Tema 11 Cálculo de Probabilidades.

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1 Tema 11 Cálculo de Probabilidades Experimentos aleatorios. Espacio muestral PÁGINA 248 EJERCICIOS 1. Decide si los siguientes experimentos son aleatorios o deteministas. a) Medir apotemas de un pentágono regular de perímetro 0 cm. Determinista: tiene una medida que se puede calcular por el Teorema de Pitágoras. b) Predecir las personas que acuden a un centro comercial un día determinado. Aleatorio. c) Tiempo que hará el ganador de una maratón. Aleatorio d) Calcular el coste de una llamada de teléfono de 1 minuto de duración. Determinista. 2. Un experimento aleatorio consiste en extraer al azar una bola de una urna en la que hay 5 bolas numeradas del 1 al 5 y anotar el número de la bola que hemos extraído. Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento? E 1, 2,, 4, 5 Cuáles son los puntos muestrales o sucesos elementales? Serían 1,2,,4,5. De una baraja española se han tomado las 12 figuras. Se considera el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de este grupo de cartas. Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento? E sota oros, caballo oros, rey oros, sota copas, caballo copas, rey copas, sota bastos, caballo bastos, rey bastos, sota espadas, 11.2 Suceso aleatorio caballo espadas, rey espadas PÁGINA 249 EJERCICIOS 4 De una baraja española extraemos una carta. Obtén los elementos que forman los siguientes sucesos. a) Extraer una carta del palo de bastos. A 1 bastos, 2 bastos, bastos, 4 bastos, 5 bastos, 6 bastos, 7 bastos, sota bastos, caballo bastos, rey bastos b) Extraer una figura de oros. B sota oros, caballo oros, rey oros c) Extraer un 5 o una carta del palo de copas. C 5 oros, 5 espadas, 5 bastos, 1 copas, 2 copas, copas, 4 copas, 5 copas, 6 copas, 7 copas, sota copas, caballo copas, rey copas d) Extraer un as. D asoros, ascopas, asbastos, asespadas e) Cuántos elementos tiene el espacio de sucesos de este experimento? sucesos están asociados a este experimento aleatorio. 5 Se tiene una urna con una bola blanca, otra roja y otra verde. Se van extrayendo bolas de la urna hasta que aparece la bola verde. bola blanca bola roja bola verde 1

2 a) Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio. E R B V, B R V, R V, B V, V Son cinco elementos. b) Obtén los elementos del suceso "no aparecer la bola verde hasta la tercera extracción" B R B V, B R V c) Obtén los elementos del suceso "aparece bola verde en la segunda extracción" C R V, B V 11. Operaciones con sucesos PÁGINA 251 EJERCICIOS 6 Se lanza un dado cúbico con sus caras numeradas del 1 al 6 y se observa la puntuación de la cara superior. Se consideran los sucesos A "salir un número par" 2, 4, 6 B "salir un múltiplo de ", 6 a) Obtén los sucesos A c, A B, A B A c "salir un número impar" 1,, 5 A A c 1, 2,, 4, 5, 6 E pero además verificándose que A A c. Por lo tanto A y A c es un sistema completo de sucesos. A B 2,, 4, 6 A B 6 b) Forman A y B un sistema completo de sucesos? No forman un sistema completo de sucesos dado que no cumplen que: A B E es A B 2,, 4, 6 faltando 1, 5, A y B no son incompatibles pues A B 6 7 Del experimento consistente en extraer una carta de una baraja española se consideran los siguientes sucesos: A "extraer un rey" B "extraer un oro" C "extraer un 5 o un 6" Indica si hay una pareja de sucesos incompatibles. A y B son incompatibles? A B rey de oros. Entonces son compatibles. A y C son incompatibles? A C. Entonces son incompatibles. b y C son incompatibles? C B cinco de oros, seis de oros. Entonces son compatibles Frecuencia y probabilidad. Ley de los grandes números. PÁGINA 25 EJERCICIOS 8 En la tabla de la derecha se recoge el número de veces que ha ocurrido el suceso I "salir impar" al lanzar un dado numerado del 1 al 6 un número creciente de veces. Estima el valor de la probabilidad de I y razona si el dado está equilibrado. Vamos a aplicar la Ley de los grandes números. 2

3 n I h n I PI lim n h n I Como esto es distinto de 0. 5, el dado no está equilibrado. Hay mas probabilidad de que salga par Definición clásica de probabilidad. Regla de Laplace. PÁGINA 254 EJERCICIOS 9 Se elige al azar un ficha del dominó. a) Obtén la probabilidad de haber elegido la blanca doble. nº casos favorables a la blanca doble Pblanca doble 1 28 nº casos favorables a la blanca doble 1 8 CR 7,2 C 721,2 C 8,2 8! 2 8 2! 2! 8 6! 7 2 6! Razonamos que tenemos siete elementos (del 0 al 6) para rellenar los dos huecos de la ficha de dominó, pudiéndose repetir pero sin influir el orden. b) Obtén la probabilidad de haber elegido una ficha doble. nº casos favorables a ficha doble Pficha doble nº de casos favorables a ficha doble 7 pues debe aparecer repetido uno de los siguientes números 0, 1, 2,, 4, 5, 6 c) Obtén la probabilidad de que los puntos de la ficha sumen 4. Psuma de puntos sea 4 nº casos favorables a suma de puntos sea 4 28 nº de casos favorables a suma de puntos sea 4 pues son las fichas 0, 0,1,,2, 2 10 Una experiencia aleatoria consiste en lanzar tres monedas al aire. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. nº casos favorables a tres caras Pobtener tres caras 1 8 nº casos favorables a tres caras 1 pues las tres monedas a la vez tienen que tener su cara visible. VR 2, 2 8 pues tenemos tres monedas en cada una de las cuales puede salir cara o cruz. Pobtener dos caras y una cruz nº casos favorables a dos caras y una cruz 8 nº casos favorables a dos caras y una cruz que son CCX, CXC, XCC Pobtener dos cruces y una cara

4 nº casos favorables a dos cruces y una cara 8 nº casos favorables a dos cruces y una cara que son XXC, XCX, CXX 11 Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos de las caras superiores. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Obtener suma igual a. nº casos favorables a suma es Psuma es VR 6, pues tenemos seis elementos (1, 2,, 4, 5, 6) que tomamos de dos en dos con repetición e influyendo el orden. nº casos favorables a suma es 2 pues los casos favorables son 2, 1,1, 2 b) Obtener suma mayor que 9. Psuma mayor que Suma mayor que 9 es 10,11 y 12 lo cual podemos hacer de la siguientes formas: 10 5, 5,4, 6,6, 4 tres formas 11 6, 5,5, 6 dos formas 12 6, 6 una forma c) Obtener una suma menor o igual que 5. Psuma menor o igual que Suma menor o igual que 5 es 5, 4, y 2 lo cual podemos hacer de las siguientes formas: 5 2,,, 24, 1,1, 4 cuatro formas 4 2, 2,, 1,1, tres formas 2, 1,1, 2 dos formas 2 1, 1 una forma ATENCIÓN: la sumas de dos dados vienen dadas por la siguiente tabla: Dos personas escriben al azar una vocal, cada una en un papel. a) Obtén la probabilidad de que ambas escriban la misma vocal. Pmisma vocal 5 25 nº casos favorables a misma vocal 5 pues tenemos cinco vocales a, e, i, o, u VR 5, dado que tenemos cinco elementos distintos que tomamos de dos en dos y se pueden repetir. b) Cuál sería la probabilidad de que tres personas escribiesen, al azar, cada uno la misma vocal en un papel? Pmisma vocal nº casos favorables a misma vocal 5 pues tenemos cinco vocales a, e, i, o, u VR 5, dado que tenemos cinco elementos distintos que tomamos de tres en tres y se pueden repetir Definición axiomática de probabilidad PÁGINA 255 EJERCICIOS 1 Se lanza dos veces un dado cúbico, con sus caras numeradas del 1 al 6. Calcula: 4

5 a) La probabilidad de obtener algún 6. Palgún nº de casos favorables a algún 6 11 pues son 6, 1,1, 6,6, 2,2, 6,6,,, 6,6, 4,4, 6,6, 5,5, 6,6, 6 VR 6, tenemos seis elementos 1, 2,, 4, 5, 6 que tomamos de dos en dos con repetición. b) La probabilidad de no obetener ningún 6. Pningún 6 1 Palgún Los sucesos "sacar algún 6" y "sacar ningún 6" son contrarios, por lo que conocida la probabilidad de uno, podemos calcular la probabilidad del otro. 14 Sean A, B y C tres sucesos que forman un sistema completo de sucesos, y donde PA 0. 1, PB Calcula PC. Como son un sistema completo de sucesos se cumple que: A B C E Son incompatibles dos a dos, es decir, se cumple que: i ii iii A B B C A C Dado que A B C E, entonces PA B C PE. Como los sucesos son incompatibles dos a dos tenemos que: PA PB PC PB PC PC 1 PC Probabilidad de la unión de sucesos. Sucesos compatibles. PÁGINA 256 EJERCICIOS 15 Se extrae una carta de una baraja española. Consideramos los siguientes sucesos: A "salir una figura" B "salir un as" C "salir una carta del palo de espadas" a) Son A y B incompatibles? Calcula PA B. Se tiene que A B, pues por un lado están los ases (1 de cada palo) y por otro, las figuras (sota, caballo y rey de cada palo). Así PA B PA PB b) Son A y C compatibles? Calcula PA C. Se tiene que A C sota de espadas, caballo de espadas, rey de espadas, entonces A y C son compatibles. Así PA C PA PC PA C Se lanza un dado cúbico, con sus caras numeradas del 1 al 6, y se anota su puntuación. Se consideran los sucesos: A "salir un número par" B "salir un número que es divisor de 12" a) Son A y B sucesos incompatibles? Tenemos que A "salir un número par" 2, 4, 6 B "salir un número que es divisor de 12" 1, 2,, 4, 6 Calculamos A B 2, 4, 6 A. Entonces los sucesos son compatibles. b) Calcula la probabilidad de A B. 5

6 PA B PA PB PA B Probabilidad condicionada PÁGINA 257 EJERCICIOS 17 En un pueblo se somete a sus vecinos a votación sobre la instalación de una antena de telefonía. Los resultados vienen recogidos en la siguiente tabla: A: Varones Mujeres B: Si No Seleccionamos al azar un vecino. Halla PA, PA/B, PB, PB /A PA A "ser varón" PA PA/B A/B "ser varón supuesto que se ha votado si" PA/B Vamos a hacerlo de otra forma: PA/B PA B PB A B "ser varón y decir si" PB B "votar no" PB 57 PB /A B /A "ser varón y votar no" PB /A 22 Vamos a hacerlo de otra forma: PB /A PB A PA 22 B A "ser varón y votar no" 18 En un experimento se sabe que a) PA B PA 0. 5 PB 0. 7 PA B Calcula: 6