m=0 La ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los que pase la recta: y y1 = m(x x1)

Transcripción

1 Recta Una propiedad importante de la recta es su pendiente. Para determinar este coeficiente m en una recta que no sea vertical, basta tener dos puntos (, y) & (, y) que estén sobre la recta, la pendiente es: PENDIENTE DE UNA RECTA: y y m No importa qué puntos utilicemos, la pendiente mide la proporción entre lo que se eleva y lo que se avanza horizontalmente: elevación m avance Qué sucede desde el punto de vista geométrico cuando la pendiente de una recta es cero? La respuesta es simple, se trata de una recta horizontal. m=0 La ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los que pase la recta: ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS: Si (, y) & (, y) son puntos de una recta que no es vertical, entonces su ecuación está determinada por: con m y. y y y = m( ) Por cierto, no importa el orden en que consideren los puntos, esto es, también una ecuación de la recta es y y = m( ). ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA: Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación de la forma: con A, B y C constantes y A y B no ambas cero. A + By = C, Si en la ecuación anterior despejamos a y, obtenemos: A C y. B B Esta última epresión se conoce como LA FORMA PUNTO PENDIENTE de la ecuación lineal, y es costumbre escribirla como y = m + b El coeficiente m se conoce como la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen.

2 La pendiente es una medida de la inclinación de la recta. Formalmente, la pendiente es la tangente del ángulo positivo que forma la recta con el eje. m = tan Ejemplos Ejemplo. Cuál es el significado geométrico de una pendiente m = /? Significa que por cada unidades de elevación vertical, se recorren unidades horizontalmente hacia la derecha, o lo que es equivalente, se recorren dos unidades a la derecha por cada hacia arriba. Ejemplo. Así como para determinar la pendiente de una línea recta bastan dos puntos, también para construir su gráfica es suficiente trazar dos puntos por los que pase la recta. Determina la forma punto pendiente y la forma general la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) & (, 8), y dibuja la gráfica de la misma. Comenzamos calculando la pendiente: 8 m. Entonces: y = ( ) y = Al despejar y obtenemos la forma punto pendiente, y = +. Si multiplicamos por cada lado de esta ecuación y pasamos los términos con variables juntos obtenemos la forma general: y =.

3 Finalmente, para la gráfica, como mencionamos bastan con dibujar dos puntos. Podemos utilizar los puntos dados originalmente, (, ) & (, 8). Otra forma consiste en trazar su gráfica a partir de las intersecciones con los ejes coordenados Ejemplo. Dada la ecuación lineal + y =, determina la forma punto pendiente, la pendiente, la intersecciones con los ejes coordenados y dibújala. La forma punto pendiente se obtiene despejando y: + y = y = y = Así la pendiente es m = /, y la intersección con el eje y es b =, ó el punto (0, ). La intersección con el eje la obtenemos al sustituir y=0 y despejar para : 0 = Por lo que obtenemos el punto (6, 0). Podemos utilizar estos puntos para obtener la gráfica: = = Ejemplo. Si la pendiente de una recta es m = / y la recta pasa por el punto (0, ), determina la ecuación general de la recta y su gráfica. Directamente utilizamos los datos dados:

4 y = ( 0) Como no nos piden la forma apunto pendiente, no despejamos y, sino que multiplicamos cada lado de la ecuación por : y = 0 Ahora escribimos las variables del lado derecho y las constantes del lado izquierdo: + y = 0 + Así, la ecuación general de la ecuación es + y =. Ahora, para trazar su gráfica, tabulamos dos puntos, por ejemplo, las intersecciones con los ejes coordenados: y 0 / Ejemplo. Determina la ecuación y dibuja la gráfica de la recta que pasa por los puntos (, ), (, ). Utilizamos la fórmula () para encontrar la pendiente: 0 m 0 ( ) 7 Puesto que la pendiente es cero, la recta es horizontal y su ecuación es y =. Para dibujar la gráfica, utilizamos los puntos dados Ejemplo 6. Encuentra la forma punto pendiente y la forma general de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) y (, ).

5 Primero que nada, nota que la fórmula para la pendiente no puede aplicarse porque se indetermina al dividir por cero: ( ) m 0 La razón de lo anterior, es que esta recta es vertical. La ecuación de una recta vertical es = k, en este caso = (la abscisa de cualquier punto). Esta es la única forma de la ecuación y no hay forma punto pendiente Dado que la pendiente de una línea recta es una medida de su inclinación, si dos rectas tienen la misma pendiente entonces su inclinación es la misma y por tanto son rectas paralelas. El recíproco también es cierto para rectas no verticales: si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales. Establecemos esto en el siguiente resultado. Teorema. Las rectas no verticales, y = m+b, y y =m+b son paralela, si y solo si m = m. Las rectas perpendiculares entre sí, posen también una relación entre sus pendientes, que establecemos a continuación sin demostración. Teorema. Las rectas y = m+b, y y =m+b, m 0 y m 0 son perpendiculares, si y solo si m = /m. Ejemplo 7. Determine si las rectas L: y = 8 y L: y = son paralelas, perpendiculares u oblicuas. Determinamos primero las pendientes. Para la recta L, directamente vemos que m=, mientras que para la pendiente de la recta L, debemos despejar y: y = y = y = Vemos de esta forma que m =. Así que las rectas son paralelas.

6 Ejemplo 8. Determine la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) y que es a) paralela a la recta y =. b) Perpendicular a la recta y =. Al despejar y de y =, encontramos que la recta dada tiene pendiente m =. a) Como nos piden la recta paralela, m = es también la pendiente de la recta que buscamos. y = (+) y = b) Buscamos ahora la recta perpendicular, entonces si m es la pendiente de esta recta, entonces m= / de acuerdo con el teorema anterior. Por lo tanto, la ecuación es: y = (+) y =