( ) = = ( ) ( ) 1 = La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es la probabilidad de la intersección de los complementarios ó contrarios.

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Raquel Mora Aranda
hace 7 años
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1 CUESTONES. Sean y B dos sucesos con (0,5, (B0, y ( B0,. Calcular las siguientes robabilidades (, (, ( B, (. B B B B ( ( B 0' B B 0' ( B ( B ( B ( B ( B B ( B B ( B B 0' 0'5 + 0' 0' 7 B B B ( ( B ( B ( B ( B ( + ( B ( B ( 0'5 5 ( + ( B ( B 0'5 + 0' 0' 7. Sean y B dos sucesos indeendientes de un cierto exerimento aleatorio, tales que la robabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es / y la de que no ocurra ninguno de los dos es /, Calcúlese ( y (B. La robabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es le robabilidad de la intersección. ( B La robabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es la robabilidad de la intersección de los comlementarios ó contrarios. ( B Teniendo en cuenta que los sucesos son indeendientes, la intersección se transforma en el roducto de las robabilidades. ( B ( ( B la intersección de los contrarios le es alicable la ley de Morgan 5 ( B ( B ( B : ( B Teniendo en cuenta que los sucesos y B son comatible ya que entre ellos existe intersección, la unión se calcula como: 5 7 ( B ( + ( B ( B ( + ( B : ( + ( B La cuestión a quedado reducida a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: ( ( B 7 ( + ( B Resolviendo or sustitución: ( ( B o viceversa

2 . Sea y B dos sucesos con P(0, P(B0 7 y P( B0. Se ide calcular las siguientes robabilidades: (, ( B, ( B, ( B. 0' 0' 7 COMPTBLES ( B ( B ( B ( + ( B ( B ( 0' + 0'7 0' 0' ( B ( B ( B 0' 0' 9 SUCESO ( B ( ( B 0' 0' 0' DFERENC. Sean y B dos sucesos arbitrarios indeendientes con robabilidades resectivas ( y (B. Se ide: Exresar en función de ( y (B la robabilidad del suceso ( B ( B NDEPENDENTES ( B ( B ( B ( B ( B ( ( B y 5. Siendo y B sucesos incomatibles de un cierto esacio robabilístico tales que ( 5 ( B. Hallar ( B. 5 ( B ( B ( B NCOMPTBLES ( B 0 ( ( + ( B. Sabiendo que (, ( B y ( B a. ( B b. ( B c. ( B a. artir de ( B ( B b. ( B ( B y conocidos ( ( ( B c. B ( B, calcular: y ( B ( B ( B ( B ( B ( B ( B ( + 5 5, se uede calcular { } ( B ( B B B B 5 ( B

3 7. Sabiendo que (0 ; (B0 5 y ( B0, calcular: a. ( B b. ( B c. ( B donde reresenta el suceso contrario ó comlementario de. SUCESO a. ( B ( B ( B 0'5 0' 0' DFERENC b. ( B ( B ( B COMPTBLES ( B c. ( B ( B ( B 0' 0' 7 0 [ ( + ( B ( B ] 0' 8. Sean y B sucesos indeendientes tales que ( 0 5 y (B 0 5. Calcular las siguientes robabilidades condicionadas: a ( B b ( B c ( B B d ( B B a. ( ( ( B ( B B B B ( B ( ( + ( B ( B b. ( ( B c. { } ( COMPTBLES B ( B ( 0' 5 ( + ( B ( ( B 0' 5 + 0'5 0' 5 0'5 5 B B B NDEPENDENTES ( B ( B ( B b. ( B ( B ( B B NDEPENDENTES { B ( B 0} 0 ( B 0 ( B ( B ( B ( B ( + ( B ( B ( ( B 0' 5 0'5 ( + ( B ( ( B 0' 5 + 0'5 0' 5 0'5 9. a Si y B son dos sucesos incomatibles con ( 0 y (B 0 5, hallar ( c B c b Si y B son dos sucesos cualesquiera con ( 0, y (B 0,7, determinar los valores máximo y mínimo que uede tomar P( B.( c indica el suceso contrario o comlementario de. NCOMP [ ] 0' a. ( B ( B ( B ( + ( B b. El máximo valor que uede llegar a tomar la intersección de dos sucesos, será el menor de ellos, y eso sucederá cuando el menor este totalmente incluido en el mayor. Para este caso: ( B max ( B El mínimo valor de la intersección será cero y corresonderá al caso de sucesos incomatibles

4 0. Sean y B dos sucesos tales que ( 0 5, ( 0' 5 y ( B 0' 5. Calcular ( B Nota.- La notación c reresenta el suceso comlementario de. B. Se tienen tres sucesos, B y C de un exerimento aleatorio, con (0 7, (B0, (C0 y ( B 0' 58. Se ide: a Son indeendientes? b Cuál es el mayor valor que uede tomar P( C?.Para este valor, calcular (C c / c. X c comlementario ó contrario de X : a Condición de indeendencia: ( B ( ( B Teniendo en cuenta las leyes de Morgan: ( B ( B ( B 0'58 ( B 0'58 0' Como ( (B también, concluimos que los sucesos y B son indeendientes. b C corresonde al área comrendida entre y C. Esta área crece a medida que los conjuntos están más solaados El caso más favorable (ara que C sea muy grande ocurre cuando el solaamiento es máximo, es decir, cuando C (que es más equeño que está comletamente incluido en. En ese caso: P( C (C 0 Más rigurosamente, C C ( C (C 0 ( C 0, luego el valor máximo que uede tomar la ( C es 0 Para este valor de ( C0 (C, la situación de los sucesos es que C tiene que estar incluido en. Entonces: C ( C ( ( C ( ( C ( ( (C + ( ( (C 78 ( C ( (

5 PROBLEMS. Un alumno hace dos ruebas en un mismo día. La robabilidad de que ase la rimera rueba es de 0. La robabilidad de que ase la segunda es de 0 8 y la de que ase ambas es de 0 5. Se ide a Probabilidad de que ase al menos una rueba. b Probabilidad de que no ase ninguna rueba. c Son las ruebas sucesos indeendientes. d Probabilidad de que ase la segunda rueba en el caso de no haber suerado la rimera Suceso Pasar la ª rueba Suceso B Pasar la ª rueba. DTOS: (0, (B0 8, ( B0 5 a ( B ( + (B ( B b ( B ( B ( B 0'9 0' c ( B ( (B: Sucesos deendientes. d B B ( ( B ( B 0'8 0'5 ( 0'. En una universidad, en la que no hay más que estudiantes de ingeniería, ciencias y letras, acaban la carrera el 5% de ingeniería, el 0% de ciencias y el 0% de letras. Se sabe que el 0% estudian ingeniería, el 0% ciencias y el 50% letras. Tomando un estudiante al azar, se ide; a robabilidad de que halla acabado la carrera y sea de ingeniería. b Nos dice que ha acabado la carrera. Probabilidad de que sea de ingeniería. Sucesos: lumno de ingeniería; C lumno de ciencias; L lumno de letras; cabar la carrera. Datos: ( 0' 0 ; ( C 0' ; ( L 0' 5 C. L ; 0' 05 ; 0' ; 0' a ( { sucesos deendientes} ( 0' 0'05 0' 0 b ( ( ( ( [ ( ( C ( L ] + C + ( ( 0' 0'05 ( ( + ( C + ( L ( 0' 0'05 + 0' 0' + 0'5 0' C L ( L 0'0 0' 0'07 Tomando como base de cálculo 00 alumnos de esta universidad, se obtienen los siguientes subconjuntos a artir de los datos de roblema : NGENER CENCS LETRS CBR NO CBR Se resonde a las reguntas del roblema teniendo en cuenta la definición axiomática de robabilidad. Casos favorables Han acabado la carrera y son ingenieros a ( Casos osibles lumnos de la Universidad 00

6 Casos favorables Han acabado la carrera y son ingenieros Casos osibles Han acabado la carrera b ( B. Se tienen tres sucesos, B y C de un exerimento aleatorio, con P(0 7, P(B0, P(C0 y P( c UB c Se ide: c Son indeendientes? d Cuál es el mayor valor que uede tomar P( C?.Para este valor, calcular (C c / c. X c comlementario ó contrario de X : c Condición de indeendencia: ( B ( (B Teniendo en cuenta las leyes de Morgan: ( B [( B c ] ( c UB c Como ( (B también, concluimos que los sucesos y B son indeendientes. d C corresonde al área comrendida entre y C. Esta área crece a medida que los conjuntos están más solaados El caso más favorable (ara que C sea muy grande ocurre cuando el solaamiento es máximo, es decir, cuando C (que es más equeño que está comletamente incluido en. En ese caso: P( C (C 0 Más rigurosamente, C C ( C (C 0 ( C 0, luego el valor máximo que uede tomar la ( C es 0 Para este valor de ( C0 (C, la situación de los sucesos es que C tiene que estar incluido en. Entonces, (C c / c (C c c /(C c ( c /( c. Una urna contiene bolas rojas y negras. Disonemos además de una baraja esañola y de una baraja de óquer. Extrae una bola al azar. Si es roja extraiga una carta de la baraja esañola. Si es negra de la de óquer. a Calcula la robabilidad de que la carta extraída sea figura. b Volvemos a jugar. La carta extraída ha sido figura Cuál es la robabilidad de que la bola extraída sea roja? : Sucesos: R Bola roja. N Bola negra. F Figura. F No figura. [ ] ( R F + ( N F ( R ( F + ( N ( F a (F ( R F ( N F b ( R ( R F ( R ( F R ( R ( F + ( N ( F 9 F ( F R N R N

7 7. (Puntuación máxima untos Se toman cartas diferentes de una baraja, dos cincos, un seis y un siete. Las cartas se onen boca abajo en la mesa y se mezclan al azar. Determínese la robabilidad de que al darles la vuelta, todas las cartas estén ordenadas en orden creciente, si los dos cincos son indistinguibles. : El ejercicio se uede realizar de dos formas diferentes: Casos favorables(cardinal de Por la definición axiomática de robabilidad; ( Casos Posibles (Cardinal de E calculando el número de elementos de y E mediante la combinatoria(permutaciones. Card ( ; Card(E P! ( Como robabilidad condicionada, ( (Puntuación máxima: untos. Se lanzan dos dados. Calcúlese la robabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: Se obtiene cinco en alguno de los dados. B Se obtiene un doble (los dados resentan la misma untuación a B b B. : Las robabilidades de los sucesos elementales ( y (B, se calculan or la definición Casos favorables axiomática de robabilidad ( Casos osibles Se calculan a artir del esacio muestral (E. Card E(cardinal de VR, ² {-5; -5; -5; -5; 5-5; -5;5-;5-;5-;5-;5-}. Card B {-; -; -; -; 5-5; -}. Card B ( (B a ( B ( (B / / / or ser y B sucesos indeendientes b ( B ( + (B ( B / + / / / or ser sucesos comatibles Otra forma uede ser calculando los sucesos B y B, a artir del esacio muestral y alicando a continuación la definición axiomática. B {5-5}. Card ( B B {-5; -5; -5; -5; 5-5; -5; -; -; -; -; -}. Card ( B a ( B b ( B

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