1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

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1 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1

2 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x menores que a muy próximos al punto a. Se representa así: lim f(x) x a 2x 1, si x 3 Por ejemplo, si la función es f(x) = 1 x 3, si x 3, el límite de f cuando x tiende a 3 por la izquierda es el valor al que tiende y cuando tomamos valores de x menores que 3 muy próximos al número 3. 2,8 2,9 2,99 x 3 Veamos cuánto vale este límite: y = 2x 1 4,6 4,8 4,98 Vemos que la y tiende a 5. Por tanto, lim f(x) 5 x 3 2

3 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la derecha de un punto x = a. Es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x mayores que a muy próximos al punto a. Se representa así: lim f(x) x a 2x 1, si x 3 Por ejemplo, si la función es f(x) = 1 x 3, si x x, el límite de f cuando x tiende a 3 por la derecha es el valor al que tiende y cuando tomamos valores de x mayores que 3 muy próximos al número 3. 3,001 3,0001 x 3+ 3,01 Veamos cuánto vale este límite: 10 Vemos que la y tiende a +. Por tanto, lim f(x) x 3 3

4 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Los límites por la izquierda y por la derecha se llaman límites laterales Observaciones: - Para poder calcular los límites laterales en el punto x = a no es necesario que la función esté definida en dicho punto: La función del ejemplo no está definida en x = 3 - Si los valores de y se hacen infinitamente grandes, entonces el límite es + - Si los valores de y se hacen negativos e infinitamente grandes, en valor absoluto, entonces el límite es - Si no hay ninguna tendencia de los valores de la y, entonces no existe el límite. 4

5 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f en un punto x = a. Decimos que una función f tiene límite en un punto x = a cuando lim f(x) = lim f(x) x a x a En tal caso, el límite de la función f cuando x tiende a a es el valor común de los límites laterales y se representa por lim f(x) x a En el ejemplo que hemos tomado al principio no existe lim f(x) pues los límites laterales no coinciden: lim f(x) 5 x 3 x 3 lim f(x) x 3 2x 1, si x 3 Sin embargo, si tomamos la función f(x) = 15 x, si x 3 podemos comprobar que lim f(x) = lim f(x) = 5 x 3 x 3 Por tanto, en este caso existe lim f(x) x 3 Si la función no estuviese definida a la izquierda o a la derecha de x = a, entonces la función tiene límite en x = a siempre que exista el límite lateral que tenga sentido calcular. 5

6 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Interpretación gráfica del límite puntual. Consideremos la gráfica de la función del ejemplo 2x 1, si x 3 f (x) 1 x 3, si x 3 Y lim f(x) x 3 5 y = 1 / (x-3) Gráficamente significa que X cuando nos aproximamos a la 3 y = 2x - 1 recta vertical, la gráfica que hay a su derecha tiende hacía + lim f(x) 5 Gráficamente significa que cuando nos aproximamos a x 3 la recta vertical, la parte de gráfica que hay a su izquierda tiende hacía el punto (3,5) 6

7 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Asíntota vertical. Decimos que una función f tiene una asíntota vertical en un punto x = a si alguno de los límites laterales, o los dos, son + ó. En el ejemplo anterior, la recta de ecuación x = 3 es una asíntota vertical Y 5 y = 1 / (x-3) X 3 y = 2x - 1 A.V. : x = 3 7

8 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Actividad de clase 1 Obtén los límites puntuales que se indican. En caso de haber asíntota vertical, escribe su ecuación. 8

9 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Actividad de clase 9

10 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Actividad de clase 10

11 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Actividad de clase 11

12 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Actividad de clase 12

13 2.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES PUNTUALES Si f es una función dada por una única fórmula y existe f(a), entonces lim f(x) f(a) x a Es decir para calcular el límite sustituimos la letra x por el valor hacía el que tiende, a. Si la función es definida a trozos y a es el punto donde cambia de expresión la función, debemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden. 13

14 2.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES PUNTUALES Actividades de clase 14

15 2.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES PUNTUALES 1) Indeterminación L 0 En el caso de que NO exista f(a), se pueden dar los siguientes casos indeterminados:, siendo L 0, sustituyendo x por a, obtenemos L 0 Esta indeterminación se da cuando al hallar lim f(x) x a, siendo L 0 Para resolver esta indeterminación debemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden. Los valores de los límites laterales siempre van a ser ó pues al dividir un número no nulo, L, entre números que tienden a cero obtenemos valores que tienden a ó a. 15

16 2.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES PUNTUALES Actividades de clase 16

17 2.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES PUNTUALES 0 0 2) Indeterminación, sustituyendo x por a, obtenemos 0 0 Esta indeterminación se da cuando al hallar lim f(x) x a Esta indeterminación suele aparecer en las funciones racionales. En este caso, se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x a. 17

18 2.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES PUNTUALES Actividades de clase 18

19 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD Recuerda que una función es continua si su gráfica no tiene ninguna rotura. La gráfica del ejemplo del apartado 1 NO es continua en x = 3. Este hecho se debe a que los dos trozos de gráfica no encajan porque los límites laterales no son iguales ni coinciden con f(3) Y 5 y = 1 / (x-3) X 3 y = 2x - 1 Si hubiese sido lim f(x) = f(3) entonces la función hubiese sido x 3 continua en x = 3. 19

20 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD De este hecho se deduce que una función f es continua en x = a cuando lim f(x) f(a) x a Para que lim f(x) f(a) se deben cumplir varias condiciones: x a 1) Debe existir f(a) 2) lim f(x) lim f(x) f(a) x a x a 20

21 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD Cuando la función f no sea continua en x = a, porque no se cumpla alguna de las condiciones anteriores, se pueden dar distintos tipos de discontinuidad: D1: Discontinuidad de salto infinito o asintótica. Se da cuando En este caso, la recta x = a es una asíntota vertical 21

22 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD D2: Discontinuidad de salto finito. Se da cuando 22

23 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD D2: Discontinuidad de salto finito. Se da cuando 23

24 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD D3: Discontinuidad evitable. Se da cuando 24

25 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD Actividades de clase 25

26 3.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD Actividades de clase 26

27 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Límite de una función f en +. Es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x muy grandes. Se representa así: lim f(x) x Por ejemplo, si la función es f(x) = 1 x x 3 6 Los límites en + sólo tienen sentido cuando f esté definida para valores de x infinitamente grandes., el límite de f cuando x tiende a es el valor al que tiende y cuando tomamos valores de x muy grandes. Veamos cuánto vale este límite: 1 x x 3 6 x ,0033 2,0017 2,0011 Observamos que y tiende a 2. Por tanto, lim f(x) 2 x 27

28 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO 1 x x 3 6 x f Interpretación gráfica lim f(x) 2 x Y 2 X 28

29 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Límite de una función f en. Es el valor al que tiende la y cuando se toman valores de x negativos e infinitamente grandes, en valor absoluto. lim f(x) Se representa así: x Los límites en sólo tienen sentido cuando f esté definida para valores de x negativos e infinitamente grandes, en valor absoluto. Por ejemplo, si la función es f(x) = x2, el límite de f cuando x tiende a es el valor al que tiende y cuando tomamos valores de x negativos e infinitamente grandes, en valor absoluto. Veamos cuánto vale este límite: x y = 3x Observamos que y tiende a. Por tanto, lim f(x) x 29

30 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Interpretación gráfica f(x) = x2 lim f(x) x Y X 30

31 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Observaciones: Si los valores de y se hacen infinitamente grandes, entonces el límite es + Si los valores de y se hacen negativos e infinitamente grandes, en valor absoluto, entonces el límite es L ) x ( f ó x m i l Cuando L ) x ( f m i lx Si no hay ninguna tendencia de los valores de la y, entonces no existe el límite, se dice que la recta de ecuación y = L es una asíntota horizontal Y 2 A.H. : y = 2 X 31

32 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Actividades de clase 1 En la siguiente función dada por su fórmula, obtén los límites en y en : 0 ) x ( f m i l x ) x ( f m i l x x3, si x 1 2 x 1 f(x) x 1 3, si x 1 32

33 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Actividades de clase 2 Determina los límites en y en y escribe las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, si las hay: Y 10 a) 5 2 X -2 5 ) x ( f m i l x 2 ) x ( f m i l x Ecuaciones de las asíntotas: x=0,y=2,y=5 33

34 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Actividades de clase Y 1 X b) 0 ) x ( f m i l x ) x ( f m i l x Ecuaciones de las asíntotas: x=0,y=0 34

35 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Actividades de clase c) ) x ( f m i l x ) x ( f m i l x No hay asíntotas 35

36 4.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Actividades de clase 3 Construye una gráfica en cada caso que se ajuste a lo que se pide: lim f(x) lim f(x) 1 f(0) = 2 f(1) = 0 x 0 lim f(x) x x 0 lim f(x) 0 x Y X

37 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO 37

38 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO 38

39 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO 39

40 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO 40

41 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO Análogamente, se puede hablar de asíntota oblicua en sustituyendo por Debemos tener en cuenta que en las funciones racionales: - Sólo hay asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador, pues sólo en estos casos el límite es un número. - Sólo hay asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador. En este caso, la ecuación de la asíntota oblicua es y = c(x), siendo c(x) el cociente de la división de p(x) entre q(x). 41

42 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO 42

43 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO 43

44 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO 44

45 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO Actividades de clase x3, si x 1 (x 1)(x 2) 1 Dada la función f(x) = 2 x 2x 1, si x 1 3 x 1, calcula lim f ( x ) x y lim f(x) x y determina la ecuación de todas sus asíntotas. 45

46 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO Actividades de clase 2 Dadas las funciones f(x) = 2x2 3x 1 x2 1 x2 3x 1, g(x) = x 2, dibuja sus asíntotas, determina la posición de la gráfica respecto de cada asíntota y dibuja de forma aproximada la gráfica 3 Un comerciante vende un determinado producto. El dinero que obtiene, en euros, según el número de unidades vendidas, x, viene dado por la fórmula si 0 < x 10 5x d(x) x > 10 ax + 2 si a) Halla a para que el dinero varíe de forma continua al variar el número de unidades que se venden. b) Si vende una cantidad muy grande de unidades, a cuanto tiende el precio de cada unidad? 46

47 5.- REGLAS DE CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO Actividades de clase 4 El número de habitantes, en función del tiempo, en una determinada ciudad viene dado por la fórmula N(t) = t ekt, para t > 0, siendo k una constante. Estudia el comportamiento de la población a largo plazo en los casos k > 0, k < 0 y k = 0 47

48 6.- CONCEPTO DE DERIVADA ) a ( a f ) b b ( f ) b, a ( f M V T Tasa de variación media de una función en un intervalo. La tasa de variación media de una función f en un intervalo [a, b] es : La TVM representa el crecimiento medio (si es positiva) o decrecimiento (si es negativa) de la función en el intervalo [a, b] Derivada de una función en un punto. Al igual que la pendiente de una recta nos indica la mayor o menor inclinación de ésta, cuando la gráfica de una función no es una recta y queremos medir la pendiente de la gráfica se utiliza la derivada. La derivada de una función en un punto es la pendiente de la gráfica en ese punto, concretamente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente a la gráfica de una función f en un punto A(a,f(a)) es la recta que pasa por A y se aproxima lo máximo posible a la gráfica de la función en las proximidades del punto A. 48

49 6.- CONCEPTO DE DERIVADA ) a ( f ) h h a ( f m0 ih l ) a ( f La derivada de una función f en el punto x = a, se calcula con la fórmula: Observa que la derivada es el límite de la TVMf[ a, a+h]. El valor de este límite se Y llama también tasa de tg variación instantánea de f f (a) = en el punto x = a. pendiente Si no existe el límite, se dice de la recta que la función no es tangente derivable en x = a. Esto X ocurre cuando la función es discontinua en x = a ó la gráfica presenta un pico en el punto A(a,f(a)) r f(a) A a 49

50 6.- CONCEPTO DE DERIVADA Si f es una función derivable en x = a. Entonces: a) Si f tiene un extremo relativo en x = a, entonces f (a) = 0 b) Si f (a) > 0, entonces f es creciente en x = a c) Si f (a) < 0, entonces f es decreciente en x = a d) Cuanto mayor es la derivada, en valor absoluto, mayor es la rapidez con que crece o decrece la función. 50

51 6.- CONCEPTO DE DERIVADA Función derivada de una función f ) x ( f ) x ( f ) h h x ( f m0 ih l Dada una función f, se llama función derivada de f a la función: La función derivada de una función f se puede representar también por y o por Df 51

52 6.- CONCEPTO DE DERIVADA Actividades de clase 1 Para la función f dibujada calcula f (4), f (2) y f ( 4) (La línea discontinua es la recta tangente) Y 1 X 4 52

53 6.- CONCEPTO DE DERIVADA Actividades de clase 2 La fórmula h(t) = t 5t2 da la altura en metros que alcanza un objeto a los t segundos de haberlo lanzado. a) Calcula la TVM en los 10 primeros segundos b) Halla h (5) 53

54 6.- CONCEPTO DE DERIVADA Actividades de clase 4 Usa la definición para hallar la función derivada de las siguientes funciones: 54

55 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS ) x ( f ) x ( f ) h h x ( f m0 ih l Recordemos que la función derivada de f se calcula usando la fórmula Como el cálculo de límites es bastante laborioso, los matemáticos dedujeron, calculando límites, unas reglas para obtener la derivada de forma más sencilla y rápida: 55

56 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS DERIVADAS FUNDAMENTALES Función constante: La derivada de la función constante vale 0 (c) = 0, c R 56

57 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS DERIVADAS FUNDAMENTALES 57

58 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS REGLAS DE DERIVACIÓN 58

59 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS REGLAS DE DERIVACIÓN 59

60 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS REGLAS DE DERIVACIÓN 60

61 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS REGLAS DE DERIVACIÓN 61

62 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS REGLAS DE DERIVACIÓN 62

63 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS Actividades de clase 63

64 7.- CÁLCULO DE DERIVADAS Actividades de clase 64

65 8.- ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Como la recta tangente a la gráfica de una función f pasa por el punto A(a,f(a)) y su pendiente es m = f (a), la ecuación de la recta tangente es: rtg: y = f (a). (x a) + f(a) Para poder calcular dicha ecuación es necesario que existan tanto f(a) como f (a). Una vez calculados, sustituimos en la fórmula anterior los valores: " a ", " f(a) " y " f (a) " 65

66 8.- ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Actividades de clase 1 Sea la función f (x) = x3 + 3x2. Obtén la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1 2x, si x 1 Determina la ecuación de la recta 2 Sea la función f(x) = 2, si x 1 x tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = Sea la función f(x) = x x 2 3x 4. Halla los puntos de 3 la gráfica de f donde la recta tangente es paralela a y = 3x

67 8.- ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Actividades de clase si x 2 3x 3 4 Sea la función f(x) = 2 x 6 x 11 si x 2 Existe algún punto donde la recta tangente sea horizontal? En caso afirmativo, determina cuál es. b 5 Se considera la función x Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f en x = 1 tenga como ecuación y = 3x 2. f(x) = ax2 + 6 Sea la función f (x) = x3 + 3x. Obtén las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de la función que tienen pendiente cero y di cuáles son los puntos de tangencia. 67

68 8.- ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Actividades de clase 7 1 x, si x 0 Sea la función f(x) = 1, si x 0 x Calcula el punto de la curva en el que la pendiente de la recta tangente es 1. 8 De una función f se sabe que su función derivada es f (x) = 3x2 9x + 6 Sabiendo que la gráfica de f pasa por (0, 1), calcula la ecuación de la recta tangente en dicho punto. 68

69 9.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN Estudio de la monotonía de una función. Estudiar la monotonía de una función consiste en averiguar los intervalos donde es creciente, decreciente o constante. La derivada representa la pendiente de la recta tangente, luego si f es una función derivable y f (x) es su derivada se cumple: a) Si f (x) > 0, en un intervalo, entonces f es creciente en dicho intervalo b) Si f (x) < 0, en un intervalo, entonces f es decreciente en dicho intervalo c) Si f (x) = 0, en un intervalo, entonces f es constante en dicho intervalo Mediante estos criterios podemos conocer el comportamiento de una función f a partir del de su función derivada 69

70 9.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN Estudio de los extremos relativos de una función. Los extremos relativos son los máximos o mínimos relativos. Los extremos relativos se descubren estudiando la monotonía. También se pueden determinar hallando las soluciones de la ecuación f (x) = 0 y después averiguando cuál de las soluciones corresponde a un máximo, mínimo o a ninguno de los dos. 70

71 9.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN Actividades de clase 1 Sea la función f (x) = ax3 + bx. Si a = 1/3 y b = 4, determina sus intervalos de monotonía y sus extremos. 3 x, determina sus intervalos de monotonía 2 Sea la función f(x) = x 1 y sus extremos. 3 x 2 si x 1 x Sea la función f (x) = 2 x 4 si 1 x 1 x 2 si 1 x x, determina sus intervalos de monotonía y sus extremos. 71

72 9.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN Actividades de clase 4 La gráfica siguiente es la de la función f (x) Y X -5 Determina: a) El valor o valores de x para los que f no es derivable b) Los intervalos de monotonía de f c) Los máximos/mínimos relativos de f 72

73 9.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN Actividades de clase 5 Se sabe que f (x) = 4 3x x 2 Determina: x4 a) El valor o valores de x para los que f no es derivable b) Los intervalos de monotonía de f c) Los máximos/mínimos relativos de f 6 La gráfica de la función derivada de una función f es la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 3, 0) y (3, 0). A partir de dicha gráfica, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f 73

74 9.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN Actividades de clase a 7 Sea la función f (x) = bx 2 Calcula los valores de los parámetros x a y b para que f tenga un extremo relativo en el punto (1, 3). 8 En una fábrica la función de costes es C(x) x3 3 lnx, donde x > 0 es el número de toneladas que se producen. a) Calcula el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste. b) Si la función de ingresos es I(x) x3 12x escribe la función de beneficios. c) Calcula los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente y di si existe beneficio máximo y en caso afirmativo el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio. 74

75 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Para representar gráficamente una función es conveniente analizar: 1) El dominio de definición 2) La continuidad y las asíntotas verticales (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) 3) Las asíntotas horizontales y/o oblicuas (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) 4) La monotonía y los extremos relativos. Si además, calculamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas tendremos más elementos para su representación pues nos permitirá deducir dónde la función es positiva y dónde es negativa. Si la función es simétrica respecto del eje Y (esto ocurre cuando f( x) = f(x) ) o simétrica respecto del origen de coordenadas (esto ocurre cuando f( x) = f(x) ) entonces sólo es necesario estudiarla para x > 0 y luego, por simetría, dibujar la gráfica para x < 0. 75

76 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase 1 Representa gráficamente las funciones: a) f(x) = x3 9x2 + 24x 76

77 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase b) f(x) 3 x x 1 77

78 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase 2 La gráfica de la función derivada de una función f(x) es una parábola de vértice (1, 4) que corta al eje de abscisas en los puntos ( 1,0) y (3,0). A partir de la gráfica de f : a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f. b) Para qué valores de x se alcanzan los máximos y mínimos relativos? 78

79 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase c) Esboza la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea la parábola dada. 79

80 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase 3 El número medio de clientes que visitan un hipermercado entre las 11 y las 20 horas está dado por f(x) = x3 42x x 2 296, en función de la hora x, siendo 11 x 20. a) Halla los extremos relativos de esta función. 80

81 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase b) Representa esta función y determina las horas en las que crece el número medio de clientes. c) Halla los valores máximos y mínimos del número medio de clientes que visitan el hipermercado entre las 11 y las 20 horas 81

82 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase 4 Sea x, en euros, el precio de venta del litro de aceite de oliva virgen extra. Sea f(x) = 2 4 x 1, con x 0, la función que representa el balance económico quincenal, en miles de euros, de una empresa agrícola. a) Representa la función f. 82

83 10.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Actividades de clase b) A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? c) Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? d) Y las pérdidas? 83

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