y la media geométrica como ab entonces demostraremos

Transcripción

1 Título: La desigualdad etre la media aritmética y geométrica e problemas de olimpiadas. Por Eduardo Miguel Pérez Almarales Resume: E el presete artículo se pretede mostrar la utilidad de ua desigualdad ta elemetal como la relació etre las medias aritmética y geométrica para resolver problemas de olimpiadas, se ofrece ua demostració algebraica y ua geométrica para esta relació e dos elemetos, a cotiuació se ofrece la demostració realizada por Cauchy al caso geeral y se propoe problemas co solucioes de olimpiadas realizadas e diferetes países. Desarrollo: Se cooce que la media aritmética etre dos valores o egativos a y b se calcula como a+b que a+b y la media geométrica como ab etoces demostraremos ab. Usaremos ua vía algebraica y ua geométrica que os permitirá aalizar alguas de las itercoexioes coceptuales que se establece etre estas dos disciplias de la Matemática. Vía algebraica: Coocemos que x 0, si e la desigualdad que queremos demostrar multiplicamos por y traspoemos todo al miembro izquierdo, obteemos a ab + b 0, factorizado teemos ( a b) 0, que se cumple. B x D A h Vía Geométrica: Utilizado el teorema de las alturas se tiee que h = xy es decir la media geométrica etre x, y. Por otra parte podemos percataros que OA = x+y, es decir la media geométrica, que e este caso es la hipoteusa del triágulo rectágulo AOD y la media geométrica es uo de sus catetos, etoces se tiee que a+b O ab. Esta desigualdad se cumple además si la catidad de valores aumeta. Segú Bulajich, Gómez y Valdés (008), Cauchy probó esta desigualdad utilizado ua iducció de la siguiete forma: y C 1

2 1. Probar que se cumple para dos úmeros.. Probar que si se cumple para elemetos etoces se cumple para 1 elemetos.. Probar que si se cumple para elemetos etoces se cumple para elemetos. E el caso que os ocupa el primer paso está probado. Probaremos el segudo y el tercer pasos: ) Tomamos 1 úmeros o egativos a 1, a,, a 1 y sea g = 1 a 1 a a 1, como teemos como premisa que se cumple para elemetos etoces: a 1 + a + + a 1 + g a 1 a a 1 g a 1 + a + + a 1 + g g = g 1 g = g a 1 + a + + a 1 1 Etoces se cumple para 1 elemetos. 1 a 1 a a 1 ) sea úmeros reales o egativos a 1, a,, a a 1 + a + + a = (a 1 + a ) + (a + a ) + (a 1 + a ) ( a 1 a + a a + + a 1 a ) a 1 a a a a 1 a a 1 a a A cotiuació aalizaremos alguos ejercicios de olimpiadas dode se puede utilizar esta desigualdad. 1. (Brasil, 001) Prueba que (a + b)(a + c) abc(a + b + c), a, b, c R + Vamos a trasformar (a + b)(a + c) = a + ab + ac + bc = a(a + b + c) + bc Aplicado la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica se tiee: a(a + b + c) + bc abc(a + b + c). (Balcaes, 00) Sea a, b, c reales positivos, prueba que:

3 b(a + b) + c(b + c) + a(c + a) 7 (a + b + c) aplicado la desigualdad etre la media aritmética y la media geométrica b(a + b) + c(b + c) + a(c + a) abc (a + b)(b + c)(c + a) Apliquemos dos veces más la desigualdad media aritmética media geométrica abc a+b+c ; (a + b)(b + c)(c + a) abc (a+b+c) ; etoces (a + b)(b + c)(c + a) 7 (a + b + c). (Caadá, 00) Prueba que a, b, c R +, se cumple que a bc + b ca + c ab a + b + c. Cuádo ocurre la igualdad? teiedo e cueta que abc > 0 podemos multiplicar la desigualdad por abc co lo cual trasformamos lo que queremos demostrar e: a + b + c abc(a + b + c) Trasformado el miembro izquierdo, a + b + c = a +b + b +c + c +a Si aplicamos media aritmética media geométrica a cada sumado teemos: a + b + b + c = a (b + c ) + c + a + b (c + a ) a b + b c + c a + c (a + b ) Aplicado uevamete la desigualdad media aritmética media geométrica teemos que: a (b + c ) + b (c + a ) La igualdad si y solo si a = b = c. + c (a + b ) a bc + b ca + c ab = abc(a + b + c). (Rusia, 00) Prueba que x + y + z xy + yz + zx, para x, y, z R + : x + y + z = Esta desigualdad puede ser trasformada de la siguiete forma: ( x + y + z) (xy + yz + zx)

4 x + y + z + ( x + y + z) x + y + z + (xy + yz + zx) = (x + y + z) = (x + y + z) Etoces la demostració de la desigualdad origial se reduce a demostrar que x + y + z + ( x + y + z) (x + y + z) Vamos a utilizar veces la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica: x + x + x x z + z + z z = x, de la misma forma y + y + y y = y; = z, sumado estas desigualdades se tiee la deseada. 5. (Grecia, 010) Si a, b R + : a + b = y x, y, z R + : xyz = 1, prueba que (ax + b)(ay + b)(az + b) 7. Cuádo ocurre la igualdad? La desigualdad se puede trasformar e a xyz + a b(xy + yz + zx) + ab (x + y + z) + b 7 Por la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica x + y + z xyz = ; xy + yz + zx (xyz) =, etoces: a xyz + a b(xy + yz + zx) + ab (x + y + z) + b a + a b + ab + b, por tato es suficiete demostrar que a + a b + ab + b 7 (a + b) 7, que se cumple por ser a + b =. La igualdad se verifica si y solo si x = y = z = (Grecia, 010) Resolver e reales positivos el siguiete sistema: x + y + z + w = { = 5 1 x y z w xyzw Por la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica se tiee que: 1 = x + y + z + w xyzw xyzw 1 (1) La seguda ecuació se trasforma e xyz + yzw + zwx + wxy + 1 = 5xyzw Usado la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica se tiee: 5 5xyzw = xyz + yzw + zwx + wxy (xyzw) etoces xyzw 1 () Co la igualdad para xyz = yzw = zwx = wxy = 1 (xyzw) 5 (xyzw), Por (1) y (), xyzw = 1, que es posible cuado x = y = z = w = 1 Por tato la úica solució (x, y, z, w) = (1,1,1,1) y

5 7. (Iglaterra, 1996) Ecuetra todos los úmeros reales positivos a, b, c, d que satisface que: a + b + c + d = 1 { abcd = 7 + ab + ac + ad + bc + bd + cd Usado la desigualdad MA-MG e la seguda ecuació obteemos: abcd abcd Si traspoemos los elemetos del miembro derecho para el izquierdo, obteemos u poliomio cuadrático e abcd y factorizado teemos: ( abcd + )( abcd 9) 0 Esto implica que abcd 9, lo cual combiado co la primera ecuació del sistema da: abcd a+b+c+d La desigualdad MA-MG implica que a = b = c = d = es la úica solució. 8. (Chia, 006) Sea Z + : y a 1, a,, a (0,1). Determia el máximo valor de la suma Σ i = 1 6 a i (1 a i+1 ), dode a +1= a 1 Por la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica: 6 a i (1 a i+1 ) = 6 6 a i (1 a i+1 ) (a i a i+1 + ), luego 6 Σ a i (1 a i+1 ) Σ 1 1 i = 1 i = 6 (a i a i+1 + ) = 1 6 = La igualdad se logra si y solo si a 1 = a = = a = 1, luego el máximo es. 9. (Repúblicas Checa y Eslovaca, 01) Etre todos los úmeros reales a, b, c, d que satisface que ab + cd = ac + bd = y ad + bc = 5. Ecuetra aquellos para los cuales a + b + c + d es lo meor posible. Teemos que: (a + b + c + d) = a + b + c + d + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) = a + b + c + d + ( + + 5) = a + b + c + d + 6 (1) Ahora por la desigualdad MA-MG a + d ad, b + c bc dode la igualdad se verifica si y solo si a = d y b = c y de (1) teemos: 5

6 (a + b + c + d) ad + bc + 6 = = 6, etoces etre todos los úmeros reales que satisface las codicioes siempre teemos: a + b + c + d 6, dode la igualdad se verifica si y solo si a = d y b = c, o ab =, a + b = 5, etoces {a, b} = {1,}. Etoces los úmeros buscados a, b, c, d so las cuádruplas (1,,,1), (,1,1,). 10. (Rumaía, 00) Sea a R, a > 1, y f, g, h: R R, fucioes reales tal que f(x) + g(x) + h(x) 0, x R. Demuestra que la ecuació a f(x) + a g(x) + a h(x) = tiee solucioes si y solo si las fucioes f(x), g(x), h(x) tiee ceros comues. a) Resuelve la ecuació 5 1+cosπx + x 1 + (1 x ) = Por la desigualdad etre las medias aritmética y geométrica teemos: 1 = 1 (af(x) + a g(x) + a h(x) ) a f(x) a g(x) a h(x) = 1 = a f(x)+g(x)+h(x) a 0 Etoces se cumple la igualdad e esta desigualdad: a f(x) = a g(x) = a h(x) f(x) = g(x) = h(x) y como f(x) + g(x) + h(x) = 0, porque tiee que cumplirse la igualdad f(x) = g(x) = h(x) = 0, etoces los valores de x tiee que ser ceros comues. a) La ecuació puede escribirse e la forma: (1+cosπx) log 5 + x 1 + (1 x ) =, por tato cosiderado f(x) = (1 + cosπx) log 5, g(x) = x 1, h(x) = (1 x ), teemos f(x) + g(x) + h(x) = (1 + cosπx) log 5 + ( x 1) 0, el resultado aterior implica que la solució está formada por las raíces comues a las tres fucioes f, g, h, que so x = 1, x = 1. 6

7 Bibliografía: 1. Al-Thukair, F. (01). Saudi Arabia Mathematical Competitios 01.. Adreescu, T. ad Dospiescu, G. (s.f). Good for IMO. E formato digital.. Adreescu, T., Feg, Z. ad Lee, G. (Eds.) (001). Mathematical Olympiads Problems ad Solutios From Aroud the World. USA: The Mathematical Associatio of America.. Adreescu, T. ad Gelca, R. (009). Mathematical Olympiad Challeges. Bosto: Birkhäuser. 5. Ba Ca, V. ad Pohoata, C. (008). Old ad New Iequalities. E formato digital. 6. Bi, X. ad Yee, L. (Eds.) (007). Mathematical Olympiad i Chia. Problems ad Solutios. Chia: East Chia Normal Uiversity Press ad World Scietific Publishig. 7. Boju, V. ad Fuar, L. (007). The Math Problems Notebook. Bosto: Birkhäuser. 8. Bulajich, R., Gómez, J. ad Valdez, R. (009). Iequalities. A Mathematical Olympiad Approach. Germay: Birkhäuser. 9. Chau, L. ad Khoi, L. (010). Selected Problems of the Vietamese Mathematical Olympiad ( ). Sigapore: World Scietific Publishig. 10. Dashdorj, T. et al. (010). 6 th Mogolia Mathematical Olympiad. Ulaabaatar: Natioal Uiversity of Mogolia. 11. De Souza, P. ad Silva, J. (1998). Berkeley Problems i Mathematics. E formato digital. 1. Djukić, D., Jaković, V., Matić, I. ad Petrović, N. (011). The IMO Compedium. New York: Spriger. 1. Dorrie, H. (1965). 100 Great Problems of Elemetary Mathematics. Their History ad Solutio. New York: Dover Publicatios. 1. Feg, Z. ad Su, Y. (Eds.)(01). USA ad Iteratioal Mathematical Olympiads, Haggstrom, P. (01). A oe lie proof of the Cauchy-Schwarz iequality. E Horák, K. (Ed.) (01).61 st Czech ad Slovak Mathematical Olympiad. 17. Joyce, D. (01). Cauchy's Iequality. E formato digital. 7

8 18. Kedlaya, K. (1999). A < B (A is less tha B). E formato digital. 19. Lee, H. (011). Iequalities From Aroud the World E formato digital. 0. Lee, H., Loverig, T., ad Pohoata, C. (008). Ifiity. E formato digital. 1. Lee, H. (005). Topics i Iequalities. E formato digital.. Lee, H. (005). Iequalities Through Problems. E formato digital.. Lee, H. (005). Topics i Iequalities - Theorems ad Techiques. E formato digital.. Mildorf, T. (005). Olympiad Iequalities. E formato digital. 5. Muiz Neto, A. (1999). Desigualdades Elemetares. E revista Eureka. Número Pooe, B. (s.f.). Iequalities. E formato digital. 7. Steele, M. (00). The Cauchy Schwarz Master Class. A Itroductio to the Art of Mathematical Iequalities. New York: Cambridge Uiversity Press. 8. Ta-Tsie, L. (Ed.). (1998). Problems ad Solutios i Mathemtics. USA: World Scietific Publishig. 8