Tema 5. Fundamentos de la inferencia estadística: Introducción a la probabilidad y distribuciones muestrales.

Transcripción

1 Pága 1 IMADIL TEMA 5. Notas Tema 5. Fudametos de la fereca estadístca: Itroduccó a la probabldad y dstrbucoes muestrales. Parte 1: Itroduccó a la probabldad 1. Feómeos aleatoros Durate sglos la Ceca ha avazado medate el establecmeto de leyes que predecía que la ocurreca o preseca de uas causas coduce varablemete a la aparcó de determados efectos. Este esquema determístco ha domado, hasta fechas recetes, las Cecas de la Naturaleza, cosderadas como el arquetpo de Ceca al cual debía amoldarse todas las demás. Detro de este esquema de relacoes fjas, las fluctuacoes observadas e las dsttas determacoes de ua magtud era atrbudas a los errores de medda, los cuales era tratados de forma separada y s afectar a la aturaleza fja de las leyes y al carácter determístco de las relacoes etre las verdaderas magtudes de las varables cosderadas. S embargo, sempre ha exstdo stuacoes, como los juegos de azar, que escapaba a este esquema determístco. Estos feómeos e los que uas msmas causas podía dar orge a la ocurreca de dsttos efectos era deomados aleatoros y matedos al marge de la costruccó del edfco teórco de la Ceca. La dcotomía etre feómeos determístcos y aleatoros o creó, durate sglos, dsoacas ya que las relacoes aalítcas etre las varables parecía ser ua herrameta sufcete para la costruccó de las teorías cetífcas y las cuestoes dode claramete se producía stuacoes aleatoras parecía ser materas s terés para la Ceca. La corporacó al cojuto de la Ceca de materas que se ocupaba de los aspectos socales y humaos que comporta el estudo de feómeos co ua fuerte compoete aleatora y la aparcó detro de las Cecas de la Naturaleza de teorías que colleva ua certa determacó e certdumbre sobre la preseca de determados efectos, hcero ecesaro el estudo de los feómeos aleatoros y su corporacó al esquema geeral de la explcacó cetífca de la Naturaleza. La Pscología y otras cecas humaas so dscplas cetífcas e las que es dfícl establecer leyes o teorías que o colleve u compoete aleatoro y ello por el propo objeto de su estudo, se preseta a uestros ojos sempre co certo grado de aleatoredad e certdumbre que o podemos elmar. Dos tpos de razoes se ha expuesto para explcar la aleatoredad del comportameto de los seres vvos. Para uos la aleatoredad de las leyes que rge la coducta vedría dada por su propa aturaleza que es aleatora e sí msma como parte del mecasmo adaptatvo que habría favorecdo el comportameto aleatoro frete a las respuestas fjas a los estímulos del medo. Para otros las relacoes etre las varables coductuales sería aleatoras por uestra capacdad para cotrolar todas las varables e teraccoes que determa la coducta. El cojuto de los efectos de todas las varables

2 Pága 2 IMADIL José María Salas y José Lus Padlla cotroladas daría orge a la compoete aleatora que os vemos oblgados a clur e uestros modelos. Sea cual sea la explcacó a la que os adscrbamos, debemos admtr la mposbldad de establecer, e el mometo actual, leyes determístcas para predecr muchas coductas. De ahí la mportaca que cobra para el estudoso de las cecas humaas y de la salud el estudo de los feómeos aleatoros y las leyes probablístcas que los rge. Damos a cotuacó las defcoes de alguos de los térmos que utlzaremos: Stuacoes aleatoras So aquellas e que las msmas codcoes o causas, puede dar lugar a dferetes resultados o efectos. Expermetos aleatoros So aquellos e que se preseta stuacoes aleatoras, por ejemplo el lazameto de u dado es ua expereca que cada vez que se realza puede dar orge a u resultado dferete, auque aparetemete se haya ejecutado e la msma forma. Sucesos elemetales So cada uo de los posbles resultados del expermeto aleatoro, descompobles e otros más smples. Por ejemplo, al lazar u dado que salga la cara marcada co el 5, es u suceso elemetal. Espaco muestral Es el cojuto formado por todos los posbles sucesos elemetales. E el caso del lazameto de u dado ordaro de ses caras el espaco muestral estaría costtudo por los ses sucesos elemetales, es decr que salga u uo, que salga u dos, etc. Smbólcamete lo represetamos Suceso E = { {1} {2} {3} {4} {5} {6} } U suceso es cualquer subcojuto del espaco muestral. Por ejemplo el suceso de que al lazar u dado salga u úmero par sería el subcojuto { {2} {4} {6} }. El suceso de que salga u úmero mayor que tres sería el subcojuto { {4} {5} {6} }. Muestra Es el cojuto de resultados que se obtee al repetr u certo úmero de veces, u expermeto aleatoro. Por ejemplo s lazamos u dado dez veces y obteemos los sguetes resultados ( 6, 5, 1, 5, 3, 3, 3, 1, 4, 1 ) esta secueca costtuye ua muestra de tamaño dez del lazameto de u dado. Frecueca

3 Pága 3 IMADIL TEMA 5. Notas Se defe la frecueca de u suceso e ua muestra, como el cocete etre el úmero de veces que ha ocurrdo el suceso e la muestra y el tamaño de la msma. Por ejemplo, e la muestra ateror la frecueca del suceso de que salga u cco sería: 2/10 = 0,2. Aálogamete la frecueca del suceso de que salga u úmero mayor que tres sería: 4/10 = 0,4. Se ha observado empírcamete que al r aumetado el tamaño de ua muestra, la frecueca de los sucesos tede a establzarse alrededor de u úmero fjo, a este hecho se le ha deomado ley de establdad de las frecuecas o ley úca del azar y ese úmero deal, límte que alcazaría la frecueca de u suceso s obtuvésemos ua muestra fta del expermeto, fue el prmer cocepto de probabldad de u suceso que se maejó. Esta terpretacó, llamada frecuetsta, sgue sedo la más amplamete utlzada y la que ha sprado el desarrollo formal de la teoría del cálculo de probabldades. Desde u puto de vsta formal, la probabldad de u suceso va a ser ua medda del subcojuto del espaco muestral que correspode a dcho suceso, dcadora de la posbldad de ocurreca de tal suceso. Las terpretacoes de esa medda costturá los dsttos modelos probablístcos de la realdad. 2. Operacoes co sucesos Para poder costrur esta medda que es la probabldad, ecestamos dotar al espaco de los sucesos de ua determada estructura y para ello vamos a defr dsttas operacoes y relacoes co los sucesos. Sea S u expermeto aleatoro al cual se le asoca ua famla de sucesos { A, B, C,... } tales que fjado uo de ellos, por ejemplo él A, al realzar ua prueba partcular del expermeto aleatoro S, podemos decr, al observar el resultado de la prueba, s se ha verfcado, o o, el suceso A. Implcacó Decmos que el suceso A mplca el B, y lo otamos A B o B A, s sempre que ocurre A ocurre B. Por ejemplo, e el lazameto de u dado el suceso de que salga u dos {2}, mplca el suceso de que salga u úmero par { 2, 4, 6 }, pues obvamete sempre que sale u dos sale u úmero par. Igualdad S el suceso A mplca el B, A B, y també el suceso B mplca él A, B A, etoces decmos que el suceso A y el suceso B so guales A = B. Suceso cotraro Defmos el suceso cotraro de A, Ã como el suceso que ocurre cuado o ocurre A. Por ejemplo, e el lazameto de u dado el suceso cotraro de que salga u úmero par, es el suceso de que salga u úmero mpar, pues sempre que o sale u úmero par sale uo mpar. Uó de sucesos Se defe la uó de dos sucesos A y B, como el suceso C que se verfca sempre que se verfca A o B y se ota C = A B.

4 Pága 4 IMADIL José María Salas y José Lus Padlla Suceso seguro Es evdete que la uó de u suceso y su cotraro se verfcará sempre, a este suceso le llamamos el suceso seguro y lo desgaremos por E. Iterseccó de sucesos E = A Ã Se defe la terseccó de dos sucesos A y B como el suceso D, que ocurre sempre que ocurre él A y el B y lo otamos D = A B. Sucesos compatbles Dos sucesos A y B se dce compatbles s al verfcarse uo de ellos, o se verfca el otro. Por ejemplo, al lazar u dado so compatbles los sucesos de que salga u úmero par y que salga u tres. Suceso mposble Es obvo que la terseccó de dos sucesos compatbles o se verfcará uca, por ello a este suceso terseccó se le deoma suceso mposble y lo represetaremos por. Dfereca de sucesos Se defe la dfereca de dos sucesos A y B que se deota B-A, como el suceso que ocurre cuado ocurre B y o ocurre A, es decr: Sgma álgebra B - A = B Ã La probabldad o puede ser defda sobre ua coleccó cualquera de sucesos, so que la clase de subcojutos del espaco muestral sobre la que puede establecerse ua probabldad debe teer ua estructura míma que se deoma sgma álgebra. Ua clase de sucesos A = { A 1, A 2, A 3,... } costtuye u sgma álgebra s verfca las dos propedades sguetes: 1. - La uó umerable de sucesos del sgma álgebra també perteece al sgma álgebra. S A 1, A 2, A 3,... A A A 2.- S u suceso perteece al sgma álgebra etoces su cotraro també perteece. S A A Ã A

5 Pága 5 IMADIL TEMA 5. Notas Es medato comprobar que el suceso seguro E y el suceso mposble, perteece a toda sgma álgebra. 3. Axomas del cálculo de probabldades Ua vez que teemos el espaco muestral E, a partr del cual hemos costrudo u sgma álgebra A, dspoemos de ua estructura sobre la cual es posble defr ua medda P, a la que llamamos probabldad. Esta probabldad va a ser ua fucó de cojuto que cumpla los sguetes axomas: Axoma1 A cada suceso A, perteecete al sgma álgebra A, le correspode u úmero real postvo, llamado probabldad de A y que otaremos P( A ), es decr: Axoma2 A A P( A ) tal que 0 P( A ) La probabldad de la uó de u cojuto umerable de sucesos compatbles es gual a la suma de las probabldades de los sucesos, o dcho de otro modo, s los sucesos A 1, A 2,... so compatbles se verfca: Axoma3 P A P A 1 1 La probabldad del suceso seguro E, es gual a la udad, P( E ) = 1. Llamaremos espaco probablístco a la tera ( E, A, P), es decr a u espaco muestral E, sobre el que se ha defdo u sgma álgebra A, dode se ha defdo ua fucó de probabldad P. Debe de otarse que dado u espaco muestral, es decr el cojuto de sucesos elemetales asocados a los resultados de u expermeto aleatoro, puede defrse dsttos espacos probablístcos, o dcho de otro modo u msmo suceso puede teer dsttas probabldades. Esto es así porque el sstema de axomas os dca las codcoes que debe de cumplr la fucó de probabldad, pero o da gua regla para asgar los valores de probabldad a los sucesos elemetales, e cosecueca las probabldades de todos los sucesos está determadas y deberá recurrrse a crteros adcoales para fjar las probabldades de los sucesos elemetales. Estos crteros puede hacer refereca a propedades físcas de los elemetos materales que tervee e el expermeto aleatoro, o a regstros de aparcó de los sucesos, o be a elemetos subjetvos acerca de la ocurreca de los msmos. Ahora be, ua vez que hemos fjado los valores de probabldad de los sucesos elemetales, podemos calcular las probabldades de todos los sucesos del sgma álgebra atededo a los axomas y a certas propedades que como veremos a cotuacó, se

6 Pága 6 IMADIL José María Salas y José Lus Padlla derva de ellos. Esta es la razó por la que esta dscpla se deoma cálculo de probabldades, porque os da reglas de cálculo para determar las probabldades de los sucesos e fucó de los úmeros que se ha asgado a los sucesos elemetales. 4. Propedades de la Fucó de Probabldad Como cosecueca de los axomas aterores, la probabldad posee las sguetes propedades: 1.- S Ã es el suceso cotraro de A, etoces: P( Ã ) = 1 - P( A ) 2.- Puesto que el suceso mposble es el cotraro del suceso seguro, aplcado la propedad ateror se verfca: P( ) = S el suceso A mplca el suceso B, A B etoces: P( A ) P( B ) 4.- Puesto que cualquer suceso A mplca el suceso seguro E etoces: A P( A ) Dados dos sucesos compatbles A y B, es decr tales que A B, se tee que: P( A B ) = P( A ) + P( B ) - P( A B ) 6.- Como cosecueca medata de la propedad ateror se tee que: P( A B ) P( A ) + P( B ) 7.- S el cojuto de sucesos elemetales es umerable podemos defr la probabldad de u suceso A como la suma de las probabldades de los sucesos elemetales que perteece al suceso A, es decr: P ( A) P( a ) 8.- S el suceso seguro E puede descompoerse e k sucesos elemetales equprobables, etoces la probabldad de cualquer suceso A es gual al úmero h de sucesos elemetales que perteece a A dvddo por k, es decr: a A P( A ) = h/k Esta propedad costtuye la clásca regla de Laplace que defía la probabldad de u suceso como el cocete etre los casos favorables y los casos posbles. Pero debe teerse e cueta que esta coocda regla sólo puede aplcarse cuado el espaco muestral es fto y además se acepta el postulado de dfereca.

7 Pága 7 IMADIL TEMA 5. Notas 5. Iterpretacó de la Probabldad La teoría del Cálculo de Probabldades es ua teoría matemátca, que como todas las teorías matemátcas, establece ua sere de reglas de operacó co uos térmos abstractos o símbolos. De esta forma, ua afrmacó e Matemátcas es verdadera o falsa s se ha deducdo correctamete, o o, a partr de los axomas o hpótess que defe el sstema, por cosguete o puede ser sometda a verfcacó empírca. Por ello, cuado utlzamos las teorías matemátcas para costrur modelos de la realdad, debemos dotar de sgfcado a los símbolos que se maeja, es decr, terpretar e térmos reales los térmos abstractos. De esta forma, el modelo matemátco, medate la asgacó de sgfcado, se coverte e u modelo del mudo real cuyas afrmacoes y predccoes puede someterse a cotrastacó co los datos obtedos expermetalmete. E este setdo, la probabldad que e térmos matemátcos es ua fucó de cojuto que asga a cada suceso u úmero real, debe de dotarse de u sgfcado, ua terpretacó que haga que el modelo matemátco del Cálculo de Probabldades, se trasforme e u modelo de la ocurreca de los sucesos. Iterpretacó frecuetsta La terpretacó más dfudda es la frecuetsta, aquella que etede la probabldad de u suceso como el límte de la frecueca relatva de aparcó de u suceso, al repetrse defdamete el expermeto aleatoro. Puede verse fáclmete que las frecuecas relatvas de los sucesos verfca los axomas de la probabldad, y por tato costtuye ua terpretacó válda de la msma. La terpretacó frecuetsta ecuetra grades dfcultades cuado trata el problema de los casos aslados, es decr feómeos aleatoros que ocurre ua sola vez, de tal forma que el expermeto o puede ser repetdo e las msmas codcoes. Es claro que e esta stuacó, el cocepto de frecueca carece de sgfcado. Más aú, cluso e aquellos casos e que el expermeto es susceptble de repetcó, s el sujeto que tee que juzgar la posbldad de ocurreca de u suceso, lo ve como u feómeo úco, e el que o volverá a estar mplcado, dfíclmete adecuará sus decsoes, o su comportameto, a u cocepto de probabldad que es exacto cuado la muestra de realzacoes es ftamete grade, pero que solo proporcoa ua dcacó mprecsa sobre la ocurreca del suceso, e ua úca realzacó. E estos casos la terpretacó subjetva puede ser mucho más fructífera. Iterpretacó subjetva La dea alrededor de la cual gravta la terpretacó subjetva, es que ate u feómeo aleatoro que puede verfcarse o o, los dvduos asga, de forma mplícta o explícta, ua probabldad que represeta el grado de cofaza que tee e la ocurreca de ese hecho. La dfereca fudametal co la terpretacó frecuetsta radca e que la asgacó de valores, auque codcoada por la formacó exstete, es propa de cada observador partcular, s que las opoes de varos sujetos tega porqué cocdr. Así, metras que e la cocepcó frecuetsta la probabldad es úca y lo que puede varar so

8 Pága 8 IMADIL José María Salas y José Lus Padlla las estmacoes que hacemos de ella, e esta terpretacó subjetva la probabldad o está determada de forma preva, so que se establece por los dvduos e fucó de sus jucos prevos acerca de la stuacó y de la forma e que valora la formacó exstete. Para que esta terpretacó pueda plasmarse e ua teoría operatva, hay que exgr que los sujetos matega u certo grado de racoaldad e la asgacó de probabldades, los valores que se determe, auque elegdos lbremete, o puede ser arbtraros. Ua forma de asegurar la racoaldad y que uestras probabldades subjetvas o os haga currr e stuacoes cotraras a uestros tereses, es que los grados de cofaza que asgemos a la ocurreca de los sucesos, verfque los axomas de Kolmogorov. Detro de la probabldad subjetva hay dsttas corretes, como el tucosmo que cosdera la probabldad como algo drectamete tuble por el dvduo y prevo a cualquer expereca, o el decsosmo que trata de medr el grado de cofaza, co que el sujeto espera la aparcó de u suceso, a través de las decsoes que adopta e relacó co la verfcacó de ese suceso. Exste otras terpretacoes posbles de la probabldad, como los dsttos coceptos lógcos o relacoales, pero so de meos terés para osotros. 6. Probabldad codcoada (OPTATIVO) Sea u suceso B del sgma álgebra, tal que se verfque que P( B ) > 0. Etedemos por "probabldad del suceso A codcoada por el suceso B", y la otaremos P( A / B ), a la probabldad de que ocurra A supuesto que ha ocurrdo B. El valor de esta probabldad vee dada por la expresó: P A / B P A B P B Es medato ver que fjado B, la probabldad codcoada P( A / B ) es ua fucó de probabldad, pues verfca los tres axomas. Sucesos depedetes e depedetes B. E geeral, ocurrrá que P( A / B ) P( A ), y e tal caso, dremos que A depede de S por el cotraro, P( A / B ) = P( A ), dremos que A es depedete de B. E tal caso sucede que: P A P A B P B despejado se obtee la sguete expresó: P( A B ) = P( A ) P( B ) que puede ser utlzada como defcó alteratva de sucesos depedetes, o be os permte calcular la probabldad de la terseccó de sucesos depedetes.

9 Pága 9 IMADIL TEMA 5. Notas Debe de teerse muy e cueta que esta regla que os dca que la probabldad de la terseccó de dos sucesos es gual al producto de las probabldades de los sucesos, sólo es aplcable e el caso de que sea depedetes. E el caso geeral, la expresó que proporcoa la probabldad de la terseccó es: P( A B ) = P( B ) P( A / B ) Es fácl demostrar que la depedeca es mutua, es decr que s A es depedete de B, també B es depedete de A. 7. Teorema de Bayes (OPTATIVO) Sea A 1, A 2,... A, sucesos mutuamete excluyetes que forma u sstema exhaustvo; es decr que E = A 1 A 2... A, y de los cuales se sabe (o puede asgarse) sus probabldades P( A ). Sea B u suceso para el cual se cooce las probabldades codcoadas P( B / A ). E estas codcoes, el teorema de Bayes expresa que las P( A / B ) so: P A / B P A PB / A P A PB / A 1 E efecto, por la defcó de probabldad codcoada: P A / B P A B P B pero el umerador es gual a: por otra parte, el deomador es gual a: / P A B P A P B A P B P B E P B A y por la propedad dstrbutva de la terseccó respecto de la uó, teemos que: por cosguete: P 1 B P B A PB A 1 1

10 Pága 10 IMADIL José María Salas y José Lus Padlla / P B P A P B A 1 Susttuyedo umerador y deomador por las expresoes obtedas, tedremos falmete: P A / B 1 / P A P B A / P A P B A A las probabldades P( A ) se les deoma probabldades a pror. Se llama verosmltudes a las P( B / A ) y a las P( A / B ) probabldades a posteror. Como ha poddo verse, el teorema de Bayes se obtee como ua deduccó lógca, a partr de la defcó de probabldad codcoada, por lo que su expresó o puede estar sujeta a cotroversa, detro del Cálculo de Probabldades. S embargo, las codcoes ecesaras para su empleo y su terpretacó dvde a los estadístcos e dos escuelas dferetes, y a meudo rrecoclables, los cláscos o frecuetstas, frete a los bayesaos. El puto fudametal de dscrepaca radca e la aturaleza de las probabldades a pror, para u estadístco clásco estas probabldades debe de ser coocdas objetvamete, a partr de uos datos empírcos, y o so modfcables. Para u estadístco bayesao las probabldades a pror puede ser objetvamete descoocdas, de forma que se les asga valor e fucó de uestro grado de coocmeto o covccoes prevas; por ejemplo, cuado o teemos gua formacó sobre la ocurreca de los A se les asga a todos ellos la msma probabldad, dado lugar a ua dstrbucó uforme de probabldad, que es la meos formatva. La ocurreca, o o ocurreca, del suceso B proporcoa evdeca e favor de uo u otro de los sucesos del sstema, de tal forma que las probabldades a posteror vedría a susttur a las probabldades asgadas calmete.