AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1

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1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga a cada úmero atural u úmero real a, a, a,..., a,, 9,..., Los úmeros a, a, a,...; se llama térmios de la sucesió. El subídice idica el lugar que el térmio ocupa e la sucesió. DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN: Por el térmio geeral: El térmio geeral es a es u criterio que os permite determiar cualquier térmio de la sucesió. a = - a = - = a = - = a = {,,,,..., -,...} a = - = No todas las sucesioes tiee térmio geeral. Por ejemplo, la sucesió de los úmeros primos:,,,,,,, 9,,... Por ua ley de recurrecia: Los térmios se obtiee operado co los ateriores. Sucesió de Fiboacci:,,,,, 8,,,,, 89,,,, 0, 98, 9, 8,... Los dos primeros térmios so uos y los demás se obtiee sumado los dos térmios ateriores. SUCESIONES MONÓTONAS Se dice que ua sucesió es moótoa creciete si cada térmio es mayor o igual que el aterior:a a,,,, 8, 8,... Se dice que ua sucesió es estrictamete creciete si cada térmio es mayor que el aterior: a > a,, 8,,,,... Se dice que ua sucesió es moótoa decreciete si cada térmio de la sucesió es meor o igual que el aterior: a a 0, 9, 8, 8,,... Se dice que ua sucesió es estrictamete decreciete si cada térmio de la sucesió es meor que el aterior: a < a

2 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO /, /, /, /, /, /,... Se dice que ua sucesió es costate si todos su térmios so iguales: a = a,,,,... SUCESIONES ACOTADAS Ua sucesió está acotada iferiormete si todos sus térmios so mayores o iguales que u cierto úmero K, que llamaremos cota iferior de la sucesió: a k. Toda sucesió acotada iferiormete es creciete. Ua sucesió está acotada superiormete si todos sus térmios so meores o iguales que u cierto úmero K', que llamaremos cota superior de la sucesió: a k'. Toda sucesió acotada superiormete es decreciete. Ua sucesió se dice acotada si está acotada superior e iferiormete. Es decir si hay u úmero k meor o igual que todos los térmios de la sucesió y otro K' mayor o igual que todos los térmios de la sucesió. Por lo que todos los térmios de la sucesió está compredidos etre k y K': k a K' Ejemplos ) a =,,,,,... Es creciete. Está acotada iferiormete. No está acotada superiormete. ) b = -, -, -, -, -,... - Es decreciete. Está acotada superiormete. No está acotada iferiormete. ) c =, /, /, /,..., / Es decreciete. Está acotada superiormete. Está acotada iferiormete. Es acotada. ) d =, -, 8, -,,..., (-) - No es moótoa. No está acotada. EJERCICIOS. Estudia la mootoía de las siguietes sucesioes: a) a =. Escribe ua sucesió : a) Moótoa o acotada. b) Acotada, o moótoa. c) No acotada, o moótoa. b) a =

3 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / LÍMITE DE UNA SUCESIÓN a) Idea ituitiva del límite de ua sucesió E la sucesió a = /, observamos que los térmios se va acercado a cero.,,,,..., 0,..., 00,..., 000,..., 0000,... Cosideremos que 0 es el límite de la sucesió porque: º Los térmios se aproxima a cero tato como se quiera a medida que se avaza e la sucesió. º La distacia a cero puede ser ta pequeña como queramos. Vemos que el límite es 0, pero o hay igú valor de la sucesió que coicida co el límite. b) Límite fiito Se dice que ua sucesió a tiee por límite L cuado tiede a ifiito si y sólo si para cualquiera úmero positivo ε que tomemos, existe u térmio a k, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a k cumple que a L < ε. a =L 0 k N / k a L La sucesió a = / tiee por límite 0. Es decir, k 0 ; k ; k Ya que podemos determiar a partir de que térmio de la sucesió, su distacia a 0 es meor que u úmero positivo (ε), por pequeño que éste sea. =0,; k 0, ; k0 Como k>0 a partir del a se cumplirá que su distacia 0 es meor que 0,. 0,;0, , c) Límite ifiito Se dice que ua sucesió a tiee por límite cuado para toda M>0 existe u térmio a k, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a k cumple que a > M. a = M 0 k N / k a M Vamos a comprobar que el límite de la sucesió a = es : a = {,, 9,,,, 9,.} luego M ; M Si tomamos M = 0000, su raíz cuadrada es 00, por tato a partir de a 0 superará a 0000.

4 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / Se dice que ua sucesió a tiee por límite cuado para toda N >0 existe u térmio a k, a partir del cual todos los térmios de a, siguietes a a k cumple que a < N. a = N 0 k N / k a N Vamos a comprobar que el límite de la sucesió a = - es -: a = { -, -, -9, -, -, -, -9,.} luego N ; N Si tomamos N = 0 000, su raíz cuadrada es 00, por tato a partir de a 0 superará a d) Sucesioes segú sus límites Llamaremos Sucesioes covergetes a aquellas sucesioes que tiee límite fiito. Llamaremos Sucesioes divergetes a aquellas sucesioes que tiee límite ifiito ( ó ). e)propiedades de los límites: El límite si existe es úico. f) Cálculo de límites Para calcular u límite e ua sucesió sustituimos el valor de por ifiito y operamos segú las siguietes propiedades: a) ± k = b) = c) - = Idetermiació d) K = e) = f) 0 = Idetermiació g) h) i) j) k) 0 K = 0 K 0 = K = 0 K = 0 = 0 l) m) ) o) K 0 = 0 = p) 0 = = Idetermiació = Idetermiació q) = r) k = { si K 0 si 0K } s) k = { si K 0 si 0K } t) 0 0 = Idetermiació u) 0 = Idetermiació v) = Idetermiació

5 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / CÁLCULO DE LÍMITES DE SUCESIONES DEPENDIENDO DE SUS INDETERMINACIONES:. Ifiito partido ifiito Se divide todos los sumados por la potecia de mayor expoete. = = = 0 = 00 = 0 = Regla práctica ) Si el umerador y deomiador tiee el mismo grado el límite es el cociete etre los coeficietes de las potecias de mayor grado. ) Si el umerador tiee mayor grado que el deomiador el ite es ±, depediedo del sigo del coeficiete de mayor grado. ) Si el deomiador tiee mayor grado el límite es 0.. Ifiito meos ifiito a. Sucesió etera. Se saca factor comú de la potecia de mayor expoete. == = 00= = Regla práctica: El límite es ±, depediedo del sigo del coeficiete de mayor grado. b. Sucesioes racioales. Poemos a comú deomiador, y si obteemos c. Sucesioes irracioales. Multiplicamos y dividimos por el cojugado. resolvemos la idetermiació. ==. Cero por ifiito Se trasforma a. = = = = 0= = = 9 = =

6 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO /. Cero partido por cero Operamos el cociete y lo trasformamos a la idetermiació. = = =. Uo elevado a ifiito Se resuelve trasformado la expresió e ua potecia del úmero e. Se defie el úmero e como el siguiete límite: e= O tambié como: e= a a, e =, = Sumamos y restamos e la base: Luego reducimos a comú deomiador los dos últimos sumados: Sustituimos por el iverso del iverso: Elevamos al deomiador y a su iverso: [ ] =[ ] =e =e =e

7 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / EJERCICIOS. Demuestra que la sucesió a = distacia a es meor que 0,.. Probar que la sucesió a = distacia a es meor que 0,00.. Probar que 0,0. 8 =. Demuestra que la sucesió a = la sucesió so meores que u milló.. Calcula los siguietes límites: a) tiee límite. Averigua los térmios cuya tiee por ite y averiguar cuátos térmios. Averigua los térmios cuya distacia al límite es meor que b) c) d) e) g) i) k) m) tiee por ite. Y calcula cuátos térmios de f) h) j) l) ) 8. Calcula los siguietes límites: ) ( ) ) ) ( ) x ) ( 8 ) ) )

8 8 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / ) ) 9) 0 0) 8 ) 8 ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) 8) ( ) 8 9) ( ) 0) ) 9 ) ) ) ) ) 0 9 ) 8) 9) 0) ) ) ) ) ) ) ) 8) 9) 0) ) ) ) ) )

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