Teoría Tema 2 Definición métrica o formal de límite

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Alba Cuenca Reyes
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1 página / Teoría Tema 2 Definición métrica o formal de límite Índice de contenido Límite finito en un punto...2 Límite infinito en un punto (asíntota vertical)...4 Límite finito en el infinito (asíntota horizontal)...6 Límite infinito en el infinito...8 Asíntotas oblicuas...0

2 página 2/ Límite finito en un punto Sea f (): I R una función de variable real. Diremos que f () tiene límite L R en el punto 0 I si la función f () se puede acercar todo lo que queramos al valor límite L cuando se acerca suficientemente a 0. Cómo epresar esta definición de manera analítica? Diremos que f () tiene límite L R en el punto 0 I si, y solo si, ε>0, δ>0/ E ( 0,δ) f () (L ε, L+ε) y se denota: 0 f ()=L En otras palabras, f () tiene límite L R en el punto 0 I si, y solo si, ε>0, δ>0/ 0 <δ f () L <ε. Y a esta definición la llamaremos definición métrica o formal de límite finito en un punto. Demostrar, mediante la definición métrica de límite, (2 5)=. 3 Partimos de la definición métrica, considerando 0 =3 y L= : ε>0, δ>0/ 3 <δ ( 2 5) <ε ε>0, δ>0/ 3 <δ 2 6 <ε Lo siguiente: partiendo de un ε>0 arbitrariamente pequeño y de la desigualdad 2 6 <ε, debemos operar hasta conseguir la desigualdad 3 <δ para un δ>0 arbitrariamente pequeño (tan pequeños como yo quiera). ε>0, 2 6 <ε 2 ( 3) <ε 2 3 <ε 3 < ε 2 Llamamos δ= ε 2, de tal forma que si ε>0 es arbitrario, se cumplirá que δ>0 también es arbitrario. Y por lo tanto se cumplirá 3 <δ Como queríamos demostrar (c.q.d.).

3 página 3/ Demostrar, mediante la definición métrica de límite, + = 2. Partimos de la definición métrica, considerando 0 = y L= 2 : ε>0, δ>0/ <δ ( + ) <ε ε>0, δ>0/ <δ 2 2 (+) <ε Lo siguiente: partiendo de un ε>0 arbitrario y de la desigualdad 2( +) <ε, debemos operar hasta conseguir la desigualdad <δ para un δ>0 arbitrario. ε>0, <ε ( ) <ε <ε <2ε + Llegados 2( +) 2( +) 2( +) a este punto no podemos igualar δ=2ε + porque δ dependería de la variable y no sería un valor arbitrario. Pero sí podemos acotar superiormente el valor δ, ya que necesitamos que arbitrariamente pequeño ( tan pequeño como yo quiera ), por lo que somos libres de acotarlo superiormente. δ<0,5 Si 0 = ( 0,5,+0,5) (0,5,,5) + (,5+) + < 2,5 2 + < 2 2,5 2 + < 5 2 ε + <5ε Ahora sí igualamos δ=5 ε 2 ε + <δ <δ Como queríamos demostrar (c.q.d.).

4 página 4/ Límite infinito en un punto (asíntota vertical) f (): I R tiene límite infinito ( ) en el punto 0 I si, y solo si, k>0, δ>0 / 0 <δ f ()>k. Y se denota: 0 f ()= Con otras palabras, siempre encuentro un valor de la función f () mayor que cualquier valor real k positivo si elijo un entorno suficientemente pequeño alrededor de 0. f () tiene límite menos infinito ( ) en el punto 0 I si, y solo si, k<0, δ>0 / 0 <δ f ()<k. Y se denota: 0 f ()= Con otras palabras, siempre encuentro un valor de la función f () menor que cualquier valor real k negativo si elijo un entorno suficientemente pequeño alrededor de 0. Demostrar, mediante la definición métrica de límite, 0 2 =+. Partimos de la definición métrica, considerando 0 =0 y + : k>0, δ>0 / 0 <δ 2 >k k>0, δ>0 / <δ 2 >k Partiendo de un k >0 arbitrariamente grande y de la desigualdad >k 2, debemos operar hasta obtener la desigualdad <δ. k >0, >k 2 k > 2 ( puedo hacer este paso porque k y 2 son positivos) k > 2 k > 2 k > Si δ= k <δ Como queríamos demostrar (c.q.d.).

5 página 5/ Demostrar, mediante la definición métrica de límite, =. Partimos de la definición métrica, considerando 0 = y : k<0, δ>0 / <δ <k Partiendo de un k <0 arbitrariamente negativo y de la desigualdad operar hasta obtener la desigualdad <δ. k <0, <k > k (cambia desigualdad > k > k > Si δ= k k queríamos demostrar (c.q.d.). <k, debemos porque k <0 k >0) <δ Como

6 página 6/ Límite finito en el infinito (asíntota horizontal) f ( ): I R tiene límite finito L R en el infinito si, y solo si, k>0, ε>0/ >k f () L <ε. Y se denota: f ( )= L Con otras palabras, la función f () se acerca tanto como queramos al límite L con tal de tomar un valor real k suficientemente grande. f ( ): I R tiene límite finito L R en menos infinito si, y solo si, k<0, ε>0/ <k f () L <ε. Y se denota: f ( )=L Con otras palabras, la función f () se acerca tanto como queramos al límite L con tal de tomar un valor real k suficientemente negativo. Demostrar, mediante la definición métrica de límite, + =. Partimos de la definición métrica, considerando + y L= : k>0, ε>0/ >k + <ε k>0, ε>0/ >k <ε Partiendo de un k >0 arbitrariamente grande y de la desigualdad operar hasta obtener la desigualdad > k. <ε, debemos k >0, <ε ε < ε <(si, = ) Si ε =k >k Como queríamos demostrar (c.q.d.).

7 página 7/ Demostrar, mediante la definición métrica de límite, =. Partimos de la definición métrica, considerando y L= : k<0, ε>0/ <k ( ) <ε k <0, ε>0/ <k <ε Partiendo de un k <0 arbitrariamente negativo y de la desigualdad operar hasta obtener la desigualdad < k. <ε, debemos k <0, <ε ε < ε < (si, = ) ε > ( cambia sentido desigualdad ) Si k= ε < k Como queríamos demostrar (c.q.d.).

8 página 8/ Límite infinito en el infinito f ( ): I R tiene límite infinito ( ) en el infinito si, y solo si, k>0, m>0/ >k f ()>m. Y se denota: f ( )= Con otras palabras, la función f ( ) siempre es mayor que cualquier valor real m positivo con tal de elegir un valor real suficientemente grande. f ( ): I R tiene límite menos infinito ( ) en el infinito si, y solo si, k>0, m<0/ >k f ()<m. Y se denota: f ( )= Con otras palabras, la función f () siempre es menor que cualquier valor real m negativo con tal de elegir un valor real suficientemente grande. f ( ): I R tiene límite infinito ( ) en menos infinito si, y solo si, k<0, m>0/ <k f ()>m. Y se denota: f ( )= Con otras palabras, la función f ( ) siempre es mayor que cualquier valor real m positivo con tal de elegir un valor real suficientemente negativo. f ( ): I R tiene límite menos infinito ( ) en menos infinito si, y solo si, k<0, m<0/ <k f ()<m. Y se denota: f ( )= Con otras palabras, la función f () siempre es menor que cualquier valor real m negativo con tal de elegir un valor real suficientemente negativo.

9 página 9/ Demostrar, mediante la definición métrica de límite, (+2)=. Partimos de la definición métrica: k>0, m>0/ >k + <ε Partiendo de un k >0 arbitrariamente grande y de la desigualdad operar hasta obtener la desigualdad > k. ( +2)>m, debemos k >0, ( +2)> m >m 2 Acotamos inferiormente m>2, ya que solo necesitamos que sea arbitrariamente positivo Si k =m 2> 0 > k Como queríamos demostrar (c.q.d.). Demostrar, mediante la definición métrica de límite, Partimos de la definición métrica: k<0, m<0/ <k ( +3)<m (+3)=. Partiendo de un k <0 arbitrariamente negativo y de la desigualdad ( +3)<m, debemos operar hasta obtener la desigualdad < k. k <0, ( +3)<m <m 3 Acotamos superiormente m<3, ya que solo necesitamos que sea arbitrariamente negativo Si k =m 3<0 < k Como queríamos demostrar (c.q.d.).

10 página 0/ Asíntotas oblicuas La definición formal de asíntota oblicua la vamos a reducir a la definición de límite finito en el infinito. Hablamos de asíntota oblicua cuando eiste la función, en el infinito, tiende a una recta de pendiente m R y de ordenada en el origen n R. Es decir: f ( )= (m +n) Dividimos por f () = (m)+ ( n ) f () =m+0 f () = (m+ n ) f () =m Llegando a un límite finito en el infinito de la nueva función f ( ). Además: f ( )= (m +n) ( f () m )= (n) ( f () m )=n Llegando a un límite finito en el infinito de la nueva función ( f () m ). Demostrar, mediante la definición métrica de límite, que la función 2 + oblicua y=. Debemos estudiar el límite f () =m con m= k>0, ε>0/ >k <ε k>0, ε>0/ >k 2 <ε 2 + =. Así: 2 posee asíntota Partiendo de un k >0 arbitrariamente grande y de la desigualdad operar hasta obtener la desigualdad > k. 2 <ε, debemos k >0, 2 <ε ε < 2 ε < 2 (debido a que 2 = 2 >0) ± ε < (si, >0 y la desigualdad se cumple) Si k =+ ε >k Como queríamos demostrar (c.q.d.).

11 página / Ya tenemos el valor de la pendiente de la asíntota oblicua: de la ordenada en el origen. m=. Necesitamos el valor Debemos estudiar el límite ( f () m )=n con m= y n=0 ( 2 + )=0 =0. Así: k>0, ε>0/ >k 0 <ε k>0, ε>0/ >k 2 <ε Partiendo de un k >0 arbitrariamente grande y de la desigualdad operar hasta obtener la desigualdad > k. <ε, debemos k >0, <ε ε < ε < (si, >0 y la desigualdad se cumple) Si k= ε >k Como queríamos demostrar (c.q.d.).

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