Introducción. 1. Algebra de sucesos. PROBABILIDAD Tema 2.1: Fundamentos de Probabilidad Primeras deniciones. M. Iniesta Universidad de Murcia

Transcripción

1 PROBABILIDAD Tema 2.1: Fundamentos de Probabilidad Introducción Jacob Berooulli ( ), Abraham de Moivre ( ), el reverendo Thomas Bayes ( ) y Joseph Lagrange ( ) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace ( ), unicó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Sin embargo, una de las dicultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades fue llegar a una denición de probabilidad matemáticamente rigurosa y que permitiera al tiempo ampliar su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una denición axiomática del concepto de probabilidad (Kolmogorov, 1933), lo que permitió el tratamiento formal de todos aquellos fenómenos que llevan asociado un término azaroso o el problema de la de toma decisiones en ambiente de incertidumbre. En denitiva, en la actualidad, se estudia y se utiliza la teoría de la probabilidad con el n de tomar decisiones de las que esperemos obtener la mayor ganancia o que conlleven el menor riesgo. 1. Algebra de sucesos 1.1. Primeras deniciones Un fenómeno o experiencia se dice que es un experimento aleatorio cuando al repetirlo en condiciones idénticas es imposible predecir su resultado. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral y lo denotaremos mediante Ω. Cada uno de los elementos del espacio muestral se llama punto muestral o suceso elemental. Se denomina suceso a todo conjunto de Ω. diremos que el suceso A Ω se verica o se realiza si al realizar el experimento se obtiene como resultado uno de los puntos muestrales de A. El conjunto de todos los sucesos asociados a un experimento se llama espacio de sucesos, que denotaremos mediante S. El suceso se llama suceso imposible y el suceso Ω se llama suceso seguro. Página: 1

2 1.2. Actividad Denir experimentos aleatorios de la vida cotidiana, expresando el espacio muestral asociado y algunos sucesos relativos a los mismos. Piensa, por ejemplo en los juegos de azar. Un ejemplo: El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio. Su espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y un posible suceso es obtener número par, que representamos por el conjunto A = {2, 4, 6}. El suceso obtener un número menor que 20 es el suceso seguro y el suceso obtener un número entre 7 y 10 es un suceso imposible Operaciones con sucesos Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando al menos uno de los dos se verica. Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando ambos se verican. Complementario: Dado un suceso A, denotaremos mediante A al suceso que se verica cuando A no se verica. Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando se verica A y no se verica B. Diferencia simétrica Dados dos sucesos A y B, denotaremos mediante A B al suceso que se verica cuando o bien se verica A y no se verica B, o bien se verica B y no se verica A. Algunas de las propiedades de estas operaciones son: La unión y la intersección cumplen las propiedades asociativa y conmutativa. La unión respecto a la intersección cumple la propiedad distributiva, así como la intersección respecto a la unión. El suceso imposible es elemento neutro en la unión, mientras que el suceso seguro lo es en la intersección. La unión de cualquier suceso con su complementario es siempre el suceso seguro, mientras que la intersección de cualquier suceso con su complementario es siempre el suceso imposible. Se cumplen las conocidas leyes de Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios Actividades 1. Representar mediante diagramas de Venn las operaciones entre sucesos anteriores. 2. Elaborar una tabla para expresar de forma simbólica las propiedades de las operaciones entre sucesos. Página: 2

3 1.5. Álgebra de sucesos El álgebra de sucesos S es una familia de sucesos denida mediante los siguientes axiomas: Axioma 1 Ω S Axioma 2 Si A, B S entonces A B S Axioma 3 Si A S entonces A S 1.6. Actividad A partir de los axiomas anteriores, demostrar que si S es el álgebra de sucesos asociado a un experimento aleatorio, entonces S también cumple: 1. S 2. Si A, B S entonces A B S 3. Si A, B S entonces A B S y A B S 2. Modelos de Probabilidad La probabilidad asignada a un suceso aleatorio mide el grado de conanza de que ese suceso ocurra. Podemos encontrar en la literatura varios enfoques para este objetivo. El enfoque clásico considera experimentos con espacios muestrales nitos y puntos muestrales equiprobables. La probabilidad se asigna usando la Regla de Laplace haciendo P (A) = Car(A) Car(Ω) Este enfoque, aunque limitado en su uso por las condiciones que maneja, está actualmente vigente. El enfoque frecuentista considera la repetición del experimento un número grande de veces n, de las cuales un número n A ha ocurrido el suceso A. La probabilidad se asigna como n A P (A) = lím n n Este enfoque tiene varios inconvenientes, entre ellos que no podemos estar indenidamente repitiendo el experimento. Para superar los inconvenientes de los enfoques anteriores usaremos el enfoque axiomático que engloba y generaliza los enfoques anteriores y que usa la siguiente denición. Página: 3

4 Si Ω es el espacio muestral y S es el álgebra de sucesos asociados al experimento aleatorio, la terna (Ω, S, P ) es un espacio de probabilidad cuando la función cumple Axioma 1 P (Ω) = 1 P : S [0, 1] Axioma 2 P (A B) = P (A) + P (B), A, B S con A B = (A los sucesos A y B cuya intersección es vacía se llaman incompatibles) Actividades A partir de los axiomas de la denición anterior, demostrar las siguientes propiedades de la función de probabilidad. 1. (*) Las deniciones clásica y frecuentista del concepto de probabilidad cumplen los axiomas de la denición axiomática. 2. (*) Si Ω = {e 1,..., e n } es nito, y asociamos probabilidad a cada uno de ellos, P (e i ) = p i, con 0 p i 1, i y n i=1 p i = 1, la función P (A) = e i A p i es una función de probabilidad sobre S = P(Ω), donde P(Ω) indica el conjunto de las partes de Ω. 3. P (A) = 1 P (A), A S 4. P ( ) = 0 5. (*) P (A) P (B) si A B 6. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 7. (*) P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C), A, B, C S 3. Probabilidad Condicionada La probabilidad condicionada permite asignar probabilidades introduciendo informaciones acerca del experimento o ciertas creencias subjetivas que se dispongan sobre el mismo. Dados dos sucesos A y B con P (B) > 0 denimos la probabilidad de A condicionada a que el suceso B ha ocurrido como P B (A) = P (A B) = P (A B) P (B) Si P (A B) = P (A) decimos que el suceso A es independiente de B. Página: 4

5 3.1. Actividades 1. (*) Demostrar que si (Ω, S, P ) es un espacio de probabilidad, entonces (Ω, S, P B ) también es un espacio de probabilidad. 2. (*) Demostrar que si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. En ese caso simplemente decimos que A y B son independientes. 3. Demostrar que A y B son independientes si y sólo si P (A B) = P (A).P (B) 4. (*) Supongamos que A y B son sucesos independientes, demostrar que sus complementarios también lo son. 5. Utiliza la probabilidad condicionada para asignar probabilidad al suceso A =obtener dos ases cuando el experimento consiste en extraer dos cartas sin reemplazamiento de una baraja española de 40 cartas. 4. Probabilidad Total y Regla de Bayes En muchas ocasiones, cuando no se dispone de información sobre el experimento, resulta muy ventajoso asignar probabilidad a un suceso A considerando un conjunto de condiciones mutuamente excluyentes cuya unión sea el suceso seguro. Si E 1,..., E k es un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes (E i E j = si i j) tales que P (E i ) > 0 para i = 1,..., k (probabilidades a priori ) y k i=i P (E i) = 1 (o bien k i=1 E i = Ω), entonces: k P (A) = P (A E i )P (E i ) i=1 expresión conocida como Fórmula de la Probabilidad Total. La Regla de Bayes permite actualizar nuestras creencias acerca de los elementos de la partición E i, calculando las denominadas probabilidades a posteriori, una vez que conocemos una información; por ejemplo el suceso A ha ocurrido. P (E j A) = P (A E j)p (E j ) k i=1 P (A E i)p (E i ) 4.1. Actividades 1. Demostrar la Fórmula de la Probabilidad Total. 2. Demostrar la Regla de Bayes para el cálculo de las probabilidades a posteriori. 5. Bibliografía 1. Tema 2, secciones 2.1, 2,2 y 2.3 del texto Estadística para ingenieros y cientícos. William Navidi. Editorial McGraw-Hill. 2. Tema 1 del texto Probabilidad y Estadística para Ciencias e Ingenierías. Rosario Delgado de la Torre. Editorial Delta. Página: 5