CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

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1 CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl que cd elemento de A le hce corresponder uno y sólo un elemento de B. Al conjunto A se lo llm dominio de l función y B el codominio y lo indicremos por Dom(f). 2. Al conjunto B se lo llm codominio de f. Escribiremos f : A B, y pr un elemento A, su correspondiente lo llmmos f(). 3. El conjunto de vlores lcnzdos por l función f es el recorrido de f y lo escribimos Rec(f) = {f() : A} B. Por ejempllo, en l función de de l Figur 2, Rec(f) = {c, d} En este curso se trbjrá con funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reles (f : D R R). Si no se clr el dominio de l función, tomremos como dominio l myor conjunto en R pr el cul teng sentido l expresion f(x). Por ejemplo, si f(x) = 1/x, entonces Dom(f) = {x R t.q x 0} 4. Si f : D R R, el gráfico de f es el conjunto de puntos del plno con coordends de l form (, f()); es decir Gráfico(f) = {(x, f(x)) : x D}. 5. Un función es inyectiv si dos elementos distintos del dominio le hce corresponder elementos distintos del codominio. Es decir, si b entonces f() f(b) (ver Figurs 1 y 2). Pr funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reles, l inyectividd se puede ver fácilmente con el gráfico de f. Un función f : A R R es inyectiv si y sólo si, tod rect prlel l eje Ox cort l gráfico de f lo sumo un vez. 1

2 A f B A f B b d b c d c e e Figur 1: f no inyectiv y sobreyectiv Figur 2: f inyectiv y no sobreyectiv 6. Un función f : A B es sobreyectiv si todo elemento de B es lcnzdo por f, Es decir, si b B, A tl que f() = b (esto es lo mismo que decir qeue Rec(f) = B). Ver Figurs 1 y 2. Pr funciones f : R R, l sobreyectividd se puede ver fácilmente con el gráfico de f. Un función f : A R R es sobreyectiv si y sólo si, tod rect prlel l eje Ox, cort l gráfico de f por lo menos un vez. Ejemplo 1.1. L función f : R R dd por f(x) = x 2 no es ni inyectiv ni sobreyectiv: f(x) = x 2 f no inyectiv f no sobreyectiv 7. Pr culquier conjunto A, tenemos l función identidd en A; Id A : A A, dd por Id A () =. Si A = R, entonces el gráfico de Id R está ddo por todos los 2

3 puntos del plno de l form (x, x); por lo tnto el gráfico de est función es l rect y = x: f(x) = x x L función Id A es inyectiv y sobreyectiv. 8. Un función es biyectiv si es inyectiv y sobreyectiv. A f B b c x y z Figur 3: f biyectiv 9. Si f : A B y g : B C, podemos definir un nuev función h : A C. Si A, entonces f() ce dentro de B y por lo tnto este vlor le podemos plicr l función g. Entonces, definimos h() = g(f()). A est función h se l denot g f y decimos que es l composición de f con g. 3

4 A f B g C x f(x) g(f(x)) h = g f Ejemplo 1.2. Si f(x) = x y g(x) = x 2, entonces: y (g f)(x) = g(f(x)) = g ( x ) = (x 3 + 1) = x 6 + 2x (f g)(x) = f(g(x)) = ( x ) = x 6 + 6x x Observr que en generl g f f g. 10. Si f : A B es biyectiv, se puede invertir l correspondenci; definimos un nuev función f 1 : B A dd de l siguiente form: si b = f() entonces f 1 (b) =. Es decir, que f 1 deshce lo que f hce. ( Por qué necesitmos que f se biyectiv pr definir f 1?). A f B b c x y z f() = x, f 1 (x) = f(b) = y, f 1 (y) = b f(c) = z, f 1 (z) = c f 1 Notr que f 1 (f()) = pr todo A y f(f 1 (b)) = b pr todo b B; es decir 4

5 f 1 f = Id A y f f 1 = Id B. Observr que si un punto con coordends (, b) está en el gráfico de l función f, esto quiere decir que f() = b y por lo tnto f 1 (b) = y por lo tnto el punto con coordends (b, ) está en el gráfico de l función f 1. Además, si simetrizmos el punto (, b) con respecto l rect y = x, obtenemos el punto (b, ). Por lo tnto, el gráfico de l función f 1 se obtiene simetrizndo el gráfico de f con respecto l rect y = x. (b,) f 1 (x) y = x f(x) (,b) x Figur 4: Gráfico de l función invers Ejemplo 1.3. Vemos lgunos ejemplos de funciones inverss: 1. f(x) = x 2 no es inyectiv ni sobreyectiv. Sin embrgo, si reducimos el dominio y el codominio: f : R 0 R 0 entonces es biyectiv y por lo tnto tiene invers f 1 : R 0 R 0. Quien es l invers de f? Tenemos que ver qué función deshce lo que hce f; es decir, qué funcion hy que plicrle x 2 pr recuperr x...l ríz cudrd. Entonces f 1 (x) = x. 2. f(x) = x 3 es biyectiv y por lo tnto tiene invers f 1 : R R. Igul que ntes, vemos que f 1 (x) = 3 x. 5

6 Vemos continución los gráficos de x y 3 x prtir de los gráficos de x 2 y x 3 respectivmente. y = x 2 y = x y = x y = x 3 y = x y = 3 x 1 Ejemplo 1.4. Vemos l función exponencil f(x) = e x, est función no es biyectiv pues no es sobreyectiv (tom sólo vlores myores que 0), pero sí es inyectiv (relizr el test de l líne horizontl en el gráfico). Por lo tnto, si considermos f : R R >0, 6

7 entonces es biyectiv y tiene invers f 1 : R >0 R. El nombre de l función invers es el logritmo nturl (o nepernio, o en bse e) y se denot log(x). Observr que entonces tenemos que log() = b e b =. Utilizndo que log(x) es l función invers de e x y ls propieddes de l función exponencil, tenemos: Dom(log) = R >0 log(1) = 0 log() + log(b) = log(b) log() log(b) = log ( ) b n log() = log( n ) Ahor construímos el gráfico de log(x) prtir del gráfico de e x. y = e x y = x y = log x 1 1 7

8 2. Límites y Continuidd Repsmos ls notciones pr los distintos tipos de intervlos de números reles: 1. Sen y b dos números reles. Definimos: [, b] = {x R / x b} (intervlo cerrdo) b (, b) = {x R / < x < b} (intervlo bierto) b [, b) = {x R / x < b} (,+ ) = {x R / < x}. Análogmente se definen (, b], (, ), (, ] y [,+ ). En prticulr (, + ) = R y (0, + ) = R Se R y ǫ R +, Llmeremos entorno de centro y rdio ǫ l intervlo ( ǫ, + ǫ). Lo notremos E(, ǫ). ǫ ǫ ǫ + ǫ Llmremos entorno reducido de centro y rdio ǫ l intervlo ( ǫ, + ǫ) menos el punto ; es decir E(, ǫ) {}. Lo notremos E (, ǫ). ǫ ǫ ǫ + ǫ 8

9 2.1. Límites Se f : D R R y tl que un entorno reducido centrdo en está incluido en el dominio de f. Definición 2.1. Decimos que el límite de f cundo x tiende es b, y lo denotmos lím f(x) = b si ddo ǫ > 0, existe δ > 0 tl que si x E (, δ), entonces f(x) E(b, ǫ). Equivlentemente, si ddo ǫ > 0, existe δ > 0 tl que f (E (, δ)) E(b, ǫ). b + ǫ f(x) E(b, ǫ) f() f(e (,δ)) b = lím f(x) b ǫ δ δ Esto quiere decir, que no import que tn chico se el intervlo centrdo en b (por eso, ddo ǫ > 0...), siempre podemos encontrr un intervlo centrdo en (existe δ...), tl que f llev todos los puntos del intevlo, slvo quizás, dentro del intervlo centrdo en b. Es decir, cunto más se cerc x (pero x ), los vlores de f(x) se cercn b. 9

10 Observr que l definición no implic ni que f esté definid en ni tmpoco que si está definid, entonces f() = b. L definición de límite sólo involucr lo que sucede pr vlores cercnos, pero no involucr nd respecto lo que sucede en. Entender ésto es fundmentl pr entender el concepto de continuidd que veremos en l próxim sección. Definición 2.2. Se puede ser un poco más específico, y estudir el comportmiento de f(x) pr x cerc de pero, por ejemplo, l derech de. Definimos entonces los límites lterles. Decimos que el límite de f cundo x tiende por l derech es b, y lo denotmos lím f(x) = b + si ddo ǫ > 0, existe δ > 0 tl que si x (, + δ), entonces f(x) E(b, ǫ). b + ǫ f(x) E(b, ǫ) f() f((, + δ)) b = lím + f(x) b ǫ δ 10

11 Decimos que el límite de f cundo x tiende por l izquierd es b, y lo denotmos lím f(x) = b si ddo ǫ > 0, existe δ > 0 tl que si x ( δ, ), entonces f(x) E(b, ǫ). f() b = lím f(x) c = lím + f(x) Notr que Ejemplos lím f(x) = b lím f(x) = b + y lím f(x) = b. 1. Si f(x) = c (función constnte), entonces pr todo R. 2. lím x = lím f(x) = c 3. Definimos l función signo: 1 si x > 0 Sgn(x) = 0 si x = 0 1 si x < 0 11

12 1 0 1 Tenemos que y En prticulr, lím x 0 Sgn(x) no existe. lím Sgn(x) = 1 x 0 + lím Sgn(x) = 1. x 0 Límites infinitos En lgunos csos, cundo x se cerc, los vlores de f(x) si bien no se cercn ningún vlor, son, por ejemplo, cd vez más grndes: Decimos que el límite de f(x) cundo x tiende es infinito, y escribimos lím f(x) = + si ddo k > 0, existe δ > 0 tl que si x E (, δ), entonces f(x) > k. Esto quiere decir, que cercándonos lo suficiente (existe δ...), los vlores de f(x) son tn grnde como quermos (f(x) > k). 12

13 k δ δ En todos los csos nteriores, decimos que l rect x = es un síntot verticl pr f. Análogmente, decimos que el límite de f(x) cundo x tiende es menos infinito, y escribimos lím f(x) = si ddo k > 0, existe δ > 0 tl que si x E (, δ), entonces f(x) < k. 13

14 δ δ k Tmbién los límites lterles pueden ser + o. Por ejemplo, pr f(x) = 1/x, tenemos que f(x) = + y lím f(x) =. + lím x 0 x 0 f(x) = 1/x 14

15 Otro tipo de límites infinitos, es cundo estudimos qué ps con los vlores de f(x) cundo x tom vlores cd vez ms grndes o cd vez ms chicos. Mostrmos estos csos en ls figurs. En este ejemplo tenemos que lím f(x) = b y lím f(x) = c. x + x b c En este cso decimos que ls rects y = b e y = c son síntots horizontles pr f. En el siguiente ejemplo, f(x) = x 2, notr que cunto más grnde son los vlores de x, más grndes son los vlores de f(x). Y si x es un número negtivo de vlor bsoluto grnde, f(x) es positivo y grnde. Tenemos entonces que lím f(x) = + y lím f(x) = +. x + x 20 f(x) = x Propieddes: ls siguientes propieddes, si bien ls escribimos pr x, vlen tmbién pr límites lterles (x + y x ), y pr límites en infinito (x + y x ). 15

16 1. lím cf(x) = c lím f(x) 2. Si lím f(x) y lím g(x) son finitos, entonces: lím f(x) + g(x) = lím f(x) + lím lím (f(x)g(x)) = lím g(x). f(x) lím g(x) f(x) y si lím g(x) 0, entonces lím g(x) = lím f(x) lím g(x) Continuidd L siguiente definición formliz el hecho de que l dibujr el gráfico de l un función f por el punto con coordend x =, no se levnt el trzo pr psr de uno l otro ldo de x =. Definición 2.3. Sen f : D R R, y D. Decimos que f es continu en, si y sólo si, ddo ǫ > 0, existe δ > 0, tl que f(d E(f(), δ)) E(f(), ǫ). En otrs plbrs, f es continu en si f llev puntos del dominio cercnos, tn cerc como quermos de f(). b + ǫ f(x) E(f(),ǫ) f(e(,δ)) f() b ǫ δ δ 16

17 L definición implic que si f es continu en, entonces f está definid en ( D.) Si es un punto con un entorno centrdo en incluído en el dominio de f, entonces: f es continu en lím f(x) = f(). Esto signific que se stisfcen ls siguientes 3 propieddes: 1. f() existe 2. lím f(x) existe (y es finito) 3. los dos vlores nteriores son igules, es decir, lím f(x) = f(). Notr que pueden ser verdders (1) y (2) y sin embrgo f no ser continu en. Por ejemplo: { x + 1 si x 0 f(x) = 0 si x = 0. En este ejemplo 1. f(0) = 0 (dto) 2. lím x 0 f(x) = lím x 0 x + 1 = lím x 0 f(x) f(0) y por lo tnto f no es continu en 0. Pero si definimos entonces g es continu en x = 0. g(x) = { x + 1 si x 0 1 si x = 0. 17

18 f() b = lím f(x) lím f(x) existe pero f no es continu en Decimos que f es continu en un conjunto A si f es continu en A pr todo A. Continuidd lterl. Si por ejemplo, f está definid sólo pr x, entonces f es continu en si y sólo si lím f(x) = f(). + Si nos interes sber que ps con los vlores de f(x) cundo x se cerc por l derech o por l izquierd, tenemos ls siguientes definiciones: f es continu en por l derech lím f(x) = f() + f es continu en por l izquierd lím f(x) = f() b = lím f(x) lím f(x) = f() lím f(x) = f() + c = lím + f(x) f es continu en por l derech pero no por l izquierd f es continu en por l izquierd, pero no por l derech 18

19 Igul que pr l continuidd bilterl, l continuidd lterl implic 3 serciones. Por ejemplo, pr continuidd por l derech: f() existe f es continu por l derech en lím f(x) existe y es finito + los dos vlores nteriores coinciden Observción 2.4. Si es interior l dominio de f, tenemos: f es continu en por l derech f es continu en y f es continu en por l izquierd lím f(x) = lím f(x) = f() + Proposición 2.5. SI f y g son funciones continus en y α, β R, entonces: 1. αf + βg es continu en 2. fg es continu en 3. si g() 0 f g es continu en Est proposición es consecuenci de ls propieddes de linelidd, producto y cociente de los límites. Ejemplo 2.6. Vemos lgunos ejemplos de funciones continus: Es fácil ver que l ls funciones constntes son continus en todo R. f(x) = x es continu en todo R Por (2) de l proposición nterior, tenemos entonces que si n es un entero positivo, f(x) = x n es continu en R. Y por lo tnto, por (1) de l proposición, tenemos que los polinomios son continuos en todo R f(x) = e x es continu en todo R. f(x) = log(x) es continu en su dominio; es decir, es continu en R +. Otro ejemplo de funciones continus son ls funciones trigonométrics. Ddo un ángulo θ en rdines, definimos su seno y coseno según l siguiente figur: 19

20 1 sen(θ) 1 θ cos(θ) 1 1 Es decir, que (cos(θ), sen(θ)) son ls coordends del punto de intersección de l semirect que form ángulo θ con el eje Ox y el círculo centrdo en el origen y rdio 1. Observr, que por el Teorem de Pitágors y ddo que el rdio del círulo es 1 (y por lo tnto l medid de l hipotenus es 1), tenemos que (sen(θ)) 2 + (cos(θ)) 2 = 1 Ejercicio 2.7. Completr l siguiente tbl: θ cos(θ) sen(θ) π/4 2/2 π/2 0 π 3π/2 0 7π/2 0 π/2 θ sen(θ) θ + π sen(θ) π θ 20

21 Vemos los gráficos de sin(x) y cos(x): 1 π π 2 π 2 π 1 Gráfico de sen(x) 1 π π π 2 π 2 Observr que lím x + sen(x) y lím x + 1 Gráfico de cos(x) cos(x) no existen pues ésts funciones osciln. Ambs funciones son continus en R. Pr vlores de θ tl que cos(θ) 0, podemos definir l tngente del ángulo θ Vemos el gráfico de est función : tn(θ) = sen(θ) cos(θ). 21

22 π 2 π 2 Gráfico de tn(x) Observr que tn(x) es continu en x, pr todo x π 2, 3π 2, y x π 2, 3π 2. Observr tmbién que lím x π 2 tn(x) = + y lím tn(x) =. x π + 2 Proposición 2.8 (Continuidd de l función compuest). Sen f y g dos funciones tles que Rec(f) Dom(g). Si f es continu en y g es continu en f(), entoces g f es continu en. Demostrción. Como f es continu en, lím f(x) = f(). Es decir, que si y = f(x) y x, entonces y f(). Como g es continu en f(), tenemos que lím g(y) = g(f()). y f() Por lo tnto y g f es continu en lím g(f(x)) = lím g(y) = g(f()) y f() Theorem 2.9 (Teorem del Vlor Intermedio). Si f es continu en [, b] y p es un número entre f() y f(b), entonces existe c (, b) tl que f(c) = p Es decir, si f es continu en [, b], entonces f tomo todos los vlores entre f() y f(b). 22

23 Corolrio 2.10 (Teorem de Bolzno). Si f es continu en [, b] y f()f(b) < 0, entonces existe c (, b) tl que f(c) = 0. (Es decir, si f() y f(b) tienen signos diferentes, entonces f se nul en lgún punto entre y b). Demostrción. Si f()f(b) < 0, entonces p = 0 es un número entre f() y f(b); el Teorem del Vlor Intermedio, nos dice entonces que existe c (, b) tl que f(c) = 0. Ejemplo Todo polinomio f de coeficientes reles y grdo impr tiene l menos un ríz rel. Supongmos que el coeficiente de myor grdo es positivo. Entonces lím f(x) = + x + y por lo tnto, existe b > 0 tl que f(b) > 0. Por otro ldo lím f(x) = x y por lo tnto, existe < 0 tl que f() < 0. Por el Teorem de Bolzno, por ser f continu en R, existe c (, b) tl que f(c) = 0. 23

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