IES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11

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1 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga a cada úmero atural u úmero real a, a, a,..., a, 6, 9,..., Los úmeros a, a, a,...; se llama térmios de la sucesió. El subídice idica el lugar que el térmio ocupa e la sucesió. DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN: Por el térmio geeral: El térmio geeral es a es u criterio que os permite determiar cualquier térmio de la sucesió. a = - a = - = a = - = a = {,,, 7,..., -,...} a = - = No todas las sucesioes tiee térmio geeral. Por ejemplo, la sucesió de los úmeros primos:,,, 7,,, 7, 9,,... Por ua ley de recurrecia: Los térmios se obtiee operado co los ateriores. Sucesió de Fiboacci:,,,,, 8,,,,, 89,,, 77, 60, 987, 97, 8,... Los dos primeros térmios so uos y los demás se obtiee sumado los dos térmios ateriores. SUCESIONES MONÓTONAS Se dice que ua sucesió es moótoa creciete si cada térmio es mayor o igual que el aterior:a a,,,, 8, 8,... Se dice que ua sucesió es estrictamete creciete si cada térmio es mayor que el aterior: a > a,, 8,,, 7,... Se dice que ua sucesió es moótoa decreciete si cada térmio de la sucesió es meor o igual que el aterior: a a 0, 9, 8, 8,,... Se dice que ua sucesió es estrictamete decreciete si cada térmio de la sucesió es meor que el aterior: a < a

2 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/, /, /, /, /, /6,... Se dice que ua sucesió es costate si todos su térmios so iguales: a = a,,,,... SUCESIONES ACOTADAS Ua sucesió está acotada iferiormete si todos sus térmios so mayores o iguales que u cierto úmero K, que llamaremos cota iferior de la sucesió: a k. Toda sucesió acotada iferiormete es creciete. Ua sucesió está acotada superiormete si todos sus térmios so meores o iguales que u cierto úmero K', que llamaremos cota superior de la sucesió: a k'. Toda sucesió acotada superiormete es decreciete. Ua sucesió se dice acotada si está acotada superior e iferiormete. Es decir si hay u úmero k meor o igual que todos los térmios de la sucesió y otro K' mayor o igual que todos los térmios de la sucesió. Por lo que todos los térmios de la sucesió está compredidos etre k y K': k a K' Ejemplos ) a =,,,,,... Es creciete. Está acotada iferiormete. No está acotada superiormete. ) b = -, -, -, -, -,... - Es decreciete. Está acotada superiormete. No está acotada iferiormete. ) c =, /, /, /,..., / Es decreciete. Está acotada superiormete. Está acotada iferiormete. Es acotada. ) d =, -, 8, -6,,..., (-) - No es moótoa. No está acotada. EJERCICIOS. Estudia la mootoía de las siguietes sucesioes: a) a =. Escribe ua sucesió : a) Moótoa o acotada. b) Acotada, o moótoa. c) No acotada, o moótoa. b) a =

3 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ LÍMITE DE UNA SUCESIÓN a) Idea ituitiva del límite de ua sucesió E la sucesió a = /, observamos que los térmios se va acercado a cero.,,,,..., 0,..., 00,..., 000,..., 0000,... Cosideremos que 0 es el límite de la sucesió porque: º Los térmios se aproxima a cero tato como se quiera a medida que se avaza e la sucesió. º La distacia a cero puede ser ta pequeña como queramos. Vemos que el límite es 0, pero o hay igú valor de la sucesió que coicida co el límite. b) Límite fiito Se dice que ua sucesió a tiee por límite L cuado tiede a ifiito si y sólo si para cualquiera úmero positivo ε que tomemos, existe u térmio a k, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a k cumple que a L < ε. a =L 0 k N / k a L La sucesió a = / tiee por límite 0. Es decir, k 0 ; k ; k Ya que podemos determiar a partir de que térmio de la sucesió, su distacia a 0 es meor que u úmero positivo (ε), por pequeño que éste sea. =0,; k 0, ; k0 Como k>0 a partir del a se cumplirá que su distacia 0 es meor que 0,. 0,;0, , c) Límite ifiito Se dice que ua sucesió a tiee por límite cuado para toda M>0 existe u térmio a k, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a k cumple que a > M. a = M 0 k N / k a M Vamos a comprobar que el límite de la sucesió a = es : a = {,, 9, 6,, 6, 9,.} luego M ; M Si tomamos M = 0000, su raíz cuadrada es 00, por tato a partir de a 0 superará a 0000.

4 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ Se dice que ua sucesió a tiee por límite cuado para toda N >0 existe u térmio a k, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a k cumple que a < N. a = N 0 k N / k a N Vamos a comprobar que el límite de la sucesió a = - es -: a = { -, -, -9, -6, -, -6, -9,.} luego N ; N Si tomamos N = 0 000, su raíz cuadrada es 00, por tato a partir de a 0 superará a d) Sucesioes segú sus límites Llamaremos Sucesioes covergetes a aquellas sucesioes que tiee límite fiito. Llamaremos Sucesioes divergetes a aquellas sucesioes que tiee límite ifiito ( ó ). e)propiedades de los límites: El límite si existe es úico. f) Cálculo de límites Para calcular u límite e ua sucesió sustituimos el valor de por ifiito y operamos segú las siguietes propiedades: a) ± k = b) = c) - = Idetermiació d) K = e) = f) 0 = Idetermiació g) h) i) j) k) 0 K = 0 K 0 = K = 0 K = 0 = 0 l) m) ) o) K 0 = 0 = p) 0 = = Idetermiació = Idetermiació q) = r) k = { si K 0 si 0K } s) k = { si K 0 si 0K } t) 0 0 = Idetermiació u) 0 = Idetermiació v) = Idetermiació

5 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ CÁLCULO DE LÍMITES DE SUCESIONES DEPENDIENDO DE SUS INDETERMINACIONES:. Ifiito partido ifiito Se divide todos los sumados por la potecia de mayor expoete. = = = 0 = 00 = 0 = Regla práctica ) Si el umerador y deomiador tiee el mismo grado el límite es el cociete etre los coeficietes de las potecias de mayor grado. ) Si el umerador tiee mayor grado que el deomiador el ite es ±, depediedo del sigo del coeficiete de mayor grado. ) Si el deomiador tiee mayor grado el límite es 0.. Ifiito meos ifiito a. Sucesió etera. Se saca factor comú de la potecia de mayor expoete. == = 00= = Regla práctica: El límite es ±, depediedo del sigo del coeficiete de mayor grado. b. Sucesioes racioales. Poemos a comú deomiador, y si obteemos c. Sucesioes irracioales. Multiplicamos y dividimos por el cojugado. resolvemos la idetermiació. ==. Cero por ifiito Se trasforma a. = = = 7 = 0= 7 = = 9 = =

6 IES IGNACIO ALDECOA 6 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/. Cero partido por cero Operamos el cociete y lo trasformamos a la idetermiació. = = =. Uo elevado a ifiito Se resuelve trasformado la expresió e ua potecia del úmero e. Se defie el úmero e como el siguiete límite: e= O tambié como: e= a a, e =, = Sumamos y restamos e la base: Luego reducimos a comú deomiador los dos últimos sumados: Sustituimos por el iverso del iverso: Elevamos al deomiador y a su iverso: [ ] =[ ] =e =e 6 =e

7 IES IGNACIO ALDECOA 7 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ EJERCICIOS. Demuestra que la sucesió a = distacia a es meor que 0,.. Probar que la sucesió a = distacia a es meor que 0,00.. Probar que 0,0. 8 =. Demuestra que la sucesió a = la sucesió so meores que u milló.. Calcula los siguietes límites: a) tiee límite. Averigua los térmios cuya tiee por ite y averiguar cuátos térmios. Averigua los térmios cuya distacia al límite es meor que b) c) d) e) g) i) k) m) 7 tiee por ite. Y calcula cuátos térmios de f) h) j) l) ) 8 6. Calcula los siguietes límites: ) ( ) ) ) ( ) x ) ( 8 6) ) 6 7 6)

8 IES IGNACIO ALDECOA 8 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ 7) ) 6 6 9) ) 8 ) 6 8 ) 7 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) 6 6) 7) ( ) 8) ( ) 8 9) ( ) 7 0) ) ) ) ) ) 6) 0 9 7) 8) 9) 0) ) ) ) ) ) 6) 7) 7 8) 9) 0) 7 ) ) ) ) )

9 IES IGNACIO ALDECOA 9 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Llamamos ecuació expoecial a las ecuacioes e las que la icógita está e el expoete. Para resolver estas ecuacioes teemos que teer e cueta los siguietes putos:. La base será positiva y distita de. a > 0 y a. Dos potecias iguales que tiee la misma base tiee tambié los mismos expoetes: a x = a y x = y. Cuado las bases o sea iguales las resolveremos utilizado logaritmos.. Aplicaremos las propiedades de las potecias para llegar a ua igual de potecias: a a m = a m a : a m = a -m (a ) m = a m a b = (a b) a : b = (a : b) a 0 =, a distito de cero. ( a) = a a si par si impar a = a m m a = a EJEMPLO : Resolver la ecuació expoecial: EJEMPLO : Resolver la ecuació expoecial:

10 IES IGNACIO ALDECOA 0 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ EJEMPLO : resolver la ecuació expoecial: EJEMPLO : resolver la ecuació expoecial: EJEMPLO : resolver la ecuació expoecial: EJERCICIOS: Resuelve las siguietes ecuacioes expoeciales:

11 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ El logaritmo e base a (a > 0 y a ) de u úmero X es el expoete Y al que hay que elevar la base para obteer dicho úmero: De la defiició de logaritmo se deduce: No existe el logaritmo de u úmero co base egativa. No existe el logaritmo de u úmero egativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de es cero. El logaritmo e base a de a es uo. El logaritmo e base a de ua potecia e base a es igual al expoete. Los logaritmos decimales so los que tiee base 0. Se represeta por log x. Los logaritmos eperiaos so los que tiee base e. Se represeta por l x o Lx. Propiedades de los logaritmos. El logaritmo de u producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.. El logaritmo de u cociete es igual al logaritmo del dividedo meos el logaritmo del divisor.. El logaritmo de ua potecia es igual al producto del expoete por el logaritmo de la base.

12 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/. El logaritmo de ua raíz es igual al cociete etre el logaritmo del radicado y el ídice de la raíz.. Cambio de base: EJERCICIOS:. Calcular por la defiició de logaritmo el valor de y. a) b) c) d) e). Calcula el valor de x aplicado la defiició de logaritmo. a) b) c) d) e) f) Resolució de ecuacioes expoeciales utilizado logaritmos: Para despejar ua icógita que está e el expoete de ua potecia, se toma logaritmos cuya base es la base de la potecia y luego aplicamos las propiedades de los logaritmos, g)

13 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ Resolver la ecuació expoecial: EJERCICIOS: Resuelve las siguietes ecuacioes... Las ecuacioes logarítmicas so aquellas ecuacioes e la que la icógita aparece afectada por u logaritmo. Para resolver ecuacioes logarítmicas vamos a teer e cueta:. Las propiedades de los logaritmos. a) b) c) d) e) f) g)... Además teemos que comprobar las solucioes para verificar que o teemos logaritmos ulos o egativos.

14 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ EJEMPLOS: Resolver las ecuacioes logarítmicas siguietes:....

15 IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ EJERCICIOS: Resolver las ecuacioes logarítmicas:

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