USOS Y EXTENSIONES DEL MODELO LINEAL CON K VARIABLES

Transcripción

1 Unversdad de San Andrés Departamento de Economía Econometría Semestre de otoño USOS Y ETENSIONES DEL MODELO LINEAL CON K VARIABLES Marana Marchonn marana@depeco.econo.unlp.edu.ar

2 Varables explcatvas bnaras Cómo ncorporamos factores explcatvos cualtatvos? Género, raza, sector productvo, etc. Fenómenos bnaros: se tene o no certa característca. Ej: un ndvduo tene seguro médco o no lo tene, tene o no empleo, es hombre o mujer, etc. Hay sólo dos posbldades y son excluyentes. Cualquer fenómeno bnaro puede representarse por una varable bnara o dummy: la varable = s para la observacón en cuestón la característca está presente e gual a cero en caso contraro. Ejemplo: mujer = s el ndvduo es mujer, mujer =0 s el ndvduo es hombre. Notar que podíamos capturar la msma nformacón defnendo hombre = s el ndvduo es hombre e gual a cero s es mujer. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - -

3 Ejemplo: Ecuacón de salaros W = β hombre + u + β aedu + δ E E W = β + β aedu + δ hombre S E[u ]=0 [ ] Para los hombres [ W hombre ] = β + β aedu + δ E = E W hombre = 0 = β + β aedu Para las mujeres: [ ] Qué nterpretacón tene δ? Es la dferenca esperada en el salaro de un hombre y una mujer con la msma educacón: [ W hombre = ] E[ W hombre = 0] = β + β aedu + δ ( β + β aedu + δ 0) = δ S δ > 0 habría dscrmnacón en contra de las mujeres. La recta de regresón de los hombres es paralela a la de las mujeres (la msma pendente β ) pero la ordenada al orgen es mayor (β +δ >β ) Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 3 -

4 Gráfcamente: W, E[W] Hombres: [ W ] = β + β aedu + δ E Mujeres: [ W ] = β + aedu E β β + δ Pendente β β aedu Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 4 -

5 La trampa de la varable bnara: S ben son dos las categorías de la varable bnara (hombre o mujer, asegurado o no, etc.) sólo nclumos una varable en el modelo. Intutvamente: necestamos un únco parámetro (δ) para dferencar entre los dos grupos. Podemos nclur la varable hombre o, alternatvamente, la varable mujer. La nclusón de ambas sería redundante. Categoría base u omtda es la que corresponde al valor cero de la varable dummy. Por ejemplo, s hombre= para los hombres y cero para las mujeres, la categoría base u omtda son las mujeres. Regla: s hay S característcas nclumos (S-) varables bnaras. S nclumos S varables bnaras caemos en lo que se conoce como trampa de la varable bnara. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 5 -

6 Ejemplo: trampa de la varable bnara Supongamos que nclumos tanto hombre como mujer como varables explcatvas en el modelo de salaros vsto antes. La matrz de datos tendría esta forma: = M aedu aedu M aedu N hombre hombre M hombre N mujer mujer M mujer N = M aedu aedu M aedu N M M Notar que las columnas, 3 y 4 no son lnealmente ndependentes. Qué consecuenca tene esto sobre los estmadores MC? Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 6 -

7 Varables dummy para categorías múltples Supongamos que la raza tambén afecta los salaros y que hay 3 razas dstntas: blancos, negros y mestzos. Como son 3 categorías necestamos dummes. Defnmos las varables: blanco = s el ndvduo es de raza blanca, =0 s no es blanco negro = s el ndvduo es de raza negra, =0 en caso contraro La categoría omtda o base se da cuando blanco=0 y negro=0, y corresponde a los mestzos. El modelo queda W negro + u = β + β aedu + δ hombre + λblanco + λ Supongamos que los hombres ganan más que las mujeres (dado todo lo demás!) δ>0 y que los blancos ganan más que los mestzos (λ >0) pero los negros ganan menos que los mestzos (λ <0) Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 7 -

8 Gráfcamente: W, E[W] E W = β aedu + + β + δ λ Hombres blancos: [ ] Hombres mestzos: [ W ] = β + β aedu + δ E β + δ + λ β + δ β + δ + λ β + λ Todas tenen pendente β E W = β aedu + Hombres negros: [ ] E W = β aedu + + β λ Mujeres negras: [ ] aedu + β + δ λ Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 8 -

9 Estmacón e nferenca cuando ntervenen varables bnaras: Todo gual que antes Lo únco que camba es la manera de nterpretar los coefcentes Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 9 -

10 El modelo lneal no es tan lneal Por qué decmos modelo lneal? Y + u = β + β + β3 3 Notemos que este modelo puede entenderse como lneal en dos dmensones: Y es una funcón lneal de y 3 Modelo lneal en las varables Y es una funcón lneal de β, β, y β 3 Modelo lneal en los parámetros Para los estmadores MC lo que mporta es la lnealdad en los parámetros Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 0 -

11 Un modelo no lneal puede escrbrse en forma general como: Y = f (,,...,, u K ) El modelo será lneal en los parámetros s exsten funcones g, g, g K tales que: g =,..., ) + u ( Y ) β + βg(,,..., K) βk gk (, K que puede escrbrse como: * * K * K Y = β + β β + u Intutvamente: s aplcando alguna transformacón al modelo no lneal orgnal obtenemos un modelo lneal en los parámetros, el modelo no lneal puede estmarse por MC. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - -

12 Ejemplos de modelos no lneales que pueden lnealzarse Modelo logarítmco: funcón de demanda exponencal. Q = AP β exp( u ) donde Q es la cantdad demandada, P el preco y u el térmno aleatoro. A y β son los parámetros desconocdos. Tomando logartmos: lnq = ln A + β ln P + u Que puede ser reescrto como: q = β + α + p u con α=lna, q=lnq y p=lnp. Luego, α y β pueden estmarse por MC regresando el lnq en el lnp. Importante: q lnq β = ε p ln P = = Q, P β es una elastcdad Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - -

13 Modelo semlogarítmco: Y = exp( α + β + u ) Tomando logartmos: ln Y y = α + β + u Notar que ahora β = y = lny β es una semelastcdad: es el cambo porcentual en Y producdo por un cambo margnal en. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 3 -

14 Importante: la nterpretacón del efecto de sobre Y camba drástcamente dependendo del modelo en que nos basamos. Supongamos que β=0.5, y que tanto Y como están meddas en pesos. Modelo Ecuacón Efecto de en Y Lneal en las varables Y = β + β + u S aumenta en $, Y aumenta en 50 centavos Logarítmco Semlogarítmco β Y = α exp(u) ó lny = β + β ln + u Y = exp (β + β + u) ó ln Y= β + β + u S aumenta en un %, Y aumenta en un 0.5% S aumenta en $, Y aumenta en un 50%. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 4 -

15 Modelo cuadrátco en las varables: + β + β3 Y = β + u Trvalmente, puede expresarse como un modelo lneal en los parámetros denotando Z=. Cuál es el efecto de sobre Y en este modelo? Notar que: dy d = β + β 3 β ya no resume el efecto de sobre Y. Este es el costo de utlzar un modelo más flexble: las dervadas ya no son constantes, su magntud depende del valor que tome. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 5 -

16 y Modelo lneal o cuádratco? x Ver grafcos_extensones modelo lneal.do o Los datos sugeren una relacón no lneal entre Y y. o Estmamos un modelo lneal (sólo como regresor) y uno cuadrátco ( y ) Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 6 -

17 y: valores reales y predchos Modelo lneal versus cuádratco x y Pred. modelo cuadrátco Pred. modelo lneal Ver grafcos_extensones modelo lneal.do o El modelo lneal predce un efecto margnal constante de sobre Y. o El efecto margnal predcho por el modelo cuadrátco crece con el valor de las (pendente). Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 7 -

18 Modelo con nteraccones: Y + u = β + β + β3 3 + β 4 3 Es lneal en los parámetros para Z= 3. Y Notar que: = β + β 4 3 Es mportante no nterpretar a β como la dervada de Y con respecto a. β ya no resume el efecto de esa varable sobre Y porque ese efecto tambén depende de β 4 y del valor que toma la varable 3. Ejemplo: Y=salaros, =educacón y 3 =ntelgenca Algunos nvestgadores afrman que la ntelgenca y la educacón nteractúan de modo que el efecto de la educacón sobre los salaros es mayor para gente más ntelgente. El térmno de nteraccón (producto de las varables y 3 ) estaría captando ese efecto. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 8 -

19 Ejemplo empírco: los determnantes de los salaros Especfcacón semlogarítmca: W ) = β + β aedu + β3edad + β 4edad + β hombre + ln( 5 u W es el salaro por hora trabajada aedu son años de educacón formal edad en años edad es la edad al cuadrado hombre es un ndcador bnaro, = s hombre, =0 s mujer. Datos: extraídos de EPH onda octubre 00, todos los aglomerados encuestados. Para reproducr estos resultados ver datos en data_modelos_de_ngresos.dta y rutna STATA en estma_modelos_de_ngresos.do Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 9 -

20 Resultados de la estmacón del modelo de regresón regress logw aedu edad edad hombre Source SS df MS Number of obs = F( 4, 433) = Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0.54 Total Root MSE = logw Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] aedu edad edad hombre _cons Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 0 -

21 Resultados de la estmacón del modelo de regresón (cont.) Source SS df MS Number of obs = F( 4, 433) = Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0.54 Total Root MSE = logw Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] aedu edad edad hombre _cons Recordar que este modelo corresponde a la especfcacón semlogarítmca. Según estos resultados, un año más de educacón (aedu) tendría el efecto de aumentar en un 9.07% el salaro por hora. Esto se conoce en la lteratura como retorno a la educacón. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - -

22 Resultados de la estmacón del modelo de regresón (cont.) Source SS df MS Number of obs = F( 4, 433) = Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0.54 Total Root MSE = logw Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] aedu edad edad hombre _cons Edad: tene un efecto no lneal sobre el log. de los salaros horaros (edad y edad son sgnfcatvas). S la edad aumenta año esperamos que el salaro por hora aumente en [0.06 x x edad] x 00%. Por ejemplo, un año más en un ndvduo de 0 años tendría el efecto de aumentar el salaro horaro en un 4%. Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - -

23 Cómo se nterpreta el coefcente de la varable bnara hombre? Denotemos ln W (hom bre = ) lnw H y ln W (hom bre = 0) lnw M Entonces: ln W H = β+ β aedu + β 3 edad + β 4 edad + β 5 ln W M = β + β aedu + β edad + β edad 3 4 ln ln ln W H W H W H W M W H W M = = β = = exp( β 5 ) W M W M W M 5 Para β pequeño, exp( β )- β. Entonces, dado que β =0.07, deberíamos esperar que un 5 hombre gane por hora un 7% más que una mujer con la msma edad y educacón. Bondad del ajuste R = 5% ( es bueno o es malo?) Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 3 -

24 Interaccón entre educacón y género: los retornos a la educacón pueden dferr entre varones y mujeres. Una especfcacón que permte capturar este efecto: ln( ) = β + β edu + β 3edad + β 4edad + β 5 hombre + β 6 W (hombre aedu) + u Cuál es el retorno a la educacón bajo esta especfcacón?: para mujeres β 00 % para hombres ( β + β 6 ) 00% Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 4 -

25 Gráfcamente: supongamos que β 5 >0 y β 6 >0 W, E[W] Hombres de 40 años: [ W ] = β + β + β 40 + β 40 ) + ( β + aedu E ) ( β 6 Mujeres de 40 años: [ W ] = ( β + β 40 + β 40 + β aedu E 3 4 ) aedu Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 5 -

26 Gráfcamente pero con β 5 <0 y β 6 >0 W, E[W] Hombres de 40 años: [ W ] = β + β + β 40 + β 40 ) + ( β + aedu E ) ( β 6 Mujeres de 40 años: [ W ] = ( β + β 40 + β 40 + β aedu E 3 4 ) aedu Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 6 -

27 Resultados de estmar el modelo con nteraccón regress logw aedu edad edad hombre hombre_aedu Source SS df MS Number of obs = F( 5, 43) = Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0.54 Total Root MSE = logw Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] aedu edad edad hombre hombre_aedu _cons Ahora n la dummy hombre n la nteraccón entre hombre y educacón son estadístcamente sgnfcatvas. A qué se debe este cambo de resultados? (ver más adelante) Sugere que los retornos a la educacón no dferen entre géneros (generalmente en las aplcacones sí se encuentran dferencas sgnfcatvas). Prof. Marana Marchonn Usos y extensones del modelo lneal con K varables - 7 -