejantes. COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos ongruentes entones son semejantes (A A) COROLARIO. Si dos triángulos retángulos tienen un ángulo agudo ongruente entones son semejantes. COROLARIO 3. Las alturas orrespondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón que la de dos lados orrespondientes. CE TH AC RT AB RS BC ST COROLARIO 4. Si se traza una reta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero. Si DE AB, entones ABC DEC TEOREMA DE SEMEJANZA L A L Si en dos triángulos dos lados orrespondientes son proporionales y los ángulos omprendidos entre ellos son ongruentes, entones los triángulos son semejantes. HIPOTESIS: CA CB NE NL C N TESIS: ABC ELN

9 Proporiones y Semejanza 9 1. En CA y en CB, existen los puntos D y 1. Construión E tales que CD NE y CE NL. C N. De hipótesis 3. CDE ELN 3. De 1 y. L A L 4. CA CB 4. De hipótesis NE NL 5. CA CB 5. Sustituión de 1 en 4 CD CE 6. DE AB 6. De 5. Reiproo del teorema fundamental de la proporionalidad 7. CDE ABC 7. De 6. Una reta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejante al primero. 8. ABC ELN 8. Sustituión de 3 en 7. COROLARIO Si en dos triángulos retángulos los atetos son proporionales, entones los triángulos son semejantes. EJERCICIO HIPOTESIS: AF, BD, CE son alturas. TESIS: ABC FCD FEB ADE 1. C C 1. Propiedad reflexiva. CFA y CDB son retángulos. De hipótesis. Definiión de altura 3. CFA CDB 3. De 1 y. Por tener un ángulo agudo ongruente 4. CD BC 4. De 3. Si son semejantes los lados CF AC orrespondientes son proporionales 5. FCD ABC 5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L A L 6. A A 6. Propiedad reflexiva 7. CAE y DAB son retángulos 7. De hipótesis. Definiión de altura. 8. CAE DAB 8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudo 9. AB AC ongruente 9. De 8. Por ser lados orrespondientes de triángulos semejantes 10. De 6 y 9. Teorema de semejanza L A L AD AE 10. ABC ADE

10 Proporiones y Semejanza B B 11. Propiedad reflexiva 1. AFB y CBE son retángulos 1. De hipótesis. Definiión de altura y de triangulo retángulo. 13. AFB CBE 13. De 11 y 1. Por tener un ángulo agudo 14. CB AB EB FB ongruente. 14. De 13. Por ser lados orrespondientes en triángulos semejantes. 15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L A L 15. ABC FEB 16. ABC FCD FEB ADE 16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva NOTA: El triangulo DEF se onoe on el nombre del triangulo del pedal. TEOREMA DE SEMEJANZA L L L Si en dos triángulos sus lados orrespondientes son proporionales, entones los triángulos son semejantes. HIPOTESIS: CA FD AB DE TESIS: ABC DEF BC EF 1. En CA existe un punto G, tal que 1. Construión CG FD y en CB existe H, tal que CH FE. Se traza GH. Construión 3. CA BC 3. De hipótesis FD EF 4. GH AB 4. De 3. Reiproo del teorema fundamental de la proporionalidad 5. CGH CAB 5. De 4. Una reta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero. CA AB 6. De 5. Los lados orrespondientes son 6. CG GH proporionales 7. CA AB 7. Sustituión de 1 en 6. FD GH 8. CA AB 8. De hipótesis. FD DE AB AB 9. Sustituión de 7 en GH DE

11 Proporiones y Semejanza AB AB GH DE 10. De 9. Propiedad de las proporiones GH 11. De 10. GH DE DE 1. CGH DEF 1. De 11 y 1. L L L 13. ABC DEF 13. Sustituión de 1 en 5. COROLARIO 1. Si dos triángulos retángulos tienen la hipotenusa y un ateto respetivamente proporionales, entones son semejantes. COROLARIO. Si dos triángulos isóseles tienen un ángulo ualquiera respetivamente ongruentes, entones son semejantes. EJERCICIOS RESUELTOS DATOS: ABC es retángulo en C DEA es retángulo en E HALLAR el valor de x. x 16 ) ABC 10 0 DEA por ser retángulos on un ángulo agudo ongruente (A A) 0x 160 x 8 HIPÓTESIS: A TESIS: BD DC CBD AD 1. A CBD. 1. De hipótesis 3. D D 3. Propiedad reflexiva 4. ADB BDC 4. De 1 y. A A 5. BD DC 5. De 3. Por ser lados orrespondientes en triángulos AD BD semejantes 6. BD DC AD 6. De 4. Propiedad de las proporiones.

12 Proporiones y Semejanza 1 3) HIPOTESIS: TESIS: AD HL ABC AD y HL BC FE HFE son medianas 1. B F 1. De hipótesis. ABC HFE BD FL AB HF AB HF AB HF BC. De hipótesis. D y L son puntos medios BC BD FE FE FL BC 3. De hipótesis. Los lados orrespondientes en FE triángulos semejantes son proporionales BD 4. Sustituión de en 3 FL BD 5. De 4. Simplifiaión FL 6. De 1 y 5. Semejanza L A L AB 7. De 6. Lados orrespondientes en triángulos HF semejantes son proporionales BC 8. De hipótesis. Lados orrespondientes en triángulos FE semejantes BC 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva FE 6. ABD HFL AD HL AB HF AD HL 4) Si dos triángulos isóseles tienen un ángulo ualquiera respetivamente ongruente, entones son semejantes. HIPÓTESIS: A D ABC es isóseles on CA DEF es isóseles on FD CB FE TESIS: ABC DEF 1. CA CB 1. De hipótesis. A B. En un triangulo a lados ongruentes se oponen ángulos ongruentes. 3. FD FE 3. De hipótesis 4. D E 4. De 3. En un triangulo a lados ongruentes se oponen

13 Proporiones y Semejanza 13 ángulos ongruentes. 5. A D 5. De hipótesis 6. A B D E 6. De, 4 y 5. Propiedad transitiva 7. ABC DEF 7. De 6. A A II CASO: HIPÓTESIS: C F ABC es isóseles on CA DEF es isóseles on FD CB FE TESIS: ABC DEF 1. CA CB 1. De hipótesis. m ( A) = m ( B). De1. En un triangulo a lados ongruentes se oponen ángulos ongruentes 3. m ( A) + m ( B) + m ( C) = 180º 3. En un triangulo la suma de los ángulos interiores es 180º 4. m( A) + m( C) = 180º 4. Sustituión de en 3 5. FD FE 5. De hipótesis. 6. m ( D) = m ( E) 6. De 5. Ver la razón. 7. m ( D) + m ( E) + m ( F) = 180º 7. En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º 8. m ( D) + m( F) = 180º 8. Sustituión de 6 en 7 9. m( A) + m( C) = m ( D) + m( F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva 10. m ( C) = m ( F) 10. De hipótesis 11. m ( A) + m ( C) = m ( D) + m ( C) 11. Sustituión de 10 en 9 1. m ( A) = m ( D) 1. De 11. Propiedad anelativa. 13. m ( A) = m ( D) 13. De ABC DEF 14. De 13 y 10. A A RELACIONES METRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA. TEOREMA Si dos uerdas se ortan dentro de una irunferenia, el produto de las medidas de los segmentos de una uerda es igual al produto de las medidas de los segmentos de la otra. HIPOTESIS: AB y CD son uerdas que se ortan en E TESIS: AE EB DE EC

14 Proporiones y Semejanza Se trazan AD y CB 1. Construión. C A. Por estar insritos en el mismo aro BD 3. B D 3. Por estar insritos en el mismo aro AC 4. CEB AED 4. De y 3. A A 5. CE EB 5. De 4. Lados orrespondientes en triángulos semejantes AE DE 6. AE EB CE DE 6. De 5. Propiedad de las proporiones. DEFINICION: SEGMENTO DE UNA SECANTE BC : Segmento externo de la seante AB : Segmento interno de la seante TEOREMA: Si se trazan una tangente y una seante desde un mismo punto exterior a una irunferenia la medida del segmento tangente es media proporional entre las medidas de la seante y su segmento externo. HIPÓTESIS: PA Tangente. PC seante a la irunferenia y la orta en B y C. TESIS: PA PC PB PA 1. Se trazan AC y AB 1. Construión. m C m aroab. Por ser un ángulo insrito Por ser un ángulo semiinsrito. m BAP m aroab 4. m( C) = m( BAP) 4. De y 3. Propiedad transitiva. 5. m( P) = m( P) 5. Propiedad reflexiva 6. CAP ABP 6. De 4 y 5. A A PA PB 7. De 6. En triángulos semejantes los lados 7. PC PA orrespondientes son proporionales

15 Proporiones y Semejanza 15 TEOREMA: Si se trazan seantes desde un mismo punto exterior a una irunferenia, el produto de una seante por su segmento exterior es igual al produto de la otra seante por su segmento exterior. HIPÓTESIS: PA y PC son seantes PA orta a la irunferenia en B y A PC orta a la irunferenia en D y C TESIS: PA PB PC PD La demostraión se deja omo tarea. EJEMPLO Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x 4 FD DB AD DC ( x x 4) (x 4) 40 Y resolviendo la euaión se llega a x = 7 PROYECCIONES: La proyeión de un punto a una reta es el pie de la perpendiular trazada del punto a la reta. La proyeión de un segmento sobre una reta, es otro segmento sobre la reta, obtenido de las proyeiones de los extremos del segmento.

16 Proporiones y Semejanza 16 CD es la proyeión de AB sobre reta m EL es la proyeión de EN sobre la reta n La proyeión de AC sobre AB es AH (sobre la prolongaión de AB ) RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO TEOREMA DE PITAGORAS: En todo triangulo retángulo el uadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los uadrados de las longitudes de los atetos. HIPÓTESIS: ABC es retángulo en C AB ; BC a; AC b TESIS: = a + b 1. Se traza la altura CH sobre la 1. Construión hipotenusa.. El omplemento de es A. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulo retángulo CHA 3. El omplemento de B es A 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos del triangulo retángulo CHA 4. ACH B 4. Por tener el mismo omplemento, el A 5. CHA CHB 5. De 4. Por ser retángulos on un ángulo agudo ongruentes. 6. A A 6. Propiedad Reflexiva. 7. CHA ABC 7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo agudo ongruente 8. CHA ABC CHB 8. De 5 y 7. Propiedad transitiva.

17 Proporiones y Semejanza b 9. De 8. Por ser lados orrespondientes en los m b triángulos ABC y CHA 10. b = m 10. De 9. Propiedad de las proporiones a 11. De 8. CHA ABC CHB 11. n a 1. a = n 1. De 11. Propiedad de las proporiones 13. a + b = m + n 13. Adiión de 10 y a + b = (m + n) 14. De 13. Fator omún 15. a + b = 15. De 14. Adiión de segmentos. COROLARIOS: 1. En un triangulo retángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejantes al original.. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporional entre los segmentos que determina sobre ella. 3. Todo ateto es media proporional entre la hipotenusa y su proyeión sobre ella. 4. La razón de los uadrados de los atetos es igual a la razón de sus proyeiones sobre la hipotenusa 5. La altura sobre la hipotenusa es uarta proporional entre los lados del triangulo. AH AC CB AB 6. El uadrado de la longitud de un ateto es igual al uadrado de la hipotenusa menos el uadrado del otro ateto. TEOREMA En ualquier triangulo, el produto de un lado por su altura orrespondiente, es igual al produto de otro lado por su altura orrespondiente. HIPOTESIS: CE altura sobre AB, AD altura sobre CB, CE = h 1, AD = h, AB =, CB = a TESIS: h1 a h 1. ADB y CEB son retángulos. 1. De hipótesis. Definiión de altura. B B. Propiedad reflexiva 3. ADB CEB 3. De 1 y. Por ser triángulos retángulos on un ángulo agudo ongruente

18 Proporiones y Semejanza a h h 1 4. De 3. Lados orrespondientes en triángulos semejantes son proporionales 5. h1 a h 5. De 4. Propiedad de las proporiones TEOREMA En un triangulo autángulo el uadrado de un lado es igual a la suma de los uadrados de los otros dos lados menos dos vees uno de ellos por la proyeión del otro sobre el. HIPOTESIS: ABC es autángulo. AD = m, proyeión de AC sobre AB DB = n, proyeión de BC sobre AB TESIS: a b m 1. a = h + n 1. Pitágoras en CDB. a = h + ( m). De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos. 3. a = h + m + m 3. De. Algebra 4. b = h + m 4. Teorema de Pitágoras en CDA 5. a = b + m 5. Sustituión de 4 en 3. TEOREMA: En un triangulo obtusángulo, el uadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los uadrados de los otros dos lados mas dos vees uno de ellos por la proyeión del otro sobre el. TESIS: b a BD La demostraión se deja omo tarea. 1) EJERCICIOS TESIS: a b n m

19 Proporiones y Semejanza 19 DEMOSTRACION: 1. a = h + n 1. Teorema de Pitágoras en CDB. b = h + m. Teorema de Pitágoras en CDA 3. a - b = h + n (h + m ) 3. Igualdad 1 menos igualdad. 4. a - b = n m 4. De 3. Álgebra. ) HIPÓTESIS: ABC ualquiera CE h es altura CD d es mediana n es la proyeión de CD sobre AB CDA es obtuso A D - E B TESIS: b a n DEMOSTRACION: 1. AD = DB =. 1. De hipótesis D es punto medio por definiión de mediana. b = (AD) + d + (AD).n. Relaiones métrias en el triangulo obtusángulo ADC 3. b 3. Sustituión de 1 en. d n b d n 4 4. a = (DB) + d (DB).n 4. Relaiones métrias en el triangulo autángulo DCB 5. a 5. Sustituión de 1 en 4. d n a d n 4 6. b a n 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5. 3) HIPÓTESIS: CAB retángulo en A AD CB; DF AB; DE CA CE p; FB q; AC b; AB TESIS: b 3 3 p q 1. En CDA : DE p 1. En un triangulo retángulo la altura sobre DE p AE AE DE la hipotenusa es media proporional entre

20 Proporiones y Semejanza 0. En ADB : 3. los segmentos que determina sobre ella. DF q. En un triangulo retángulo la altura sobre DF Q AF AF DF la hipotenusa es media proporional entre los segmentos que determina sobre ella. DE p AE 3. División de 1 y. DF q AF 4. De hipótesis por ser perpendiulares a la misma reta AC. 5. De hipótesis por ser perpendiulares a la misma reta AB 4. DE FA 5. CA DF 6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definiión de paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados opuestos son ongruentes 3 3 DE p DF DE p DE p 8. Sustituión de 7 en 3 y álgebra DF q DE DF q DF q 9. El omplemento de 3 es 1 9. En un triangulo retángulo los ángulos agudos son omplementarios 10. El omplemento de es En un triangulo retángulo los ángulos agudos son omplementarios De 9 y 10. Por tener el mismo 1. ADB ADC ) DE DF b omplemento. 1. De 11. Triángulos retángulos on un ángulo agudo ongruente. b 13. En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas orrespondientes es igual a la razón de dos lados orrespondientes. 3 p 3 b p 14. Sustituión de 13 en 8. q 3 q HIPÓTESIS: BAC es retángulo en A FLDE es un uadrado de lado x, insrito en el triangulo. AH h; BC a; AB ; AC b AH es altura; B F H L C TESIS: a a h h x Nota: En la demostraión no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas orrespondientes es igual a la razón de dos lados orrespondientes. 5) Si en un triangulo retángulo, x y son las medidas de los atetos y z es la medida de la altura orrespondiente a la hipotenusa, demostrar que: x y z

21 Proporiones y Semejanza 1 EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO. 1.. ACB AP CD; BQ CD HIPOTESIS: CD es bisetriz de TESIS: AD AC C P D Q DB BC NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisetriz interior de un ángulo de un triangulo. DE AC a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = AD; CE = 14; Hallar CB. Si CB = 4; EB = AB; DB = 4; Hallar AB HIPOTESIS: ABCD es un trapeio on AB CD se ortan en O. TESIS: OC OD OA OB HIPÓTESIS: ABC es isóseles on CA CB EF CB; ED AC. Las diagonales TESIS: AD EF ED BF 5. HIPOTESIS: A D B; CD es bisetriz de ACB TESIS: m ACB m A AC b; AB ; BC a a ab

22 Proporiones y Semejanza 6. HIPÓTESIS: A CBD TESIS: AB CB AD DB 7. HIPÓTESIS: ABC HEF AD y HL son medianas TESIS: AD HL BC FE 8. Si QR MN ompletar: PM PQ QM a) b) ) PQ PM PM PR PQ PN d) e) f) RN PR PM 9. Demostrar que el triangulo uyos vérties son los puntos medios de los lados de un triángulo dado es semejante al triangulo dado. 10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 0, y 8. Cuáles son las longitudes de los segmentos en que la bisetriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el aso del ángulo menor. 11. Demostrar que las bisetries de dos ángulos orrespondientes ualesquiera de triángulos semejantes están en la misma razón que los lados orrespondientes. 1. Se da un paralelogramo ABCD. Una reta que pasa por B orta a AC en E, a DC en G y a la prolongaión de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB ) EB es media proporional entre EG y EF. 13. Se da un triangulo retángulo ABC on CD omo altura a la hipotenusa AB. Demostrar que: AC BC = AD BD

23 Proporiones y Semejanza Para uales onjuntos de longitudes será ED AC 15. HIPÓTESIS: ABC es retángulo en C EFHD es un uadrado TESIS: EDA CHD FBH 16. HIPÓTESIS: AE y BD son alturas TESIS: 1) AEC BDC ) ACB ECD 3) AC DC BC CE 17. HIPÓTESIS: DF AB; CB AB; CE DF; AC CD TESIS: 1) DEC ABC AB DC ) DE AC 18. HIPÓTESIS: AB es bisetriz de CAF DE CF ; C B F TESIS: CB AC DE AE

24 Proporiones y Semejanza HIPÓTESIS: ABC retangulo en A AD bisetriz de CAB EB AD AC b; AB TESIS: BE AD b b HIPÓTESIS: ABC retángulo en A AF es bisetriz TESIS: KB AF b AF b HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo MF AD; ME AB ; A M C. TESIS: ME AD MF AB AYUDA: Trazar ML AB y HM AD HIPOTESIS: ADEF es un uadrado TESIS: x a 9 CAB es retángulo AB 4 a; AC 3 a; CE x F es punto medio de AB 3. HIPOTESIS: ABCD es un trapeio on AD = DC = a; m( A) = 60 DN NC; AM MB; AB 3a NM y : CB x TESIS: x a 3; y a

25 Proporiones y Semejanza 5 4. HIPOTESIS: BC a; AC b; BA BE y AD son medianas perpendiulares. TESIS: a b a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b,, n b) Si b 4 3, m 4; hallar el valor de a,, h, n. ) Si 6, m 4 ; hallar el valor de a, b, h, n. d) Si b 3 10, n 13; hallar el valor de a,, h, m. e) Si b = n = 8; hallar el valor de a,, h, m. 7. DATO: CAD CBA HALLAR el valor de x. 8.

26 Proporiones y Semejanza 6 9. AC es bisetriz de DAB. AD 4; AB 5; AE 0; BE 16; DC x? 30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana CD. CDB es agudo. Si AC = 7, AB = 8, CD = 5.15, HALLAR el valor de BC En ada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes: CDB BDA AD es un diametro BA es tangente en A

27 Proporiones y Semejanza HIPÓTESIS: AB es un diámetro A O B D DE DA TESIS: ADE ACB Desde un punto P exterior a una irunferenia se trazan una tangente PT y una seante que orta a la irunferenia en los puntos R y S. Demostrar que PT PS PR 37. Sea ABC un triangulo isóseles on BA BC y D un punto de AC tal que AC 3 AD. Se traza por D la perpendiular a AC que orta a al lado AB en E y a la prolongaión de CB en F. Demostrar que DE EF 38. ABC es un triangulo insrito en una irunferenia, la bisetriz del ángulo C orta al lado AB en D y su prolongaión orta a la irunferenia en P. Demostrar que CA CB AD DB CD 39. ABCD es un retángulo. Se trazan las bisetries de los uatro ángulos del retángulo. 1) Demostrar que EFGH es un uadrado ) Si AB 7 m y BC 3 m. Hallar el perímetro del uadrado EFGH

28 Proporiones y Semejanza 8 SOLUCION DEL 38: Coloar las razones. 5. CD DP AD DB 6. CA CB CD AD DB 1. ACD PCB. A P 3. ADP PBC 4. CA CD CA CB CD CP CP CB CA CB CD CD DP CA CB CD CD DP 40. Las bases mayor y menor de un trapeio miden 0 y 1 m. respetivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide a los lados en la razón. Calular la longitud del segmento. 3 DE CF Se traza AC que orta a EF en R. de hipótesis EA FB 3 1 AD 1 ER AD EA 1 ER DE ER DC ADC AER ER EA ER EA ER EA 3 Resolviendo 1 ER 36, se tiene que ER ER BC 0 RF BC FB 0 RF CF RF AB ABC RFC RF FB RF FB RF FB 3 Resolviendo 0 RF, se tiene que RF 1 RF De donde se tiene que EF Sea ABCD un retángulo tal que AB = y BC = 5. Sea P un punto interior al retángulo de modo que CPD = 90 y CP = DP. Hallar la longitud de PA. 4. Sea ABCD un retángulo tal que AB = m y BC = 1 m. Sea M el punto medio de CD. Hallar la distania de M a la reta AC 43. Se da un triangulo ABC insrito en una irunferenia. Se traza la bisetriz CD que orta a AB en D y a la irunferenia en E. Demostrar que el produto de los lados que forman

29 Proporiones y Semejanza 9 el ángulo C es igual al uadrado de la bisetriz mas el produto de los segmentos determinados por ella sobre el lado AB. AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC y después que CDA BDE. Tener en uenta que CE = CD + DE. DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS 1. Toda Proporión tiene 4 términos diferentes. ( ). Si dos triángulos tienen dos lados orrespondientes ongruentes, entones sus ángulos orrespondientes opuestos son ongruentes. ( ) 3. Si dos triángulos tienen sus ángulos orrespondientes ongruentes, entones sus lados orrespondientes son ongruentes. ( ) 4. Si dos triángulos tienen sus lados orrespondientes ongruentes, entones sus ángulos orrespondientes son ongruentes. ( ) 5. Dos triángulos isóseles son semejantes si tienen un ángulo respetivamente ongruente. 6. La altura orrespondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( ) 7. Cada ateto es media proporional entre la hipotenusa y su proyeión sobre ella. ( ) 8. Si una reta divide proporionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al terer lado. ( ) 9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respetivamente ongruentes son semejantes. 10. Dos triángulos retángulos isóseles son semejantes. ( ) 11. Si una reta divide proporionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad del terer lado. ( ) 1. Las alturas orrespondientes en dos triángulos semejantes son proporionales a los lados orrespondientes. ( ) 13. Triángulos ongruentes son semejantes. ( ) 14. Dos triángulos retángulos on un ángulo agudo ongruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relaión de equivalenia. ( ) COMPLETAR: 1. Si a b a d, entones, d. La media proporional entre 9 y 16 es: 3. Una uarta proporionalidad entre 5, 3, es: 4. x 3 4, entoes, x 4 x x 8 3x 5, entones el valor de x es: x x 1 6. Dado el triangulo retángulo MNP on N reto y NT la altura sobre NP, entones NP es la media proporional entre y MP. 7. La igualdad de dos razones se llama 8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 m. y 0 m. es m. 9. El uadrado de uno de los atetos de un triangulo retángulo es igual al uadrado de la hipotenusa el uadrado del otro ateto. 10. Una reta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos 11. La razón de los uadrados de los atetos es igual a la razón de sus sobre la hipotenusa.

30 Proporiones y Semejanza En un triangulo retángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejante al 13. La altura trazada sobre la hipotenusa es proporional entre los que determina sobre ella. 14. Cada ateto es proporional entre la y su sobre ella. 15. En ualquier triangulo, el produto de un lado por su orrespondiente, es igual al produto de otro lado por orrespondiente. 16. Los triángulos que siempre son semejantes son los. Ejeriios tomados de los siguientes textos: Geometría Eulidiana de Nelson Londoño Geometría Eulidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise Reopilados por: José Manuel Montoya Misas.