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1 1.- CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Un experimento aleatorio es aquel que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento. El espacio muestral es el conjunto de formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos por la letra E. Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por S. Algunos tipos de sucesos: Suceso elemental es el que está formado por un solo resultado del experimento. Suceso compuesto es el que está formado por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos a o más sucesos elementales. Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral E. Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por Φ Debemos tener en cuenta que: si el espacio muestral E, asociado a un experimento aleatorio, tiene n elementos el espacio de sucesos correspondiente S tiene 2 n elementos. Ejemplos: Experimento Espacio muestras Sucesos elementales Sucesos compuestos Se lanza E = {cara, cruz} {cara} {C, X} suceso seguro una moneda {cruz} Se lanza un E = {1, X, 2} {1} {1, X} dado de quiniela {X} {1, 2} {2} {2, X} {1, X, 2} suceso seguro Se lanza E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1} {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},... un dado {2} {1, 2, 3}, {1, 2, 4},... {3} {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5},... {4} {1, 2, 3, 4, 5},... {5} {1, 2, 3, 4, 5, 6} suceso seguro Departamento de Matemáticas. Pág 1 IES Leopoldo Queipo

2 1.1.- RELACIONES ENTRE SUCESOS. Dos sucesos A y B son incompatibles si no tienen en común ningún suceso elemental. Es decir, es imposible que ocurran simultáneamente. En caso contrario, los sucesos son compatibles. Si dos sucesos A y B, sin incompatibles, entonces A B = Φ Dado un suceso cualquiera A, se llama suceso contrario de A al que no se verifica cuando se verifica A, y viceversa. El suceso contrario de A se designa por A. Ejemplos: En el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6, consideramos los sucesos: a) A = {1, 3, 5} y B = {2, 6} Los sucesos A y B no se pueden verificar simultaneamente. En este caso, los sucesos A y B son incompatibles. El suceso contrario de A y B serían: A = {2, 4, 6} y B = {1, 3, 5} b) A = {par} y B = {2, 3} Los sucesos A y B son compatibles, pues tienen en común el suceso elemental {2}. Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando se verifica A o B o ambos a la vez. El suceso A unión B se representa por A B. Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso intersección de A y B al suceso que se realiza cuando se verifica A y B simultaneamente. El suceso A intersección B se representa por A B. Ejemplos: En el experimento que consiste en lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6, consideramos los siguientes sucesos: El suceso A B = {2, 3, 4, 5, 6}. El suceso A B = {2} Ejercicios: A = {2, 4, 6} y B = {2, 3, 5} 1. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Lanzar tres monedas. b) Lanzar tres datos y anotar la suma de los puntos obtenidos. c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras. Departamento de Matemáticas. Pág 2 IES Leopoldo Queipo

3 d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos. 2. Considera el espacio muestral del experimento aleatorio lanzar dos monedas. a) Cuántos sucesos elementales tiene? Represéntalos. b) Representa los sucesos: Obtener al menos una cara. Obtener exactamente una cara. No obtener ninguna cara. 3. Considera el espacio muestral del experimento aleatorio lanzar dos datos. a) Cuántos sucesos elementales tiene? b) Representa los sucesos: Obtener uno o dos. Obtener una suma de puntos igual a 7. Obtener una suma de puntos que sea número par. Obtener dos número mayores que 4. Obtener dos número que no sean impares. 4. Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones.. Cuáles son los elementos de A y B? 5. En el experimento aleatorio consiste en sacar una carta de una baraja española: a) Cuál es el suceso contrario de obtener figura?. Represéntalo. b) Halla la unión y la intersección de los sucesos: A= Obtener oro mayor que 5 B= Obtener oros o copas menores que 7 c) Son A y B sucesos compatibles o incompatibles. 6. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el resultado y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos. A={salir número primo} y B = {salir un número cuadrado} Responde a las siguientes cuestiones: a) Calcula los sucesos A B y A B. Departamento de Matemáticas. Pág 3 IES Leopoldo Queipo

4 b) Los sucesos A y B, son compatibles o incompatibles? c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B. 7. Sea el experimento que consiste en la extracción de una carta de la baraja española. Consideramos los siguientes sucesos: A = salir oro B = salir rey C = salir as Expresa el significado de los siguientes sucesos: PROBABILIDAD. A B A B B C B C Si todos los sucesos de un experimento aleatorio son equiprobables se tiene que la probabilidad de un suceso A se halla mediante la Ley de Laplace: Probabilidad de un suceso = número de casos favorables al suceso número de casos posibles La probabilidad del suceso A se designa por P (A). Ejemplo: Se extrae una carta de una baraja española. Hallar las siguientes probabilidades: a) Que sea el as de copas. P (as de copas) = 1 40 b) Que sea un as. P (as) = 4 40 = 1 10 c) Que sea un oro. P (oro) = = 1 4 Si A y B son sucesos incompatibles de un mismo experimento aleatorio, se verifica que la probabilidad de la unión de A y B es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos, es decir: Si A y B son incompatibles P (A B) = P (A) + P (B) Ejemplo: Realizamos un experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española y consideramos los sucesos: A= salir rey ; B= salir as Los sucesos A y B son incompatibles, ya que no pueden ocurrir a la vez. Vamos a hallar la probabilidad del suceso A B A B= salir rey o as. Hay 8 cartas favorables a este suceso, 4 reyes y 4 ases, de las 40 posibles. Por tanto: P (A B) = 8 40 = 1 5 Departamento de Matemáticas. Pág 4 IES Leopoldo Queipo

5 Observa que el primer resulta es igual a la suma de los otros dos: P (A B) = P (A) + P (B) = = 8 40 = 1 5 Si A y B son dos sucesos compatibles de un mismo experimento aleatorio, se verifica que la probabilidad de la unión de A y B es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos, menos la probabilidad del suceso intersección de A y B, es decir: Si A y B son compatibles P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Ejemplo: Realizamos un experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española y consideramos los siguientes sucesos: A= salir rey B= salir oro Los sucesos A y B son compatibles, pues se verifican a la vez cuando sale el rey de oros. Vamos a hallar la probabilidad de A B= salir rey u oro. Hay 13 cartas favorables a este suceso, los 4 reyes y los 9 oros diferentes del rey de oros. Por tanto: P (A B) = Este resultado es igual al de la operación siguiente: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = La probabilidad del suceso contrario de A es igual a la unidad menos la probabilidad del suceso A, es decir: P (A) = 1 P (A) Ejercicios: 8. Una urna contiene 6 bolas rojas y 9 negras. Se extrae una bola. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que sea roja. b) Que sea verde. c) Que sea negra. d) Que sea roja o verde. e) Que sea roja o negra. 9. Se lanza un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8 y se consideran los sucesos A= salir par y B= salir múltiplo de 5. Hallar la probabilidad de que el número obtenido sea par o múltiplo de 5.. Departamento de Matemáticas. Pág 5 IES Leopoldo Queipo

6 10. Se lanza un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8 y se consideran los sucesos A= salir par, B= salir múltiplo de 3 y C= salir número primo. Hallar las probabilidades de A B y B C. 11. Se lanza un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8 y se consideran los sucesos A= salir par, B= salir múltiplo primo, C= salir número negativo y D= salir número menor o igual a 8. Hallar las probabilidades de los sucesos contrarios a los dados. 12. Tengo en la mano seis cartas con los números 1, 2, 3, 5, 6 y 7. Mi amigo toma una al azar. a) Cuál es la probabilidad de que obtenga un número menor que 4? b) Cuál es la probabilidad de que el número que obtenga sea divisible por 2? 13. Dos amigos están jugando a las cartas. Jaime dice que la próxima carta que se extraiga será un rey y Alfredo dice que será figura. Cuál de los dos tiene mayor probabilidad de acertar?. 14. Una urna contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. Determina la probabilidad de que: a) Sea roja o verde. b) Sea roja o amarilla. c) No sea roja. 15. Una bolsa contiene 100 papeletas de una rifa numeradas del 1 al 100. Se extrae una papeleta al azar. Cuál es la probabilidad de: a) Que el número extraído tenga una sola cifra. b) Que el número extraído tenga dos cifras. c) Que el número extraído tenga tres cifras. d) Que el número extraído tenga cuatro cifras. 16. Lanzamos un dado y anotamos el resultado de la cara. Sean los sucesos: A = obtener un múltiplo de 3 ; B = obtener un número primo, y C = obtener un número par. Son compatibles los sucesos A y B, A y C, B y C? 17. En una clase de 30 alumnos hay 12 chicos, de los cuales 9 tienen 14 años y el resto 15 años; de las chicas hay 2 con 15 años, otras dos con 16 años y el resto tiene 14 años. Halla la probabilidad de que al llamar el profesor a un alumno a la pizarra: Departamento de Matemáticas. Pág 6 IES Leopoldo Queipo

7 a) Sea chico. b) Sea chica. c) Tenga más de 14 años. d) Sea chico y tenga más de 14 años. e) Sea chica y tenga más de 14 años. f ) Sea chico o tenga 14 años EXPERIMENTOS COMPUESTOS. Un experimento compuesto puede ser considerado equivalente a la realización de dos o más experimentos simples. Para el cálculo de la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto es aconsejable trabajar con el diagrama de árbol. La probabilidad de un suceso en experimentos compuestos es igual al producto de las probabilidades de las ramas del diagrama de árbol que da lugar a ese suceso. Ejemplos: Se lanzan dos dados. Hallar la probabilidad de obtener un cinco en cada dado. El espacio muestral es: E = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6),..., (6, 1), (6, 2),..., (6, 6)} Sea A= obtener un cinco en cada dado = {(5, 5)}. Casos posibles del experimento: 36. Casos favorables al suceso A: 1. P (5, 5) = Con el diagrama en árbol obtenemos: Casos favorables Casos posibles = 1 36 P (5, 5) = P (5) P (5) = = 1 36 En los experimentos compuestos por sucesivas extracciones (de una baraja, de una bolsa,...) pueden darse dos modalidades, que es muy importante distinguir: Ejemplos: Extracciones con reemplazamiento el resultado de la primera extracción no influye en las condiciones de la segunda. Extracciones sin reemplazamiento el resultado de la primera extracción influye o condiciona el resultado de la segunda. 1. Extraemos de una baraja tres cartas. Hallar la probabilidad de que sean tres ases. a) Extracciones con reemplazamiento:(formamos el diagrama en árbol) P (as y as y as) = = Departamento de Matemáticas. Pág 7 IES Leopoldo Queipo

8 b) Sin reemplazamiento: (formamos el diagrama en árbol) P (as y as y as) = = En una urna hay cinco letras: 3 A y 2 N. Se extrae, se anota y se repite el mismo proceso dos veces más. Cuál es la probabilidad de obtener las letras de la palabra ANA y en ese orden? a) Con reemplazamiento: b) Sin reemplazamiento: P (ANA) = = P (ANA) = = 1 5 Dados dos sucesos A y B, se llama probabilidad de B condicionada a A, se expresa así P (A/B). Al cociente: P (A B) P (A/B) = P (B) Ejemplos: Se tiene una bolsa con 10 bolas rojas y 5 verdes. Se extrae una bola y a continuación otra. Cuál será la probabilidad de que la segunda bola extraída sea verde condicionado a que la primera fue roja con y sin devolución? a) Si las extracciones son con reemplazamiento, los resultados de la primera extracción no influyen para nada en la segunda extracción. P (2 a bola verde/1 a bola roja) = P (2 a bola verde) = 5 15 = 1 3 b) Si las extracciones son sin reemplazamiento, si la primera bola fue roja, en la bolsa quedarán 9 bolas rojas y 5 verdes; por tanto la probabilidad de verde en la segunda extracción es: P (2 a bola verde/1 a bola roja) = 5 14 Dos sucesos A y B son independientes si la realización de A no condiciona la realización de B; es decir, P (B/A) = P (B). Dos sucesos A y B son dependientes si la realización de A condiciona la realización de B; en este caso, P (B/A) P (B). En las extracciones con reemplazamiento los sucesos son siempre independientes. Departamento de Matemáticas. Pág 8 IES Leopoldo Queipo

9 En las extracciones sin reemplazamiento los sucesos son siempre dependientes. Las siguientes expresiones permiten calcular la probabilidad de la intersección de sucesos. Ejemplos: Si A y B son independientes : P (A B) = P (A) P (B) Si A y B son dependientes : P (A B) = P (A) P (A/B) 1. De una baraja española se extraen simultaneamente dos cartas. Calcular la probabilidad de que las dos sean copas. Como las extracciones se realizan simultáneamente, equivale a extracciones sin reemplazamiento; por tanto, los sucesos serán dependientes. P (las dos sean copas) = = Cuál es la probabilidad de que al lanzar cuatro veces un dado cúbico se obtenga al menos un seis? Cada lanzamiento es independiente del anterior, ya que su resultado no viene afectado por lo que saliera en el lanzamiento anterior. Como es más fácil hallar la probabilidad del suceso contrario, se tiene: P (al menos un 6) = 1 P (ningún 6) = IDEA INTUITIVA DE VARIABLE ALEATORIA. Comencemos estudiando algunos ejemplos: = 0, Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas. El espacio muestral es: E = {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} Supongamos que a cada uno de estos sucesos le asignamos un número real (n o de caras): Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales R. A esta función, que denotaremos por X, la llamaremos variable aleatoria. En este ejemplo, la función X asocia a cada terna el número de caras que contiene. Departamento de Matemáticas. Pág 9 IES Leopoldo Queipo

10 2. Supongamos ahora que lanzamos dos dados. El espacio muestral de este experimento aleatorio es: E = {(1, 1), (1, 2),..., (1, 6),..., (6, 1), (6, 2),..., (6, 6)} La ley que asocia a cada resultado la suma de los puntos obtenidos en cada dado es una variable aleatoria que toma los valores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 judías verdes de una plantación y medir su longitud. La ley que asocia a cada judía su longitud es una variable aleatoria. 4. En un estudio antropométrico realizado sobre 1000 varones se les ha medido el perímetro craneal. La ley que asocia a cada uno de los varones su perímetro craneal es una variable aleatoria. Por tanto: Se llama variable aleatoria a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral E es un número real R Según como sean los recorridos de las variables, éstas se pueden clasificar en discretas y continuas: Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros. Las variables de los ejemplos 1 y 2 son discretas. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Las variables de los ejemplos 3 y 4 son continuas. En estas unidades limitaremos el estudio a las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas, en la siguiente dedicaremos el estudio a las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas. 3.- Distribuciones de probabilidad de variable discreta. Una distribución de probabilidad de variable discreta es el resultado de asignar a cada valor de la variable su probabilidad. x i P [x i ] = p i x 1 p 1 x 2 p 2. x n Departamento de Matemáticas. Pág 10 IES Leopoldo Queipo. p n

11 Cada p i es un número comprendido entre 0 y 1: 0 p i 1 La suma de los p i es 1: n p 1 + p p n = p i = 1 Se representa mediante un diagrama de barras Parámetros en una distribución de probabilidad. Las probabilidades p i, son una idealización de las frecuencias relativas, f i. Por tanto, los parámetros se definen del siguiente modo: N MEDIA: µ = p i x i i=1 VARIANZA: DESVIACIÓN TÍPICA: σ 2 = p i x 2 i µ 2 σ = σ DISTRIBUCIÓN BINOMIAL EXPERIENCIA DICOTÓMICA. Si en un experiencia aleatoria destacamos un suceso A y prestamos atención, exclusivamente, a si ocurre A o su contrario,a, se trata de una experiencia dicotómica. Al suceso A se le denomina éxito, y a su probabilidad, P [A] = p. La probabilidad de su contrario es: P [A ] = 1 p = q Ejemplos: 1. Lanzar una moneda: A=cara; A =cruz. p = P [cara] = 1 2 ; q = P [cruz] = Lanza un dado y ver si sale 5 o no: A={5};A =no{5}={1,2,3,4,6}. p = P [ 5 ] = 1 6 ; q = P [ no5 ] = Tenemos un montón de tornillos fabricados por una máquina que, por término medio, produce un 2 % de defectuosos. Extraemos uno de ellos al azar. A=DEFECTUOSO ; A =NO DEFECTUOSOS p = P [DEF ECT UOSOS] = 0, 02 ; q = P [NO DEFECTUOSAS] = 0, 98 Departamento de Matemáticas. Pág 11 IES Leopoldo Queipo

12 4.1.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Se repite n veces una misma experiencia dicotómica. Nos preguntamos por el número, x, de éxitos. X es la variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0, 1, 2, 3,..., n. La distribución de probabilidad de la variable X se llama distribución binomial B(n, p). p = P [A] es la probabilidad de éxito en cada una de las experiencias. n es el número de veces que se repite la experiencia. Nota importante: Destacar que se repite n veces la experiencia. Es decir, que en las sucesivas repeticiones han de darse las mismas condiciones y, por tanto, la probabilidad de éxito ha de ser la misma en todos los casos CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución B(n, p), la probabilidad P [X = k] de obtener k éxitos es: ( ) n P [X = l] = p k q n k k Los parámetros de esta distribución son: Ejemplos: MEDIA: µ = np DESVIACIÓN TÍPICA: σ = npq 1. En una binomial B(8, 0,2).Calcular: a) P [X 2] b) P [X 0] c) P [X = 2] d) P [X 6] 2. Una máquina produce tornillos. Por término medio, el 2 % de ellos son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 100. Calcular las probabilidades de que en una caja: a) No haya ninguno defectuoso. b) Haya alguno defectuoso. c) Haya exactamente 3 defectuosos. Departamento de Matemáticas. Pág 12 IES Leopoldo Queipo

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