ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

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1 ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo se posible, un punto P r tl que ÂP B se recto. 2. Si P y Q son dos puntos (del plno o del espcio), se denot d(p, Q) l distnci entre ellos. Si u y v son vectores, se denot u, v su producto esclr. Sen A y B puntos distintos del plno. Decide qué conjuntos son C = {X R 2 : AX, BX =0} y D = {X R 2 : d(x, A) =d(x, B)}. Represéntlos. 3. Se considern en el plno los puntos A =( 3, 2) y B =(5, 4). ) Dibuj l rect que ps por ellos, clcul d(a, B), el vector BA y ls coordends del punto medio de A y B. b) Encuentr el punto C del segmento AB que dist de A el triple que de B. Hy puntos en l rect que une A con B y fuer del segmento AB que cumpln est condición? En cso firmtivo, clcúllos. c) SenO = (0, 0) y C el punto del segmento AB que hs hlldo en b); encuentr, si existen, los puntos de l rect que une O con C que equidistn de A y B. d) Determin el conjunto M = {P R 2 : d(p, A) =2d(P, B)}. 4. Hll ls bisectrices de los ángulos determindos por ls rects 4x 3y +10=0 y 5x +12y 4=0. Comprueb que son dos rects perpendiculres. 5. Hll l ecución de l circunferenci que ps por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). 6. Hll los vlores de k pr que l ecución x 2 + y 2 4x +6y + k =0represente: ) un circunferenci, b) un punto, c) ningún punto. 7. Hll ls ecuciones de ls rects tngentes l circunferenci x 2 +y 2 +4x+6y 12 = 0 en los puntos de bscis Inscribe un rectángulo de ldos prlelos los ejes y perímetro 12 en l elipse x 2 +2y 2 =6. 9. Hll ls ecuciones de l rect tngente y de l rect norml l elipse x2 9 + y2 16 = 1, en el punto de bscis 1 situdo en el primer cudrnte. 10. Inscribe un triángulo equilátero en l hipérbol x 2 7y 2 =4, que teng un vértice en un vértice de l hipérbol. 1

2 11. Hll ls ecuciones de ls rects tngente y norml l prábol y 2 =8x en los puntos de bscis x = Observ l figur siguiente y encuentr el punto P de l rect r que hce mínim l sum d(p, A)+d(P, B). Pr este punto P, rzon que si d(p, A)+d(P, B) =2, l rect r es l tngente en P l elipse de los puntos X del plno tles que d(x, A)+d(X, B) =2. A B r 13. Consider los puntos del espcio A =(4, 8, 11), B =( 3, 1, 4) y C =(2, 3, 3). ) Cuánto miden los ldos del triángulo ABC? Comprueb que se trt de un triángulo rectángulo. Clcul los puntos medios de sus ldos. b) Comprueb que AB + BC + CA es el vector nulo. c) Clcul el áre del triángulo. Cuánto mide l ltur del triángulo ABC trzd desde B sobre el segmento AC? d) Locliz todos los puntos D que determinn junto con A, B y C un prlelogrmo. Existe D tl que el prlelogrmo se un rectángulo? 14. ) Consider un punto A =(, b) del plno, r>0yelconjuntoc definido por C = {(x, y) :d((x, y),a)=r}. Describe geométricmente C y encuentr su ecución implícit. Justific que C tmbién viene descrito por { x = + r cos t C : y = b + r sen t, t [0, 2π]. b) SiP =(, b, c) es un punto del espcio R 3, decide qué conjuntos son S = {(x, y, z) R 3 : d((x, y, z),p)=r}, E = {(x, y, z) R 3 :(x ) 2 +(y b) 2 = r 2 } y F = {(x, y, z) R 3 :(x ) 2 +(z c) 2 = r 2 }. [Resuélvelo primero pr P =(0, 0, 0)]. c) SiS, E y F son ls figurs descrits en (b) y Π={(x, y, z) :z =0}, estudi los conjuntos S Π, S E, E Π, S F y F Π. 15. Represent de form esquemátic los siguientes subconjuntos de R 3 : ) {(x, y, z) :z =1} b) {(x, y, z) :x = z; y =2z} c) {(x, y, z) :x = z =1} d) {(x, y, z) :x = y = z =1} e) {(λ, μ, 1) : λ, μ R} f) {(x, y, z) :y =2x} g) {(x, y, z) R 3 : x +2y +2z 12 = x 2 + y 2 + z 2 25 = 0}. 2

3 16. ) Es cierto que si l mtriz cudrd A noesnultmpocoloesa 2? b) Demuestr que si A es un mtriz cudrd de orden 3, entonces el producto A A t es un mtriz simétric. 17. Si P es un mtriz cudrd, notremos P el determinnte de P. ( ) ( ) Sen A = y B = ) Clcul, pr cd n N, lspotencisa n y B n. b) Existe lgun mtriz P de orden 2 con P no nulo tl que PA = BP? c) Encuentr tods ls mtrices Q de orden 2 tles que QA = BQ. 18. Es invertible l mtriz cudrd A =( ij ) de orden 4 tl que ij = i + j? 19. En l figur 1, los centros de los cutro semicírculos son los puntos medios de los ldos del cudrdo. Determin l rzón entre ls áres de l región sombred y el cudrdo. Figur 1: 20. Construye con regl y compás un cudrdo cuy áre se l sum (diferenci) de ls áres de dos cudrdos ddos. 21. Ddos dos círculos, construye otro con regl y compás cuy áre se l sum (diferenci) de ls de mbos. Es su perímetro l sum (diferenci) de los de los círculos ddos? 22. Ls circunferencis K y K son concéntrics. L cuerd AB de l exterior K, que mide 6 cm, es tngente l interior K. Hll el áre de l coron circulr determind por K y K. 23. El ldo de un cudrdo ABCD es 3 cm. El vértice P del cudrdo PQRS,de ldo 4 cm, es el centro de ABCD (ver figur 2). Determin el áre de l zon común mbos cudrdos. 3

4 Figur 2: 24. Sbiendo que ls áres de los triángulos ABC y ABD de l figur 3 son 5 y 4, determin CE ED. Figur 3: 25. Teorem de l ltur. El triángulo ABC es rectángulo en C y CH es l ltur sobre l hipotenus. Los triángulos rectángulos AHC y CHB son semejntes. Demuestr que CH 2 = AH HB. 26. Los triángulos ABC y A B C son semejntes. Si l rzón de semejnz es k, cuál es l rzón entre sus áres? 27. Desde el punto A, se trzn ls tngentes un circunferenci como se muestr en l figur 4. Si AX =10, P es un punto rbitrrio de l circunferenci y BC es tngente en P, determin el perímetro del triángulo ABC. 28. ) Prueb que en un triángulo culquier, ls tres lturs concurren. (Sugerenci: consider el triángulo que se obtiene l trzr por cd vértice un rect prlel l ldo opuesto). 4

5 Figur 4: b) Demuestr que ls tres medins de un triángulo concurren en un punto. Comprueb que ls medins dividen el triángulo en seis de igul áre. Sugerenci: Ls medins AM y BN se cortn en el punto G y por ello Áre(AMB) = Áre(ANB) = 1 Áre (ABC) y, por tnto, Áre(ANG) =Áre(BGM) =. 2 C C N G M N G M A B A h1 P h 2 B L rect que ps por C y G cort l ldo AB en el punto P. Justific que Áre(ANG) =Áre(GNC) = y, nálogmente, Áre(BGM) =Áre(MGC)=. Por lo tnto, los triángulos AGC y BGC tienen común el ldo GC ylmism áre, de lo que se deduce l iguldd de ls lturs h 1 y h 2. Como h 1 y h 2 son tmbién ls lturs, sobre el ldo común PG, de los triángulos AGP y GBP, concluimos que ls áres de estos triángulos son igules. Y los segmentos AP y PB tienen l mism longitud, lo que signific que P es el punto medio del segmento AB y se deduce que CP es l medin. 29. Se K un circunferenci y P un punto exterior ell. Ls rects r y r,mbs psn por el punto P y cortn K en los puntos A y B y A y B respectivmente. Demuestr que los triángulos PA B y PAB son semejntes. Comprueb que 5

6 PA PB = PA PB. 30. Se consider un circunferenci C de centro O yrdior. Ddo un punto P del plno, distinto de O, se llm inverso (o trnsformdo) de P respecto de dich circunferenci l punto T (P )=Q que está en l semirrect que tiene origen en O y ps por P ytlqueop OQ = R 2. ) Comprueb que T (Q) =P yquesip está en C entonces T (P )=P. b) Justific que si r es un rect que ps por O y P O está sobre r, entonces T (P ) r (y es distinto de O). c) Consider un circunferenci C que ps por O y cort C. Justific que existe un rect r que no ps por O tl que si P C, entonces T (P ) r. [Sugerenci: Se A C tl que AO es un diámetro de C y B su trnsformdo. Justific que pr todo P C distinto de O, siq es su trnsformdo, entonces los triángulos OAP y OBQ son semejntes]. d) Demuestr que si s es un rect que no ps por O, entonces su trnsformd es un circunferenci que ps por O. [Sugerenci: consider hor B el punto de intersección de s con l perpendiculr s trzd desde O. Su trnsformdo A es el extremo del diámetro OA de l circunferenci buscd]. Ejercicios de reserv 31. Sen A y B puntos del plno y k un número rel no negtivo. Se u un vector unitrio de R 2. Dibujr los siguientes conjuntos: ) {X R 2 : d(x, A) 2 d(x, B) 2 =2k} b) {X R 2 : AX, u = k} 32. Se P un punto de l región encerrd por el triángulo equilátero ABC. Prueb que l sum de ls distncis de P los ldos del triángulo es un cntidd que no depende de P. 33. Se P un punto del ldo desigul de un triángulo isósceles. Demuestr que l sum de distncis de P los otros dos ldos es un cntidd que no depende de P. 34. Pr cd punto P de l hipérbol xy = 2 se consider el triángulo que tiene por ldos los ejes de coordends y l tngente en P l hipérbol. Demuestr que el áre de dicho triángulo es independiente del punto P escogido. 35. ) Se(, b) un punto de l rect x + y =2.Pruebque 2 + b 2 2. b) Se(, b, c) un punto del plno x + y + z =3.Pruebque 2 + b 2 + c

7 36. ) SeA un mtriz con coeficientes reles con 2 fils y 2 columns. Cuánto vle (A A t )? b) Es posible que dos mtrices no cudrds A y B puedn ser multiplicds por los dos ldos AB y BA. Qué condición deben cumplir? 37. Un cudrdo mágico de tmño n es un mtriz de orden n n cuyos elementos son los enteros 1, 2,,n 2, de form que ls sums de los elementos de cd fil, column o digonl son igules. ) Prueb que no existen cudrdos mágicos de orden x b) Complet el siguiente cudrdo mágico: x x x x x x 38. Construye un cudrdo cuy áre se el doble (l mitd) del áre de otro cudrdo ddo. 39. Ddos vrios cudrdos, construye otro cuy áre se l sum de ls de todos ellos. 40. L rect r cort l pr de ldos opuestos AB y CD de un cudrdo ABCD en los puntos M y N. Otr rect s, perpendiculr l nterior, cort los ldos BC y DA en los puntos P y Q. Demuestr que los segmentos MN y PQ tienen igul longitud. 41. Ls rects r y r se cortn en el punto A. L rect s, perpendiculr r, cort r y r en los puntos B y C. Otr rect s, prlel s, cort r y r en los puntos B y C. Se formn sí dos triángulos rectángulos ABC y AB C. Utiliz este hecho pr demostrr que AB = AC = BC AB AC B C Demuestr el mismo resultdo pr un pr de rects prlels s y s no perpendiculres r. 42. En el triángulo ABC, rectángulo en C, l ltur CH sobre l hipotenus divide ést en dos segmentos de longitudes 9 y 16 cm.elpunton del ldo BC es tl que AN cort CH en su punto medio M. Determin AN. 7

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