INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

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1 pág.1 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Llamamos inecuación de primer grado con dos incógnitas es una desigualdad algebraica que se puede transformar en otra equivalente a una de las siguientes formas: ax + by > c ax + by c ax + by < c ax + by c Los pasos a seguir para encontrar las soluciones son los siguientes: a c 1º.- Se considera la función: y x asociada a la inecuación y se dibuja su gráfica, que es una b b recta. 2º.- Las soluciones buscadas son los infinitos puntos de uno de los dos semiplanos que determina esa recta. Para decidir cuál de los dos semiplanos es la solución, se toma un punto P cualquiera que no pertenezca a la recta, y se sustituyen sus coordenadas en la inecuación; si la verifican, el semiplano al que pertenece P es la solución. En caso contrario la solución será el otro semiplano. 3º.- Estudiamos la inclusión o no de la recta o frontera en la solución (dependerá de si tenemos o no los signos y ). Ejemplo: Resolvamos la inecuación: x + y < 2 Representemos la ecuación asociada x + y = 2 y = 2 x. Todo punto de esta recta puede escribirse de la forma (x,2-x). Puntos de la recta son: (-2,4), (- 1,3) (0,2), (1,1) y (2,0). Si tomamos los puntos (-1,4), (0,3), (0,4), (1,2),, que están situados por encima de la recta, ninguno de ellos cumple la inecuación x + y < 2. Los puntos (-1,1), (0,0), (0,1), (1,0) (1,-1),, situados por debajo de la recta x + y = 2, cumplen todos ellos la inecuación x + y < 2. Por tanto, las soluciones de la inecuación x + y < 2 son todos los puntos del semiplano situado por debajo de la recta. Ejercicio: Encuentra el conjunto de soluciones de las inecuaciones siguientes: a) x y 7 0 b) 2 y 3 0 x c) y 3 d) x 5 SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto de dos o más inecuaciones de primer grado, que deben satisfacerse a la vez. Para su resolución, se procede de la manera siguiente: - Se resuelve cada inecuación por separado. - El conjunto solución del sistema, también llamado región factible, está formado por las soluciones comunes a todas las inecuaciones. Ejemplo: resolvamos el sistema lineal con dos incógnitas: 3x 4y 3x 0 y 4 5x y 10 y 5x 10 4y 3x 0 5x y 10. El semiplano solución es el marcado arriba y a la izquierda.. El semiplano solución es el marcado a la derecha.

2 pág.2 La intersección de ambos semiplanos es la solución del sistema. Ejercicio: Dibuja las regiones factibles de los siguientes sistemas: a) 0,3x 0,4y 0,9 0,2x 0,1 y 1,2 b) y 3x 7 0 y 6x 11 0 Ejercicio: Encuentra el conjunto de puntos del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: 6 y 30 5x 2y 100 6x y 30 x 2y 20 Ejercicio: Representa la región factible solución del sistema de inecuaciones: vértices de la misma. x 0 0 y 5 x 2y 10 x y 10. Encuentra los PROGRAMACIÓN LINEAL. DEFINICIONES A veces, un problema de producción, financiero, de estrategia militar, etc, puede tener distintas soluciones. En este caso, hemos de investigar la solución más conveniente. Este es un problema que se presenta con frecuencia en las empresas. Se puede planificar la producción de diversas formas, minimizando costes o maximizando beneficios. La programación lineal es un conjunto de técnicas que pretende optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal de varias variables llamada función objetivo sujeta a una serie de restricciones expresadas por medio de ecuaciones o inecuaciones lineales. En todo problema de programación lineal se trata de hallar los posibles valores óptimos de una función de la forma: z = z 1x 1 + z 2x z nx n condicionada a que se cumplan las ecuaciones o inecuaciones:

3 pág.3 a a a x x 1 x 1 a a a x x m2 x... a 1n... a 2n... a x mn n x n x b n b... m Con el signo se indica uno de éstos símbolos: =, <, >,,. Si el valor óptimo buscado es el máximo, se dice maximizar la función, si es el mínimo, minimizar la función. La función z se llama función objetivo. Las ecuaciones o inecuaciones condicionantes son las restricciones. El conjunto de puntos del recinto plano que delimitan las rectas representativas del sistema constituyen la llamada región factible. Ejemplo 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50, respectivamente. Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta? Primero simplificamos el problema construyendo una tabla: 1 2 b m A B TOTAL (kg) CHOCOLATE ALMENDRA 1 1,5 100 FRUTAS PRECIO 13 13,50 Expresamos con ecuaciones e inecuaciones la información descrita: Sea x = nº de cajas de tipo A Sea y = nº de cajas de tipo B Entonces, z=13x+13,50y, representa la cantidad de pesetas obtenida por la venta de cajas y, por lo tanto, es la que debemos maximizar (función objetivo). Las restricciones del problema vienen dadas por las siguientes inecuaciones: 3x + 2y 500 x + 1,5y 100 x + y 85 y, lógicamente, x 0 e x 0. La región factible del ejemplo anterior sería:

4 pág.4 PROGRAMACIÓN LINEAL PARA DOS VARIABLES. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. Método analítico: Teorema fundamental: Si existe una solución única que maximice o minimice una función lineal objetivo, esta debe hallarse en uno de los vértices de la región factible. Ejemplo 1: Evaluamos la función z=13x+13,50y en cada vértice, para ver en cuál de ellos se obtiene el valor máximo: z(p) = = 1105 z(q) = ,5 30 = = 1120 z( R) = ,5 100/1,5 = 900 z(o) = 0 Por tanto, la función z alcanza su valor máximo en el punto Q=(55,30). Consecuentemente, el fabricante deberá producir 55 cajas del tipo A y 30 del tipo B. Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones cuando dos vértices de la región factible son solución óptima. En este caso, todos los puntos que están situados sobre el segmento que une los dos vértices son también soluciones óptimas. Ejemplo 2: Calcula la solución que hace mínima la función z=x+y, sujeta a las restricciones siguientes. Cuántas soluciones hay? x 0 y 0 x + y 10 4x + 3y 60 Los vértices de la región factible son: A=(10,0); B=(15,0); C=(0,20); D=(0,10). Probamos en la función objetivo cada uno de los vértices: z(a) = =10 z(b) = =15 z( C) = =20 z(d)= = 10 El valor mínimo se obtiene en los vértices A y D. Por tanto, el problema tiene infinitas soluciones: los puntos A=(10,0), D=(0,10) y todos los que pertenecen al segmento AD. Un problema de programación lineal puede que no tenga solución debido a dos razones: - porque la región factible sea vacía. - porque la región factible no esté acotada y no se alcance nunca el valor óptimo.

5 pág.5 Método gráfico: Para hallar gráficamente la solución de un problema de programación lineal de dos variables es conveniente seguir los siguientes pasos: 1. Se representa la recta mx + ny = 0, obtenida de la función objetivo f(x,y) = mx + ny. 2. Se dibuja la región factible. 3. Se desplaza paralelamente la recta mx + ny = 0 hacia la derecha y/o izquierda, hasta que pase por los puntos más alejados de la región factible. El punto común con la región factible más alejado hacia la derecha es el óptimo máximo, el más alejado hacia la izquierda es el óptimo mínimo. Si en algún caso nos ocurriera que dos vértices alcanzasen el máximo valor de la función objetivo, entonces los alcanzarían también todos los puntos del segmento que los une. Por tanto, las soluciones se encuentran sobre vértices o lados de la región factible. Ejemplo 3: Una empresa dedicada a la reparación de componentes eléctricos recibe el encargo de reparar ordenadores y consolas de videojuegos. La empresa dispone de dos talleres de reparación. El primero puede emplear 300 horas de trabajo, y necesita emplear 6 horas para cada ordenador y 5 para cada consola. El segundo dispone de 200 horas y necesita 2 horas para reparar cada ordenador y 5 para cada consola. Las ganancias netas que obtiene la empresa son de 100 por ordenador y 100 por consola. La empresa desea una ganancia máxima. Responde a las cuestiones siguientes: A. Formula algebraicamente el programa lineal correspondiente. B. Encuentra, si existe, la región factible de soluciones. C. Obtén, utilizando el método gráfico, las cantidades idóneas que deben repararse de cada artículo para maximizar la ganancia de la empresa. D. Responde a la cuestión anterior, utilizando el método analítico. Simplificamos el problema construyendo una tabla: Ordenadores Consolas Recursos Taller 1 (h) Taller 2 (h) BENEFICIOS Llamamos x al número de ordenadores que puede reparar cada taller e y al número de consolas que puede reparar cada uno de los talleres. A. El programa lineal correspondiente al problema es: Maximizar: z = 100x + 100y Sujeto a las restricciones: 6x + 5y 300 2x + 5y 200 x 0 y 0

6 pág.6 B. La región factible de soluciones está limitada por los vértices: O=(0,0); P=(50,0); Q=(25,30); R=(0,40). C. Desplazando la recta 100x + 100y, se obtiene el beneficio máximo para el punto Q=(25,30) de la región factible. D. Obtenemos el mismo resultado si evaluamos la función objetivo en cada uno de los vértices de la región de soluciones. En estos puntos, la función objetivo toma los siguientes valores: z(o) = 0 z(p) = 5000 z(q) = 5500 z( r)= 4000 Luego el máximo beneficio obtenido por la empresa es de 5500, siempre que repare 25 ordenadores y 30 consolas. Ejercicio: Calcula el valor máximo y el mínimo de la función f x, y x 2y y 4 x 3 x y 3 x y 0, sometida a las restricciones: Ejercicio: Maximiza la función z 3x 2y y 2x 0 3y x 1 0 x 2, en el dominio definido por las inecuaciones siguientes: Ejercicio: Representa el conjunto definido por las siguientes inecuaciones y calcula sus vértices: x y 2 x y 4 x 2y 1 a) Calcula el valor máximo y mínimo que alcanza la función f x, y 4x 2y conjunto. b) Determina en qué puntos alcanza dichos valores. en este

7 pág.7 Ejercicio: Maximiza la función f x, y x y 1 0 y 0 x 10 y, sujeta a las restricciones: x 2x 6 y 3x 4y 24 Ejercicio: Encuentra el mínimo de la función z 3x 4y x 2y 8 2x 3y 12 x y 6 x 0 y 0, cuando se verifican las siguientes desigualdades: TRES PROBLEMAS CLÁSICOS. El problema de producción Una fábrica se dedica a producir distintos objetos, para los que utiliza distintos productos que posee en cuantía limitada. Deseamos averiguar, conociendo los precios de venta de cada uno de los objetos, qué cantidad ha de producir de cada uno de ellos para maximizar los ingresos por ventas. Ejemplo 4: En una bollería deseamos fabricar para el día de la fiesta local dos tipos de bollos A y B. El bollo de tipo A tiene 500 gramos de masa y 250 gramos de crema. El bollo de tipo B tiene 250 gramos de masa y 250 gramos de crema. Si disponemos de 20 kg de masa y 15 kg de crema y el precio de venta lo fijamos en 2 el bollo A y 1,50 el bollo B, cuántos bollos de cada tipo tenemos que fabricar para que el beneficio sea máximo? Bollo A Bollo B Disponible Variable x y gr de masa 500x 250y gr de crema 250x 250y Ingresos 2x 1,5y z=2x+1,5y Las restricciones son: x 0 y 0 500x + 250y x + 250y Los vértices de la región factible son: A=(0,0); B=(40,0); C=(0,60); D=(20,40). Resolución analítica: z(a) = 0 z(b) = 80 z( C) = 90 z(d)= 100 La producción óptima la obtenemos en el vértice D=(20,40), para 20 bollos del tipo A y 40 bollos del tipo B.

8 pág.8 El problema de la dieta Una granja se dedica a la cría de una determinada clase de animales que se alimentan de varias clases de piensos que contienen distintas clases de nutrientes (vitaminas, grasas, proteínas, ). El problema consiste en determinar la cantidad de cada uno de los alimentos que han de constituir la dieta diaria de los animales, teniendo en cuenta que, en la misma, debe haber unas cantidades mínimas de los citados nutrientes y de forma que el coste sea mínimo. Ejemplo 5: Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de tipo B por kg de pienso a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S cuyos contenidos en mg de las vitaminas A y B por kg de pienso vienen dados en la siguiente tabla: R S A 6 6 B 5 10 El pienso R vale 40 /kg y el S vale 60 /kg. Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar el pienso de coste mínimo? Pienso R Pienso S Disponible Variable (kg) x y Vitamina A 6x 6y 30 Vitamina B 5x 10y 35 Coste 40x 60y Z=40x+60y Minimizar Las restricciones son: x 0 y 0 6x + 6y 30 x + y 5 5x + 10y 35 x + 2y 7

9 pág.9 La región factible no está acotada superiormente, pero como tenemos que minimizar la función, si existe solución. Los vértices de la región factible son: A=(7,0); B=(0,5); C=(3,2). Resolución analítica: z(a) = 280 z(b) = 300 z( C) = 240 La producción óptima la obtenemos en el vértice C=(3,2), para 3 kg de pienso del tipo R y 2 kg de pienso del tipo S. El problema del transporte Una empresa posee fábricas en varias ciudades en las que produce un determinado producto. Este producto lo comercializa en distintos puntos de venta. Cada fábrica posee una capacidad de producción de un determinado número de unidades y cada uno de los puntos de venta ha de recibir un determinado número de unidades. Cuántas unidades de cada producto hay que producir en cada fábrica para que el coste del transporte sea mínimo? Ejemplo 6: Dos fábricas de coches A y B producen 4000 y 5000 coches de un determinado modelo que se distribuyen en tres ciudades R, S y T que admiten 2000, 3000 Y 4000 coches. El coste del transporte en euros viene dado en la siguiente tabla: R S T A B Cómo deben distribuirse los coches para que el coste del transporte sea mínimo? En euros, el planteamiento es el siguiente: R S T Disponible Reciben A x y 4000-x-y 4000 B 2000-x 3000-y x+y 5000 Coste x y x-20y z=-70x+10y Minimizar Las restricciones son: x 0 y x - y 0 x + y x 0 x y 0 y 3000 x + y 0 Los vértices de la región factible son: A=(0,0); B=(2000,0); C=(0,3000); D=(2000,2000); E=(1000,3000).

10 pág.10 Resolución analítica: z(a) = z(b) = z(c) = z(d) = z(e) = La producción óptima la obtenemos en el vértice B=(2000,0), es decir, para la siguiente distribución: R S T A B EJERCICIOS 1.- Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 30 céntimos de /kg y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo. Existe en el mercado otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 40 céntimos de /kg. Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? 2.- Dos yacimientos de oro, A y B, producen al año 2000 y 3000 kg de mineral de oro, respectivamente, que deben distribuirse a tres puntos de elaboración: C, D y E, que admiten 500, 3500 y 1000 kg de mineral, respectivamente, al año. El coste del transporte, en euros por kg, es el que vemos en la tabla: COSTE C D E A B 15 17,50 20 Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea lo más económico posible? 3.- Halla los valores de x e y que hacen máxima la función z = 8x +5y, sujeta a las siguientes restricciones: x e y deben ser números naturales x + y 7 3x + y 12 x Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de paseo y de montaña que se venderán a 200 y 150 respectivamente. Para la de paseo son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de montaña 2 kg de cada uno de los metales. Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el beneficio máximo? 5º.- Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de barriles de G, barriles de C y barriles de T. Halla las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

11 pág Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F 1 y F 2. Los de tipo F 1 cuestan 300 y los de tipo F 2, 500. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 para hacer las compras. Cuántos frigoríficos debe comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30 % del precio de compra? 7.- En una fábrica de piensos se utilizan tres ingredientes, A, B y C, para la elaboración de alimento para el ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de pienso M 1 y M 2. Una tonelada de pienso M 1 requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, y una tonelada de M 2 requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M 1 se vende a 120 y cada una de M 2 a 100, cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener un beneficio máximo? 8.- Una casa empacadora de alimentos recibe diariamente 700 kg de café de tipo C y 800 kg de café de tipo K. Hace de ellos dos mezclas: la de tipo A, que consta de dos partes de café de tipo C y 1 de tipo K, en la que gana 22 céntimos de /kg, y la de tipo B, que consta de una parte de tipo C y dos del tipo K, en la que gana 26 céntimos de /kg. Halla la cantidad de mezcla que la casa debe preparar de cada clase para que la ganancia sea máxima. 9.- Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades del pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de compuestos, C 1 y C 2, elaborados con ambos piensos. El paquete de C 1 contiene 1 unidad de A y 5 de B, siendo su precio de 1, y el de C 2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3. Qué cantidades de C 1 y C 2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste? 10.- Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kg es para ambos de 30 céntimos de, y cuyo contenido vitamínico por kg se recoge en la tabla adjunta. Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? Cuál es este gasto mínimo? A B C D P 1 mg 1 mg 20 mg 2 mg Q 1 mg 3 mg 7,5 mg 0 mg 11.- Para abastecer de madera a tres aserraderos A 1, A 2, y A 3 hay dos bosques B 1 y B 2 que producen 26 toneladas y 30 toneladas, respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes de transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos son, en euros, los que se indican en la siguiente tabla, propón el transporte con el coste mínimo. A 1 A 2 A 3 B B Desde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.

12 pág.12 Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 A B Halla los vértices del recinto plano formado por las soluciones del sistema de inecuaciones: x 0 y 0 x 4 x + 2y 2 2y x Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x 8y sometida a las restricciones: 3x 2y 12 x 4y -20 3x + 2y 24 x + 2y 4 x 0 y Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 5x 3y sujeta a las restricciones: x + y 3 2x + y 8 x 0 y Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x + y sometida a las restricciones: 0 x 6 0 y x + y Una empresa construye en dos factorías (F 1 y F 2) tres tipos de barcos deportivos (A, B, C). La factoría F 1 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 5 de tipo B y 1 de tipo C, siendo su coste de mantenimiento mensual de , y F 2 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 1 de tipo B y 2 de tipo C, siendo su coste mensual de La empresa se ha comprometido a entregar anualmente, a cierto club náutico, 3 barcos de tipo A, 15 de tipo B y 12 de tipo C. Cuántos meses al año deberá trabajar cada factoría con objeto de que la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste? 18.- En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un bidón de aceite de oliva es de 1 y de uno de girasol de 0,50, cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? Y para que el gasto sea máximo? 19.- Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de Conoce que la demanda, de ambos productos conjuntamente, es mayor que 3000 unidades y menor que 6000 unidades. Asimismo, sabe que la cantidad que se demanda de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble que la del otro. Si la empresa desea vender toda la producción: a) De cuántos modos puede organizar la producción? b) Para obtener los máximos beneficios, cuánto ha de ser la producción de cada uno de ellos si uno se vende a un precio que es el triple que el del otro?

13 pág Una conservera dispone diariamente de 350 kg de almejas que debe envasar en latas de dos tamaños: normal y familiar. Las latas de tamaño normal llevan 140 gr de almejas y suponen un beneficio de 30 céntimos de por lata. Las latas de tamaño familiar llevan 440 gr de almejas y su beneficio es de 100 céntimos de por lata. Por razones de producción, al menos el 70 % de las latas debe ser de tamaño familiar. Cuál debe ser la producción diaria para que el beneficio sea máximo? 21.- Un sastre tiene 80 m 2 de tela de algodón y 120 m 2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m 2 de algodón y 3 m 2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m 2 de cada una de las telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de y el coste de una casa de tipo A es de , y el de una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser al menos el 40 % del total y el de B, el 20 %, por lo menos. Si cada casa del tipo A se vende en y cada una del tipo B en , cuántas casas de cada tipo ha de construir para obtener un beneficio máximo? 23.- Una persona tiene para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene bastante riesgo, con un interés anual del 10 %, y el tipo B es bastante seguro, con un interés anual del 7 %. Decide invertir como máximo en A y, como mínimo, en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. Cómo deberá invertir sus para maximizar sus intereses anuales? 24.- Un taller artesano produce sillas y butacas. Para su construcción tiene que pasar por las secciones de carpintería y tapicería, que funcionan durante un máximo de 9 y 8 horas diarias respectivamente. Las butacas necesitan una hora de trabajo en carpintería y dos en tapicería. En cambio, las sillas requieren 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. Sabiendo que el beneficio que se obtiene de las sillas es el doble de lo obtenido con las butacas, calcula la producción diaria de cada tipo para maximizar el beneficio Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos variedades de tabacos, VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendimiento de 9600 /ha, pero necesita 3 horas/ha de uso de maquinaria y 80 horas/ha de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación a 30 ha por plantación. La variedad PROCESADO produce un rendimiento de 7500 /ha, y utiliza 2 horas/ha de uso de maquinaria y 60 horas/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado 190 horas de uso de maquinaria, pero sólo se dispone de 5420 horas de mano de obra a 12 /hora. Cuántas hectáreas debe dedicar a cada variedad de tabaco? 26.- Don Elpidio decide emplear como máximo de su patrimonio en la adquisición de acciones de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de 100 en ambos casos. BLL dedica el 35 % de su actividad al sector seguros, el 45 % al sector inmobiliario y el 20 % al industrial. ISSA dedica el 30 % de sus recursos al sector seguros, el 25 % al inmobiliario y el 45 % al industrial. Don Elpidio no quiere invertir más del 40 % de su capital en el sector industrial ni más del 35 % en el inmobiliario. Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar un dividendo de 12 /acción e ISSA de 10 /acción?

14 pág En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un televisor, mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 minutos a un televisor. Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores, cada uno de los cuáles dedica 5 horas diarias a la venta o a la instalación de los electrodomésticos durante los 16 días que dura la campaña. Si se sabe que se obtiene un beneficio de 450 por televisor y de 500 por lavadora vendidos, cuántas lavadoras y cuántos televisores conviene poner a la venta para obtener máximo beneficio? 28.- Las autoridades sanitarias de una determinada región planifican la puesta en marcha de centros de asistencia médica primaria. En la región hay dos zonas claramente diferentes: El Valle y La Montaña, que, debido a sus peculiaridades, necesitan una dotación específica distinta. Cada centro asistencial de El Valle requiere 3 médicos, 3 asistentes técnicos sanitarios (ATS) y una inversión de euros. En La Montaña, cada centro necesita 2 médicos y 4 ATS, más una inversión de euros. Para llevar a cabo tal proyecto se cuenta con un total de 30 médicos, 48 ATS y euros. 1) Cuál es el número máximo de centros asistenciales que pueden ponerse en funcionamiento? Cuántos en cada zona? 2) Ahora cambiamos los recursos: disponemos de 37 médicos, 58 ATS y euros. Las restricciones siguen siendo las mismas. Cuál es la solución que maximiza el número de centros? 3) Cuál es la solución que maximiza el número de personas atendidas? 29.- Para dotar de mobiliario urbano a cierta zona de la ciudad, se quieren colocar al menos 20 piezas entre farolas y jardineras. Hay 40 farolas y 12 jardineras disponibles. Se pretende que el número de jardineras colocadas no sea superior a una tercera parte del de farolas colocadas, pero de forma que por lo menos un 20 % de las piezas que se coloquen sean jardineras. 1) Qué combinaciones de piezas de cada tipo se pueden colocar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. 2) Qué combinación hace que la diferencia entre el número de farolas y de jardineras colocadas sea mayor? Es la combinación donde más piezas de mobiliario se colocan? Comienza construyendo una tabla con los datos, para simplificar el problema. Escribe la función objetivo y las restricciones. Encuentra la región factible y halla la posición de los vértices. Evalúa el valor de la función objetivo en los vértices. Compara tus resultados siguiendo el protocolo de la construcción. Utiliza el deslizador para valorar lo que sucede.

15 pág.15 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una empresa se dedica a la fabricación de piensos para perros. Durante el año 2001 pretende elaborar un pienso que contenga como mínimo: 2 gramos de proteínas de tipo A, 3 del tipo B, 30 del tipo C y 2 del tipo D. Para conseguir este contenido en proteínas deciden mezclar dos preparados, P1 y P2, cuyo precio por kg es de 30 euros en ambos casos. El contenido en proteínas de estos dos preparados es el que refleja la siguiente tabla: A B C D P1 1 gr 1 gr 20 gr 2 gr P2 1 gr 3 gr 7,5 gr 0 gr A la vista de estos datos, indica la forma en que se debe mezclar ambos preparados para que el coste del pienso resultante sea mínimo. 2.- Un fabricante de coches lanza una oferta especial de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 15 miles de euros y el modelo B en 20 miles de euros. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta compañía, los ingresos obtenidos con ella deben ser, al menos, de euros. a) Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones. b) Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? Cuál es su importe? 3.- En una región se dispone de un área máxima de 600 Ha para cultivo de trigo y algodón. Las disponibilidades de agua en la zona son, sin embargo, limitadas, calculándose que el consumo global dedicado a estos cultivos no puede exceder en el presente año los de m 3. Razones de regulación de los precios obligan a una asignación mínima de 200 Ha de trigo y 100 de algodón y se estima que cada Ha cultivada de trigo precisa de m 3 por año, siendo m 3 los precisados por la de algodón. Las ganancias que se espera obtener por hectárea cultivada de trigo son de euros, mientras que la de algodón producirá euros. Cuántas hectáreas deberán dedicarse a cada cultivo para obtener la máxima ganancia? 4.- La capacidad de producción de una factoría permite elaborar diariamente 120 artículos del tipo A y 360 del tipo B. Las reglamentaciones existentes obligan a que, al menos, el 80% de la producción total se destine a exportación, pero la capacidad de inspección aduanera es de sólo 200 artículos diarios. El precio de los artículos del tipo A es cuatro veces el de los de tipo B. Planifica la producción diaria para maximizar los beneficios.

16 pág.16 EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1º.- Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50, respectivamente. Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta? 2º.- Calcula la solución que hace mínima la función z=x+y, sujeta a las restricciones siguientes. Cuántas soluciones hay? x 0 y 0 x + y 10 4x + 3y 60 3º.- Una empresa dedicada a la reparación de componentes eléctricos recibe el encargo de reparar ordenadores y consolas de videojuegos. La empresa dispone de dos talleres de reparación. El primero puede emplear 300 horas de trabajo, y necesita emplear 6 horas para cada ordenador y 5 para cada consola. El segundo dispone de 200 horas y necesita 2 horas para reparar cada ordenador y 5 para cada consola. Las ganancias netas que obtiene la empresa son de 100 por ordenador y 100 por consola. La empresa desea una ganancia máxima. Responde a las cuestiones siguientes: E. Formula algebraicamente el programa lineal correspondiente. F. Encuentra, si existe, la región factible de soluciones. G. Obtén, utilizando el método gráfico, las cantidades idóneas que deben repararse de cada artículo para maximizar la ganancia de la empresa. H. Responde a la cuestión anterior, utilizando el método analítico. El problema de producción Una fábrica se dedica a producir distintos objetos, para los que utiliza distintos productos que posee en cuantía limitada. Deseamos averiguar, conociendo los precios de venta de cada uno de los objetos, qué cantidad ha de producir de cada uno de ellos para maximizar los ingresos por ventas. 4º.- En una bollería deseamos fabricar para el día de la fiesta local dos tipos de bollos A y B. El bollo de tipo A tiene 500 gramos de masa y 250 gramos de crema. El bollo de tipo B tiene 250 gramos de masa y 250 gramos de crema. Si disponemos de 20 kg de masa y 15 kg de crema y el precio de venta lo fijamos en 2 el bollo A y 1,50 el bollo B, cuántos bollos de cada tipo tenemos que fabricar para que el beneficio sea máximo? El problema de la dieta Una granja se dedica a la cría de una determinada clase de animales que se alimentan de varias clases de piensos que contienen distintas clases de nutrientes (vitaminas, grasas, proteínas, ). El problema consiste en determinar la cantidad de cada uno de los alimentos que han de constituir la dieta diaria de los animales, teniendo en cuenta que, en la misma, debe haber unas cantidades mínimas de los citados nutrientes y de forma que el coste sea mínimo.

17 pág.17 5º.- Un ganadero debe suministrar un mínimo de 30 mg de vitamina A y de 35 mg de tipo B por kg de pienso a sus animales. Dispone de dos clases de pienso R y S cuyos contenidos en mg de las vitaminas A y B por kg de pienso vienen dados en la siguiente tabla: R S A 6 6 B 5 10 El pienso R vale 40 /kg y el S vale 60 /kg. Cuántos kg de cada clase debe mezclar para suministrar el pienso de coste mínimo? El problema del transporte Una empresa posee fábricas en varias ciudades en las que produce un determinado producto. Este producto lo comercializa en distintos puntos de venta. Cada fábrica posee una capacidad de producción de un determinado número de unidades y cada uno de los puntos de venta ha de recibir un determinado número de unidades. Cuántas unidades de cada producto hay que producir en cada fábrica para que el coste del transporte sea mínimo? 6º.- Dos fábricas de coches A y B producen 4000 y 5000 coches de un determinado modelo que se distribuyen en tres ciudades R, S y T que admiten 2000, 3000 Y 4000 coches. El coste del transporte en euros viene dado en la siguiente tabla: R S T A B Cómo deben distribuirse los coches para que el coste del transporte sea mínimo?

18 pág.18 EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.HOJA Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 30 céntimos de /kg y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo. Existe en el mercado otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 40 céntimos de /kg. Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? 3.- Halla los valores de x e y que hacen máxima la función z = 8x +5y, sujeta a las siguientes restricciones: x e y deben ser números naturales x + y 7 3x + y 12 x Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de paseo y de montaña que se venderán a 200 y 150 respectivamente. Para la de paseo son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de montaña 2 kg de cada uno de los metales. Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el beneficio máximo? 5.- Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: ligero y pesado. Cada barril de crudo ligero cuesta 35 dólares y con él la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible de calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T). Cada barril de crudo pesado cuesta 30 dólares y produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de barriles de G, barriles de C y de T. Halla las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades con un coste mínimo. 6.- Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F 1 y F 2. Los de tipo F 1 cuestan 300 y los de tipo F 2, 500. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 para hacer las compras. Cuántos frigoríficos debe comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30 % del precio de compra? 7.- En una fábrica de piensos se utilizan tres ingredientes, A, B y C, para la elaboración de alimento para el ganado. Se dispone de 90 toneladas de A, 90 de B y 70 de C, y se desea fabricar dos tipos de pienso M 1 y M 2. Una tonelada de pienso M 1 requiere 2 toneladas de A, 1 de B y 1 de C, y una tonelada de M 2 requiere 1 tonelada de A, 2 de B y 1 de C. Sabiendo que cada tonelada de M 1 se vende a 120 y cada una de M 2 a 100, cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener un beneficio máximo? 8.- Una casa empacadora de alimentos recibe diariamente 700 kg de café de tipo C y 800 kg de café de tipo K. Hace de ellos dos mezclas: la de tipo A, que consta de dos partes de café de tipo C y 1 de tipo K, en la que gana 22 céntimos de /kg, y la de tipo B, que consta de una parte de tipo C y dos del tipo K, en la que gana 26 céntimos de /kg. Halla la cantidad de mezcla que la casa debe preparar de cada clase para que la ganancia sea máxima. 9.- Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que contenga un mínimo de 24 unidades del pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de compuestos, C 1 y C 2, elaborados con ambos piensos. El paquete de C 1 contiene 1 unidad de A y 5 de B, siendo su precio de 1, y el de C 2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3. Qué cantidades de C 1 y C 2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste?

19 pág Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kg es para ambos de 30 céntimos de, y cuyo contenido vitamínico por kg se recoge en la tabla adjunta. Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? Cuál es este gasto mínimo? A B C D P 1 mg 1 mg 20 mg 2 mg Q 1 mg 3 mg 7,5 mg 0 mg 13.- Halla los vértices del recinto plano formado por las soluciones del sistema de inecuaciones: x 0 y 0 x 4 x + 2y 2 2y x Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x 8y sometida a las restricciones: 3x 2y 12 x 4y -20 3x + 2y 24 x + 2y 4 x 0 y Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 5x 3y sujeta a las restricciones: x + y 3 2x + y 8 x 0 y Determina los valores máximo y mínimo de la función z = 2x + y sometida a las restricciones: 0 x 6 0 y x + y Una empresa construye en dos factorías (F 1 y F 2) tres tipos de barcos deportivos (A, B, C). La factoría F 1 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 5 de tipo B y 1 de tipo C, siendo su coste de mantenimiento mensual de , y F 2 construye en un mes: 1 barco de tipo A, 1 de tipo B y 2 de tipo C, siendo su coste mensual de La empresa se ha comprometido a entregar anualmente, a cierto club náutico, 3 barcos de tipo A, 15 de tipo B y 12 de tipo C. Cuántos meses al año deberá trabajar cada factoría con objeto de que la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste? 18.- En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se ha de tener almacenado un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje de un bidón de aceite de oliva es de 1 y de uno de girasol de 0,50, cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? Y para que el gasto sea máximo? 19.- Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de Conoce que la demanda, de ambos productos conjuntamente, es mayor que 3000 unidades y menor que 6000 unidades. Asimismo, sabe que la cantidad que se demanda de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble que la del otro. Si la empresa desea vender toda la producción: a) De cuántos modos puede organizar la producción? b) Para obtener los máximos beneficios, cuánto ha de ser la producción de cada uno de ellos si uno se vende a un precio que es el triple que el del otro?

20 pág Una conservera dispone diariamente de 350 kg de almejas que debe envasar en latas de dos tamaños: normal y familiar. Las latas de tamaño normal llevan 140 gr de almejas y suponen un beneficio de 30 céntimos de por lata. Las latas de tamaño familiar llevan 440 gr de almejas y su beneficio es de 100 céntimos de por lata. Por razones de producción, al menos el 70 % de las latas debe ser de tamaño familiar. Cuál debe ser la producción diaria para que el beneficio sea máximo? 22.- Un sastre tiene 80 m 2 de tela de algodón y 120 m 2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m 2 de algodón y 3 m 2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m 2 de cada una de las telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de y el coste de una casa de tipo A es de , y el de una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser al menos el 40 % del total y el de B, el 20 %, por lo menos. Si cada casa del tipo A se vende en y cada una del tipo B en , cuántas casas de cada tipo ha de construir para obtener un beneficio máximo? 24.- Una persona tiene para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene bastante riesgo, con un interés anual del 10 %, y el tipo B es bastante seguro, con un interés anual del 7 %. Decide invertir como máximo en A y, como mínimo, en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. Cómo deberá invertir sus para maximizar sus intereses anuales? 25.- Un taller artesano produce sillas y butacas. Para su construcción tiene que pasar por las secciones de carpintería y tapicería, que funcionan durante un máximo de 9 y 8 horas diarias respectivamente. Las butacas necesitan una hora de trabajo en carpintería y dos en tapicería. En cambio, las sillas requieren 3 horas de carpintería y 1 de tapicería. Sabiendo que el beneficio que se obtiene de las sillas es el doble de lo obtenido con las butacas, calcula la producción diaria de cada tipo para maximizar el beneficio Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para plantar dos variedades de tabacos, VIRGINIA y PROCESADO. La variedad VIRGINIA tiene un rendimiento de 9600 /ha, pero necesita 3 horas/ha de uso de maquinaria y 80 horas/ha de mano de obra. Además, el Estado limita su explotación a 30 ha por plantación. La variedad PROCESADO produce un rendimiento de 7500 /ha, y utiliza 2 horas/ha de uso de maquinaria y 60 horas/ha de mano de obra. La cooperativa local le ha asignado 190 horas de uso de maquinaria, pero sólo se dispone de 5420 horas de mano de obra a 12 /hora. Cuántas hectáreas debe dedicar a cada variedad de tabaco? 27.- Don Elpidio decide emplear como máximo de su patrimonio en la adquisición de acciones de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de 100 en ambos casos. BLL dedica el 35 % de su actividad al sector seguros, el 45 % al sector inmobiliario y el 20 % al industrial. ISSA dedica el 30 % de sus recursos al sector seguros, el 25 % al inmobiliario y el 45 % al industrial. Don Elpidio no quiere invertir más del 40 % de su capital en el sector industrial ni más del 35 % en el inmobiliario. Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar un dividendo de 12 /acción e ISSA de 10 /acción? 28.- En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un televisor, mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 minutos a un televisor. Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores, cada uno de los cuáles dedica 5 horas diarias a la venta o a la instalación de los electrodomésticos durante los 16 días que dura la campaña. Si se sabe que se obtiene un beneficio de 450 por televisor y de 500 por lavadora vendidos, cuántas lavadoras y cuántos televisores conviene poner a la venta para obtener máximo beneficio?

21 pág.21 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una empresa se dedica a la fabricación de piensos para perros. Durante el año 2001 pretende elaborar un pienso que contenga como mínimo: 2 gramos de proteínas de tipo A, 3 del tipo B, 30 del tipo C y 2 del tipo D. Para conseguir este contenido en proteínas deciden mezclar dos preparados, P1 y P2, cuyo precio por kg es de 30 euros en ambos casos. El contenido en proteínas de estos dos preparados es el que refleja la siguiente tabla: A B C D P1 1 gr 1 gr 20 gr 2 gr P2 1 gr 3 gr 7,5 gr 0 gr A la vista de estos datos, indica la forma en que se debe mezclar ambos preparados para que el coste del pienso resultante sea mínimo. 2.- Un fabricante de coches lanza una oferta especial de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 15 miles de euros y el modelo B en 20 miles de euros. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta compañía, los ingresos obtenidos con ella deben ser, al menos, de euros. c) Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones. b) Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? Cuál es su importe? 3.- En una región se dispone de un área máxima de 600 Ha para cultivo de trigo y algodón. Las disponibilidades de agua en la zona son, sin embargo, limitadas, calculándose que el consumo global dedicado a estos cultivos no puede exceder en el presente año los de m 3. Razones de regulación de los precios obligan a una asignación mínima de 200 Ha de trigo y 100 de algodón y se estima que cada Ha cultivada de trigo precisa de m 3 por año, siendo m 3 los precisados por la de algodón. Las ganancias que se espera obtener por hectárea cultivada de trigo son de euros, mientras que la de algodón producirá euros. Cuántas hectáreas deberán dedicarse a cada cultivo para obtener la máxima ganancia? 4.- La capacidad de producción de una factoría permite elaborar diariamente 120 artículos del tipo A y 360 del tipo B. Las reglamentaciones existentes obligan a que, al menos, el 80% de la producción total se destine a exportación, pero la capacidad de inspección aduanera es de sólo 200 artículos diarios. El precio de los artículos del tipo A es cuatro veces el de los de tipo B. Planifica la producción diaria para maximizar los beneficios.

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