TEMA 3: Probabilidad. Modelos. Probabilidad

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1 TEM 3: Probabilidad. Modelos Probabilidad Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz. Selección al azar de un alumno entre los 30 de una clase: Resultados posibles uno cualquiera de los 30. La imprecisión de los resultados nos lleva a plantearnos la medición de la incertidumbre ligada a estos resultados, evaluándola numéricamente. Esto nos lleva a la probabilidad. Conceptos básicos Supongamos que se realiza un experimento aleatorio Se llama suceso elemental a cada uno de los resultados posibles. Se llama Espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles Se llama suceso al compuesto por uno o más sucesos elementales Se llama suceso seguro, que notaremos con E, al formado por todos los resultados posibles Se llama suceso imposible, que notaremos con φ,al que no contiene ninguno de resultados posibles 1

2 Probabilidad Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado E {1,, 3, 4, 5, 6} Espacio muestral Suceso Elemental: {5} 4 6 Suceso: B{, 4, 6} Operaciones con sucesos Unión de dos sucesos y B es un nuevo suceso, UB, constituido por los sucesos elementales de y los de B. Se realiza cuando tiene lugar cualquiera los sucesos elementales que lo forma. Intersección de dos sucesos y B es un nuevo suceso, B, constituido por los sucesos elementales que están a la vez en y en B. Se realiza, cuando se realiza y B. Contrario de un suceso : Está formado por todos los sucesos elementales de E que no están en. Se nota con Dos sucesos y B se dicen incompatibles si su intersección es el suceso imposible

3 3 Probabilidad B B B B ; Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado Suceso {3,4,5,6} Suceso B{, 4, 6} Propiedades de las Operaciones con sucesos ; ) ( ) ( ); ( ) ( C B C B C B C B E E φ φ; φ E ; ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( C B C C B C B C C B ( ) B B B B ; Suceso intersección de y B{4, 6} Suceso unión de y B {,3,4,5,6}

4 Probabilidad lgebra de sucesos El conjunto de todos los sucesos está dotado de una estructura denominada álgebra de sucesos. Un álgebra de sucesos es una clase, F, formada por subconjuntos de E denominados sucesos del espacio muestral que verifica: Si un suceso pertenece a F, también pertenece su complementario o contrario. Si una serie de sucesos 1,,, n, pertenece a F, también pertenece la unión. El suceso imposible también pertenece a F Por tanto, las propiedades de unión, intersección y complementación de sucesos de F da lugar a sucesos que pertenecen a F. 4

5 Probabilidad Concepto de probabilidad Dado un experimento y su espacio muestral asociado, E, una aplicación que asocia a cada suceso un número real P: F R ) es una probabilidad si verifica los siguientes axiomas: 1) Para cualquier suceso, su probabilidad ) es mayor o igual a cero ) La probabilidad del suceso seguro, E, es uno: E)1 3) Dados dos sucesos incompatibles y B se verifica que la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos: UB) ) + B) Toda aplicación que cumpla esos axiomas es una probabilidad definida sobre el álgebra de sucesos F. Se denomina espacio de probabilidad a la terna (E, F, P). 5

6 Probabilidad Concepto clásico o de Laplace de probabilidad Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos Se asume que todos los resultados posibles ligados al experimento aleatorio tienen la misma oportunidad de aparecer. Dado un suceso se determina su probabilidad como el cociente ) nº de casos favorables al suceso nº de casos posibles Concepto frecuencialista de probabilidad Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos Se asume que el experimento aleatorio puede realizarse un número grande de veces. Dado un suceso, se determina su probabilidad como la frecuencia relativa con que aparece o tiene lugar. 6

7 Probabilidad Propiedades derivadas de los axiomas de la probabilidad La probabilidad del suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso ) 1 ) La probabilidad del suceso imposible es cero φ) 0 La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección UB) ) + B) B) Si el suceso está incluido en el B, la probabilidad de es menor o igual a la de B B ) B) La probabilidad del cualquier suceso es menor o igual a 1 ) 1 7

8 Probabilidad condicionada Probabilidad Dado un suceso B con probabilidad no nula, la probabilidad de que ocurra, supuesto que ha ocurrido B, se denomina probabilidad condicionada de dado B. Se determina como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso condicionado: B) / B) B) De modo similar se define la probabilidad del suceso condicionado B dado, supuesto que no es el suceso imposible: Observa que estas igualdades nos permiten expresar la probabilidad del suceso intersección mediante: B / ) B) ) P ( B) B / ) ) / B) B) Sucesos independientes Dos sucesos y B se dice que son independientes si la realización de uno de ellos no afecta a la realización del otro. Es decir: /B)), o de modo equivalente, B/)B) O bien, también de modo equivalente, si la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades P ( B) ) B) 8

9 Ejemplos Probabilidad En una Facultad el 5% de los alumnos suspendió matemáticas, el 15% química y el 10% las dos. Se selecciona un estudiante al azar. a) Si suspendió química, cuál es la probabilidad de que suspendiera matemáticas? b) Si suspendió matemáticas, cuál es la probabilidad de que suspendiera química? c) Cuál es la probabilidad de que haya suspendido matemáticas o química? d) Cuál es la probabilidad de que no suspenda química? e) Cuál es la probabilidad de que no suspenda ninguna de las dos? f) Son independientes los dos sucesos? a) M ) 0,5; Q) 0,15; M Q) 0,1 M Q) 0,1 M / Q) 0,667 Q) 0,15 b) M Q) 0,1 Q / M ) 0,4 M ) 0,5 9

10 Ejemplos Tema 4: Probabilidad M ) 0,5; Q) 0,15; M Q) 0,1 c) M Q) M ) + Q) M Q) 0,5 + 0,15 0,1 0,3 d) e) Q ) 1 Q) 1 0,15 0,85 M Q ) M Q) 1 M Q) 1 0,3 0,7 f) 0,1 M Q) M ) Q) 0,5 0,15 0,0375 No son independientes 10

11 Ejemplo Tema 4: Probabilidad La tabla siguiente muestra la clasificación de un grupo de trabajadores de una empresa según sector de producción en que trabaja y número de bajas registradas durante un año. sector producción Dias de BJ Sector Sector B Sector C más de Seleccionado un trabajador al azar, determina: a) Probabilidad de que esté de baja más de 0 días b) Probabilidad de que pertenezca al sector B c) Probabilidad de que esté de baja más de 0 días y pertenezca al sector B d) Probabilidad de que esté de baja más de 0 días o que pertenezca al sector B e) Dado que pertenece al sector B, qué probabilidad hay de que esté de baja más de 0 días? f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 0 días y pertenecer al sector B? g) Probabilidad de no estar de baja más de 0 días h) Probabilidad de no estar de baja más de 0 días y no pertenecer al sector B 11

12 Ejemplo (Continuación) Tema 4: Probabilidad a) Probabilidad de que esté de baja más de 0 días 308 M 0) 0, b) Probabilidad de que esté en el sector B 350 B) 0, e) Dado que pertenece al sector B, qué probabilidad hay de que esté de baja más de 0 días? M 0 B) 0,1464 M 0 / B) 0,3714 B) 0,3941 g) Probabilidad de no estar de baja más de 0 días sector producción Dias de BJ Sector Sector B Sector C total más de Total c) Probabilidad de que esté de baja más de 0 días y pertenezca al sector B 130 M 0 B) 0, d) Probabilidad de que esté de baja más de 0 días o pertenezca al sector B M 0 B) M 0) + B) M 0 B) 0, ,3941 0,1464 0,5945 f) Son independientes los sucesos estar de baja más de 0 días y pertenecer al sector B? No, porque no se verifica la igualdad M 0 B) M 0) B) M 0) 1 M 0) 1 0,3468 0,653 h) Probabilidad de no estar de baja más de 0 días y no pertenecer al sector B M 0 B) M 0 B) 1 M 0 B) 1 0,5945 1

13 Probabilidad Teorema de la Probabilidad Total Dado un conjunto de sucesos 1,,, n que verifica Su unión es el suceso seguro 1U... n E Para cualesquiera sucesos i, j, su intersección es el suceso imposible i j φ i, j En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica S) n i 1 i) S / i) 3 1 i S j n 13

14 Probabilidad Teorema de Bayes Dado un conjunto de sucesos 1,,, n que verifica Su unión es el suceso seguro 1U... n E Para cualesquiera sucesos i, j, su intersección es el suceso imposible i j φ i, j En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica i / S) n j 1 i) S / i) j) S / j) Ejemplo 1: 3 oficinas O1, O y O3 de una Compañía seguradora tienen respectivamente un total de asegurados igual a 100, 300 y 750. Los porcentajes de reclamaciones por parte de sus clientes son respectivamente del %, 1,8% y 3%. -Si se selecciona al azar un asegurado, cuál es la probabilidad de que reclame? 14 -Dada una reclamación qué probabilidad hay de que proceda de la oficina O?

15 Probabilidad 1._ Estamos en las condiciones del teorema total. Cada asegurado procede de una oficina O1) 0,8 O) 0, O3) 0, Las probabilidades de reclamaciones, dadas las oficinas son R / O1) 0,0; R / O) 0,018; R / O3) 0,03 Por el teorema de la probabilidad total R) 3 i 1 Oi) R / Oi) 0,8 0,0 + 0,541 0, ,176 0,03 0,007._ Estamos en las condiciones del teorema Bayes. O) R / O) O / R) 3 Oj) R / Oj) j 1 O) R / O) R) 0,541 0,018 0,007 0,

16 Ejemplo Probabilidad Dos máquinas M1 y M producen el 70% y 30%, respectivamente del total de artículos de la producción. El 10% de los artículos producidos por M1 y 15% de los producidos por M son defectuosos. Se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuoso. Qué probabilidad hay de que proceda de M? M1) 0,7; M ) 0,3 D / M1) 0,1; D / M ) 0,15 M ) D / M ) M / D) Mj) D / Mj) j 1 0,3 0,15 0,7 0,1 + 0,3 0,15 0,045 0,115 0,391 16

17 Variable aleatoria Variable aleatoria unidimensional Dado un espacio de Probabilidad (E, F, P), una variable aleatoria X es una aplicación del espacio muestral E al conjunto de los números reales R, tal que la imagen inversa de cada intervalo de R es un suceso. S X : E s R X(s) Por tanto, para cualquier número real x, el conjunto S de sucesos elementales tales que X(s)<x constituye un suceso. { s E; X ( s) x} F Tipos de variable aleatorias Discretas: Si los números asignados a los sucesos elementales de E constituyen puntos aislados. Continuas: Los valores asignados pueden ser cualesquiera dentro de ciertos intervalos 17

18 Variable aleatoria Distribución de probabilidad de una Variable aleatoria Variable aleatoria discreta Sea una variable aleatoria X que toma un conjunto de valores x1, x,, xk. Se define la función de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) i1,, k, donde pixxi) y la suma de las probabilidades es 1 k i 1 pi 1 Podemos expresarla en una tabla, de modo similar a las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas discretas. La probabilidad pixxi) es la probabilidad del suceso S formado por los sucesos elementales a los que asignamos mediante X el número real xi 18

19 Variable aleatoria Variable aleatoria continua Sea una variable aleatoria X continua. La función de densidad de X, que notaremos con f(x), cumple la siguientes propiedades: 1) f(x) es siempre mayor o igual a cero ) Dado un intervalo (a, b), la probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo es igual al área que encierra la curva en dicho intervalo. 3) El área total que encierra la curva vale 1 f(x) f(x) a a<x<b b X Área1 X Dado un intervalo infinitesimal (x-dx/, x+dx/) de amplitud dx, f(x) es el límite del cociente entre la probabilidad de que la variable tome valores en dicho intervalo y la amplitud del mismo f x) ( lim0 dx x dx, x + dx dx ) 19

20 Variable aleatoria Función de distribución de una variable aleatoria Dada una variable aleatoria X, ligada al espacio de probabilidad (E, F, P), la función de distribución F es una aplicación del conjunto de los números reales al conjunto de los números reales: F : R x R F(x)X<x) partir del conocimiento de la función de distribución, F(x), podemos obtener la probabilidad de que la variable esté comprendida en cualquier intervalo. Propiedades de la Función de distribución: F( ) 0; F( + ) 1 F es no decreciente. Es decir, x, x', tal que x < x' F(x) F(x') a < X b) F(b) - F(a) 0

21 Variable aleatoria Función de distribución de una variable aleatoria discreta y continua Dada una variable aleatoria discreta F ( x) X x) X xi) xi x Dada una variable aleatoria continua X xi x pi x F ( x) X x) f ( t) dt Es el área que encierra la función de densidad en el intervalo desde menos infinito a x. F(x) x 1

22 Variable aleatoria Ejemplos de Variable aleatoria unidimensional 1) Sea el experimento lanzar un dado. Se define la variable X1 si el número es impar y X0 si es par X : E R Función de probabilidad X X Xx) 0 1/ 1 1/ Suceso par) {,4,6}) 3/ 6 Suceso impar) {1,3,5}) 3/ 6 ) Sea el experimento seleccionar un trabajador al azar de una empresa determinada, donde el 0% no tienen hijos, el 30% tienen 1, 30% tienen y el resto tiene 3. Se define la variable Ynúmero de hijos del trabajador

23 Variable aleatoria 1 3 Y : E R Trab. hijos Trab. 1 hijo 3 1 Trab. sin hijos 6 3 Trab. 3 hijos Función de probabilidad de Y Y Yy) 0 0, 1 0,3 0,3 3 0, Suceso 1) 0 /100 Suceso ) 30 /100 Suceso 3) 30 /100 Suceso 4) 0 /100 1)Función de distribución de X X F(x) 0 1/ 1 1 )Función de distribución de Y Y F(y) 0 0, 1 0,5 0,

24 Variable aleatoria Esperanza de una variable aleatoria X: Variable discreta E( X ) k i 1 xi pi Variable continua + E ( X ) x f ( x) dx Varianza de una variable aleatoria X: Variable discreta Variable continua V k k ( X ) ( xi E( X )) pi xi pi E( X ) E( X ) E( X i 1 + ( i 1 V ( X ) x E( X )) f ( x) dx ) Ejemplos: X Xx) 0 1/ 1 1/ E( X ) k i 1 xi pi V ( X ) E( X ) E( X ) E( X ) 0 1/ + 1 1/ 1/ (0 1/ + 1 1/ ) 0,5 0,5 4

25 Modelos de distribuciones de Probabilidad Ejemplos: Y Yy) 0 0, 1 0,3 0,3 3 0, V E( X ) k i 1 xi pi E( X ) 0 0, + 1 0,3 + 0, , 1,5 ( X ) E( X ) E( X ) (0 0, + 1 0,3 + 0, ,) 1,5 Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO BERNOULLI Se aplica este modelo a una situación derivada de un experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso. Se define la variable aleatoria X 1 si tiene lugar un éxito y X0, si es un fracaso. Función de probabilidad X Xx) 0 q 1 p E ( X ) p V ( X ) p q 5

26 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO BERNOULLI (continúa) E( X ) k i 1 xi pi E ( X ) 0 q + 1 p p V ( X ) E( X ) E( X ) (0 q + 1 p) p p p p(1 p) pq Ejemplo La proporción de parados en una población es de 0,. Se selecciona un individuo al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Y 1 si está en paro, e Y0, si no lo está. Determina le media y varianza de Y. E(Y)0,; V(Y)0,16 6

27 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO BINOMIL Se aplica este modelo a una situación derivada de repetir n veces una prueba o experimento aleatorio con sólo dos resultados posibles que llamamos éxito y fracaso. Sea p la probabilidad de éxito y q, la de fracaso. La probabilidad de éxito permanece constante en las n repeticiones o realizaciones Las pruebas son independientes. El resultado de cualquiera de ellas no afecta a los resultados de las otras. Se define la variable aleatoria X número de éxitos entre las n repeticiones del experimento aleatorio. La variable X puede tomar los valores 0, 1,,, n. La función de probabilidad viene dada por Función de probabilidad n! X k) p k q n k con k 0,1,,..., n k!( n k)! E ( X ) np V ( X ) n p q Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo binomial de parámetros n y p X B( n, p) 7

28 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas EJEMPLO MODELO BINOMIL La proporción de parados en una población es de 0,. Se seleccionan 4 individuos al azar de dicha población. Se define la variable aleatoria Ynúmero de parados entre los 4 seleccionados a) Determina la media y varianza de Y. b) ninguno esté en paro) c) al menos parados) n! k n k Y B(4, 0,) Función de probabilidad Y k) 0, (1 0,) con k 0,1,,..., n k!( n k)! a) E( X ) np 4 0, 0,8 V ( X ) n p q 4 0, 0,8 0,64 b) c) Y 4! 0) 0, 0!(4 0)! 0 0,8 4 0,8 4 0,4096 [ Y 0) + Y 1) ] Y ) 1 Y < ) 1 Y 4! 1 1) 0, 0,8 1!(4 1)! 3 4! 1 0, 0,8 1!3! 3 0,4096 [ Y 0) + Y 1) ] 1 0,4096 0,4096 0, 1808 Y ) 1 8

29 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas MODELO POISSON Se aplica este modelo a una situación derivada de observar sobre un espacio continuo (tiempo, longitud, área, etc.) el número de veces que ocurre un suceso determinado (éxito). Por ejemplo, número de accidentes laborales ocurridos en un año en una empresa. La probabilidad del suceso éxito permanece constante en todo el espacio continuo. Dadas dos partes disjuntas del espacio continuo, el número de éxitos ocurridos en una de ellas es independiente del número ocurrido en la otra. Se define la variable aleatoria X número de éxitos ocurridos por unidad de espacio continuo. La variable X puede tomar los valores 0, 1,,, n, La función de probabilidad viene dada por Función de probabilidad λ x e λ X x) con x 0,1,,..., n,... x! Donde V (X ) λ E( X ) λ nº medio de éxitos por unidad de espacio continuo Indicaremos que una variable aletaoria sigue un modelo Poisson de parámetro lambda: 9 X λ)

30 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas EJEMPLO MODELO POISSON El número de clientes nuevos diario que llega a una asesoría laboral sigue en modelo de Poisson. Se sabe que el número medio de clientes nuevos diario es de 1,3 Determina a) Probabilidad de que en un día dado no llegue ninguno b) Probabilidad de que lleguen al menos. Función de probabilidad X x) e 1,3 1,3 x! x con x 0,1,,..., n,... a) b) X 1,3) e X 0) -1,3 1,3 0! 0 e 1,3 0,75 Donde e, [ X 0) + X 1) ] X ) 1 X < ) 1 X 1) 1 X 1) e -1,3 1,3 1! 1 e 1,3 1,3 0,3543 X ) 1 0,75 0,

31 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas MODELO NORML Este modelo es uno de los más utilizados en la estadística clásica. Presenta una función de densidad simétrica, con forma de campara (campana de Gauss). En el centro de la distribución coinciden la media, mediana y moda. Notaremos con las letras mu y sigma la media y desviación típica, respectivamente. Estos dos parámetros caracterizan a la distribución. X N( µ, σ ) Función de densidad f ( x) 1 e πσ 1 x µ σ µ 31

32 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas MODELO NORML (continúa) Existen tablas de la función de distribución de la variable normal estadarizada, Z, que permiten determinar las probabilidades en un modelo normal cualquiera X, sin más que tener en cuenta la siguiente propiedad: X N( µ, σ ) Z X µ σ N(0,1) La probabilidad de que la variable X tome valores en un intervalo cualquiera (a, b) es igual a la probabilidad de que la variable estandarizada tome valores en el intervalo estandarizado. a µ X µ b µ a µ b µ P ( a < X < b) < < ) < Z < ) za < Z < zb) σ σ σ σ σ a µ b X Estandarización o tipificación za 0 zb Z 3

33 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas EJEMPLO DE MODELO NORML El consumo energético anual por hogar en una ciudad sigue un modelo normal de media 100 y desviación típica 400. a) Probabilidad de que seleccionado al azar un hogar, tenga un consumo superior a 000. b) Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800? c) partir de qué valor está el 10% de los que más consumen? X 100 X N(100,400) Z N(0,1) 400 a) X X > 000) > ) Z > ) 1 Z < ) 1 0,977 0, , X 0,08 Estandarización o tipificación 0 Z 33

34 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas EJEMPLO DE MODELO NORML (continúa) b) Qué proporción de hogares tiene consumo inferior a 800? b) X X N(100,400) Z N(0,1) X < 800) Z < ) Z < 1) 0, , X 0,1587 Estandarización o tipificación -1 0 Z c) partir de qué valor está el 10% de los que más consumen? 34

35 Modelos de distribuciones de Probabilidad Modelos de probabilidad de variables aleatorias continuas EJEMPLO DE MODELO NORML (continúa) c) partir de qué valor está el 10% de los que más consumen? X N(100,400) Z X N(0,1) c) P90 X 100 0,9 X < P90 X ) Z < ) Z < P90Z ) P90Z 1, , ,1 P90 X 0,9 0 0,1 P90 Z P90 X 100 P90 Z P90 X P90Z P90 1, X 35

36 Modelos de distribuciones de Probabilidad proximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas proximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad Si el parámetro n de una distribución binomial es grande y p no presenta valores muy extremos (fuera del intervalo de extremos 0,1 y 0,9) la distribución del modelo de Binomial se puede aproximar a la de un modelo normal: X B( n, p) n > 30 N se aproxima 0,1 < p < 0,9 ( µ np, σ npq ) X B( n, p) proximación X N( np, npq) Esta estrategia de aproximación es útil para simplificar los cálculos en aquellos casos que no se dispone de tablas de distribución binomial para valores altos de n 36

37 Modelos de distribuciones de Probabilidad proximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas proximación del modelo Binomial al modelo Normal. Corrección por continuidad Observa que para aproximar la variable discreta a la continua hemos de asignar al suceso constituido por un punto (Xk), todos aquellos valores que están más próximos a k, es decir, el suceso formado por el intervalo (k-0,5; k+0,5) k-1 0,5 0,5 k k+1 X B( n, p) Ejemplo: En una variable X que sigue un modelo B(50,0,3) la X7) se aproxima a 6,5 < X < 7,5) en una normal X N( 50 0,3, 50 0,3 0,7) 37

38 Modelos de distribuciones de Probabilidad proximación de Modelos de probabilidad de variables aleatorias discretas a continuas Ejemplo: proximación del modelo Binomial al modelo Normal Se ha seleccionado una muestra de 300 trabajadores de una población grande. La probabilidad de pertenecer a un sindicato es 0,5. a)determina la probabilidad de que en la muestra seleccionada, haya más 100 afiliados al sindicato. b)más de 70 y menos de 77) X B(300, 0,5) proximación X N(75, 7,5) a) 100,5 75 X > 100) 1 X 100) 1 X 100,5) 1 Z ) 1 Z < 3,4) Binomial Binomial Normal 7,5 b) 70, , < X < 77) 71 X 76) 70,5 X 76,5) Z ) 0,6 Z < 0,) Binomial Binomial Normal 7,5 7,5 0 0,6 Z 0,) Z 0,) Z 0,6) 0,5793 0,743 0,305 38

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