Econometria de Series Temporales

Transcripción

1 Econometria de Series Temporales Walter Sosa Escudero Universidad de San Andr es 1 Introduccion >Porque series temporales? ² Inhabilidad de la economia de producir experimentos controlados para estudiar relaciones causales entre variables. ² Una alternativa consiste en estudiar estas relaciones a partir de la evolucion historica o temporal de estas variables. ² El paradigma estandar de `muestra independiente' no tiene sentido. El analisis de series temporales intenta dar cuenta de estas dependencias. ² Objetivos: analizar efectos causales, predecir el futuro. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 2

2 Cuatro ejemplos Log-PBI Argentino Venta de licor lpbi licor year Index Empleo en Canada PBI y Consumo canemp rgdp 6.0 e e e Index year Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 3 Algunas caracteristicas de series economicas 1. Fuertes tendencias. 2. Di cil de distinguir tendencias y ciclos. 3. Ciclos estocasticos, di ciles de predecir. 4. Comportamientos estacionales marcados. 5. Oscilaciones muy erraticas, no hay tendencias ni ciclos obvios. 6. Covariaciones sugerentes. 7. Cambios estructurales. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 4

3 Econometria de Series Temporales Modelos para Procesos Estacionarios Univariados Walter Sosa Escudero Universidad de San Andr es Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 5 Conceptos Basicos ² Proceso estocastico: coleccion de variables aleatorias ordenadas. ² Serie de tiempo: el orden es el tiempo. Y t ; t =1; 2;:::;T El punto central es que los Y t no son necesariamente independientes. De namos: ² ¹ t E(Y t ) ² 0t V (Y t ) ² t;j t Cov(Y t ;Y t j )=j-esima autocovarianza Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 6

4 Y t es estacionario si y solo si: 1. E(Y t )=¹<1; 8t 2. Cov(Y t ;Y t j )= j < 1; 8t; 8j ² En realidad, esto es estacionariedad en sentido debil. Es el unico sentido utilizado en este curso. ² Estacionariedad implica restricciones sobre la esperanza y, fundamentalmente, sobre la estructura de covarianzas. Ejemplo: Y t puede tener esperanza constante y asi y todo ser no-estacionario. ² Si Y t es estacionario: Cor(Y t ;Y t j ) ½ j = Cov(Y t;y t j ) p V (Yt )V (Y t j ) = j 0 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 7 Ruido Blanco Y t ;t=1; 2;:::;T es un proceso de ruido blanco si: 1. E(Y t )=0; 8t. 2. V (Y t )=E(Y 2 t )=¾ 2 < 1; 8t 3. Cov(Y i ;Y j )=0; 8 i 6= j. ² Es por construccion estacionario. Es una coleccion de variables aleatorias con media cero y no correlacionadas entre ellas. ² Es el proceso mas simple de todos. Notacion: Y t» RB(0;¾ 2 ). ² Ejemplo: El termino de error de un modelo de regresion clasiso es ruido blanco. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 8

5 Ejemplo: Ruido Blanco ² 100 realizaciones. ² Erratico, impredecible de su pasado. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 9 Procesos de media movil (MA) MA (1): Procesos de Media Movil de orden 1 Y t = ¹ + " t + µ" t 1 ; ¹;µ < 1; " t» RB(0;¾ 2 ) Propiedades: ² E(Y t )=¹ + E(" t )+µe(" t 1 )=¹ ² V (Y t )=V(" t )+µ 2 V (" t 1 )=¾ 2 (1 + µ 2 ) ² 1t = Cov(Y t ;Y t 1 )=µ¾ 2 1t = E(Y t ¹)(Y t 1 ¹) =E(" t + µ" t 1 )(" t 1 + µ" t 2 ) = E(" t " t 1 + µ" 2 t 1 + µ" t" t 2 + µ 2 " t 1 " t 2 ) = 0+µ¾ =µ¾ 2 ² jt = Cov(Y t ;Y t j )=0; 8j >1 ) MA(1) es siempre estacionario Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 10

6 MA (q): Procesos de Media Movil de orden q Y t = ¹ + " t + µ 1 " t 1 + µ 2 " t 2 + :::+ µ q " t q ; "» RB(0;¾ 2 ) Propiedades: ² E(Y t )=¹ ² V (Y t )=¾ 2 (1 + µ µ :::+ µ 2 q) 8 < ² Cov(Y t ;Y t j )= j = : [µ j + µ j+1 µ 1 + µ j+2 µ 2 + :::+ µ q µ q j ] ¾ 2 j q 0 j>q ) MA(q) es estacionario para cualquier q<1 La dependencia con el pasado se rompe luego del q esimo periodo. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 11 MA (1): Procesos de Media Movil de orden 1 Y t = ¹ + Ã j " t j ; RB(0;¾ 2 );Ã 0 =1 j=0 Resultado: MA(1) es estacionario si: 1. P 1 j=0 Ã2 i < 1 2. P 1 j=0 jã ij < 1 (sumabilidad absoluta) 2) ) 1), pero no alreves. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 12

7 Teorema de Descomposicion de Wold Cualquier proceso estacionario Y t puede escribirse como: Y t = Ã j " t j + k t j=0 en donde " t» RB(0;¾ 2 ) k t es una funcion deterministica y P 1 j=0 Ã2 j < 1. ² Todo proceso estacionario es esencialmente un MA(1) estacionario. ² En la practica implica estimar in nitos parametros. ² Idea: buscar alguna representacion mas parsimoniosa del MA(1). MA(q) con q alto es una aproximacion. ² Prueba: Brockwell y Davis (1987) Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 13 Procesos autorregresivos (AR) AR(1): Proceso autorregresivo de orden 1 Y t = c + ÁY t 1 + " t ; " t» RB(0;¾ 2 ) ² AR(1) es un proceso derivado de un RB a traves de una recursion. ² Resultado: AR(1) es estacionario si jáj < 1 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 14

8 Notar que Y t 1 = c + ÁY t 2 + " t 1. Reemplazando: Y t = c + Á (c + ÁY t 2 + " t 1 )+" t = c + cá + Á 2 Y t 2 + Á" t 1 + " t Reemplazando Y t 2 = c + ÁY t 3 + " t 2 Y t = c + cá + cá 2 + Á 3 Y t 3 + Á 2 " t 2 + Á" t 1 + " t Continuando con este proceso: Y t = c(1 + Á + Á 2 + )+(" t + Á" t 1 + Á 2 " t 2 + Á 3 " t 3 + )+ lim s!1 Ás Y t s Si jáj < 1: Y t = c 1 Á + i=1 que es un MA(1) con à i Á i. Notar que: j=1 Á i " t i X 1 Ãj 2 = Á 2i 1 = 1 Á 2 < 1 =) AR(1) es estacionario si jáj < 1 j=1 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 15 Disgresion: Operadores de Rezago ² LY t Y t 1 ² L k Y t Y t k. Intuitivamente: LL LY t = Y t K. ² (L) L + 2 L K L K (L)Y t = 0 Y t + 1 Y t Y t K Y t K Casos particulares: ² Y t (1 L)Y t = Y t Y t 1 ² 1 L. Si j j < 1, 1 1 L =1+ L + 2 L L 3 + y (1 L)(1 L) 1 Y t = Y t. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 16

9 Ejemplo: AR(1) Y t = c + ÁY t 1 + " t () (1 ÁL)Y t = c + " t Si jáj < 1, aplicando(1 ÁL) 1 a ambos lados, Llamando z t c Y t = c 1 ÁL + " t 1 ÁL Y t = z t (1 + ÁL + Á 2 L 2 + )+" t (1 + ÁL + Á 2 L 2 + ) = c + Ác + Á 2 c + + " t + Á" t 1 + Á 2 " t 2 + = c 1 Á + X Á j " t j Representacion MA(1) dear(1) j=0 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 17 Propiedades del AR(1) estacionario ² E(Y t ) ¹ = c 1 Á E(Y t ) = c + ÁE(Y t 1 )+E(" t ) = c + ÁE(Y t ) (Y t es estacionario) = c=(1 Á) ² V (Y t ) 0 = ¾2 1 Á 2 Y t = V (Y t ) = = c 1 Á + j=0 j=0 j=0 Á j " t j Á 2j V (" t j ) Á 2j ¾ 2 = ¾ 2 =(1 Á 2 ) Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 18

10 ² Cov(Y t ;Y t j ) j = Á j ¾2 1 Á 2 Y t = ¹(1 Á) +ÁY t 1 + " t {z } c (Y t ¹) = Á (Y t 1 ¹)+" t E (Y t ¹)(Y t j ¹) = ÁE(Y t 1 ¹)(Y t j ¹)+E [" t (Y t j ¹)] " # j = Á j 1 + E Á j " t j 1 = Á j = Á 0 j=0 " t j=0 Á j E [" t " t j 1 ] {z } 0 2 = Á 1 = Á(Á 0 )=Á j = Á j 0 = Á j ¾ 2 1 Á 2 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 19 ² Cor(Y t ;Y 1 )=½ j = j 0 = Á j Las autocorrelaciones de un AR(1) estacionario decaen exponencialmente en valor absoluto. Intuicion: Caso particular Y t = ÁY t 1 + " t ; Á > 0. En este caso ¹ =0. La posicion de Y t depende de dos componentes. Uno que lo ata al pasado (ÁY t ) y otro que lo mueve en forma aleatoria (" t ). El proceso es mas erratico cuando Á es mas peque~no y mas suave cuando Á! 1 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 20

11 Estacionariedad de AR(1) en terminos de raices de polinomios de rezagos Y t = c + ÁY t 1 + " t () (1 ÁL)Y t = c + " t estacionario si jáj < 1. Consideremos el polinomio: (1 Áz), conraizr =1=Á. Entonces, AR(1) es estacionario si y solo si jrj > 1. jrj > 1 () jáj < 1 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 21 Ejemplo: AR(1) ² >Cual es el efecto de aumentar Á? ² >En que sentido AR(1) produce ciclos parecidos a los de una economia? Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 22

12 AR(p): Proceso autorregresivo de orden p Y t = c + Á 1 Y t 1 + Á 2 Y t Á p Y t p + " t ; " t» RB(0:¾ 2 ) Alternativamente: (1 Á 1 L Á 2 L Á p L p ) Y t = c + " t Resultado: AR(p) es estacionario sii todas las raices de 1 Á 1 z Á 2 z Á z L p son mayores que 1 en valor absoluto. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 23 Intuicion: AR(2): (1 Á 1 L Á 2 L 2 )Y t = " t. Si r 1 y r 2 son raices del polinomio (1 Á 1 z Á 2 L z ) vale la siguiente factorizacion: Si jr 1 j < 1 y jr 2 j < 1 (1 r 1 L)(1 r 2 L)Y t = " t Y t = = = = 1 1 r 1 L 1 1 r 1 L 1 1 r 2 L " t i=0 (1=r 2 ) i L i " t " X 1 (1=r 1 ) j L j j=0 j=0 i=0 i=0 (1=r 2 ) i L i " t # (1=r 1 ) j (1=r 2 ) i L j L i " t = s=0 Ã s " t s = MA(1); estacionario sii jr 1 j < 1 y jr 2 j < 1 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 24

13 Representacion MA(1) del AR(p) estacionario: (1 Á 1 L Á 2 L Á p L p ) Y t = c + " t (L) =(1 Á 1 L Á 2 L 2 + +Á p L p )=(1 r 1 L)(1 r 2 L) (1 r p L) en donde r 1 ;:::;r p son las raices de (L). Si jr i j < 1;i=1;:::;p, (estacionariedad) Y t = 1 (L) (c + " t)= 1 Q p i=1 (1 r il) (c + " t)=¹ + ) representacion MA(1) del AR(p). Ã s " t s Ventaja: depende solo de p parametros distintos. Los AR son representaciones parsimoniosas de la descomposicion de Wold. s=0 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 25 Procesos ARMA Y t = c+á 1 Y t 1 + Á 2 Y t Á p Y t p {z } AR(p) Equivalentemente: (L) Y t = c + (L) " t, con: (L) 1 Á 1 L Á 2 L 2 Á p L p (L) 1+µ 1 L + µ 2 L 2 + :::+ µ q L q + " t + µ 1 " t 1 + µ 2 " t 2 + :::+ µ q " t q {z } MA(q) ² ARMA(p,q) es estacionario si todas las raices de (L) son>1envalor absoluto (la parte AR es estacionaria). ² Bajo estacionariedad: Y t = (L) (L) " t = ¹ +ª(L)" t = ¹ + i=1 Ã i " t i =) Representacion MA(1) con ¹ c= (L). ARMA es otra representacion parsimoniosa de un MA(1). Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 26

14 Ejemplo: ARMA(p; q) AR1(0.8) AR2(0.1,0.5) ARMA11(0.5,0.7) MA1(0.8) MA3(0.1,-0.4,0.5) ARMA(0.5,-0.3,0.7) ² Es muy complicado identi car procesos ARMA en forma observacional. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 27 >Porqu e modelos ARMA? ² Representacion parsimoniosa de la descomposicion de Wold (MA(1)). ² Funciona bien en la practica (Box-Jenkins, Nelson). Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 28

15 Estimacion de modelos ARMA Estimacion de AR(p) Y t = c + Á 1 Y t 1 + Á 2 Y t Á p Y t p + " t ; " t» RB(0:¾ 2 ) " t satisface los supuestos bajo los cuales MCO produce estimaciones consistentes y asintoticamente normales. Regresar Y t en Y t 1 ;Y t Y t p. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 29 Estimacion de MA(q) En general es por el metodo de maxima verosimilitud Resultado importante: f(x; z) =f(xjz)f(z) De namos y (t 1) (y t 1 ;y t 2 ;:::;y 1 ) (regla del producto) f(y t ;y t 1 ;:::;y 0 ) = f(y t jy t 1 )f(y t 1 ) = f(y t jy t 1 )f(y t 1 jy t 2 )f(y t 2 ) = = " T Y t=2 f(y t jy t 1 ) # f(y 1 ) Este es un resultado muy importante para derivar funciones de verosimilitud. Recordar que solo si los Y t son independientes f(y t jy t 1 )=f(y t ), entonces: f(y t ;y t 1 ;:::;y 0 )= TY t=1 f(y t ) Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 30

16 Caso particular: MA(1) gaussiano: Y t = ¹ + " t + µ" t 1 ; " t» RBN(0;¾ 2 ) ² Y t jy (t 1) es normal (porque?), con E(Y t jy (t 1) )=E(Y t j" t 1 )=¹ + µ" t 1 E(Y t jy (t 1) )=¾ 2 ) ) Y t jy (t 1)» N(¹ + µ" t 1 ;¾ 2 ); entonces: f(y t jy (t 1) ) = 1 p exp 1 2¼¾ 2 2 (y t (¹ + µ" t 1 )) 2 ¾ 2 = 1 p exp 1 " 2 t 2¼¾ 2 2 ¾ 2 ² Y 1 j" 0» normal, con E(Y 1 j" 0 )=¹ y V (Y 1 j" 0 )=¾ 2,entonces: f(y 1 j" =0)= 1 p 2¼¾ 2 exp h 1 2 i i (y 1 ¹) 2 ¾ 2 = p h 1 exp 1 " 2 1 2¼¾ 2 2 ¾ 2 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 31 Reemplazando y tomando logs: " T Y # l(µ; ¾ 2 ) = ln t=2 f(y t jy t 1 ) = T 2 ln(2¼) T 2 ln ¾2 f(y 1 j" 0 ) TX t=1 " 2 t 2¾ 2 Problema: no observamos los " t 's!!. Si suponemos " 0 =0, los podemos recuperar recursivamente de la de nicion de MA(1): " t = y t µ" t 1. Chequear que: " t =(y t ¹) µ(y t 1 ¹)+µ 2 (y t 2 ¹) +( 1) t 1 µ t 1 (y 1 ¹)+( 1) t µ t " 0 ² l(µ; ¾ 2 ) es una funcion muy no-lineal en ¹ y µ. ² El efecto de " 0 tiende a desaparecer cuando jµj < 1. ² Resultado: siempre es posible reescribir MA(1) de modo que jµj < 1 (es la representacion invertible de MA(1). Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 32

17 Especi cacion y evaluacion de modelos ARMA Correlograma total: (½ s ;s) La esima autocorrelacion muestral se de ne como: ^½ = 1 P T T t=1 (Y t Y ¹ )(Y t 1 Y ¹ ) P T i=1 (Y t Y ¹ ) 2 1 T Un gra co de las autocorrelaciones simples para diferentes realizaciones de se llama correlograma. La version muestral (estimada) se denomina correlograma muestral. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 33 Correlograma total de AR(p) estacionario: ² Todas las autocorrelaciones son distintas de cero. ² Decaen en valor absoluto. ² Lo hacen solo en forma exponencial o sinusoidal. Correlograma total de MA(q): ² Solo las primeras q autocorrelaciones son distintas de cero. Reglas: ² Si el correlograma se interrumpe bruscamente luego del rezago q, sugiere un proceso MA(q). ² En caso contrario, puede ser un AR o un ARMA. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 34

18 Ejemplo: Correlograma total: AR1(0.8) AR2(0.1,0.5) ARMA11(0.5,0.7) ACF MA1(0.8) ACF ACF MA3(0.1,-0.4,0.5) ACF ACF ARMA(0.5,-0.3,0.7) ACF Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 35 Correlograma parcial: (½ s ;s) Consideremos la siguiente sucesion de modelos de regresion: Y t = C Y t 1 + u 1t Y t = C Y t Y t 2 + u 2t = Y t = C h + 1 Y t Y t Y t + u t 11 ; 22 ;:::; son la primera, segunda, etc. autocorrelaciones parciales. Ejemplo: Si bien AR(1) tiene todas las autocorrelaciones simples iguales a 1, solo la primer autocorrelacion parcial distinta de cero. Porque? Permite identi car modelos AR(p): las autocorrelaciones parciales decaen bruscamente luego del rezago p. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 36

19 Ejemplo: Correlograma parcial: AR1(0.8) AR2(0.1,0.5) ARMA11(0.5,0.7) Partial ACF MA1(0.8) Partial ACF Partial ACF MA3(0.1,-0.4,0.5) Partial ACF Partial ACF ARMA(0.5,-0.3,0.7) Partial ACF Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 37 Metodologia de Box-Jenkins ² Luego de garantizar que el proceso es estacionario, observar los correlogramas y proponer un ARMA(p; q) adecuado y proceder a estimarlo. ² Si el modelo es correcto, los residuos deberian ser ruido blanco: evaluar la hipotesis nula de ruido blanco. Si falla, volver a la etapa 1. ² Muchos modelos pueden satisfacer la hipotesis de residuos RB: elegir el mas parsimonioso. Metodologia `general-a-particular' Comenzar con un ARMA(p; q) lo `su cientemente general' y reducirlo a una version parsimoniosa con residuos ruido blanco a traves de tests de signi catividad. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 38

20 Test de la hipotesis de residuos ruido blanco Test de Box-Pierce (Q): Q = T P m =1 ^½2 ² Bajo H 0 : residuos RB, todas las correlaciones deberian ser cero. ² El test Q se basa en sumar las primeras m autocorrelaciones. La eleccion de m implica un trade-o. ² Bajo H 0, Q» Â 2 (m) Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 39 Seleccion de modelos >Como elegir entre modelos que tienen residuos RB? Elegir un modelo que ajuste bien a los datos y que sea parsimonioso (se base en pocos parametros). Dos criterios que penalizan la falta de ajuste y el uso de parametros: ² Criterio de Informacion de Akaike (AIC): 2K=T SRC AIC = e T K = numero de parametros, T = numero de observaciones, SRC = suma de residuos al cuadrado. ² Criterio de Informacion de Schwarz (SIC): SIC = T K=T SRC T Idea: elegir modelos que minimicen alguno de estos criterios. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 40