UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

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1 UNIDAD PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos. Explorar diversos problemas que ivolucre procesos ifiitos a través de la maipulació tabular, gráfica y simbólica para propiciar u acercamieto al cocepto de límite. E la Uidad siguiete, pretedemos que: Resuelvas problemas de diversos cotextos que ivolucra e su solució, procesos ifiitos. Utilices las represetacioes gráfica, tabular y algebraica de u proceso ifiito para aalizar su comportamieto e cuato a: cómo cambia la variable, qué comportamieto sigue, cuáles so los valores siguietes, qué ta parecidos so y a la larga, cómo so éstos. Utiliza procedimietos aritméticos para resolver problemas que ivolucra procesos ifiitos. Recooce características de los procesos ifiitos utilizado diversas represetacioes: material cocreto, diagramas, gráficas, tablas o explicacioes verbales. Recooce u proceso como ua acció que produce u resultado, este proceso será ifiito cuado se pueda producir siempre u resultado más. Distigue u proceso ifiito de uo que o lo sea. Resuelve problemas de diversos cotextos que ivolucra e su solució, procesos ifiitos. INTRODUCCIÓN. E esta primera uidad cetraremos uestra ateció e el cocepto de límite, para lo cual iiciaremos co el estudio de los procesos ifiitos, su tedecia, estabilizació, recoocimieto de patroes, predicció de comportamietos y resultados, mediate el tratamieto tabular, gráfico y algebraico. Los ejemplos y situacioes que trataremos de los procesos ifiitos os servirá para ir costruyedo el cocepto de límite, así como la compresió y maejo de su otació. Iiciemos recordado la maera e que podíamos expresar u úmero racioal e su forma decimal, por ejemplo os hacía realizar ejercicios como los siguietes; Escribe e su forma decimal los úmeros racioales al efectuar la divisió respectiva, los resultados so:, 7, = 0., 7 = 0., = 0.08 E estos casos la expresió decimal es fiita, se termia, pero cuado os plateaba la misma preguta para úmeros racioales como;,, 7 8 los resultados os sorpredía ya que o podíamos termiar la divisió, la expresió decimal, o se termia, la divisió cotiuaba y e algú mometo decíamos, hasta aquí, pero observamos algo que es muy importate, e el proceso de dividir, a partir de cierto úmero de dígitos, estos se volvía a repetir, ecotrábamos lo siguiete: = 0.

2 " = " = E el primer caso, aparecía el úmero idefiidamete, e el segudo aparece todo u bloque de decimales que se repite, e este caso el bloque es: 78, lo mismo ocurre e el tercer caso. Decimos que estos úmeros tiee ua expasió decimal ifiita. Defiicioes: Co el fi de ir creado u leguaje comú, hagamos las defiicioes siguietes: a) U proceso es ua acció que produce u resultado. b) U proceso es ifiito si cada vez que se realiza la acció se puede realizar otra. c) U proceso es fiito si e algú mometo la acció termia. Por ejemplo, se tiee u úmero etero positivo, digamos, le aplicamos la acció de sumar otro uo., + =, + =, + =, Como a la acció sumarle uo se puede seguir realizado, este proceso será ifiito, tambié cada resultado de la suma es diferete a las sumas ateriores, por lo que el cojuto resultate es ifiito. Claro que tambié se tiee u proceso ifiito cuado teemos la suma de cero, + 0 =, + 0 =, + 0 =, + 0 =,. lo cual obviamete es igual a e cada acció. Este proceso tiee como diferecia co respecto al aterior, que cada ueva suma que se realiza o modifica el resultado, e este caso el cojuto resultate, o es ifiito. Existe otros úmeros cuyas represetacioes decimales tambié so ifiitas, como, y que se puede tambié represetar como el resultado de u proceso ifiito. Recordarás que y tiee ua diferecia fudametal cuado se hace su desarrollo decimal. Recuerdas cuál es esa diferecia? Ahora, te ivitamos a realizar cuidadosamete cada ua de las actividades siguietes. Te recomedamos que después de hacerlas, o bie mietras la efectúas, itercambies putos de vista co tus compañeros, y corrobore sus resultados. PROCESOS INFINITOS. Ejemplo. Cosidera el proceso siguiete e el cual se muestra las primeras cuatro accioes a las que le llamaremos pasos. Determia si es ifiito o o.,,,,... No se debe de cofudir, proceso ifiito co cojuto ifiito. U cojuto ifiito es aquel que se le puede asociar ua biyecció etre él y u subcojuto propio, ota de redacció.

3 Solució. E el primer paso debemos calcular la raíz de cico, es decir, ~ (aproximació a 9 dígitos). E la seguda acció debemos calcular ~.70 cuya aproximació a 9 dígitos es;.70, a cada ueva acció se le multiplica por cico y se vuelve a extraer la raíz cuadrada, como se puede hacer la acció siguiete, este proceso es ifiito. Ejemplo. Evalúa la fució a = para sus primeros ocho valores, co u úmero atural. Escribamos los primeros ocho valores de la fució y resumamos los resultados e la tabla siguiete a los que llamaremos térmios de la fució a() El ejercicio os idica que debemos evaluar a la fució e sus primeros ocho valores, la acció termia al evaluar a la fució para = 8, por lo que el proceso es fiito. E la literatura matemática a las fucioes que tiee como domiio a los úmeros aturales se les llama sucesioes y se expresa co las letras iiciales del alfabeto, como; a, b, c su otació fucioal como a e lugar de a(), así e el ejemplo aterior, tedríamos como primer térmio a = a =, como segudo térmio a = a = y así sucesivamete. ACTIVIDADES. Actividad. Cosidera u segmeto de logitud uo. El proceso cosiste e cosiderar la mitad del segmeto como primer paso y después la mitad del segmeto restate, como segudo paso, así sucesivamete se toma la mitad de lo que va quedado. Si supoemos que siempre le es posible tomar la mitad siguiete, tomaremos e algú mometo todo el segmeto?. Traza u dibujo que represete lo que va ocurriedo.. Después del primer paso cuáto camio ha recorrido?. Cuáto recorrió e el segudo paso?. Cuáto lleva recorrido e el segudo paso?. Para cotiuar co el proceso y aalizar lo que ocurre, completa la tabla siguiete: Número de paso () Logitud del segmeto tomado (a ) Logitud total del segmeto tomado (S ) + = = 0.7

4 Geeraliza y obté ua fórmula para 𝑎. 7. Ahora, co el fi de obteer la fórmula para 𝑆 te sugerimos que completes las sumas, observa el resultado: 𝑆 =, 𝑆 = + 𝑆 = =, 𝑆 = + + =, 𝑆 = = " " =, 𝑆 = 𝑆 = Cuado obtegas el último resultado, verifica la fórmula para los valores de 𝑛 que ecotraste e la tabla. 8. Si fuera posible que pudieras tomar siempre la mitad siguiete, llegaría a recorrer la uidad?. Como observaste, la logitud del camio recorrido e cada salto está dada por los úmeros:.,,, e dode los deomiadores so potecias de, por lo que e el eésimo salto recorre la distacia " Los térmios: 𝑎 =, 𝑎 =, 𝑎 =, 𝑎 = represetar como:.,, forma ua sucesió ifiita, la cual se puede o bie 𝑎. Además de la tabla, podemos hacer ua represetació gráfica e u plao cartesiao, colocado e el eje de las abscisas los valores de la variable 𝑛 y e el de las ordeadas los de 𝑎. 9. E la siguiete gráfica coloca todos los putos que te sea posible realizado las tabulacioes que te falte. 𝑎 , 0. 𝑛

5 0. Tato e el registro tabular como e el gráfico se puede observar qué ocurre co coforme se hace cada vez más grade. Si se va haciedo cada vez más y más grade, se va acercado más y más a algú valor?, e caso afirmativo a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre y L se hace cada vez meor?, o dicho de otra forma, L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo?. Retoma los valores que ecotraste de S y calcula otros para graficar la mayor catidad de putos que puedas e el siguiete sistema de coordeadas: S , Tambié e este caso, tato e el registro tabular como e el gráfico se puede observar qué ocurre co S coforme se hace cada vez más grade. Si se va haciedo cada vez más y más grade S se va acercado más y más a algú valor?, a qué valor? Si llamamos L a ese valor y tomamos valores de todavía mayores que los ateriores, la diferecia etre S y L se hace cada vez meor, o dicho de otra forma, S L se va acercado cada vez más a cero? Siempre que hacemos lo aterior ocurre lo mismo?. Por todo lo ello, a qué es igual lim S?. Actividad. Los putos medios de los lados de u cuadrado de lado, se ue para formar u cuadrado uevo. Este procedimieto se repite para cada uevo cuadrado (se muestra los primeros tres pasos). Calcula la suma de las áreas de los triágulos sombreados. Paso Paso Paso

6 6 Solució: Deotaremos por a el área de cada triágulo e cada paso, y por S el área total sombreada, hagamos u resume e la tabla siguiete. Paso Área de cada triagulo a 8 8 Área total sombreada S 8 = + = = Realiza los pasos a 6. Paso 6 Área de cada triagulo a Área total sombreada S Podemos observar que: 8 = $ # &, " % = $ # &, " % 8 = $ # &, " % 7 La variable a, área de cada triágulo, es cada vez más pequeña, decrece e área a se aproxima a cero, e símbolos lim a = 0 e cada paso, así el. Por otra parte la suma de las áreas S se hace cada vez más grade. Cojetura u valor al que se esta acercado la suma S para calcular la suma de maera exacta, procedamos de la maera siguiete: S = $ # " % &+ $ # " & % + $ # " & + + $ # & % " % $ # & S = " % " S % " $ ' S = % $ # & # & ' " % $ # ' & $ # & " % + $ # " & + + $ # & % " % + " Como S % $ ' S = # & S Teemos S = + + $ # " & % $ Multiplicamos por # & a " % + Restamos S

7 7 E este caso < r = <, # & lim% ( $ ' + = 0 De esta maera, S se aproxima a. El procedimieto llevado a cabo e este ejercicio (para obteer el valor del límite de S ) es típico para las series geométricas, primero se obtiee su suma e térmios de y posteriormete se calcula su límite. E los ejemplos que hemos ilustrado, se ha realizado sumas de áreas e u proceso ifiito, estas sumas, recibe el ombre de sumas parciales, y e geeral, cuado se tiee ua sucesió a, se va formado las sumas parciales de ella, de la maera siguiete: S = a S = a + a S = a + a + a... S = a + a + a + + a Observa que las sumas parciales, forma a su vez ua ueva sucesió, al límite de esta sucesió (e caso de existir), se le cooce co el ombre de serie. Esta observació os permite hacer la defiició siguiete: Defiició: La serie ifiita a + a + a + + a + Se dice que tiee ua suma S, si los térmios de su sucesió de sumas parciales S, S, S,, S, Se acerca arbitrariamete a S coforme el valor de crece idefiidamete. El método que utilizamos para calcular las sumas de las áreas de los cuadrados se ilustra co la coocida serie geométrica, a saber, a + ar + ar + ar + cosideremos su suma parcial S que e este caso es: S = a + ar + ar + ar + + ar Multiplicado por r Las restamos De esta maera rs = ar + ar + ar + + ar + ar + ( r)s = a ar + = a( r + ) S = a( r+ ) r siempre que r

8 8 el límite es cierta siempre que r <. a + ar + ar + ar a( r + ) + = lim S = lim = a r r Actividad. Cosidera a la sucesió a =, a =, a =, a =,, a =,. a) Traza ua gráfica dode represetes a la sucesió. a , - b) Determia si a es ua sucesió covergete, si lo es calcula su límite. Actividad. E u triágulo equilátero de área A se ue los putos medios de sus lados para formar triágulos equiláteros, de los cuales el del cetro se pita de egro. Luego co cada uo de los triágulos restates se hace lo mismo. Dicho proceso se repite idefiidamete. Ecuetra el área sombreada al fial de cada paso (A este triágulo se le cooce como el triágulo de Sierpiski, más famoso aú que su carpeta). a) Completa la tabla procurado escribir los resultados idicado las operacioes si efectuarlas y tambié efectuádolas. b) Ecuetra e el paso del proceso las expresioes geerales para calcular el área de los triágulos. c) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el área de todos los triágulos sombreados. d) Cuado se va haciedo más y más grade el área de los triágulos sombreados se va aproximado a algú resultado? e) Cuado, a qué tiede el área total? Justifica tu respuesta. Paso Área de cada triágulo a Número de Triágulos p Área de los uevos Triágulos formados T Área de todos los triágulos sombreados: S

9 Actividad. Como e el problema aterior, cosidera u triágulo equilátero de área A y ue los putos medios de sus lados para formar otro triágulo el cual se pita de egro. Luego cosidera sólo uo de los triágulos restates y haz lo mismo que e la actividad aterior. Dicho proceso se repite idefiidamete. Ecuetra el área total sombreada al fial de cada paso. a) Completa la tabla procurado escribir los resultados idicado las operacioes si efectuarlas y tambié efectuádolas. b) Ecuetra e el paso las expresioes geerales que represete el proceso. c) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el área de todos los triágulos sombreados. d) Cuado se va haciedo más y más grade el área de todos los triágulos sombreados se va aproximado a algú úmero? e) Cuado, a qué tiede el área total? Paso Área del triágulo sombreado: a. Área de todos los triágulos sombreados S Actividad 6. Cosidera el siguiete proceso e el cual se muestra los primeros cuatro pasos:,,,,... a) Completa la tabla procurado escribir e cada paso la expresió utilizado expoetes. b) Ecuetra e el paso la expresió geeral utilizado expoetes. c) Traza ua gráfica del úmero de paso cotra el resultado obteido e tu calculadora.

10 0 d) Cuado se va haciedo más y más grade el resultado de la expresió se va aproximado a algú valor? e) Cuado, el resultado de la expresió a qué valor tiede? Paso Expresió a Expresió escrita co expoetes Resultado co ayuda de la calculadora

11 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES HAY QUE TRABAJAR BIEN LA PRIMERA VEZ... DOBLE. Suzae Cae PARA NO TRABAJAR PROCESOS INFINITOS. E los siguietes problemas, es importate que cotestes a las pregutas que a cotiuació se elista Variació. Predicció. Comparació. Seriació. Promediació. Acumulació. Estabilizació. Qué es y cómo cambia la variable? Cuál es el estado próximo? Quié es más grade? Quié va primero? Qué ta parecidos so? Cómo cambia los cambios? A la larga a qué se parece? Problemas. Cosidera u segmeto de logitud, como el que se muestra e la figura 0 Queremos expresar la logitud del segmeto mediate el siguiete proceso. Primero os aproximamos co el úmero 0.9, después (segudo paso) le aumetamos 0.09, e el tercer paso y cotiuamos este proceso, el úmero así costruido, es meor, igual o mayor a?. Ua coocida leyeda sobre el ivetor del ajedrez afirma que el rey de Persia estaba complacido co el juego que ofreció u premio al ivetor. El ivetor dijo que quería tato trigo como el que pudiese poer e u tablero de ajedrez colocado u grao e el primer cuadro, graos e el segudo, e el tercero, 8 e el cuarto y así sucesivamete hasta que todos los cuadros quedara cubiertos. El rey pesó que era ua petició extraña Lo era realmete? Por ejemplo cuátos graos se debería poer e el cuadro veiticuatro?. Cosidera u segmeto de líea de logitud, como se muestra e la figura, se divide este segmeto e tres partes iguales (de logitud u tercio cada uo) y e el segmeto de e medio se traza dos segmetos (igualmete de u tercio cada uo), e cada uevo segmeto se procede de maera similar, calcula la logitud de cada segmeto y di a que logitud se aproxima el total así costruido..

12 Paso iicial Primer paso Segudo paso Tercer paso.. U cuadrado de lado se divide e 9 cuadros meores, y el cuadro cetral se pita de egro como se muestra e la figura. Cada uo de los cuadros restates se divide, a su vez, e 9 cuadrados y cada cuadrado itermedio se pita de egro. Si se repite este proceso idefiidamete cuál será el área total pitada de egro? 6. Cosideramos la siguiete situació del profesor Carlos, al comprar u automóvil uevo. Después de recoger su automóvil e la agecia, y al acudir por primera vez a la gasoliera pide que le llee el taque y le poga u litro de aditivo. La seguda vez que acude a la gasoliera, el taque de combustible está a la mitad y le poe otro litro de aditivo y llea el taque de gasolia, uevamete. La tercera vez que acude a la a la gasoliera hace lo mismo, al estar el taque a la mitad le poe otro litro de aditivo y llea el taque. Y así sucesivamete. A La larga, cuáto aditivo va a coteer el taque de gasolia de su automóvil?