1 LIMITES Y DERIVADAS
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- Tomás Godoy Villalobos
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1 1 LIMITES Y DERIVADAS 2.1 LA TANGENTE Y PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD Problema de la tangente Se dice que la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto P es el ite de las rectas secantes PQ a medida que Q se aproxima a P (donde P (x p ;y p ) y Q (x q ;y q ) pertenecen a la curva). yq y p Pendiente recta secante mpq x x Pendiente recta tangente m PQ QP q m p 2.2 LIMITE DE UNA FUNCION Limite Definición Escriba L que se expresa como: el ite de F( cuando x tiende a a, es igual a L si puede acercar arbitrariamente los valores de F( a L (tanto como desee) escogiendo una x lo bastante cerca de a, pero no igual a a. Limites laterales Definición Escriba f ( L Se lee el ite izquierdo de F( cuando x tiende a a o el ite de F( cuando x se acerca a a desde la izquierda es igual a L, si puede aproximar los valores de F( a L tanto como quiera, escogiendo una x lo bastante cerca de a pero menor que a. De manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: el límite derecho de F( cuando x tiende a a es igual a L y se escribe L De las definiciones de límite y límites laterales, se obtiene lo siguiente L si y solo si L y L Página de 13
2 Limites infinitos Definición Sea F una función definida a ambos lados de a, excepto posiblemente en a misma. Por lo tanto Quiere decir que los valores de F( se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como uno quiera) haciendo que x se acerque suficientemente a a, pero no es igual que a. Definición Sea F una función definida a ambos lados de a, excepto posiblemente en a misma. Por lo tanto Quiere decir que los valores de F( se pueden hacer arbitrariamente grandes y negativos al dar valores a x que estén muy cerca de a, pero sin que lleguen a ser igual que a. Definiciones similares se pueden dar para los límites infinitos laterales ; ; y Definición La recta x = a se llama asuntota vertical de la curva y = f( si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero f ( f ( 2.3 CALCULO DE LIMITES UTILIZANDO LAS LEYES DE LOS LIMITES Si usa graficas o calculadoras para suponer los valores de los límites es claro que esos métodos no siempre conducen a las respuestas correctas. En esta sección aplicara las leyes de los límites para calcularlos correctamente. Página de 13
3 Leyes de los límites Suponga que c es una constante y que los ites En tal caso: g( g( g( g( cf ( c g( g( y g( existen. f ( g( si g( 0 g( n n f ( en donde n es un entero positivo a x c c x a n f ( n Propiedad de sustitución directa Si f es un polinomio o una función racional y a esta en el dominio de f, en consecuencia f ( a) Cuando no se puede calcular el ite por sustitución directa, al aplicar algo de algebra, puede calcular el ite sustituyendo la función dada por una mas sencilla con el mismo ite. Esto es valido cuando Si f ( g( cuando x a, entonces g(, en caso de que exista el ite Página de 13
4 Lo mejor para calcular algunos límites es hallar en primer lugar los límites por izquierda y por derecha, y luego comparar si son iguales. Teorema f ( L si y solo si f ( L f ( En los dos teoremas que siguientes se dan propiedades adicionales de los ites Teorema Si f ( g(, cuando x esta cerca de a (excepto posiblemente en a), y los ites de f y g existen cuando x tiende a, por lo tanto g( Teorema de la compresión Si f ( g( h(, cuando x esta cerca de a (excepto quizás en a) y h( x a x a L En tal caso g( L 2.4 DEFINICION EXACTA DE UN LIMITE Definición Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga al numero a, excepto posiblemente en a misma. En consecuencia pede decir que el límite de f( cuando x tiende a a es L, y escriba f ( L Si para todo numero ε > 0 hay un numero δ > 0 tal que si 0 x a en tal caso f ( L Puesto que x-a es la distancia de x hasta a, y f(-l es la distancia desde f( hasta L. Pero Cómo demostrar que L? Página de 13
5 Lo demostraremos con el siguiente ejemplo: Demostrar (4x 5) 7 x 3 1. Análisis preinar del problema (adivinar el valor de δ). Sea ε un numero positivo dado. Quiere encontrar un numero δ tal que Si 0 x 3 por lo tanto ( 4x 5) 7 Pero ( 4x 5) 7 4x 12 4( x 3) 4 x 3 por lo tanto, quiere Si Es decir 0 x 3 en tal caso 4 x 3 0 x 3 en consecuencia Esto hace pensar que debe escoger 4 x Comprobación (demostración de que esta δ funciona). Dado ε > 0, elija δ=ε/4. Si 0 < x-3 < δ, después ( 4x 5) 7 4x 12 4( x 3) 4 x Por esto, Si 0 x 3 por consiguiente ( 4x 5) 7 Por lo tanto deacuerdo a la definición de límite (4x 5) 7 x 3 Observe que en la demostración hay 2 etapas: adivinar y ensayar. Efectivamente en el análisis preinar es posible suponer un valor de δ. Pero luego, en la segunda etapa tuvo que regresar y comprobar en forma cuidadosa y lógica que dio una opinión correcta. La definición de límites unilaterales se puede reformular como se señala a continuación Limite izquierdo Definición f ( L Si para todo numero ε > 0 hay un numero δ > 0 tal que si a δ < x < a en tal caso f( L < ε Página de 13
6 Limite derecho Definición L Si para todo numero ε > 0 hay un numero δ > 0 tal que si a < x < a+δ en tal caso f( L < ε Limites infinitos Los límites infinitos también se pueden definir de manera exacta, como verán a continuación. Definición Sea f una función definida sobre un intervalo abierto que contiene a el numero a, excepto talvez en a misma. Por lo tanto, quiere decir que para todo numero positivo M hay un numero positivo δ tal que si 0 < x-a < δ en consecuencia f( > M Definición Sea f una función definida sobre un intervalo abierto que contiene a el numero a, excepto talvez en a misma. Por lo tanto, quiere decir que para todo numero negativo N hay un numero positivo δ tal que si 0 < x-a < δ en consecuencia f( < N 2.5 CONTINUIDAD Definición Una función f es continua en un número a si f ( a) Advierta que esta definición requiere implícitamente tres cosas: 1- F(a) esta definido 2- existe 3- f ( a) Página de 13
7 Una función f es discontinua en a si f no es continua en a. Las discontinuidades se denominan removible, cuando se puede einar la discontinuidad al redefinir F en un solo punto, (existe el ite en a pero f(a) no es igual al ite), discontinuidad infinita o discontinuidad por salto (porque la grafica salta de un valor a otro). Definición Una función f es continua desde la derecha a un número a si f ( a) y f es continua desde la izquierda en a si f ( a) Definición Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en todo número en el intervalo. Teorema Si f y g son continuas en a y c es una constante, entonces las funciones siguientes son continuas en a f g f g cf fg f g si g( a) 0 Teorema Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo número de sus dominios Polinomios Racionales Función Raíz Trigonometricas Trigonometricas inversas Exponenciales Logarítmicas Página de 13
8 La funcion inversa de cualquier funcion uno a uno continua tambien es continua. Teorema Si f es continua en b y En otras palabras f ( g( ) f g( g( b, entonces f ( g( ) f ( b). Este teorema dice que se puede mover un simbolo de ite a traves de un simbolo de funcion, si la funcion es continua y el ite existe. Teorema Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la funcion compuesta f g dada por ( f g) f ( g( ) es continua en a. Teorema del valor intermedio Suponga que f es continua sobre un intervalo cerrado [a,b] y sea N cualquier numero entre f(a) y f(b), donde f ( a) f ( b). Por lo tanto existe un numero c en (a,b) tal que f(c)= N El teorema del valor intermedio afirma que una funcion continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la funcion entre f(a) y f(b). 2.6 LIMITES AL INFINITO, ASINTOTAS HORIZONTALES Definición Sea f una funcion definida en algun intervalo ( a, ). En tal caso L x significa que los valores de f( se pueden aproximar a L tanto como desee, si escoge una x lo suficientemente grande. Página de 13
9 Definición Sea f una funcion definida en algun intervalo ( a, ). En tal caso L x significa que los valores de f( se pueden aproximar a L tanto como desee, si escoge una x lo suficientemente grande y negativa. Definición La recta y=l se llama asintota horizontal de la curva y=f( si L o bien L x x Las leyes de los ites tambien son validos para cuando x tiende a al infinito. Teorema Si r>0 es un numero racional, entonces 1 0 x x r Si r>0 es un numero racional tal que x r esta definida para toda x, entonces 1 0 x r x Para evaluar el ite infinito de una funcion racional, divida el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador (puede suponer que x 0, puesto solo esta interesado en los valores grandes de. Limites infinitos en el infinito La notacion x Se usa para indicar que los valores de f( se agrandan cuando x se hace grande. Se asocian significados semejantes a los símbolos siguientes: x x x Página de 13
10 Definición exacta Definición Sea f una funcion definida en algun intervalo ( a, ). En tal caso L x Significa que para todo ε > 0 hay un numero correspondiente N tal que si x N entonces f ( L Definición Sea f una funcion definida en algun intervalo (, a). En tal caso L x Significa que para todo ε > 0 hay un numero correspondiente N tal que si x N entonces f ( L Definición Si f es una funcion definida en algun intervalo ( a, ). Entonces x significa que para todo numero positivo M hay un numero positivo correspondiente N tal que si x N entonces f ( M Definiciones similares son validas cuando el simbolo se reemplaza con. 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO Tangentes Definición La recta tangente a la recta y=f( en el punto (a,f(a)) es la recta que pasa por P con pendiente f ( f ( a) m x a cuando el ite existe. Página de 13
11 Con la formula punto-pendiente se encuentra la ecuación de la recta: y y m( x 1) 1 x Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es mas facil de usar. Si h x a, en este caso x a h y asi la pendiente de la recta tangente es f ( a h) f ( a) m h0 h Derivadas Ha visto que surge la misma clase de ite al calcular la pendiente de una linea tangente o la velocidad instantanea de un objeto, esto ocurre cuando calcula una razon de cambio. Como este ite sucede muy seguido se proporciona una notacion especial. Definición La derivada de una funcion f en un numero a, se indica mediante f (a), es f ( a h) f ( a) h0 h cundo este ite existe. Relaciones de cambio Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. si x cambia de x 1 a x 2, el cambio en x es x x 2 x 1 y el cambio correspondiente a y sera y f x ) f ( ) El cociente diferencial y x ( 2 x1 f ( x x 2 ) f ( x1 ) Se llama relacion de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo [x 1,x 2 ]. El ite de estas relaciones de cambio promedio se llama razon instantanea de cambio de y con respecto a x en x=x 1. y f ( x2) f ( x1 ) razon de cambioinstantane a x0 x x2x1 x x 2 x Se reconose a este ite como la derivada f ( Página de 13
12 La derivada f (a) es la razon de cambio instantanea de y=f( con respecto a x cuando x=a. 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCION En la seccion anterior considero la derivada de una funcion en un numero a, ahora cambie su punto de vista y haga que el numero a varie. Al remplazar a por la variable x obtiene f ( x h) f ( f ( h0 h De modo que considere a f como una nueva funcion llamada derivada de x y definida por la ecuación anterior. Cuando use la ecuación de f ( para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente una constante, durante el calculo del ite. Definición Una funcion f es derivable en a si f (a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a,b) si es deribable en todo numero del intervalo. Teorema Si f es derivable en a, en tal caso f es continua en a. El inverso de este teorema es falso, es decir que si f en a es continua puede que no sea derivable en a. Cómo deja de ser derivable una funcion? Una funcion no es derivable en cualquier punto donde tenga una esquina o rizo, pues al intentar calcular f (a) encuentra que los ites por izquierda y por derecha son distintos. Tambien no tiene derivada una funcion en los puntos que presentan discontinuidades. Una tercera posibilidad es que la curva tenga una tangente vertical cuando x=a. Página de 13
13 Derivadas superiores Si f es una funcion derivable, en tonces f tambien es una funcion, asi, f puede tener una derivada de si misma, señalada por (f ) =f. esta nueva funcion se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada. Utilizando la notacion de Leibniz, se escribe la segunda derivada de y=f( como 2 d dy d y 2 dx dx dx La tercera derivada f es la derivada de la segunda derivada. El proceso continua, La cuarta derivada f usualmente se señala como f (4). En general la n-esima derivada se señala mediante f (n) y se obtiene de f derivando n veces. n ( n) ( n) d y y f ( n dx Página de 13
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