Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )

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1 Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (00874) UNIDAD N 2 (LIMITES) Profesora: Yuar Matute Diciembre 20 0

2 Definición Intuitiva de Límites de Funciones El concepto de límite de una función es la piedra angular sobre la cual descansan las dos estructuras más importantes del cálculo: la derivada y la integral de una función. Eisten dos definiciones del concepto de límite, la definición formal, que se conoce también como la definición delta-épsilon, y la intuitiva. El rol principal del procedimiento formal, históricamente y en la práctica contemporánea, es servir como herramienta intelectual para la construcción de pruebas rigurosas, generalmente en las manos de epertos. El procedimiento intuitivo se utiliza para ayudar a los estudiantes a comprender el concepto de límite. En este curso se presentará y utilizará el concepto de límite en su forma intuitiva únicamente. El límite de una función puede encontrarse por medio de diferentes formas, llamadas numérica, gráfica y analítica. En la forma numérica, se tabula para encontrar el valor al que se aproima una función cuando se acerca cada vez más a un número. En la forma gráfica, se observa el comportamiento de la gráfica de una función para encontrar el valor al que se aproima la función cuando se acerca a un número. Finalmente, en la forma analítica se utilizan las propiedades de los límites y, si es necesario, se utiliza álgebra o cálculo para encontrar el valor al que se aproima la función cuando se aproima a un número. Para introducir la definición de límite, se muestra a continuación un ejemplo en el cual se utiliza la forma numérica. Ejemplo: Dada la función f() = +, observar el comportamiento de los valores de f, cuando los valores de se aproiman a 2: Solución: f() = En la tabla se puede observar que al acercar al 2 por la derecha y por la izquierda, los valores de la función se aproiman a 3. se acerca a 2 por la izquierda se acerca a 2 por la derecha f() = La función se aproima a 3 La función se aproima a 3

3 Utilizando la notación de límite, lo anterior se puede escribir como: ( + ) = 3 2 Lo cual se lee: el límite de la función f() = +, cuando se acerca a 2, es igual a 3. Definición Intuitiva de Límite: El límite L de una función eiste, si el valor al cual se aproima f() cuando se acerca a c por la izquierda y por la derecha, es el mismo. La notación para el límite de una función se escribe: f() = L Y se lee: el límite de f() cuando se acerca a c, es igual a L. Ejercicios:. Encontrar a qué valor se aproima f() = 2 cuando se acerca a. 2. Encontrar a qué valor se aproima f() = +3 cuando se acerca a Encontrar a qué valor se aproima f() = 2 cuando se acerca a 4. 4 Teoremas de los límites de funciones Los teoremas o propiedades básicas de los límites hacen más sencillo encontrar el límite de una función. A partir de las propiedades se pueden encontrar los límites de ciertas funciones sin tener que tabular o graficar. Propiedades básicas. El límite de una constante, cuando se acerca a c, es igual a la misma constante: b = b 2. El límite de la función identidad, cuando se acerca a c, es c. = c 3. El límite de una variable elevada a un eponente, cuando se acerca a c, es c elevada al eponente: n = c n Más propiedades de los límites 2

4 Sean b y c números reales, n un número entero positivo y f y g funciones con los siguientes límites: f() = L y g() = K, entonces:. [bf()] = b f() = bl El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función 2. [f() ± g()] = f() ± g() = L ± K El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de los límites de las funciones 3. [f(). g()] = f(). g() = L. K El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de las funciones. f() 4. = f() = L g() g() K, Donde K 0 5. [f()] n = [ f()] n = L n, Donde n es entero positivo; n 6. f() entonces L > 0) n = f() n = L, ) Donde n es un entero positivo ( además, si n es par, Ejemplos: Encontrar los siguientes límites aplicando las propiedades: a) 2 2 b) c) 2 ( ) d) Límites Unilaterales A Veces se pide solo encontrar el límite de una función cuando se acerca por el lado izquierdo o por el lado derecho de c. Cuando se especifica el lado por el cual se acerca a c, el límite se llama unilateral y simbólicamente se escribe: 3

5 f() y f() + El primer límite, f(), considera acercarse a c únicamente por el lado izquierdo, esto es, con valores menores a c, y se lee: el límite de f() cuando se acerca a c por el lado izquierdo. El segundo límite, f(), considera acercarse a c únicamente por el lado + derecho, esto es, con valores mayores a c, y se lee: el límite de f() cuando se acerca a c por el lado derecho. Cuando ambos límites son iguales, entonces el límite eiste, como se muestra en el siguiente teorema: Teorema: f() = L si y sólo si f() = L y f() = L + Ejercicios: En cada caso encontrar el límite señalado: i. f() = { 2, si < + 2, si > a. + f() b. f() c. f() + 2, si < 3 ii. f() = { + 6, si 3 a. f() b. f() c. f() , si < 5 iii. f() = { + 0, si 5 a. f() b. f() c. f() iv. f() = { 2, si < 2 3, si 2 a. f() b. f() c. f() v. () = { 2 +, si < 4 6 2, si 4 4

6 a. f() b. f() c. f() Límites de forma indeterminada 0 0 En algunas ocasiones no se puede encontrar el límite de una función utilizando las propiedades porque se obtiene una forma indeterminada, esto es, se obtiene 0. En estos 0 casos se utiliza álgebra para encontrar otra función que tenga el mismo límite que la primera y en la segunda función se obtiene el límite. Por ejemplo, las funciones f() = 2 4 y g() = + 2, coinciden en todos sus puntos 2 ecepto en = 2, como se muestra en sus gráficas: f() g() 5

7 Ambas funciones tienen el mismo límite cuando se acerca a cualquier c, incluso cuando se acerca a 2. Ya que el obtiene la forma indeterminada de f(): 2 4 = ( 2)(+2) = 2 ( + 2) = 4 no se puede encontrar utilizando propiedades porque se, se puede entonces utilizar g() para encontrar el límite Utilizar otra función con el mismo límite es una técnica muy útil para encontrar el límite de una función, especialmente cuando se obtiene la forma indeterminada al aplicar las propiedades. Lo anterior se presenta en el siguiente teorema: Teorema sobre funciones que coinciden en todos sus puntos ecepto en = c Sea c un número real y sea f() = g() en todas las c en el intervalo abierto que contiene a c. Si el límite de f() cuando se acerca a c eiste, entonces el límite de g() también eiste y f() = g(). Ejemplos: Encontrar el límite en los siguientes casos: Ejercicios propuestos: Encontrar el límite en los siguientes casos: Ejercicios propuestos: Encontrar el límite en los siguientes casos:

8 Límites Infinitos:(Noción de Asíntota Vertical) Sea la función definida por: f() = 2 Al graficarla obtenemos: Cuando 2 + observamos que f() + Cuando 2 observamos que f() Es decir, f() crece y decrece sin cota cuando 2; este comportamiento se denota, escribiendo: = y = + Definición de límite infinito: Un límite en el cual f() crece o decrece sin detenerse, cuando se acerca a c, es un límite infinito. De manera simbólica: f() + o f() cuando c + o c 7

9 Teorema: Si r es cualquier entero positivo, entonces i. 0 + r = + si r es impar ii. 0 r = { + si r es par Ejemplos: Teorema: Si c es cualquier número real, y si f() = L y g() = 0, donde L es una constante diferente de cero, entonces: f(). Si L > 0 y g() 0 positivamente, entonces: = + g() f() 2. Si L > 0 y g() 0 negativamente, entonces: = g() f() 3. Si L < 0 y g() 0 positivamente, entonces: = g() f() 4. Si L < 0 y g() 0 negativamente, entonces: = + g() Ejemplos: Asíntota: Es usualmente una recta a la cual la gráfica de una función se acerca indefinidamente para ciertos y determinados valores. Asíntota Vertical: 8

10 Se dice que la recta = c, es una asíntota vertical del gráfico de la función f, si se cumple al menos uno de los cuatro límites siguientes. a) f() = + + f() = + b) c) + d) Ejemplo: f() = f() = Determine si f() = 2 3 tiene asíntota vertical, si es así obtenga sus ecuaciones. + Límites al Infinito: (Noción de Asíntota Horizontal) 3. Sea la función dada por: f() = +2 3 Al graficarla obtenemos: Cuando + observamos que f() Cuando observamos que f() Es decir, la función se aproima a cuando tiende a infinito o menos infinito, esto es, se acerca a la asíntota horizontal cuya ecuación es y este comportamiento se denota, escribiendo: = y = Definición de límite al infinito de una función: Se les llama límites al infinito a los límites de una función, cuando crece o decrece sin límite, esto es, cuando tiende a infinito o menos infinito. La línea a la que se aproima la función cuando crece o decrece sin límite se llama asíntota horizontal. 9

11 Por ejemplo, en la función f ( ), cuando crece o decrece infinitamente, se observa que la función se aproima a 0. Simbólicamente, esto se escribe con la notación de límites de la siguiente manera: 0 y 0 La función se aproima a 0 cuando tiende a infinito o menos infinito, esto es, se acerca a la asíntota horizontal cuya ecuación es y 0. Definición de asíntota horizontal La línea y L es una asíntota horizontal de f () si f ) L o f ( ) L. ( Teorema: Si r es un número entero positivo, entonces: r 0 y r 0 Indeterminación de la forma G( ) Supongamos que deseamos calcular, siendo G() y F() polinomios en la variable F ( ), y n el mayor entre los grados de G y F. Encontramos en este límite una indeterminación de la forma, que puede ser rota al transformar el límite en: G( ) n F( ) n o sea dividir numerador y denominador por n. Calcular los límites:

12 (Al resolver el límite 2 tener presente que f ) f ( ) ) ( Ejercicio: 2 3. Determine si f ( ) tiene asíntota horizontal, si es así obtenga sus ecuaciones. 2. Encuentre la(s) asíntotas verticales y/o horizontales y trace la gráfica de la función: f 2 4 ) 9 ( 2 Ejercicios propuestos: Encuentre la(s) asíntotas verticales y/o horizontales y haga un bosquejo de la gráfica de la función.. f() = f() = f() = 4. f() = f() = f() = f() = f() = f() = Definición de continuidad de una función Una función continua es una función que se puede graficar sin tener que levantar el lápiz del papel. La siguiente función es un ejemplo de función continua:

13 Matemáticamente, no se puede demostrar que una función es continua utilizando la eplicación anterior. En matemáticas se demuestra que una función es continua en un punto y en un intervalo cuando cumple con ciertas condiciones, las cuales se presentarán a continuación. Definición de continuidad de una función en un punto Una función f() es continua en el punto = c si cumple con las siguientes condiciones:. f(c) está definida 2. f() eiste 3. f() = f(c) Si al menos una de las condiciones anteriores no se cumple, entonces la función no es continua. Tipos de discontinuidades en c Si f es discontinua en un punto c y eiste f(), se dice que la discontinuidad en c es Removible. En este caso se puede redefinir la función en c para einar la discontinuidad, haciendo que f(c) = f(). La discontinuidad se llama esencial si no eiste f(), en este caso no hay modo de salvar la discontinuidad. Ejercicios: Analice la continuidad en los puntos señalados en cada una de las siguientes funciones, en caso de ser discontinua señale el tipo de discontinuidad que presenta.. f() = en = 3 2. f() = f() = 4 en = 2 en = 4 Ejercicios propuestos: Analice la continuidad en los puntos señalados en cada una de las siguientes funciones, en caso de ser discontinua señale el tipo de discontinuidad que presenta. 2

14 + 6, si 3. f() = { 2, si < 3 En =3 3. f() = En =0 y =6, si 2 2. f() = { 2 3, si = 2 En =2 4 3, si 2 4. f() = { 2, si < 2 En =2 3 +, si < 2 5. f() = { 2, si 2 < 4 En = - 2 y = 4 + 2, si 4 2 3