Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico. Departamento de Ingeniería Electrónica TESIS DOCTORAL

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1 Centro Naconal de Investgacón y Desarrollo Tecnológco Departamento de Ingenería Electrónca TESIS DOCTORAL Análss de Técncas de Control por Moldeo de Energía Basado en Pasvdad Aplcadas en Convertdores Tpo Elevador Entrelazados para su Uso en Sstemas de Almentacón Dstrbuda Presentada por: JOSÉ ARMANDO OLMOS LÓPEZ Maestro en Cencas en Ingenería Electrónca por el CENIDET como requsto para la obtencón del grado de: Doctor en Cencas en Ingenería Electrónca Drector de tess: Dr. Gerardo Vcente Guerrero Ramírez Co-Drector de tess: Dr. Francsco Venustano Canales Abarca CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO MARZO DEL 1

2 A ms padres y hermanos: Armando, Ernerstna, Pamela e Israel

3 Agradecmentos A m Dos, por formarme durante este tempo y porque nunca soltó m mano. A m famla, de quen tuve sempre un apoyo ncondconal y me acompañaron en todo momento. A ms drectores de tess, Dr. Gerardo Vcente Guerrero Ramírez y Dr. Francsco Venustano Canales Abarca, por permtrme desarrollar este trabajo de tess. A ms revsores de tess por sus comentaros y correccones de este trabajo: Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza, Dr. Carlos Agular Castllo, Dr. Marco Antono Olver Salazar, Dr. Cro Alberto Núñez Gutérrez, Elías José Juan Rodríguez Segura. A la plantlla docente del departamento de electrónca a quenes le debo, drecta o ndrectamente, parte de m formacón académca. Al Dr. Víctor Olvares y al Dr. Jame Arau por esas plátcas de donde obtuve consejos y sugerencas. A un gran maestro, Dr. Gerardo Escobar, por apoyarme durante m estanca en Suza; nunca negó su conocmento n su tempo estaré en deuda contgo. Al personal admnstratvo y técnco que ntegran el departamento de electrónca, servcos escolares y otros: Lorena Ruz, Anta Pérez, Mara Correa, Olva Maqunay, Maro Moreno, Alfredo Gonzalez, Carlos Góngora, Alfredo Terrazas, Mara Elena. A todos ms compañeros de cubículo, por las reunones en las que nos reíamos de nuestras vvencas sn esos momentos dudo que hubese concludo. Toda la bola de malandros: La Barbe, El Sentdto, La Güla, El Chvo, Botas, El Top Ten, El Lder, El Jalapo y al Secuestrado. Al CENIDET, por permtrme realzar ms estudos de doctorado. Al CONACYT, por el apoyo económco durante la realzacón de ms estudos de doctorado.

4 Abstract Wth ncreasng demand for hgher power, modularty, hgher effcency, reduced current rpples and reduced cost, the need for ntegrated and parallel converters s on the rse. A desred feature n these connectons s equal current sharng among the converters. However ths s not possble n real systems where factors as agng or heatng cause msmatch n the parameters. Ths thess presents a passvty-based controllers whch acheves equal current sharng consderng parameters uncertanty, ensures the PFC close to one wth regulated DC output voltage and allows the connecton of n nterleaved converters. The areas of applcaton of DPS (dstrbuted power systems) are numerous. A typcal Dstrbuted Power System (DPS) for a telecommuncaton power supply evolves around a prmary DC bus regulated at 4 V and a secondary DC bus at 48 V. The power to the prmary dc bus s typcally fed by boost converters, whch nterface to a mult-phase utlty. The hgh voltage on the prmary bus s stepped down usng front-end converters and ther output s connected to the secondary dc bus. The secondary bus serves as the source of power for all the loads. Ths thess deals wth the prmary dc bus bult by PFC boost converters, whch have to guarantee 4 V and acheve a PFC equal to one. To smplfy the developments, the results consderng frst only two boost converts n nterleaved connecton and go on presentng the connecton of 4 converters. In ths way, n ths work s proved that t s possble to control n nterleaved PFC boost converters, to guarantee a DC output voltage and ths technque can be easly extended to n converters, achevng equal sharng current among n converters and to reduce nput rpple n tmes, all s based n a passvty-based controllers. These technques acheve equal current sharng consderng parameters uncertanty. The proof of two boost converters form a passve systems has been done, moreover, ths proof can be extended to n boost converters n parallel connecton.

5 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS Índce LISTA DE FIGURAS... III LISTA DE TABLAS... IV LISTA DE SÍMBOLOS... V CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES ESTADO DEL ARTE Tpos de conexón entre convertdores Métodos de modelado Técncas de control Según conexón entre los módulos y el control Según tpo de control Conclusones del estado del arte PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A ESTUDIAR HIPÓTESIS Y OBJETIVOS DE LA TESIS ALCANCE, APORTACIONES Y LIMITACIONES ORGANIZACIÓN DE LA TESIS CAPÍTULO.. CONTROLADORES PARA EL SISTEMA IDEAL FORMULACIÓN DEL PROBLEMA MODELO DEL SISTEMA DISEÑO DE CONTROLADORES Control Basado en Pasvdad Caso 1: Control Proporconal Basado en Pasvdad sensando la corrente Caso : Control Basado en Pasvdad sensando la corrente s Caso 3: Control por Charge-Control Control robusto RESULTADOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 3.. CONTROLADOR CONSIDERANDO RESISTENCIAS PARÁSITAS MODELO DEL SISTEMA CONSIDERANDO R 1, R Y R C DISEÑO DE CONTROLADORES Control basado en pasvdad Caso 1: Control Proporconal Basado en Pasvdad sensando la corrente Caso : Control Basado en Pasvdad sensando la corrente s Caso 3: Control por Charge-Control Control robusto RESULTADOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 4.. CONTROLADOR PARA CUATRO CONVERTIDORES FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DISEÑO DE CONTROLADORES Control basado en pasvdad Caso 1: Control Proporconal Basado en Pasvdad sensando la corrente Caso : Control Basado en Pasvdad sensando la corrente s Caso 3: Control por Charge-Control Control robusto RESULTADOS EN SIMULACIÓN I

6 José Armando Olmos López cendet CAPÍTULO 5.. CONCLUSIONES APÉNDICE A APÉNDICE B APÉNDICE C BIBLIOGRAFÍA II

7 Análss de técncas de control por moldeo de energía LISTA DE FIGURAS OLMOS Fg. 1. Confguracón básca de un SAD (Sstema de Almentacón Dstrbudo).... Fg.. Posbles combnacones entrada-salda: a) Entrada-paralelo y salda-sere; b) Entrada-paralelo y salda-paralelo; c) Entrada-sere y salda-paralelo; d) Entrada-sere y salda-sere Fg. 3. Dagrama de la clasfcacón de los métodos paralelos Fg. 4. Dagrama de los métodos de control Fg. 5. Dagrama conceptual de los pasos para el dseño de un Controlador Robusto por Redseño de Lyapunov Fg. 6. Dagrama que muestra un Sstema de Almentacón Dstrbudo: etapa (recuadro de línea punteada) consttuda por convertdores correctores del factor de potenca (CFP)... 5 Fg. 7. Esquema de la CFP para dos convertdores elevadores conectados en paralelo Fg. 8. Conexón en paralelo de dos convertdores elevadores Fg. 9. Esquema y gráfcas de la técnca de Charge-Control Fg. 1. Voltaje de salda al emplear los controladores dseñados Fg. 11. El voltaje v S y corrente S tenen la msma forma y fase Fg. 1. Formas de onda en convertdores entrelazados Fg. 13. Rzos de corrente, 1 y cuando se utlza un controlador basado en pasvdad Fg. 14. Dstrbucón de correntes entre los convertdores al emplear dferentes controladores Fg. 15. Columna zquerda (línea azul) corrente S, y (línea roja) voltaje v S : a) control Basado en Pasvdad; b) control por Charge-Control; c) control Robusto Fg. 16. Correntes al emplear el controlador PI reportado por Mke O Loughln [71]: a) Corrente de entrada ; b) Correntes en los nductores Fg. 17. Convertdores elevadores consderando parástos r 1, r y r C... 8 Fg. 18. Dstrbucón de corrente ante dversos controladores Fg. 19. Señales de control para a) Controlador basado en pasvdad; b) Controlador del Caso 1; c) Controlador del Caso ; d) Controlador del Caso Fg.. Comportamento del sstema ante varacones en el voltaje v S empleando un control Basado en Pasvdad Fg. 1. Cuatro convertdores tpo elevador conectados en paralelo Fg.. Comportamento del sstema ante varacones en la carga Fg. 3. Comportamento del sstema ante perturbacones en el voltaje de entrada Fg. 4. Comportamento del sstema ante perturbacones en la frecuenca de entrada Fg. 5. Rzos en las correntes cuando exste varacón paramétrca Fg. 6. Dagrama del crcuto equvalente de un convertdor tpo elevador Fg. 7. Conexón en paralelo de dos convertdores elevadores Fg. 8. Curvas de las correntes cuando los nductores tenen dferentes característcas: Empleando el Control Basado en Pasvdad; b)empleando el control por Charge-Control; c) empleando el Control Robusto III

8 José Armando Olmos López cendet LISTA DE TABLAS Tabla 1. Especfcacones del sstema... 6 Tabla. Valores de los parámetros utlzados en la smulacón Tabla 3. Errores en las varables controladas por las dferentes propuestas Tabla 4. Errores de las varables controladas consderando ncertdumbre paramétrca Tabla 5. Valores de los parámetros utlzados en la smulacón Tabla 6. Errores de las varable controladas consderando ncertdumbre paramétrca Tabla 7. Especfcacones del sstema Tabla 8. Errores en las varables controladas consderando varacón en la carga Tabla 9. Errores de las varables controladas consderando varacones en el voltaje de entrada Tabla 1. Errores de las varables controladas consderando varacones en la frecuenca de entrada Tabla 11. Errores de las varables controladas consderando varacones en la frecuenca de entrada Tabla 1. Errores de las varables controladas consderando varacón paramétrca: Prueba Tabla 13. Errores de las varables controladas consderando varacón paramétrca: Prueba Tabla 14. Errores de las varables controladas consderando varacón paramétrca: Prueba Tabla 15. Valores de los parámetros utlzados en la smulacón IV

9 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos matemátcos utlzados comúnmente n Conjunto de los números reales Espaco real Eucldano de dmensón n nm Espaco matrcal con n flas y m columnas de elementos en t, Conjunto de los números reales no negatvos Pertenece a Varable tempo, t Producto nterno Valor absoluto Norma eucldana Se defne como Equvalente a Para todo Mapeo de un domno a un rango Subconjunto de T M Transpuesta de una matrz M cualquera L -1 Transformada nversa de Laplace Símbolos empleados en el modelado C CD L C L R Capactor Corrente drecta Corrente del nductor Corrente del capactor de salda Inductor Resstenca de carga V

10 José Armando Olmos López cendet r H( ) t v C v S x x Resstenca parásta Señal de control del nterruptor Funcón de almacenamento Tempo Voltaje en el capactor C Voltaje de la fuente de voltaje de red Vector de error de parámetros Vector de error de parámetros -ésma varable de estado deseada Símbolos empleados en el modelado de los convertdores D C R u q q T U G Matrz de elementos que almacenan energía Matrz de elementos no trabajadores Matrz de elementos dspatvos Vector de fuentes externas Vector de enlaces de flujo Vector generalzado de poscón Vector de velocdades generalzadas Energía cnétca Energía potencal Energía dspada por los elementos resstvos H( ) Funcón de almacenamento de energía Símbolos empleados en el dseño de los controladores R Matrz de nyeccón de amortguamento am V( ) Funcón de Lyapunov VI

11 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS Acrónmos frecuentes SAD PFC CD CA PWM P PI FP Sstema de Almentacón Dstrbudo Corrector del Factor de Potenca (del nglés Power Factor Corrector) Corrente Drecta Corrente Alterna Modulacón por ancho de pulso Controlador Proporconal Controlador Proporconal-Integral Factor de potenca VII

12 José Armando Olmos López cendet VIII

13 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS CAPÍTULO 1.. INTRODUCCIÓN En este capítulo se presenta la mportanca y la necesdad de este trabajo de tess, así como la formulacón del problema a resolver, el cual está relaconado con la caldad de energía eléctrca que se proporcona en un bus de CD para la almentacón de dferentes tpos de cargas. Las prmeras dos seccones de este capítulo ofrecen una descrpcón de lo que es un Sstema de Almentacón Dstrbudo y una revsón del Estado del Arte. En la seccón 1.3 se plantea la problemátca que se estudará en el presente trabajo de tess. La últma seccón presenta el título de tess, los objetvos y se descrben los trabajos que se presentarán en los sguentes capítulos de la tess. Este capítulo establece las bases para comprender el problema a resolver y la mportanca de su solucón. 1

14 José Armando Olmos López cendet 1.1. Antecedentes Actualmente, la arqutectura de los sstemas de almentacón modular (o sstemas de almentacón dstrbuda) para conversones de potenca de corrente drecta (o alterna) a corrente drecta (CD-CD o CA-CD) necesta conectar bloques de convertdores de baja potenca y bajo voltaje, en cualquer combnacón sere o paralelo. Esta arqutectura dstrbuda, para sstemas de almentacón conmutados, está sendo amplamente adoptada como una práctca común por la ndustra, con el fn de almentar la sguente generacón de dspostvos utlzados en la era de la tecnología de nformacón. La fuerza que mpulsa esta arqutectura se basa en dferentes aplcacones emergentes claves, tales como: telecomuncacones, servdores, aplcacones aeroespacales y navales (barcos y submarnos), equpos médcos y vehículos eléctrcos, solo por menconar algunos. La Fg. 1 muestra la confguracón básca de un SAD: Un Sstema de Almentacón Dstrbudo (SAD) proporcona: Una arqutectura aberta Dseño modular Mejor drecconamento (lo cual es mportante en la toleranca a fallas) Mayor confabldad sn añadr costos sgnfcantes Debdo al gran uso que tenen los SAD se abre la oportundad de estandarzar el dseño modular para procesamento de potenca. Fg. 1. Confguracón básca de un SAD (Sstema de Almentacón Dstrbudo).

15 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS El análss convenconal para convertdores conmutados de potenca (los cuales se emplean en los SADs) se basa en modelos promedados, los cuales gnoran dnámcas que ocurren a frecuencas dferentes de la frecuenca de conmutacón y analzan la establdad del convertdor en un sstema de orden reducdo. Como resultado, la valdez de los modelos promedados varía dependendo de la frecuenca de conmutacón aún cuando se trate de la msma estructura topológca. S el dseño de los controladores para lograr el segumento a la referenca y la establdad de los convertdores conmutados se basa en estos modelos promedados lnealzados, se obtendrá un control que sólo consegurá el correcto funconamento en el punto específco para el cual fue dseñado. Esto mplca que alguna alteracón en los parámetros del sstema o en las señales de entrada, puede producr un funconamento defcente e nclusve llegar a la nestabldad. Algunos trabajos de nvestgacón abordan el dseño de controladores no lneales, aunque generalmente se han lmtado al estudo de un sólo convertdor y emplean un modelo lneal del sstema. En general, la operacón de los convertdores electróncos de potenca (CEP) puede ser descrta como una repetcón ordenada de una secuenca fja de topologías de crcutos producda por la apertura y cerre de nterruptores electróncos estratégcamente colocados. Así, la operacón de los convertdores mplca un modelo mult-topológco en el cual una topología en partcular descrbe el comportamento del sstema en el ntervalo de tempo correspondente. La operacón es cíclca, mplcando que las topologías resultantes se repten peródcamente, por lo que una manera natural para modelar tal operacón es dvdr el sstema en varos subsstemas. S se desea encontrar la solucón en un tempo futuro se consdera un tempo ncal, se dentfca en que subsstema se encuentra el sstema y se resuelve, y se contnúa con la solucón de los subsstemas subsecuentes hasta alcanzar el tempo deseado. Sn embargo, el tratamento matemátco de la operacón de los CEP no es smple y se han usado dferentes representacones matemátcas, dependendo del objetvo a alcanzar. Los análss elementales de los convertdores electróncos de potenca producen modelos matemátcos smples que se enfocan en los componentes centrales del procesamento de potenca (crcutos de potenca) y funcones de control (funcones de transferenca), hacendo smplfcacones y aproxmacones razonables para un prmer 3

16 José Armando Olmos López cendet análss, tales como gnorar las dnámcas con frecuencas mayores a la frecuenca de conmutacón o desprecar el efecto de los elementos parástos, entre otros. Las técncas de modelado más utlzadas son las de espaco de estado promedado y la del PWM- Swtch; la obtencón del modelo nvarablemente pasa por smplfcacones que lmtan la valdez del modelo. Como se puede ver, exste una necesdad para el modelado y el análss del comportamento de los convertdores de potenca desde una perspectva dferente. La sguente seccón presenta algunos de los desarrollos más notables sobre modelado de los convertdores, tpos de conexones en los SADs y las técncas de control empleadas en los convertdores que conforman un SAD. 1.. Estado del arte La necesdad de convertdores paralelos y con la capacdad de ntegrarse a módulos smlares ha aumentado consderablemente debdo a la crecente demanda de altas potencas, confabldad, modulardad, alta efcenca, convertdores de almentacón reconfgurables, rzos de corrente y voltaje reducdos, bajos costos, respuestas dnámcas rápdas. Los SADs son una excelente solucón a esta necesdad. La composcón modular de un SAD ntegra módulos: front-end, convertdores de carga (convertdores ntegrados en la tarjeta, VRM de alto o bajo voltaje), correctores del factor de potenca, y buses de dstrbucón. Una característca deseable de un SAD es que los convertdores ndvduales compartan la corrente de carga de forma equtatva y estable: algo que puede lograrse con conexones en paralelo de los módulos que funconan como fuentes. Por esta razón, la conexón en paralelo de módulos de convertdores estandarzados, ya sea front-end o convertdores de carga, se emplea amplamente en los SADs. Los métodos de conexones entre los módulos son de vtal mportanca, ya que dependendo de la conexón se podrá proporconar un voltaje de salda de varas decenas o centenas de volts, o una corrente elevada. 4

17 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS La sguente seccón mencona los tpos de conexón y en la seccón de Conclusones del estado del arte se especfca cual tpo de conexón se trabajará en la tess Tpos de conexón entre convertdores Exsten dferentes formas de conexón entre los convertdores, las cuales son entrada paralelo y salda paralelo, entrada paralelo y salda sere, entrada sere y salda paralelo, entrada sere y salda sere; como se muestra en la Fg., [1, 14, 19]. Las característcas deseables de los SADs se pueden puntualzar de la sguente manera: El sstema de potenca debe adaptarse adecuadamente a las fuentes y cargas presentes, en térmnos de voltaje y frecuenca a la que trabaja la fuente prmara. Tambén debe de proporconar un alto grado de controlabldad de la carga y fuentes de potenca (convertdores que funconan como fuentes de almentacón). El sstema debe tener la posbldad de expandrse, es decr, que nuevas cargas y nuevas fuentes (convertdores que cumplen con la funcón de fuente de voltaje y/o corrente) puedan sumarse sn alterar las undades ya conectadas. La comuncacón entre los convertdores ndvduales debe de evtarse dado que añadr nuevas undades haría complcado al sstema; además, el sstema podría tener problemas de confabldad. Por otra parte, se consdera necesara la comuncacón en un rango de frecuencas bajas para un control de supervsón. Por lo cual, convertdores ndependentes tendrían permtdo comuncarse a un bajo ancho de banda pero deben de ser capaces de operar como undades asladas. Los requermentos báscos expuestos arrba exgen otros, más técncos. Por ejemplo, el ancho de banda de la fuente (convertdor) y los controladores de correntes del lado de la carga deben de ser capaces de proporconar controlabldad en la carga y en la 5

18 José Armando Olmos López cendet fuente de potenca prmara. Esto sgnfca que exste un sero compromso entre la velocdad de respuesta del lazo nterno (generalmente el de corrente) y el lazo de voltaje o externo; el ancho de banda del lazo nterno es mucho mayor que el lazo externo [19]. Además, el bus de CD debe de ser robusto ante perturbacones (o dsturbos) provenentes de la carga o de la fuente de almentacón. Fg.. Posbles combnacones entrada-salda: a) Entrada-paralelo y saldasere; b) Entrada-paralelo y salda-paralelo; c) Entrada-sere y salda-paralelo; d) Entrada-sere y salda-sere. De las posbles combnacones de conexones de entrada, la topología entradaparalelo y salda-sere (IPOS) es la más utlzada en aplcacones que requeren alto voltaje a la salda. Una conexón entrada paralelo y salda paralelo (IPOP) permte tener bajo voltaje de salda y corrente de salda muy alta. Es con este tpo de conexón (IPOP) que se trabajará en la nvestgacón de esta tess. Para lograr las especfcacones de dseño de un SAD con conexón IPOP, es necesaro conocer cuál será el comportamento de los convertdores conectados en paralelo. Además, para poder dseñar un control que sea capaz de cumplr con la tarea de 6

19 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS mantener una correcta dstrbucón de carga entre los módulos y mantener estable el voltaje de salda, es convenente tener el modelo matemátco del SAD. Por esto es necesaro conocer cuáles son las técncas de modelado matemátco más relevantes que se han desarrollado en el tema de los convertdores conmutados, lo cual se presenta en la sguente seccón Métodos de modelado La técnca de modelado más empleada en los convertdores electróncos de potenca es el análss en pequeña señal basado en espaco de estados promedados. Esta consste en obtener smples expresones analítcas basadas en leyes de voltaje y de corrente de Krchhoff para caracterzar la respuesta del sstema. Después se expresa el modelo obtendo en varables de estados promedados, lo cual smplfca la representacón del proceso de conmutacón del convertdor [1]. De ésta forma, medante un espaco de estados promedados, el sstema de estructura varable no lneal orgnal se smplfca a un sstema contnuo no lneal. La expresón (1.1) es la forma general del modelado por varables de estado promedadas donde: x A d A (1 d) x B d B (1 d) u 1 1 T T y d (1 d) C C 1 x (1.1) x es el vector de varables de estado, x su dervada y y la salda. A 1 y A son matrces de coefcentes de las varables de estado durante el tempo de encenddo y apagado, respectvamente. d es el cclo de trabajo y (1 d ) su complemento. B 1 y B son las matrces de coefcentes de las señales de entrada, durante el tempo de encenddo y apagado, respectvamente. u es la señal de entrada y corresponde a la fuente prmara de almentacón. 7

20 José Armando Olmos López cendet T 1 T C y C son las matrces de salda durante el tempo de encenddo y apagado, respectvamente. Dado que los convertdores electróncos de potenca se dseñan para un punto de operacón específco, es posble analzar (1.1) alrededor del punto de nterés. Para lograr esto se realza una pequeña perturbacón alrededor de un punto de operacón al sstema promedado y se smplfca el modelo resultante desprecando los térmnos cuadrátcos que se obtenen. Así, se logra encontrar lo que se llama el modelo en pequeña señal del convertdor. Después de una consderable cantdad de manpulacones matrcales y una transformacón al domno de la frecuenca del sstema (1.1), se obtenen algunas característcas del sstema tales como: mpedanca de salda, mpedanca de entrada, funcón de transferenca y característcas de control-salda. La técnca PWM swtch es otra forma de obtener un modelo para el análss de los convertdores. Consste en dentfcar los dspostvos no lneales de tres termnales (nterruptores pasvos y actvos en un convertdor electrónco) a los que se les llama el PWM swtch. Ya determnadas las propedades del PWM swtch, se obtene un modelo equvalente del crcuto promedado, y posterormente se obtenen las característcas de pequeña señal y de CD del convertdor medante la susttucón del PWM swtch por su crcuto equvalente [39, 41]. Por otra parte, la técnca de modelado en tempo dscreto o modelado dscreto no realza suposcones n smplfcacones como lo hace la técnca de análss en pequeña señal. Como ya se menconó, una manera natural de modelar el comportamento de los convertdores conmutados es separar el sstema en dversos subsstemas, cada uno descrbendo al sstema en un subntervalo de tempo. En el nstante de la conmutacón se realza un proceso de hlvanar, el cual utlza el valor fnal del subntervalo anteror como valor ncal del subntervalo presente. Así, el sstema conmutado contnuo es reemplazado por un sstema dscreto que descrbe el estado del sstema en la frecuenca de conmutacón. De ahí que esta técnca de modelado puede predecr las dnámcas fast- 8

21 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS scale (o en frecuencas rápdas, entendéndose como frecuencas guales o mayores a la frecuenca de conmutacón), [18, 5, 37, 38]. La expresón general de este modelado tene la forma x Φ( d ) x Γ( d ) v y k1 k k k n_ k Cx Dv k1 k1 n_ k (1.) donde: x es el vector de estados y es el vector de las señales de salda k es el número de muestras realzadas -1-1 Φ L (s - ) I A es matrz de coefcentes constantes d k Γ Φ( ) d B C es la matrz de los coefcentes de salda d es el cclo de trabajo Algunos de los fenómenos que se presentan en los convertdores electróncos de potenca provocados por la varacón de los parámetros son los llamados bfurcacón y caos. Este tpo de fenómenos o comportamentos no se puede analzar n regstrar con un modelo en pequeña señal basado en varables de estado promedado o por el modelado PWM swtch; es necesaro otro tpo de modelo matemátco [38]. En la práctca, las bfurcacones y caos se presentan en los convertdores conmutados, aunque debdo a los parástos no consderados en la placa, estos fenómenos no suceden en los msmos valores de las varables de estado empleadas en las smulacones computaconales [18]. Esta es otra razón mportante por la cual es necesaro conocer con mayor precsón la dnámca de los CEP. 9

22 José Armando Olmos López cendet Una vez revsado el análss de los convertdores conmutados, se aborda el dseño de los controladores para los SAD a los que se agrupan, en este trabajo, en dos categorías: según la conexón entre los módulos y el bloque o técnca de control (métodos de caída, control maestro-esclavo, etc.); y la segunda, de acuerdo al tpo de control empleado (PID, modos deslzantes, pasvdad, entre otros) Técncas de control Según conexón entre los módulos y el control. En 198, se publca uno de los trabajos sobre convertdores CD-CD conectados en paralelo donde se propone una topología aslada [3]. Desde entonces los convertdores CD-CD paralelos han encontrado una extensa aplcacón en SADs. Sn embargo, el control de tales convertdores no es smple ya que los módulos de los convertdores paralelos no son déntcos, debdo a las dferencas de fabrcacón de los componentes, característcas de los conductores eléctrcos que se conectan a la carga compartda y a cambos en las característcas de los componentes por causas de envejecmento o por estar sujetos a dferentes condcones físcas. Por lo cual, dos sstemas estables asladamente pueden no compartr equtatvamente la carga cuando son conectados en paralelo. Esta desgualdad puede ncrementar el estrés térmco de una o más undades, lo cual mplca que la confabldad del sstema se reduce. La Fg. 3 muestra un dagrama a bloques de los esquemas de control que se emplean con las topologías de conexón paralela entre convertdores. De los esquemas más utlzados son las técncas de maestro-esclavo y el método de caída (droop method). En el control maestro-esclavo se realza una dstrbucón de carga actva y el maestro genera la referenca de potenca; la cual transmte a los otros controladores que funconan como fuentes: los convertdores esclavos. Las prncpales ventajas y desventajas de la técnca maestro-esclavo y sus varantes, son las sguentes. 1

23 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS Ventajas: Sólo se emplea un bloque de control, reducendo costos en este rubro. Desventajas: Conexones entre módulos dsmnuyen la confabldad del sstema completo. En un solo módulo recae la responsabldad del buen funconamento del sstema. El control de un maestro-esclavo rotatvo se complca debdo a las conexones entre módulos. ESQUEMAS PARALELOS Métodos de caída Métodos actvos de dstrbucón de corrente Usando convertdores con característcas nherentes de caída Regulacón del lazo nterno Regulacón del lazo de salda Controlador externo ESQUEMAS DE CONTROL Caída de voltaje debdo a una resstenca en sere Dstrbucón de corrente pco Caída de voltaje medante la retroalmentacón de la corrente de salda Programacón básca de la corrente promedo Programacón modfcada de la corrente promedo Programacón aslada de la corrente promedo Maestro dedcado Maestro rotatvo Maestro automátco Modo corrente con baja gananca en cd Control programado medante gananca no lneal Dstrbucón de corrente promedo CONTROL DE CONVERTIDORES POR MODO CORRIENTE Métodos de programacón de corrente promedo Métodos de programacón maestro-esclavo MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN DE CORRIENTE Fg. 3. Dagrama de la clasfcacón de los métodos paralelos. En el control por caída (empleado en esquemas paralelos) no exsten nterconexones entre convertdores; esto es bueno desde el punto de vsta de modulardad y expansón e ntegrabldad de módulos. Como resultado, el sstema 11

24 José Armando Olmos López cendet completo tene alta modulardad y confabldad. La mpedanca de salda de cada convertdor es sufcentemente grande para asegurar que la corrente compartda despreca cualquer dferenca pequeña en sus voltajes de salda. Sn embargo, este método tene una regulacón de la corrente de salda pobre ante varacones paramétrcas del convertdor (como una varacón en las resstencas parástas del convertdor). Por otra parte, el análss de establdad sólo se ha enfocado a la regón lneal [5, 7, 8, 9, 1, ]. En el trabajo [14], se muestra un esquema que emplea la técnca de control por caída; dos buck conectados en paralelo deben proporconar a la carga una almentacón de 6 volts. En ese trabajo se demuestra, de una manera senclla, que empleando el método de caída se tene una buena regulacón en el voltaje de salda aun ante varacón paramétrca. Como se ha menconado, la técnca de caída de voltaje tene sus ventajas y desventajas. Estas se resumen en los sguentes puntos Las ventajas son: La señal de control para cada módulo es ndvdual para cada convertdor. No exsten nterconexones entre convertdores. Gran modulardad y expansón al ntegrar módulos convertdores. El sstema tene una gran confabldad. Se tenen un buen segumento de voltaje, aun ante varacones paramétrcas y de la carga. Las desventajas son: La adecuada dstrbucón de la corrente se ve afectada cuando los parámetros nternos de algún convertdor presentan varacón. Sn embargo, esto se puede resolver con una técnca de control de corrente adecuada. Exste una técnca de control, varacón del método de caída, que permte que los convertdores de potenca CD-CD paralelos compartan equtatvamente la carga en los SADs. Esta técnca no requere de conexones entre los módulos y automátcamente compensa la varacón de los parámetros del convertdor de potenca e mpedanca de línea [4]. La dea prncpal del esquema de control es permtr que cada convertdor nyecte un pequeño voltaje de CA (corrente alterna) al sstema como una señal de control, por lo 1

25 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS que la señal de control nyectada es dependente de la corrente de salda de la undad. La señal de control de cada undad es dferente s la carga compartda es desgual. El nconvenente de la metodología propuesta es la complejdad añadda a los crcutos, pues ahora es necesaro controlar una señal de nyeccón lo sufcentemente pequeña para poder sensarla. Otro nconvenente son los pequeños rzos ntroducdos a la salda. Además el desempeño de los estados del convertdor, sobre todo bajo condcones transtoras, está lejos de ser satsfactoro, pues la señal de CA ntroducda se confunde con el estado transtoro del voltaje, lo cual repercute en el estado transtoro de la corrente Según tpo de control Se han desarrollado dversas técncas de control para los CEP y los trabajos que las abordan son tambén numerosos. Sn embargo, no está de más recomendar algunas referencas fundamentales que se consderan útles en la comprensón del problema y dseño de controladores para convertdores. El trabajo de Sra-Ramírez [47] es un excelente lbro que muestra varas técncas de control, tanto lneales como no lneales, aplcadas a dversos convertdores conmutados, como el convertdor tpo elevador. La metodología de análss de establdad y dseño de controladores en el domno de la frecuenca puede resultar muy comprensble en los trabajos de Erckson [39] y Ang [34], donde se presenta el dseño en CD del convertdor tpo elevador, el modelado en pequeña señal y el método PWM swtch. El trabajo de Ortega [53] ntroduce al lector a los sstemas no lneales y su modelado y dseño de controladores desde un enfoque energétco; es en esta obra donde se podrá encontrar un análss detallado del dseño del controlador basado en pasvdad aplcado a una dversa cantdad de sstemas electromecáncos, electróncos y mecáncos. En esta referenca se estuda un convertdor tpo elevador sn elementos parástos y sn perturbacones al sstema. La Fg. 4 muestra un dagrama de algunas de las técncas de control que se encuentran en las referencas ya ctadas. 13

26 José Armando Olmos López cendet Fg. 4. Dagrama de los métodos de control. El dseño más smple de controladores empleado en convertdores electróncos de potenca es el método por lnealzacón aproxmada. Basándose en modelos promedados de los convertdores y su lnealzacón medante una aproxmacón, se han dseñado técncas de control lneal como: retroalmentacón de estado por colocacón de polos, control PD por realmentacón de estados, control basado en pasvdad, entre otros [39, 47]. En los trabajos [39, 41, 47] se detalla el procedmento para el dseño de controladores PD, PI, PID aplcado a CEP. El más empleado de los tres controladores menconados es el PI, debdo a que es económco, además el error en estado estaconaro puede hacerse cero y es sencllo de mplementar; sn embargo, es lento comparado con el PID. Un mejor controlador que el PI y el PID, es el compensador de atraso-adelanto con un ntegrador. Este compensador se dseña de tal forma que el ntegrador provoque que el sstema en lazo cerrado tenga un polo en el orgen del plano complejo, [18, 38, 41]. La ecuacón que representa este tpo de control es G () s K compensador C s 1 s 1 T T 1 s s s 1 T T 1 (1.3) 14

27 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS donde: K C es la gananca del compensador, 1 T y 1 1 T son constantes que ndcan la ubcacón de los ceros, y T 1 1 T ndcan la ubcacón de los polos. Las sguentes característcas, que se buscan en los convertdores conmutados, son razones que motvan a emplear un compensador de atraso-adelanto como se muestra en (1.3): Tener alta gananca en bajas frecuencas, lo cual se logra con el cero en el orgen Aumentar el ancho de banda del convertdor, para ello se emplean los dos ceros y uno de los polos Reducr la gananca en frecuencas mayores a la frecuenca de corte, esto se alcanza con el tercer polo Tener un amplo margen de fase para mantener al sstema lejos de la nestabldad; logrado con la combnacón de fases del compensador completo. Por otra parte, cuando se compara este tpo de controladores lneales contra las técncas de control no lneal, en general, resulta evdente la mejora que exste en las propedades de la ley de control no lneal: mejor segumento a la referenca, se logra con más rapdez la establdad, mejor precsón y mayor robustez; no obstante, la complejdad y costo en la mplementacón de las técncas no lneales desanma a muchos dseñadores (o fabrcantes). S se realza un balance de todas las ventajas de emplear un control no lneal contra la desventaja del costo en la mplementacón, la balanza se nclnará a la utlzacón de un control no lneal. La referenca [47] detalla algunas de las técncas de control no lneal más sobresalentes aplcadas a convertdores conmutados. Entre ellas están: lnealzacón por retroalmentacón de estados, lnealzacón por retroalmentacón de entrada-salda, control basado en pasvdad y modos deslzantes. La sguente seccón detalla algunas de estas técncas y propone otras nuevas que no se reporta haberlas empleado en SADs. 15

28 José Armando Olmos López cendet Modos deslzantes Los convertdores de potenca son sstemas de estructura varable debdo a que admten descrpcones matemátcas dferentes durante perodos de operacón dferentes. Los cambos de estructura se producen ben por efectos del valor que toma el vector de estados del sstema en regones dferentes del espaco de estado, ben por el acconamento voluntaro de uno o varos conmutadores o gracas a condcones externas, exógenas, que dctamnan el valor temporal de uno a varos parámetros en el sstema. En el caso de los convertdores conmutados, la poscón de uno o varos conmutadores consttuyen nuestro únco conjunto de varables de control. En estos crcutos controlados por nterruptores, donde la varable de control sólo puede tomar valores de y 1, consderar la estratega de control por modos deslzantes resulta ser algo obvo y natural, desde el punto de vsta tecnológco y teórco. Esta técnca de control pertenece a la categoría de dseño en el domno del tempo, por lo que puede emplearse para caracterzar al sstema bajo condcones de pequeña y gran señal. Intutvamente, la técnca de modos deslzantes se basa en el prncpo de que es mucho más fácl de controlar sstemas de prmer orden (es decr, sstemas descrtos por ecuacones dferencales de prmer orden), que controlar sstemas de n-ésmo orden (es decr, sstemas descrtos por ecuacones dferencales de n-ésmo orden). La superfce deslzante (comúnmente denotada por St, () que es una funcón suave) es la regón de un plano en donde la varable a controlar estará deslzándose, o en otras palabras, convergerá al punto de equlbro movéndose sobre St (). S alguna perturbacón causa que el sstema salga de ese punto de equlbro, St () provocará que el sstema se deslce regresando al equlbro después de un tempo. Por esto, la prncpal característca de este tpo de control, es la baja sensbldad a varacones del sstema [49, 55]. De hecho, cuando el sstema entra en la superfce deslzante, dealmente, nunca saldrá de ella. Como una de las característcas deseables en todo convertdor de potenca es un amplo rango de operacón, los controladores basados en modos deslzantes son mejores canddatos que los controladores PWM convenconales; debdo a su robustez y propedades de establzacón ante perturbacones de gran señal (large-sgnal) [5]; sn embargo, esta técnca de control no es del todo satsfactora en su forma orgnal o pura. 16

29 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS Por esta causa, exsten numerosas nvestgacones en las cuales suman los efectos de otras leyes de control o modfcan la forma orgnal del control por modos deslzantes; como los controladores por modos deslzantes a frecuenca fja, que son partcularmente adecuados para las mplementacones práctcas de convertdores [43, 45-51]. Otro nconvenente del control por modos deslzantes es que la ley de control sempre está actva debdo a que las condcones para no salr de la superfce deslzante orgnan chatterng y esto a su vez provoca un gran esfuerzo constante en la ley de control. En los trabajos [48, 51] se plantea un método generalzado para el dseño de un control por modos deslzantes para el convertdor tpo reductor y tpo elevador o cualquer sstema conmutado. Cuando se conectan varos convertdores en paralelo es necesaro saber s formarán un sstema estable, y las característcas que tendrá el nuevo sstema. S se desea aplcar la técnca de modos deslzantes para controlar dos o más convertdores en paralelo, el análss de establdad requere que prmero se defna una regón de operacón, la cual se ubca en la nterseccón de n superfces deslzantes (donde n es el número de convertdores conectados); cada superfce representa la solucón de un convertdor. Para garantzar la establdad global o del sstema completo en esta regón, se necesta mostrar que todas las trayectoras se aproxman a esta regón de nterseccón, y una vez en esta hpersuperfce deslzante, no salr de ella. S estas dos condcones se cumplen, entonces el sstema dscontnuo tene una solucón superfcal o de modo deslzante. Fnalmente, se demuestra que todas las solucones sobre esta superfce tenden a un punto sngular de equlbro cuando t [18]. Una de las leyes de control que se añade a la técnca de modos deslzantes y cuyo resultado ha sdo satsfactoro, es el control basado en pasvdad [18]. La sguente seccón descrbe la metodología de un control basado en pasvdad en su forma pura aplcado a un convertdor tpo elevador. Control Basado en Pasvdad La metodología para el dseño del control reportada en [3] y [53], puede resumrse en los sguentes pasos: 17

30 José Armando Olmos López cendet 1. Defnr el sstema Dx+Cx+Rx=u. Defnr el sstema deseado d d d d Dx +Cx +Rx =u 3. Obtener la ecuacón de error De+Ce+Re = u-u d empleando la defncón del error e=x-x d T 4. Emplear la funcón V( e)= (1 ) e De para hallar los valores de V( e ) que satsfagan las condcones de establdad de Lyapunov 5. Encontrar el control basado en pasvdad d d d u=dx +Cx +Rx Sguendo estos pasos, se obtene el control basado en pasvdad para cualquer sstema de pueda representarse en la estructura del punto 1. Este controlador fue el empleado para el sstema estudado en esta tess, por lo cual no se explca más aquí ya que se descrbe en el Capítulo. El esfuerzo en la ley de control basada en pasvdad es menor que el esfuerzo al aplcar modos deslzantes; esto debdo a que se tende asntótcamente a la establdad y el esfuerzo en la ley es drectamente correspondente al error en el segumento a la referenca. Sn embargo, en [3, 4] se demuestra que el control basado en pasvdad puede mejorarse añadéndole robustez: utlzando el control por pasvdad se agrega una ley de control robusta basada en el método de redseño de Lyapunov para enfrentar la ncertdumbre paramétrca. Este tópco se aborda en la seccón sguente. Control Robusto Basado en Pasvdad por Redseño de Lyapunov En [3] y [61] se ha demostrado que el control basado en pasvdad mejora a un control PI el cual ha sdo amplamente empleado para controlar sstemas electróncos. En esta tess se plantea una solucón al problema que se presenta en el control nomnal basado en pasvdad, cuando el valor de algún parámetro camba. La solucón propuesta es el empleo 18

31 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS de la técnca de redseño de Lyapunov, la cual tene como meta encontrar una señal adconal que enfrente los efectos de la varacón paramétrca, y sumar esta señal a una ley de control (basada en el método de Lyapunov) prevamente dseñada [3], [6]. El sguente dagrama a bloques descrbe la metodología Fg. 5. Dagrama conceptual de los pasos para el dseño de un Controlador Robusto por Redseño de Lyapunov Este controlador se descrbe con más ampltud en el Capítulo, 3 y 4, por lo cual no se explca el procedmento de dseño aquí. Control PID no lneal El empleo de los controladores PID para lograr establzar a los convertdores conmutados ha sdo una técnca ya empleada en [18, 58, 63, 71, 87]. Sn embargo, sólo se han empleado dseños de PID lneales aplcados a un modelo lneal del convertdor que se esté estudando. En el trabajo de Lyshevsky, [54], se propone el empleo de un controlador PID no lneal para el control de motores de CD y algunos otros sstemas electromecáncos. Empleando está metodología se presenta el procedmento de dseño de un PID no lneal de segundo orden aplcado al modelo lneal del convertdor buck (tpo reductor). La funcón 19

32 José Armando Olmos López cendet de transferenca entrada-salda de un convertdor tpo reductor sn consderar resstencas parástas en el nductor, n en el capactor, se muestra en la expresón (1.4) G buck (s) yˆ (s) u(s) s s w D wq 1 (1.4) donde: w 1 LC, Q R wl, yˆ(s) vˆ(s), D es la gananca y us ˆ( ) vˆn( s). Se desea aplcar un control PID no lneal sguendo la metodología presentada en [54], la cual parte de un PID no lneal en su forma general j 1 j 1 j d 1 pj j dj j j j dt u() t k e () t k e () t dt k e () t (1.5) donde: k pj es la gananca proporconal k j es la gananca ntegratva k dj es la gananca dervatva j1 1 e, j1 1 e y j1 1 e respectvamente. es el error para las accones proporconal, ntegratva y dervatva, El dseñador debe de escoger los valores de,,,, y, los cuales deben ser postvos. S se elgen,,,, y guales a cero, se obtendría un control PID lneal. De esta manera, s 1 se obtene un PID de segundo orden, resultando la sguente ley de control no lneal ut () k e () t k et () k e () tdt 1/3 1/3 p p1 d 1/3 d k 1 e() t dtkd e () t kd1 e() t dt dt (1.6)

33 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS El resultado de aplcar este control a la expresón (1.4) es Dw k G G s k sk e t s sw w s Q 1/3 buck PID () p d ()... k 1 kp1 skd1 e() t s (1.7) Las funcones e 1/3 () t y et () se han dejado expresadas en el domno del tempo para que su transformada de Laplace no complque la vsualzacón del controlador PID de segundo orden que se aplcó. S las constantes k p, k p1, k, k 1, k d y k d1 se sntonzan adecuadamente se tendrá un controlador que mantene estable y con un buen desempeño al sstema retroalmentado [56, 57], aun cuando el funconamento del buck salga del punto de operacón orgnal para el que fue dseñado. De la expresón (1.7) se observa que el resultado de aplcar un PID de segundo grado no es otra cosa que aplcar dos controladores PID a una señal de error no lneal. Esto mplca que la dfcultad matemátca para analzar el sstema en lazo cerrado controlado por un PID no lneal ha aumentado consderablemente. Sn embargo, los resultados costo/benefco de emplear esta técnca parecen ser promsoros como se reporta en [56, 57], donde se aplca un PID no lneal a un convertdor resonante. El esfuerzo en la ley de control es grande debdo a que no se trata de un PID sno de varos controladores, tantos como el dseñador desee según el orden escogdo Conclusones del estado del arte Con la ntencón de lmtar el trabajo de nvestgacón, se ha escogdo la confguracón IPOP, ya que presenta las mejores característcas para poder conformar un SAD; esto de acuerdo con los razonamentos expuestos anterormente. 1

34 José Armando Olmos López cendet El método de pequeña señal basado en estados promedados es sencllo y fácl de tratar matemátcamente y modelar al crcuto. Sn embargo, sólo es útl para caracterzar fenómenos a baja frecuenca o slow-scale. Por el contraro, los modelos dscretos ofrecen nformacón más completa de la dnámca del sstema en estudo; aunque son más complejos que los modelos promedados y su tratamento matemátco es laboroso. Dado que el modelo dscreto se basa en muestrear el sstema en tempo dscreto, la nformacón es lmtada por la velocdad de muestreo. En el caso de que la velocdad de muestreo sea gual a la frecuenca de conmutacón, el modelo dscreto es capaz de descrbr la dnámca que ocurre en la frecuenca de muestreo, pero no proporcona nngún dato de lo que sucede dentro de un perodo de conmutacón; s deseamos conocer que sucede ahí, debemos de elevar la velocdad de muestreo. La nformacón que puede obtenerse empleando este modelado es de gran trascendenca ya que muestra las bfurcacones y tendencas al caos que ocurren en los CEP y por lo tanto en los SADs. Sn embargo, trabajar con este modelado sólo para conocer que la tendenca al caos exste, y en qué punto sucede, no resulta de relevante n de gran nterés; los controladores dscretos que puedan dervarse del modelado presentan más nconvenentes que ventajas [16, 58]. En la Tess que aquí se presenta se empleó un modelado basado en ecuacones dferencales promedadas, las cuales no se lnealzan. Esto permte conocer el comportamento del sstema en cualquer nstante de tempo, además del empleo de controladores no lneales. Se ha selecconado el método de caída de voltaje ya que, como es característco de la técnca de control, exste una buena regulacón de voltaje; aunque ante varacones en los dspostvos de alguno de los convertdores la corrente no es ben regulada o dstrbuda equtatvamente entre los dos convertdores. Sn embargo, esto puede resolverse empleando un control de corrente adecuado. Es en el controlador de corrente donde se enfoca el trabajo de esta tess; se proponen cnco dferentes controladores para el lazo de corrente, mentras que para el lazo de voltaje se utlza un controlador tpo PI ya reportado en otro trabajo de nvestgacón, [71]. De la revsón bblográfca se concluye que muchos de los trabajos ya publcados basan su análss y dseño de control en un sstema nomnal (con esto se entende que los valores de los parámetros del sstema son conocdos y no presentan varacones por causas de envejecmento, desgaste, calentamento, etc.). S exste algún cambo en los

35 Análss de técncas de control por moldeo de energía OLMOS parámetros anterormente menconados (varacón paramétrca), la respuesta puede ser dferente a la que se desea, e nclusve llevar al sstema a la nestabldad. Se desea mejorar el desempeño de los SADs y una mejora sería dseñar un controlador que tolerara varacones en los parámetros. Exsten dversos métodos que puede enfrentar el problema de los efectos de la ncertdumbre paramétrca en los sstemas, entre los cuales están: Control por modos deslzantes Control adaptable Control PID no lneal Control ntelgente Control Basado en Pasvdad Control Robusto. El control adaptable, por ser una ley dnámca, aumenta el orden del sstema al añadr una ecuacón dnámca del error [47]. El control ntelgente presenta reglas de nferenca que pueden resultar complcadas de entender. Además, la programacón de tal controlador requere de grandes esfuerzos computaconales [35]. El control por modos deslzantes tene un buen desempeño aún ante lgeras perturbacones. Esta robustez es nherente al controlador ya que no se dseña la ley de control basándose en el análss de las varacones paramétrcas, y por lo tanto no tolera varacones paramétrcas grandes. Es por esta razón que no es del nterés de este trabajo de tess analzar su desempeño. Exsten otras metodologías que son estátcas, entre ellas está el control robusto, el cual se aplcará para mejorar el control basado en pasvdad. Aquí se plantea una solucón al problema que se presenta en el control nomnal basado en pasvdad, cuando el valor de algún parámetro camba. La solucón que se propone es el empleo de la técnca de redseño de Lyapunov, la cual tene como meta encontrar una señal adconal que enfrente los efectos de la varacón paramétrca, y sumar esta señal a una ley de control (basada en el método de Lyapunov) prevamente dseñada. 3

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