Bases Formales de la Computación

Transcripción

1 Modal Bases Formales de la Computación Pontificia Universidad Javeriana 3 de abril de 2009

2 Modal LÓGICAS MODALES

3 Contenido Modal 1 Modal 2 3

4 Qué es la lógica Modal? Modal Variedad de diferentes sistemas Dificultad para dar una definición que cubra a todos Respuesta superficial: una lógica que tiene una modalidad o muchas modalidades en ella.

5 Qué es la lógica Modal? Modal Variedad de diferentes sistemas Dificultad para dar una definición que cubra a todos Respuesta superficial: una lógica que tiene una modalidad o muchas modalidades en ella. Una modalidad es un conectivo que toma una fórmula (o fórmulas) y produce una nueva fórmula con un nuevo significado.

6 Qué es la lógica Modal? Modal Similar los conectivos lógicos clásicos: toma una fórmula A y produce una nueva fórmula A, o toma dos fórmulas A y B y produce una fórmula A B. La única diferencia es que en la lógica clásica, el valor de verdad de A está determinado únicamente por el valor de A, y el valor de A B es una función de los valores de A y B. Las modalidades no son funciones de verdad!

7 Ejemplos (Modalidades Unarias) Modal A: es necesario que A A: es posible que A G A: siempre en el futuro, A será cierto F A: en algún momento en el futuro, A será cierto P A: en algún momento en el pasado, A fue cierto K i A: el agente i sabe que A B i A: el agente i cree que A [prog]a: después de cualquier ejecución del programa prog, el estado satisface la propiedad A prog A: existe una ejecución del programa prog, cuyo resultado en un estado satisface la propiedad A

8 Ejemplos (Modalidades Binarias) Modal A B U(A, B): hasta que A sea cierta, B es cierta t 1 B t 2 A

9 Modal Básica: Sintaxis Modal Alfabeto: Un conjunto de variables proposicionales Prop = {p 1, p 2,..., } Conectivos booleanos y (, y se pueden definir) Modalidad (unaria) ( se puede definir) Una fórmula bien formada: A, B,... = p A A B A

10 Definiciones Modal A B = A B A B = (A B) A B = (A B) (B A) A = A

11 Semántica Modal Cómo describir axiomáticamente las fórmulas válidas?

12 Semántica Modal Cómo describir axiomáticamente las fórmulas válidas? Respuesta: Las estructuras de los posibles mundos! La idea es usar grafos (W, R), R W W, como modelos para la lógica modal y pensar en W como el conjunto de posibles mundos y R como una relación alternativa. (W, R, x) A iff (W, R, y) A y. x R y

13 Semántica de Kripke Modal Una estructura de Kripke es una tupla M = W, R, V, donde W es un conjunto no vacío (posibles mundos) R W W es una relación de accesibilidad V (Prop W ) {true, false} es una función de valuación El grafo proveerá la información de cuáles variables proposicionales serán verdad en cuáles vértices.

14 Ejemplo Modal w 1 w 2 w 3 w 4 w 5

15 Ejemplo Modal w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 V (p, w 1 ) = true, V (q, w 1 ) = false V (p, w 2 ) = true, V (q, w 2 ) = true V (p, w 3 ) = true, V (q, w 3 ) = false V (p, w 4 ) = false, V (q, w 4 ) = true V (p, w 5 ) = false, V (q, w 5 ) = true

16 Ejemplo Modal w 1 = {p} w 2 = {p, q} w 3 = {p} w 4 = {q} w 5 = {q}

17 Significado de las Fórmulas Modal Dado M = W, R, V y w W, se define lo que significa para una fórmula ser verdad (noción de satisfacer) en un mundo w de un modelo M: M, w p sii V (p, w) = true M, w A sii M, w A M, w A B sii M, w A o M, w B M, w A sii para todo v accesible desde w ( v t.q. R(w, v)), M, v A

18 Ejemplo Modal w 1 = {p} w 2 = {p, q} w 3 = {p} w 4 = {q} w 5 = {q} M, w 1 q M, w 1 p M, w 1 p M, w 1 p M, w 1 p

19 Validez (y Satisfacibilidad) Modal Una fórmula A es cierta en un modelo M si se satisface en todos los mundos de M. Una fórmula A es válida si es cierta en todos los modelos. Una fórmula es satisfacible si su negación no es válida (si se satisface en por lo menos un mundo de un modelo)

20 Validez (y Satisfacibilidad) Modal Ejemplos: p p es válido (tautología proposicional) (p p) es válido (porque p p es verdad en todos lo mundos accesibles, donde sea que se esté) p p no es válido (el conjunto { p, p} es satisfacible en algunos mundos).

21 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Utilidades: los posibles mundos son estados en una computación, R es una relación de transición, V nos dice cuáles propiedades son ciertas en cuál estado.

22 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Ejemplo: Suponga que se tienen dos procesos/agentes A y B. Cada uno tiene una variable booleana local (A tiene a, B tiene b). Todo lo que hacen es: cambian el valor de su variable; se suspenden; luego vuelven a cambiar el valor de nuevo. Se asume que sus acciones son intercaladas (no se ejecutan simultaneamente)

23 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Ejemplo: w 2 a b a b w 3 a a w 1 w 4 b b

24 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué podemos afirmar de este sistema en la lógica modal?

25 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué podemos afirmar de este sistema en la lógica modal? a a

26 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué podemos afirmar de este sistema en la lógica modal? a a b b

27 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué podemos afirmar de este sistema en la lógica modal? a a b b a b ( a b)

28 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué podemos afirmar de este sistema en la lógica modal? a a b b a b ( a b) a b (a b)

29 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué podemos afirmar de este sistema en la lógica modal? a a b b a b ( a b) a b (a b) Básicamente, cuales estados se pueden alcanzar y en cuantos pasos.

30 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué NO podemos afirmar?

31 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué NO podemos afirmar? No podemos decir que algo es alcanzable en principio: tenemos que decir alcanzable en n pasos.

32 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué NO podemos afirmar? No podemos decir que algo es alcanzable en principio: tenemos que decir alcanzable en n pasos. No podemos decir cual acción (por cual proceso) no llevará a cual estado.

33 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué NO podemos afirmar? No podemos decir que algo es alcanzable en principio: tenemos que decir alcanzable en n pasos. No podemos decir cual acción (por cual proceso) no llevará a cual estado. No podemos decir existe una ejecución que empieza en w 1 donde b es siempre falso.

34 Qué se puede expresar en la lógica modal? Modal Qué NO podemos afirmar? No podemos decir que algo es alcanzable en principio: tenemos que decir alcanzable en n pasos. No podemos decir cual acción (por cual proceso) no llevará a cual estado. No podemos decir existe una ejecución que empieza en w 1 donde b es siempre falso. No podemos decir lo que el agente A conoce del agente B.

35 Modal El propósito de la lógica temporal es razonar sobre el tiempo (en filosofía), y sobre el comportamiento de sistemas que evolucionan en el tiempo (en ciencias de la computación).

36 Modal El propósito de la lógica temporal es razonar sobre el tiempo (en filosofía), y sobre el comportamiento de sistemas que evolucionan en el tiempo (en ciencias de la computación). Cuál es la estructura del tiempo?

37 Modal El propósito de la lógica temporal es razonar sobre el tiempo (en filosofía), y sobre el comportamiento de sistemas que evolucionan en el tiempo (en ciencias de la computación). Cuál es la estructura del tiempo? Un flujo del tiempo es una pareja (T, <), donde T es un conjunto no vacío de puntos de tiempo, y < es una relación binaria e irreflexiva sobre T.

38 Modal Decisión fundamental: lineal o ramificada?.

39 Modal Decisión fundamental: lineal o ramificada?. : (T, <) es lineal si, para todo x, y T con x y, se tiene que x < y o y < x. Propiedades: Se puede limitar Al pasado: Existe un x T tal que x y para todo y T (genesis) Al futuro: Existe un x T tal que x y para todo y T (día del juicio)

40 Modal Decisión fundamental: lineal o ramificada?. : (T, <) es lineal si, para todo x, y T con x y, se tiene que x < y o y < x. Propiedades: Se puede limitar Se puede discretizar Si x T no es el génesis, entonces existe y T tal que y < x y y < z < x no se mantiene para ningún z T. Si x T no es el día del juicio, entonces existe y T tal que x < y y x < z < y no se mantiene para ningún z T.

41 Modal Decisión fundamental: lineal o ramificada?. : (T, <) es lineal si, para todo x, y T con x y, se tiene que x < y o y < x. Propiedades: Se puede limitar Se puede discretizar Tiene densidad Para todo x, y T con x < y, existe un z T tal que x < z < y.

42 Modal Decisión fundamental: lineal o ramificada?. : (T, <) es lineal si, para todo x, y T con x y, se tiene que x < y o y < x. Propiedades: Se puede limitar Se puede discretizar Tiene densidad Completitud (tiene un mínimo ĺımite superior)

43 Modal Ramificada: al futuro al pasado

44 Modal Ramificada: al futuro al pasado Opción más popular: lineal al pasado y ramificada al futuro, i.e. para cada x T, el conjunto {y T y < x} es lineal ordenado por <

45 Modal Qué flujo de tiempo tenemos que usar?

46 Modal Qué flujo de tiempo tenemos que usar? Depende de la aplicación!

47 Sistemas Reactivos Modal La aplicación principal de la lógica temporal en ciencias de la computación es la verificación de sistemas concurrentes y reactivos de estado finito. Ejemplos: microprocesadores, sistemas operativos, protocolos de redes, software de aviación. La verificación de dichos sistemas es una tarea importante y difícil.

48 Sistemas Reactivos Modal Estado-Finito. Un estado es una foto del sistema, que captura los valores de las variables en un instante de tiempo. Sistemas de estado-finito solo pueden tener un número finito de estados.

49 Sistemas Reactivos Modal Estado-Finito. Un estado es una foto del sistema, que captura los valores de las variables en un instante de tiempo. Sistemas de estado-finito solo pueden tener un número finito de estados. Sistema Reactivo. Interactua con el ambiente de manera frecuente y usualmente no termina.

50 Sistemas Reactivos Modal Estado-Finito. Un estado es una foto del sistema, que captura los valores de las variables en un instante de tiempo. Sistemas de estado-finito solo pueden tener un número finito de estados. Sistema Reactivo. Interactua con el ambiente de manera frecuente y usualmente no termina. Sistema Concurrente. Consiste en múltiples procesos que interaccionan entre sí. Un proceso no conoce el estado interno de los otros. Puede ser visto como una colección de sistemas reactivos.

51 Sistemas Reactivos Modal Estado-Finito. Un estado es una foto del sistema, que captura los valores de las variables en un instante de tiempo. Sistemas de estado-finito solo pueden tener un número finito de estados. Sistema Reactivo. Interactua con el ambiente de manera frecuente y usualmente no termina. Sistema Concurrente. Consiste en múltiples procesos que interaccionan entre sí. Un proceso no conoce el estado interno de los otros. Puede ser visto como una colección de sistemas reactivos. Verificación. Dada la descripción (formal) de un sistema y su comportamiento esperado, se chequea si el sistema de verdad cumple con este comportamiento.

52 Estructuras de Kripke Modal Sea PL un conjunto finito de letras proposicionales. Una estructura Kripke sobre PL es una tupla K = S, S I, R, V con S un conjunto no vacío de estados, S I S un conjunto de estados iniciales, R S S una relación de transición que es total, i.e. para cada estado s S, existe un estado s S tal que s R s, V S 2 PL una función valuación.

53 Estructuras de Kripke Modal Ejemplo: Considere el siguiente protocolo de exclusión mutua: task body ProcA is begin loop (0) Non Critical Section A; (1) loop exit when Turn = 0; end loop; (2) Critical Section A; (3) Turn := 1; end loop; end ProcA;

54 Estructuras de Kripke Modal task body ProcB is begin loop (0) Non Critical Section B; (1) loop exit when Turn = 1; end loop; (2) Critical Section B; (3) Turn := 0; end loop; end ProcB; Se asume que los procesos corren de manera asíncrona. El orden de ejecución es indeterminado.

55 Estructuras de Kripke Modal Entonces definimos un conjunto de letras proposicionales: PL ={(T = i) i {0, 1}} {(X = i) X {A, B} i {0, 1, 2, 3}} Intuitivamente, (T = i) significa que Turn se le ha asignado i, y (X = i) significa que el proceso X está en la ĺınea i.

56 Estructuras de Kripke Modal Luego definimos una estructura Kripke K = S, S I, R, V de la siguiente manera: S = {0, 1} {0, 1, 2, 3} {0, 1, 2, 3} S I = {(0, 0, 0), (1, 0, 0)} R = R A R B, donde R A = {(t, p A, p B ), (t, p A, p B ) p B = p B y 1 p A {0, 2, 3} p A = p A + 1 mod 4 t = t 2 t = 0 p A = 1 p A = 2 3 t = 1 p A = 1 p A = 1 4 p A = 3 t = 1} R B es definido de la misma manera V (t, p A, p B ) = {(T = t), (A = p A ), (B = p B )}, (t, p A, p B ) S

57 Estructuras de Kripke Modal Una computación de K es una secuencia infinita s 0 s 1 de estados tal que s 0 S I y s i R s i+1 para todo i 0. Ejemplo: (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 3, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 2),... Dicha computación corresponde a una ejecución (asíncrona) del sistema concurrente con los procesos A y B.

58 Estructuras de Kripke Modal Propiedades interesantes derivadas del ejemplo: Exclusión mutua: pueden A y B estar en la ĺınea (2) al mismo tiempo?

59 Estructuras de Kripke Modal Propiedades interesantes derivadas del ejemplo: Exclusión mutua: pueden A y B estar en la ĺınea (2) al mismo tiempo? (cierto)

60 Estructuras de Kripke Modal Propiedades interesantes derivadas del ejemplo: Exclusión mutua: pueden A y B estar en la ĺınea (2) al mismo tiempo? (cierto) Accesibilidad garantizada: si el proceso X {A, B} está en la ĺınea (2), se garantiza que finalmente llegará a la ĺınea (3)?

61 Estructuras de Kripke Modal Propiedades interesantes derivadas del ejemplo: Exclusión mutua: pueden A y B estar en la ĺınea (2) al mismo tiempo? (cierto) Accesibilidad garantizada: si el proceso X {A, B} está en la ĺınea (2), se garantiza que finalmente llegará a la ĺınea (3)? (cierto, pero solo en computaciones que ejecutan ambos procesos A y B de manera infinita)

62 Estructuras de Kripke Modal Las estructuras de Kripke pueden ser no deterministas, i.e. para un s S, el conjunto {s s R s } puede tener una cardinalidad arbitraria. En general hay más de una computación. Podemos organizarlas todas en un árbol de computación. Informalmente, para s S I, el árbol (infinito) de computación T (K, s) de K en s S es construido inductivamente así: use s como la raíz; para cada hoja s, agregue un sucesor {t S s R t}.

63 Estructuras de Kripke Modal El árbol de computación para el ejemplo anterior que empieza en (0, 0, 0) es: (0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (0,2,0) (0,1,1) (0,3,0) (0,2,1) (0,2,1) (0,1,1) Para verificar propiedades se consideran las computaciones simples o el árbol entero.

64 Sintaxis Modal El conjunto de fórmulas en la lógica temporal lineal (LTL) es el menor conjunto donde cada letra proposicional p PL es una fórmula, si A y B son fórmulas, entonces A B y A también lo son, si A y B son fórmulas, entonces A y A U B también lo son.

65 Semántica Modal Una estructura LTL M es una secuencia infinita S 0 S 1 con S i 2 PL para todo i 0. Una fórmula LTL en M en un tiempo n N se satisface en los siguientes casos: M, n p sii p S n, p PL M, n A sii M, n A M, n A B sii M, n A y M, n B M, n A sii M, n + 1 A M, n A U B sii m n M, m A k {n,..., m 1} M, k B

66 Abreviaciones Modal El Diamante futuro

67 Abreviaciones Modal El Diamante futuro A = true U A M, n A sii m n M, m A

68 Abreviaciones Modal El Diamante futuro A = true U A M, n A sii m n M, m A La caja futuro

69 Abreviaciones Modal El Diamante futuro A = true U A M, n A sii m n M, m A La caja futuro A = A M, n A sii m n M, m A

70 Abreviaciones Modal Ejercicio: Cómo se expresaría el operador release R? A R B, significa que B siempre es cierto a menos que sea liberado (released) por A.

71 Abreviaciones Modal Ejercicio: Cómo se expresaría el operador release R? A R B, significa que B siempre es cierto a menos que sea liberado (released) por A. A R B = ( A U B)

72 Abreviaciones Modal Ejercicio: Cómo se expresaría el operador release R? A R B, significa que B siempre es cierto a menos que sea liberado (released) por A. A R B = ( A U B) M, n A R B sii m n M, k A k < m M, m B

73 Equivalencias Modal Algunas equivalencias importantes: A A auto-dualidad del next A A idempotencia del diamante A A conmutación de next con diamante A U B ( A R B) until y release son duales A U B B (A (A U B)) desarrollo del until A R B (A B) (B (A R B)) desarrollo del release

74 Propiedades es Modal Una propiedad temporal es un conjunto de estructuras LTL (aquellas en las cuales la propiedad es cierta). Entonces una propiedad temporal P puede ser definida usando una fórmula A: P = {M M, 0 A}

75 Propiedades es Modal Una propiedad temporal es un conjunto de estructuras LTL (aquellas en las cuales la propiedad es cierta). Entonces una propiedad temporal P puede ser definida usando una fórmula A: P = {M M, 0 A} Dada una estructura de Kripke K que representa un sistema reactivo y una fórmula LTL A que representa una propiedad temporal, K satisface A si M, 0 A para todas las trazas M de K. Notación: K A.

76 Propiedades es: Safety Modal Intuitivamente, una propiedad safety afirma que nada malo pasa. Exclusión mutua: E.g. ((A = 2) (B = 2)) No Deadlocks: En cualquier momento algún proceso debe estar activo: (activo 1... activo k ) Correctitud parcial: Si A se satisface cuando el programa empieza, entonces B será satisfecho si el programa alcanza un determinado estado: A (dist B) donde dist PL marque el determinado estado.

77 Propiedades es: Liveness Modal Intuitivamente, una propiedad liveness afirma que algo bueno pasará. Accesibilidad Garantizada: E.g. (A = 1 (A = 2)) (B = 1 (B = 2)) Respuesta: Si se hace una petición, será otorgada: (pet (otorg)) Correctitud Total: Si A se satisface cuando el programa empieza, el programa termina en un determinado estado donde B se satisface: A (dist B)

78 Propiedades es: Fairness Modal Cuando se modelan sistemas concurrentes, usualmente es importante hacer algunas suposiciones imparciales o justas. Se asume que existen k procesos, que activo i PL es cierto en un estado s si el proceso #i está activo en s, y que ejecutado i es cierto en un estado s si el proceso #i ha sido ejecutado para alcanzar s.

79 Model Checking Modal El problema de model checking en LTL es el siguiente: Dada una estructura de Kripke K = (S, S I, R, V ) y una fórmula LTL A, chequear cuándo K A. (Si todas las trazas M de K satisfacen M, 0 A).

80 Model Checking Modal El problema de model checking en LTL es el siguiente: Dada una estructura de Kripke K = (S, S I, R, V ) y una fórmula LTL A, chequear cuándo K A. (Si todas las trazas M de K satisfacen M, 0 A). Ejemplo: La siguiente estructura de Kripke satisface (q p). Pero no satisface (p p U q). q q p p p q

81 Satisfacibilidad Modal Una fórmula LTL A es satisfacible si existe una estructura LTL M tal que M, n A, para algún n N. Dicha estructura es llamada un modelo de A.

82 Satisfacibilidad Modal Una fórmula LTL A es satisfacible si existe una estructura LTL M tal que M, n A, para algún n N. Dicha estructura es llamada un modelo de A. En verificación, la satisfacibilidad es usada para detectar propiedades contradictorias, i.e. propiedades que no son satisfechas por ninguna computación en ningún sistema reactivo. Ejercicio: p (p p) p

83 Modal Fin de la Presentación