6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales (directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables)

Transcripción

1 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales (directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) Teniendo una ecuación diferencial parcial de segundo orden [13] A + B + C + D + E + Fu = G (1) No es tan fácil obtener una solución general en este tipo de ecuaciones, por lo que nos avocaremos a obtener una solución particular. Una solución de una ecuación en derivadas parciales con dos variables independientes x es una función u( x, ) que posee todas las derivadas parciales que indica la ecuación (1) que la satisface en alguna región en el plano x. El método de separación de variables, es un método clásico eficiente en la solución de ecuaciones diferenciales parciales. se emplea en las ecuaciones que son lineales homogéneas. Este método supone que la solución al problema consiste en la multiplicación de funciones de una sola variable Se piensa en una solución ux (, ) de una ecuación diferencial parcial como una combinación lineal infinita de funciones componentes, un( x, ) para n = 0,1,,... que satisface la ecuación. (esta es una hipótesis basada en una ecuación lineal homogénea). De tal manera que la solución u ( n x, ), se puede escribir con sus variables separadas, es decir un producto de una función de x otra de, como u ( x, ) = X ( x) n n n Es posible, en ocasiones, convertir una ecuación en derivadas parciales, lineal con dos variables en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. = X ( x ) = X ( x ), donde por comodidad podremos escribir como

2 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 440 = X = X (3) que = X ( x ) = X ( x ) Por simplicidad escribimos como = X = X Donde el símbolo de apóstrofe en X indica derivación ordinaria., con respecto al mismo argumento que se indica.[4] Las soluciones productos, son análogas a las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Para una ecuación diferencial homogénea de orden n existen n soluciones linealmente independientes, la solución general es una combinación lineal de esas n soluciones. Para una ecuación diferencial parcial homogénea existen un número infinito de soluciones, dado que n = 1,,3..., la combinación de todas esas soluciones también sería una solución. En una ecuación diferencial ordinaria, las n constantes, se determinan basándose en las n condiciones iniciales, mientras que en las ecuaciones parciales las constantes arbitrarias, se determinan por la condición inicial la dependencia de las condiciones del problema. [] Ejemplo Determinar las soluciones producto de = 4 Siendo ux (, ) = Xx entonces tenemos X = 4 X o bien X = (4) 4X Podemos observar que cada lado del igual es independiente del otro, por lo tanto el resultado de ellas es una constante. Es decir, la única manera de que una función sea

3 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 441 exclusiva de x que otra sea exclusiva de, es que cada función sea constante. La cual se escribirá como λ ó λ, se le conoce como constante de separación real. Se tienen tres casos Caso I si λ > 0, entonces X 4X = = λ (5) De lo cual X 4λ X 0 = λ =0 (6) Por consecuencia las soluciones son ( ) X = ccosh λx + c senh λx (7) 1 3 = c e λ (8) respectivamente, obteniéndose como una ecuación particular u ( λ ) ( λ ) u = c cosh x + c senh x c e λ 1 3 = X, donde (9) Haciendo a = cc b = c c 1, de (9) obtenemos ( ) λ λ u = ae cosh λx + be senh λx (10) 1 1 Caso II si λ <0 Entonces hacemos X 4X = = λ de lo cual X 4λ X 0 + = + λ = 0 Por consecuencia las soluciones son X = ccos( λx) + csen( λx) = c e λ (11) 4 5 6

4 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 44 respectivamente, obteniéndose por consiguiente una ecuación particular 4 ( λ ) 5 ( λ ) ( 6 ) u = c cos x + c sen x c e λ u = X, donde (1) Haciendo a b, sustituendo en (1), obtenemos = c4c6 = c5c6 λ ( λ ) ( λ u = a e cos x + b e sen λx ) Caso III si λ = 0 Entonces X = = 0 de lo cual X = 0 = 0 4X Por consecuencia las soluciones son X = cx 7 + c8 = c 9, obteniéndose por lo tanto una ecuación particular u = X = ( + ) u c x c c (13) Haciendo a b obtenemos 3 = c7c9 3 = c8c9 u = a3x+ b3 La separación de variables no es un método general para hallar solución, a que algunas ecuaciones diferenciales no son separables. Principio de Superposición Si u1, u,..., uk son soluciones de una ecuación en derivadas parciales lineales homogéneas, la combinación lineal u = c 1u1+ cu ckuk donde las c i = 1,,..., k son constantes, también es una solución.

5 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 443 Ejemplo 6.4. Considerando la ecuación t = h (14) donde h es constante, una solución de la ecuación (14), será función exclusiva de las variables x t el parámetro h, buscaremos una solución que sea el producto de una función exclusiva de x t. [4] O sea u = f t v x (15) por lo que de nuestra ecuación anterior, obtenemos f t v x = h f t v x (16) Dividiendo cada término entre el producto de la ecuación (15), f t v x f t v x = h f t v x f t v x Obtenemos f t v = h f t v ( x) ( x) (17) De tal manera que hemos separado las variables independientes, Observamos que el lado izquierdo de la ecuación (17), depende sólo de t, el lado derecho depende de x, como ambas son independientes la única manera de que una función exclusiva de una variables se igual a otra función exclusiva a otra variables, es que estas se igualen a una constante, Por lo tanto podemos hacer

6 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 444 f t f t = k (18) t v h = k (19) v x De tal forma que seleccionamos k de manera arbitraria. Las ecuaciones anteriores (18) (19) pueden obtenerse derivando cada término de la ecuación (17). Obteniéndose t d f dt f t = 0 (0) a que el lado derecho de la ecuación (17) es independiente de t Obtenemos al ecuación (18) por integración luego la (19) se deduce de (18) (17) t d f dt f t = 0, integrando d f dt = kf (1) una solución sería f kt = ce 1 Para poder continuar con la solución del problema, debemos asignar valores a puede ser un múltiplo de h. k, el cual De acuerdo a las ecuaciones (18) (19) haciendo

7 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 445 Caso I Haciendo k = h β (3) Entonces f t f t = β (4) h ( x) v h v x = h β (5) Utilizando β real k = h β, indicamos que la constante k > 0. De tal manera que tendríamos como solución que ( h t) f t = ce β (6) 1 v( x) c cosh( β x) c senh( β x) = + (7) 3 como u = f t v x obtenemos como resultado t = h, con soluciones tales como ( h β t) u = c1e c cosh( βx) + c3senh( βx) (8) O bien ( h β t) ( h β t) u = c e cosh β x + c e senh β x 4 5

8 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 446 c 4 = cc 1 c5 cc 1 3 = β son constantes. Caso II Haciendo k = h β (9) Entonces f t f t = β (30) ( x) h v h = h β (31) v x Utilizando β real k = h β, indicamos que la constante k 0 <. De tal manera que tendríamos como solución que f t ( h β t) = c e (3) 6 ( α ) ( α ) v x = c cos x + c sen x (33) 7 8 como u = f t v x obtenemos como resultado t = h, con soluciones tales como ( h β t) u = c 6e c7cos( αx) + c8sen( αx) (34) O bien ( h β t) ( h β t) u = c e cos α x + c e sen α x 9 10

9 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) 447 c = c c7 c = c c α son constantes Caso III Ahora suponemos que la constante k = 0, de tal manera que tendremos como solución u = c11 + c1x Donde c son constantes. c11 1 Ejemplo Determinar una solución producto para la ecuación diferencial parcial = Siendo ux (, ) = Xx entonces tenemos X = X o bien X = X Revisando los tres casos mencionados en el ejemplo anterior. Caso I si λ > 0, entonces X X = = λ (35) De lo cual X X = λ =0 (36) λ 0 x Por consecuencia las soluciones son X ce λ = 1 = ce λ, respectivamente, obteniéndose una ecuación particular u = X, donde λ x λ = ( 1 )( ) u ce c e (37) Haciendo a = cc 1 1, de (37) obtenemos

10 6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables) ( x u = ae λ + ) (38) Caso II si λ <0 Entonces hacemos X X = = λ de lo cual X + X = + λ = 0 λ 0 x Por consecuencia las soluciones son X ce λ = 3 = c4e λ, respectivamente, obteniéndose una ecuación particular u = X, donde λ x 3 4 λ u c e c e = (39) Haciendo a = c3c4, sustituendo en (39), obtenemos ( x + ) u = a e λ (40) Caso III si λ = 0 Entonces X = = 0, de lo cual X = 0 = 0 X Por consecuencia las soluciones son X = c5 = c6, obteniéndose por lo tanto una ecuación particular u = X, por lo que u = c5c 6, haciendo a 3 = c 5 c 6 sustituendo obtenemos que u = a 3. El método de separación de variables funciona cuando la condición de frontera es homogénea, es decir si u x, t = 0. []