Límites finitos cuando x: ˆ

Transcripción

1 . Límits latrals its al infinito 7 FIGURA La gráfica d = >. (b) La cuación () no s aplica a la fracción original. Ncsitamos un n l dnominador, no un 5. Para obtnrlo multiplicamos por >5 l numrador l dnominador: : sn : 5 Límits finitos cuando : ˆ = : s>5d# sn s>5d# 5 = 5 sn : = 5 sd = 5 Ahora s aplica la cuación () con u. El símbolo qu dsigna infinitosqd no rprsnta un númro ral. Lo usamos para dscribir l comportaminto d una función cuando los valors sobrpasan, n su dominio o rango, cualsquira cotas finitas. Por jmplo, la función f() / stá dfinida para toda Z (figura.3). Cuando s positiva s vulv mu grand, / s hac cada vz más pquña. Cuando s ngativo su magnitud s vulv cada vz más grand, nuvamnt / s hac pquña. Para rsumir stas obsrvacions, dirmos qu f() = / tin it cuando : ;q o qu s l it d f() = / al infinito, tanto positivo como ngativo. A continuación s da la dfinición acta. DEFINICIONES Límit cuando s aproima a ˆ o ˆ. Dcimos qu f() tin l it L cuando tind al infinito, scribimos ƒsd = L :q si, para cada númro P >, ist un númro M corrspondint tal qu para toda 7 M Q ƒƒsd - Lƒ 6 P.. Dcimos qu f() tin l it L cuando tind a mnos infinito, scribimos ƒsd = L :-q si, para cada númro P >, ist un númro N corrspondint tal qu para toda 6 N Q ƒƒsd - Lƒ 6 P. Intuitivamnt, : q ƒsd = L si cuando s alja cada vz más dl orign n dircción positiva, f() s acrca arbitrariamnt a L. D manra similar :- q ƒsd = L si, cuando s alja dl orign n dircción ngativa, f() s acrca arbitrariamnt a L. La stratgia para calcular its d funcions cuando : ;q s similar a la qu s plicó n la scción. para dtrminar its finitos. Ahí primro ncontramos los its d las funcions constant idntidad, = k =. Dspués tndimos los rsultados a otras funcions, mdiant la aplicación d un torma sobr its d combinacions algbraicas. Aquí harmos lo mismo, pro mpzarmos con las funcions = k = / n lugar d = k =.

2 8 Capítulo : Límits continuidad N Sin importar qué númro positivo sa la gráfica ntra n sta banda n ahí s quda M Los hchos básicos qu dbmos vrificar al aplicar la dfinición formal, son A continuación probarmos sta última afirmación, djarmos la comprobación d la primra para los jrcicios 7 7. EJEMPLO 6 Probar qu :;q k = k :;q Los its al infinito para ƒsd = =. (3) Sin importar qué númro positivo sa la gráfica ntra n sta banda n ahí s quda FIGURA.3 La gomtría dtrás dl argumnto dl jmplo 6. (a) :q Solución = (a) Sa P 7 dada. Dbmos ncontrar un númro M tal qu para toda (b) :-q =. 7 M Q ` - ` = ` ` 6 P. Esta implicación s satisfac si M = >P o a cualquir númro positivo maor (figura.3). Esto pruba qu : q s>d =. (b) Sa P 7 dada. Dbmos ncontrar un númro N tal qu para todo 6 N Q ` - ` = ` ` 6 P. Esta implicación s satisfac si N = ->P o a cualquir númro mnor qu ->P (figura.3). Esto pruba qu :- q s>d =. Los its al infinito tinn propidads similars a las d los its finitos. TEOREMA 8 Ls d los its cuando : ˆ Si L, M k son númros rals. Rgla d la suma:. Rgla d la difrncia: 3. Rgla dl producto:. Rgla dl múltiplo constant: 5. Rgla dl cocint: ƒsd = L gsd = M, ntoncs :;q :;q sƒsd + gsdd = L + M :;q :;q sƒsd # gsdd = L # M :;q sk # ƒsdd = k # L :;q :;q sƒsd - gsdd = L - M ƒsd gsd = L M, M Z 6. Rgla d la potncia: Si r s son ntros sin factors comuns, s Z, ntoncs :;q sƒsddr>s = L r>s simpr cuando L r/s sa un númro ral. (Si s s par, damos por hcho qu L > ).

3 . Límits latrals its al infinito 9 Estas propidads son similars a las dl torma d la scción., s utilizan d la misma manra. EJEMPLO 7 Uso dl torma 8 (a) a5 + :q b = 5 + :q :q = 5 + = 5 Rgla d la suma Límits conocidos (b) p 3 :-q = :-q p 3 # # = p 3 # :-q :-q # :-q =p 3# # = Rgla dl producto Límits conocidos Rcta NO ESTÁ A ESCALA Límits al infinito d funcions racionals Para dtrminar l it d una función racional cuando : ;q, podmos dividir l numrador l dnominador ntr la maor potncia d n l dnominador. Lo qu pas dspués dpndrá d los grados d los polinomios involucrados. EJEMPLO 8 El numrador l dnominador tinn l mismo grado FIGURA.33 La gráfica d la función dl jmplo 8. La gráfica s aproima a la rcta = 5>3 conform ƒ ƒ crc :q s8>d - s3> d = :q 3 + s> d = = 5 3 Dividir l numrador l dnominador ntr. Va la figura.33. EJEMPLO 9 El grado dl numrador s mnor qu l grado dl dnominador En la siguint scción s da un jmplo dl caso n dond l grado dl numrador s maor qu l grado dl dnominador (jmplo 8, scción.5). Asíntotas horizontals + :-q 3 - = s> d + s> 3 d :-q - s> 3 d = + - = Si la distancia ntr la gráfica d una función alguna rcta fija s aproima a cro cuando un punto d la gráfica s alja cada vz más dl orign, dcimos qu la gráfica s aproima asintóticamnt a la rcta, sa rcta s una asíntota d la gráfica. Al analizar ƒsd = > (va la figura.3), obsrvamos qu l j s una asíntota d la curva por la drcha, a qu :q = Dividir l numrador l dnominador ntr 3. Va la figura.3. FIGURA.3 La gráfica d la función dl jmplo 9. La gráfica s aproima al j conform ƒ ƒ crc. una asíntota d la curva por la izquirda, a qu :-q =.

4 Capítulo : Límits continuidad Dcimos qu l j s un asíntota horizontal d la gráfica d ƒsd = >. DEFINICIÓN Asíntota horizontal Una rcta = b s una asíntota horizontal d la gráfica d una función = f(), si s satisfac alguna d las condicions siguints ƒsd = b o ƒsd = b. :q :-q La curva ƒsd = trazada n la figura.33 (jmplo 8), tin como asíntota horizontal, tanto a la drcha como a la izquirda, la rcta = 5/3, a qu ƒsd = 5 :q 3 ƒsd = 5 :-q 3. EJEMPLO Sustitución d una nuva variabl Encontrar :q sn s>d. mos qu t: + cuando : q (va la figura.3). Por lo tanto, Solución Introducimos una nuva variabl, t = >. D acurdo con l jmplo 6, sab- :q = sn t =. + t: Otra aplicación dl torma dl sandwich El torma dl sandwich también s cumpl para its cuando : ;q. EJEMPLO Una curva pud atravsar su asíntota horizontal Usar l torma dl sandwich para ncontrar la asíntota horizontal d la curva = + sn. sn Solución Estamos intrsados n lo qu ocurra cuando : ;q. Como sn ` ` ` ` 3p p p p p 3p FIGURA.35 Una curva pud cruzar una d sus asíntotas una infinidad d vcs (jmplo ). :; q ƒ>ƒ =, d acurdo con l torma dl sandwich tnmos qu ssn d> =. En conscuncia, sn a + :;q b = + =, :; q la rcta = s una asíntota horizontal d la curva, tanto a la izquirda como a la drcha (figura.35).

5 . Límits latrals its al infinito Est jmplo ilustra qu una curva pud quizás varias vcs atravsar una d sus asíntotas horizontals. Asíntotas oblicuas Si l grado dl numrador d una función racional s maor n una unidad qu l grado dl dnominador, la gráfica tin una asíntota oblicua (inclinada). Encontramos una cuación para la asíntota dividindo l numrador ntr l dnominador, con l propósito d prsar f como una función linal más un rsiduo qu tind a cro cuando : ;q. Vamos un jmplo. EJEMPLO Encontrar una asíntota oblicua Encontrar la asíntota oblicua d la gráfica d ilustrada n la figura.36. ƒsd = Solución Dividindo los polinomios ncontramos 3 7 ƒsd = = a b s7 + d ('')''* ('')''* función linal gsd rsiduo A mdida qu : ;q, l rsiduo, cua magnitud rprsnta la distancia vrtical ntr las gráficas d f g, tind a cro, hacindo qu la rcta (oblicua) gsd = FIGURA.36 La gráfica dl jmplo tin una asíntota oblicua. sa una asíntota d la gráfica d f (figura.36). La rcta = g() s una asíntota tanto a la drcha como a la izquirda. En la scción siguint vrmos qu la función f() crc arbitrariamnt n valor absoluto cuando s aproima a /7, dond l dnominador s convirt n cro (figura.36). EJERCICIOS. Dtrminación gráfica d its. Cuáls d las siguints afirmacions acrca d la función = f(), cua gráfica aparc a continuación, son vrdadras cuáls falsas? f() a. ƒsd = b. :- + c. ƒsd = d. ƒsd = ƒsd - : - : : +. ƒsd ist f. ƒsd = : : g. ƒsd = h. ƒsd = : : i. ƒsd = j. ƒsd = : : - k. ƒsd no ist. l. ƒsd = - : + :- : - ƒsd =