PLAN DE REFUERZO NOMBRE ESTUDIANTE: Nº

Transcripción

1 COLEGIO BETHLEMITAS PLAN DE REFUERZO Fecha: Dia 01 Mes 04 Año 2016 META DE COMPRENSIÓN: Desarrolla comprensión acerca de la evolución histórica de los sistemas de numeración, para ubicar dentro de ellos el sistema decimal y el conjunto de los números naturales con sus operaciones básicas. DOCENTE: Nora Patricia Barrera Gómez y Haslen Palacios Bonilla NOMBRE ESTUDIANTE: Nº PERIODO: I AREA: Matemáticas ASIGNATURA: Aritmética GRADO: 6 A B 1. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES: El siguiente plan de refuerzo contiene información básica y ejercitación de los tópicos trabajados durante el periodo. Se debe tener en cuenta para su realización las guías de desarrollo, informativas y de control trabajadas, los apuntes de clase y los referentes bibliográficos que se encuentran al final de este plan. Asegúrese de desarrollarlo completamente y participar activamente durante la jornada de retroalimentación. 2. IDENTIFICACIÓN DE TÓPICOS Sistemas de Numeración Sistema de numeración decimal Descomposición polinomial Bases numéricas Sistema de numeración romano Sistema de los números naturales Orden Representación en la recta Propiedades de la Adición y Multiplicación 3. DESARROLLO CONCEPTUAL Sistemas de Numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra. Sistema de numeración decimal: El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir: 5* * *10 0 o, lo que es lo mismo: La descomposición polinomial o polinómica = 528 Es la descomposición de un número expresando el valor posicional de sus cifras usando potencias de la base del sistema de numeración. El número 9358, escrito en el Sistema de Numeración Decimal, se descompone en forma polinómica de esta manera: 9358 = 9x x x10 + 8x1 = 9x x x x 10º Sistema de numeración binario El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números. De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 (2) tiene un valor que se calcula así: 1* * * *2 0, es decir: = 11 Para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así: 1011 (2) = 11 1

2 Convertir un número decimal al sistema binario Basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos. Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes: 77 2 = 38 Resto: = 19 Resto: = 9 Resto: = 4 Resto: = 2 Resto: = 1 Resto: = 0 Resto: 1 Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: 7710 = (2) Conversión de binario a decimal El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda. Por ejemplo, para convertir el número binario (2) a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit: 1* * * * * * *2 0 = (2) = 8310 Sistema de numeración en otras bases El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: Por ejemplo en el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal. En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así: 2* * *8 1 = 2* *64 + 3*8 = (8) = En bases diferentes funciona de forma análoga a las ilustradas anteriormente, con la diferencia que se cambia la base por la del sistema a implementar. Conversión de un número decimal a otra base Para convertir un número decimal a una base diferente se realiza el mismo procedimiento que para convertir un número al sistema binario, a continuación se ejemplifica convirtiendo a base octal. La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal tendremos que hacer las siguientes divisiones: = 15 Resto: = 1 Resto: = 0 Resto: 1 Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal: =

3 Numeración Romana Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000 mil. En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez. Reglas para escribir números romanos ORDEN EN EL LOS NÚMEROS NATURALES Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda. 5 > 3 5 es mayor que 3. 8 < 9 8 es menor que 9. Propiedades de la suma de números naturales Operación interna El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural = N Conmutativa El orden de los sumandos no varía la suma. a + b = b + a = = 7 Asociativa El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = = 10 Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da él mismo número. a + 0 = 0 + a a + 0 = a = 3 3

4 Propiedades de la multiplicación de números naturales Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado con él da él mismo número. a * 1 = a 3 *1 = 3 Asociativa El modo de agrupar los factores no varía el resultado. (a * b) * c = a * (b * c) (2 * 3) *5 = 2 * (3 * 5) 6* 5 = 2 *15 30= 30 Conmutativa El orden de los factores no varía el producto. a * b = b * a 2 * 5 = 5 * 2 7 = 7 Distributiva La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos. a *( b + c) = a * b +a*c 4 *( 3+ 5) = 4 *3 +4*5 4*8= =32 Propiedades de la división de números naturales No es una operación interna No es conmutativa El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural Cero dividido entre cualquier número da cero No se puede dividir por = 0 4

5 4. EJERCITACIÓN 1. Escriba la descomposición polinomial de los siguientes números. a b Escriba los siguientes números en las bases que se indican realizando el debido procedimiento: a en base 5 b en base 2 2. Escriba los siguientes números en base decimal: a (4) b (3) 3. Escriba los siguientes números en números romanos: a. 494 b Escriba en notación decimal los siguientes numerales romanos: a. MMCDXXXII b. MMDXCVIII 5. Escriba el signo > mayor que, < menor que o = igual a, según corresponda a b c d e f Un montañista sube 176 metros y desciende 53 metros. Asciende de nuevo 220 metros. A qué altura del piso quedó? 7. La edad de una madre es 16 años más que la suma de las edades de sus 4 hijos. Si el menor tiene 3 años, el tercero 4 año más que el menor, el segundo 6 años más que el menor y el mayor la suma de las edades de sus tres hermanos, Cuál será la edad del madre? NOTA: ES IMPORTANTE QUE TODOS LOS EJERCICIOS LOS REALICE CON LOS PROCEDIMIENTOS Y NO UTILIZAR CALCULADORA. 4. METODOLOGÍA DE ESTUDIO PROPIA DE LA ASIGNATURA 1. Lea e interprete los enunciados de los ejercicios. 2. Seleccione los datos que le proporciona el enunciado y que sirven para solucionar el ejercicio. 3. Determine los datos que debe hallar y el procedimiento que debe seguir. 4. Realice el algoritmo o procedimiento que debe seguir para la solución del ejercicio. 5. Verifique que el procedimiento realizado este correcto. 6. Escriba claramente la respuesta con su procedimiento. 5. BIBLIOGRAFÍA: CENTENO ROJAS, Rocio. ZOOM a las matemáticas 6. Editorial Libros y Libros S.A., Págs LÓPEZ, Nidia y Otros. Matemáticas para pensar 6º. Bogotá: Grupo editorial norma, Páginas: y LEGUIZAMÓN DE BERNAL, Cecilia. Conexiones Matemáticas 6º. Bogotá: Grupo Editorial Norma, Páginas: 8-23 MEJÍA FONSECA, Cristina Fernanda. Desafíos matemáticas 6º. Bogotá: Grupo Editorial Norma, Páginas: