Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Aprendizajes Esperados: Calcular probabilidades condicionales en situaciones problemáticas

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1 Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: PROBABILIDAD Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento Aprendizajes Esperados: Calcular probabilidades condicionales en situaciones problemáticas Recursos TICs: Resolución de las problemáticas a través de un POWERPOINT en la pizarra Curso: 4 E.M Guía N 2 Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases Tiempo: 6 bloques Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme Unidad: PROBABILIDAD Nombre: CURSO: 1

2 Probabilidades Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo, bajo las mismas condiciones, un número indefinido de veces. Experimento aleatorio: Experimento cuyo resultado no se puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles (espacio muestral). Espacio Muestral: Los resultados posibles en un experimento aleatorio. Evento (o suceso): Es un subconjunto del espacio muestral. Evento cierto: Es el propio espacio muestral. Evento imposible: Es aquel que nunca va a ocurrir. Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos eventos donde la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro. Eventos independientes: Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Eventos complementarios: son aquellos que no tienen elementos comunes pero juntos completan el espacio muestral. Probabilidad Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%): El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. 2

3 Cómo se mide la probabilidad? Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. CASOS FAVORABLES P(x) CASOS POSIBLES Esta fórmula se puede usan solamente si el espacio es Equiprobable OBSERVACIONES: La probabilidad de que no ocurra A es P(A ) y se calcula P(A ) = 1 P(A) 0 < P(A) < 1 o bien 0% < P(A) < 100% Tabla de distribución de posibilidades para la suma de los puntos de la caras superiores de dos dados Suma Posibilidades Ejercicios 1. Si se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad de obtener más de 10 puntos? A)2/ 36 B) 3/ 36 C) 7/ 36 D) 11/ 36 E) 12/ Al lanzar 2 dados, cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 5? A) 25/ 36 B) 11/36 C) 1/ 36 D) 1/ 6 E) 5/ 6 3. Si la probabilidad que el día de hoy llueva es 0,375, cuál es la probabilidad de que este día no llueva? A) -0,625 B) -0,375 C) 0,375 D) 0,525 E) 0,625 3

4 4. Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. Cuál es la probabilidad de que al sacar una esfera al azar, ésta sea un número primo o un múltiplo de 10? A) 1/ 2 B) 1/ 10 C) 1/20 D) 9/ 20 E) 11/ En una caja se encuentran 12 tarjetas numeradas del 1 al 12, las tarjetas que tienen impreso un número primo son verdes, las que tienen impreso un múltiplo de 4 son amarillas y el resto rojas. Cuál es la probabilidad que al extraer una tarjeta, ésta sea de color rojo? A) 1/ 4 B) 1/ 3 C) 5/ 12 D) 7/ 12 E) 2/ 3 6. Un dado está cargado de tal forma que la probabilidad que salga un divisor de 6 es el doble de la probabilidad que salga otro número. Al lanzar el dado, cuál es la probabilidad de que salga el número 1? A) 1/ 10 B) 1/ 6 C) 1/ 5 D) 1/ 3 E) 2/ 3 Diagrama de Venn Apoyados en el Diagrama de Venn es posible determinar cantidad de elementos que cumplen las condiciones y de ésta forma permite determinar probabilidad utilizando probabilidad clásica EJEMPLOS 1. En un curso de 120 alumnos, 1/ 6 habla portugués, 1/ 3 japonés y 1/ 12 ambos idiomas. Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo uno de estos idiomas? A) 1/ 3 B) 1/ 12 C) 1/ 4 D) 5/ 12 E) 7/ 12 4

5 2. En un curso de 80 alumnos, la cuarta parte de ellos habla ingles, la quinta parte francés y la décima parte ambos idiomas. Cuál es la probabilidad de que un alumno escogido al azar hable inglés o francés? A) 16/ 80 B) 20/80 C) 28/ 80 D) 36/ 80 E) 44/ En un curso de 40 alumnos, el 50% practica futbol, el 37,5% practica basquetbol, mientras que 5 alumnos practican ambos deportes. Cuál es la probabilidad de que al elegir un alumno, éste no practique ningún deporte? A) 1/ 8 B) 1/ 5 C) 1/ 2 D) 1/ 3 E) 1/ 4 PROBABILIDADES DE EVENTOS Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) porque P(A B) = 0 1. Al lanzar un dado, cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3? A) 1/ 6 B) 1/ 6 C) 1/ 3 D) 1/ 2 E) 2/ 3 2. Si se lanza un dado, cuál es la probabilidad que el resultado corresponda a un número mayor que 4 o a un número primo? A) 1/ 6 B) 1/ 3 C) 2/ 3 D) 5/ 6 E) Ninguna de las anteriores 5

6 3. Un naipe inglés consta de 52 cartas repartidas en cuatro pintas distintas, de las cuales dos son rojas (corazón y diamante) y dos son negras (pique y trébol). Cada pinta consta de 3 figuras: rey (K), dama (Q), caballero (J) y de 10 cartas numeradas desde 1 (as) a 10, entonces la probabilidad de obtener un AS o un REY al extraer una de las 52 cartas de una baraja inglesa es A) 1/ 13 B) 2/ 13 C) 4/ 13 D) 1/ 4 E) 1/ 3 4. La siguiente tabla muestra la distribución por electivo y sexo de los alumnos de IV medio de un liceo. Si se escoge un alumno al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre o pertenezca al plan humanista? Humanista Biólogo Físico Hombre Mujer A) 12/ 16 B) 11/ 16 C) 1/ 2 D) 2/ 5 E) 5 / 16 PROBABILIDAD DE EVENTOS Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. P(A y B) = P(A B) = P(A) P(B) EJEMPLOS 1. Se tienen dos urnas: la primera contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la segunda contiene 3 bolitas verdes y 7 rojas. Si se extrae una bolita de cada una, cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes? A) 3/ 10 B) 6/ 10 C) 9/ 10 D) 9/ 20 E) 18/ En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener cara en la de cien y sello en la de cincuenta es A) 1/ 4 B) 1/ 3 C) 3/ 4 D) 3/ 4 E) 1 6

7 3. Si se lanzan 2 dados, cuál es la probabilidad que muestren el mismo número? A) 1/ 2 B) 1/ 3 C) 1/ 6 D) 1/ 36 E) 5/ Si se sacan, desde una caja que tiene 9 esferas numeradas del 1 al 9, dos de estas esferas una tras otra sin reposición, cuál es la probabilidad que ambas indiquen un número impar? A) 5/ 18 B) 5/ 9 C) 1/ 2 D) 5/ 36 E) 25/ En una caja hay 3 camisas blancas y 2 azules. Si se sacan sucesivamente 2 camisas, sin devolverlas a las cajas, cuál es la probabilidad que éstas sean de distinto color? A) 2/ 3 B) 2/ 5 C) 3/ 5 D) 3/ 10 E) 7/ 10 PROBABILIDAD CONDICIONADA Si se recuerda, si dos eventos no son independientes, entonces la probabilidad que ocurran A), en esta relación P(B/A) se llama probabilidad condicionada y se lee: P(B/A): probabilidad de B, dado que ocurrió A, y se determina según la relación: EJERCICIOS P(A B) P( B / A) P(A) 1. En cierta población se ha logrado constatar que: la probabilidad que una persona este obesa y tenga el colesterol alto es 0,1 y la probabilidad que un individuo sea obeso es 0,4. Si se escoge una persona que resulta estar obeso, entonces cuál es la probabilidad que tenga el colesterol alto? A) 0,10 B) 0,25 C) 0,40 D) 0,60 E) 0,90 7

8 2. Se lanzan 2 monedas, si a lo menos en una de ellas salió cara, cuál es la probabilidad de que ambas lo sean? A) 1/ 4 B) 1/ 3 C) 3/ 8 D) 1/ 2 E) 2/ 3 LEY DE LOS GRANDES NUMEROS Esta ley establece que la frecuencia relativa de los resultados de un experimento aleatorio tiende a estabilizarse a cierto número que corresponde a la probabilidad del suceso, cuando el experimento se realiza muchas veces. En la tabla se han anotado las frecuencias del suceso salir sello en el lanzamiento de una moneda ,56 0,47 0,55 0,48 0,52 0,51 Nº lanzamientos Frecuencia absoluta Frecuencia relativa ,56 0,47 0,55 0,48 0,52 0,51 La probabilidad de un suceso, es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces. EJEMPLOS 1. Si se lanza veces un dado común, entonces el numero 4 saldrá A) exactamente 60 veces. B) exactamente 400 veces. C) exactamente 600 veces. D) aproximadamente 600 veces. E) aproximadamente 400 veces. 2. Si se lanza veces un dado común, según la Ley de los Grandes Números, en qué porcentaje, aproximadamente, de esas repeticiones, saldrá un múltiplo de 3? A) En un 10% B) En un 12% C) En un 17% D) En un 33% E) En un 45% 8

9 Sucesos independientes: si la realización o no realización de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra o no la probabilidad de que ocurran, o no, cualquiera de las restantes. La probabilidad de que se produzcan dos o más sucesos independientes es igual al producto de las probabilidades que tiene cada uno de ellos. Sucesos dependientes: cuando la realización o no realización de uno de ellos afecta la probabilidad de que se produzca uno cualquiera de los restantes. Sucesos que se excluyen mutuamente: si la realización o no realización de uno de ellos implica la no realización de los otros. La probabilidad uno de entre dos o más sucesos mutuamente excluyentes es la suma de las probabilidades de los mismos. Esperanza matemática: si p es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad de dinero d, el valor de su esperanza E es: E= p d Intentos repetidos: Si P es la probabilidad de que se produzca un suceso en un intento y q= 1-p, la probabilidad contraria; la probabilidad de que suceda exactamente r veces en n intentos es: n p r q n r r 1.- De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules, se extrae una bola al azar. Hallar la probabilidad de que sea: 1.1 Roja (1/3) 1.2 No sea roja (2/3) 1.3 Sea blanca (2/9) 1.4 Sea roja o azul (7/9) 2.- Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar P de que: 2.1 Las dos sean blancas (1/4) 2.2 Las dos sean negras (5/24) 2.3 Una sea blanca y otra negra (13/24) 9

10 3.- Hallar la probabilidad de obtener 8 puntos tirando 2 dados al aire una sola vez. (5/36) 4.- Halla la P de obtener por lo menos 1 tirando dos veces un dado al aire. 5.- La probabilidad que tiene A de ganar a B un apartida de ajedrez es igual a 1/3 Cuál es la P que tiene A de ganar por lo menos una de tres partidas? (19/27) 6.- De una baraja de 52 cartas, se sacan 3 naipes de uno en uno y se vuelven a introducir en el mazo después de cada extracción. Hallar la P de que todos sean: 6.1 Tréboles (1/64) 6.2 Ases (1/2197) 6.3 Corazones o Tréboles (1/8) 7.- Las posibilidades que tiene una persona de que le toque un premio de US $ son 2 contra 23. Hallar su esperanza matemática (US $ 4.000) 8.-En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar. Cuál es la P de obtener: 8.1 Dos números impares (5/18) 8.2 Dos números pares (1/6) 8.3 Un número par y otro impar (5/9) 8.4 Los números 2 y 5 (1/36) 10

11 9. Una bolsa contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 8 azules. Si se extraen 3 bolas al azar, hallar la P de sacar: 9.1 Tres rojas (5/204) 9.2 Tres azules (7/102) 9.3 Dos blancas y una roja (3/68) 9.4 Por lo menos una roja (149/204) 9.5 Una de cada color (4/17) 9.6 Una roja, una blanca y una azul, en ese orden (2/51) 10.- De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determinar la P de que: 10.1 Sean todos ases (1/5525) 10.2 Sean el as de tréboles, el de corazones y el de pica en ese orden (1/ ) 10.3 Sean todos tréboles (11/850) 10.4 Sean todos del mismo palo o la pinta (22/425) 10.5 No haya dos del mismo palo o la pinta (168/425) 11.- Cuál de la P de que dos naipes, distintos y cualesquiera, de una baraja de 52 estén juntos sin tener en cuenta el palo o la pinta? (8/13) 11

12 12.- El número total de papeletas de una rifa es 20. Sabiendo que hay dos premios, hallar la P que tiene un individuo que adquiere dos papeletas de que le toque: Los dos premios (1/190) 12.2 Ninguno de ellos (153/190) Uno de los dos premios (18/95) 13.- Una caja contiene 7 papeletas numeradas del 1 al 7, ambos inclusive. Si se extraen, sucesivamente, 3 papeletas, determinar la P de que sean: 13.1 Impar, par, impar (6/35) 13.2 par, impar, par (2/7) 14.- Las probabilidades que tiene Paulo, Catalina y Astrid de resolver un mismo problema son P(p)=4/7, P(c)= 2/3 y P(a) = 3/7, respectivamente. Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de que se resuelva el problema. (101/105) 15.- La probabilidad de que Jorge viva 25 años más es 3/7 y la probabilidad de que viva su esposa 25 años más es 4/5. Hallar la probabilidad de que, dentro de 25 años: 15.1 Vivan los dos (12/35) 12

13 15.2 Viva por lo menos uno de ellos (4/35) 15.3 Viva solamente el marido (3/35) 16.- Para ocupar la presidencia de la república se presentan tres candidatos, M, P, L. Las posibilidades de M. son 7 contra 5, las de P. 1 contra Hallar la P de que M o P ocupe la presidencia. (5/6) 16.2 Cuáles son las posibilidades a favor de L? (1/ 6) 17.- Una bolsa contiene 5 monedas de $1 y 2 de $5, y una segunda bolsa contiene 1 moneda de $1 y 3 de $5. Si se saca una moneda de una de ellas al azar, hallar la P de que sea de $5. (29/56) 18.- Una bolsa contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Cuatro personas Elizabeth, Astrid, Catalina y Paulo, en este orden, sacan una sola bola y la dejan fuera de la bolsa. La que primero saque una bola blanca tiene un premio de $ Hallar las esperanzas matemáticas de cada persona. (4000, 3000, 2000, 1000) 19.- Once libros, de los cuales 5 son d Ingeniería, 4 de matemáticas y 2 de Química, se colocan al azar en una estantería. Hallar la P de que los libros de cada materia estén todos juntos. (1/1155) 20.- Cinco bolas rojas y 4 blancas de colocan al azar en una fila. Hallar la P de que las bolas de los extremos sean rojas. (5/18) 13

14 21.- Hallar la P de sacar dos unos al tirar simultáneamente 9 dados. (78125/279936) 22.- Hallar la P de obtener una sola vez 9 puntos con dos dados, tirándolos simultáneamente 3 veces Si la P de que un alumno que comienza sus estudios universitarios de no completar los 4 años de carrera es 1/3. hallar la P de 4 alumnos que empiezan, 3 de ellos adquieren el título. (16/27) 24.- Se lanza al aire una moneda 6 veces. Hallar la P de obtener por lo menos 3 caras (21/32) 25.- Hallar la P de que los 5 hijos de una familia haya por lo menos 2 niños y una niña (Se supone que la probabilidad de nacer n 14