MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

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1 PLICCIONES DE L DERIVD MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELTIVOS Intoducción lgunas de las aplicaciones más impotantes e inteesantes del cálculo difeencial son aquellos poblemas en los que se busca la optimización de las soluciones obtenidas, esto lleva ineente los máimos mínimos, poque al optimiza un esultado, es en algunos casos necesaio maimiza en otos minimiza, po ejemplo en el pocesamiento de un poducto en una fábica lo inteesante es maimiza la poducción minimiza costos, tiempos, despedicios en la fabicación del poducto. Con este citeio, en mucos poblemas debemos pimeamente alla, a pati de los datos, la epesión matemática del poblema, es deci, la función a tavés de la cual obtenemos los valoes máimos o mínimos que den solución al poblema. En la vida eal, de lo bueno positivo nos inteesa obtene los máimos beneficios: la máima ganancia, los maoes ingesos, la mao esistencia, el áea máima, etc. De lo malo o negativo nos inteesa obtene los menoes pejuicios: Las pédidas mínimas, los menoes egesos, los menoes impuestos, el peímeto mínimo, etc. l poceso de busca obtene los máimos mínimos de una función se le llama optimización a los puntos allados se les llama puntos óptimos. Si un fabicante de camisas desea constui una caja abieta del mao volumen posible paa empaca su poducto, dispone de ojas de catón cuadadas de lado a. Tu qué aías paa esolve el poblema? Cuántas cajas podías constui con una oja de catón cuadada de lado a? Si tienes divesas opciones, cuál seía la que te da el volumen máimo? De esa oja de catón cuál seá el despedicio al loga el volumen máimo? El despedicio podía se nulo? Po ejemplo, si una oja de papel debe contene 8 cm² de teto impeso, los mágenes supeioes e infeioes deben tene cm cada uno los lateales cm. Se piden las dimensiones de la oja, paa que el gasto de papel sea mínimo. Qué popones paa esolve este poblema? Cuál es la infomación de la que dispones? Se puede establece una función que nos de la solución? Poblemas como los dos anteioes, que se esolveán más adelante, consisten en obtene el máimo o el mínimo. En el pimeo se desea el volumen máimo, en el segundo, que el gasto de papel sea mínimo. Como este, eisten gan vaiedad de poblemas en los que se buscan maimiza o minimiza áeas, volúmenes, tiempos, costos, gastos, mateial, velocidades, etc. En este capítulo apendeás a calcula el máimo o el mínimo de una función en el siguiente esolveás poblemas de aplicación como los dos planteados al inicio. plicando la deivada de una función, deteminamos los intevalos en que la función es ceciente o dececiente, aoa la utilizaemos paa analiza los puntos en que la función

2 cambia de ceciente a dececiente o vicevesa, geneando los puntos máimos o mínimos de una función. Un máimo un mínimo, no significa que sean el mao o el meno valo de la función, po eso se especifica qué son máimos mínimos locales o también máimos mínimos elativos no deben confundise con los puntos cua odenada es la mao o la meno de la gáfica completa. Los valoes de donde eiste un máimo o un mínimo elativo de la función, se les define como valoes cíticos a los puntos coespondientes se les define como puntos cíticos. En un máimo elativo, la función cambia de ceciente a dececiente, es deci, la deivada cambia de un valo positivo a un valo negativo: En un mínimo elativo, la función cambia de dececiente a ceciente, es deci, la deivada cambia de un valo negativo a un valo positivo: Máimos Y Mínimos (Citeio De La Pimea Deivada) Una función = f () tiene un máimo o un mínimo elativo en un punto = 0, cuando f (0) es mao o meno que los valoes de la función paa los puntos inmediatamente anteioes posteioes al consideado. En siguiente figua, la cuva tiene tangente oizontal (m=0) en los puntos b c, los valoes de paa los cuales la función f() es estacionaia (f () = 0), eciben el nombe

3 de valoes cíticos (b c) los puntos coespondientes de la cuva donde ocuen los máimos o mínimos (j, k) el de puntos cíticos. En la figua anteio, j(b, f(b)) es un máimo elativo de la cuva a que f(b) es mao que cualquie f() en su vecindad. En estas condiciones, = f() tiene un máimo elativo igual a f(b) en = b. en la misma figua, k(c, f(c)) es un mínimo elativo de la cuva puesto que f(c) es meno que cualquie f() en su vecindad. Po tanto, = f() tiene un mínimo elativo igual a f(c) en = c. obsévese que j es el punto de unión de un aco aj ascendente (f () > 0) oto aco je descendente (f () < 0), mientas que k une un aco ek descendente (f () < 0) con oto k ascendente (f () > 0). En el punto e, se unen dos acos descendentes, po consiguiente, en el no abá ni máimo ni mínimo elativo a este punto se le llama punto de infleión. Paa detemina los máimos mínimos elativos de una función f() continua podemos usa el citeio de la pimea deivada. la función inicial = f() le llamamos función oiginal. Citeio de la pimea deivada Paa el caso de los máimos mínimos elativos de una función, los podemos alla siguiendo los citeios de la pimea deivada o la segunda deivada.

4 Los máimos mínimos elativos de una función se localizan en los puntos de tangencia oizontal, es deci en los puntos en los cuales la pimea deivada de la función se anula, es deci, es igual a ceo. Po lo anteio:. El pime paso es obtene la pimea deivada esa pimea deivada deiva igualala a ceo, esto es f () = 0, obteniéndose una ecuación algebaica cuas soluciones contienen los valoes óptimos. Cada uno de estos valoes óptimos allados se pueba en la pimea deivada.. En la deivada: Pimeo le damos un valo un poco meno que el valo optimo luego un valo un poco mao que el óptimo, si la deivada cambia de negativa a positiva, tendemos un mínimo en ese punto óptimo. Si la deivada cambia de positiva a negativa, tendemos un máimo en ese punto óptimo. Si la función no pesenta un cambio de signo, es deci que va de negativa a negativa o de positiva a positiva, entonces en ese valo citico no tendemos ni máimo ni mínimo sino un punto de infleión.. Halamos los valoes máimos mínimos sustituendo cada uno de los valoes óptimos en la función oiginal. Ejemplos: ) Sea la función = ²- ³ + 9, detemina sus puntos óptimos sean máimos /o mínimos. Qué vas a ace?, Conoces su deivada?, Conoces sus puntos cíticos?, Sabes si es ceciente o dececiente?, En qué intevalos?, Si a un máimo, en qué punto se localiza?, Conoces su gáfica?, La gáfica de la función te audaía a esolve el poblema?, Conoces algún pocedimiento paa esolve el poblema? Con los conocimientos pevios, escibe un plan de solución paa tu poblema, odenándolos según pioidades. Sea la función = ²- ³ + 9; paa obtene sus máimos /o mínimos, aplicamos el citeio de la pimea deivada: = ²- ³ + 9 º Calcula la deivada = 6-6² + º Iguala esta deivada a ceo, 0-6² = 0 Podemos esolve esta ecuación cuadática usando la fomula geneal o mediante factoización la epesión anteio e igualando a ceo cada facto se obtienen los valoes cíticos. Usando la fomula geneal, siendo a = - 6, b = 6, c = = b ± b ac a

5 = 6 ± 6 ( 6)() ( 6) = 6 ± 6 ± 8, = = = = 6 8 = = = Oto método: si factoizamos obtenemos: -(+) (-) = 0 Igualando a ceo cada facto, obtenemos: + = 0, se obtiene = -. oa, = 0, esulta =. Valoes cíticos = -, = Obsévese que cuando la gáfica de la deivada cuza al eje, en la gáfica de la función oiginal ocue un máimo o un mínimo. De lo anteio podemos ve que la función oiginal es dececiente ( m = -) de (-,-], es ceciente (m = +) de [-, ] es dececiente ( m = -) de [, + ). 5

6 nalizando el valo cítico = - Consideando un valo un poco meno Consideando un valo un poco mao. 0.8 Tomándolo del intevalo (-, -] tomándolo del intevalo [-, ] Y lo sustituimos en tenemos: lo sustituimos en tenemos: = 6-6² + = 6-6² + = 6(-.) 6(-.)² + = 6(-0.8) 6(-0.8)² + = = = -.8 =.6 Como 0 La función es DECRECIENTE. Como 0 La función es CRECIENTE. MÍNIMO poque cambio de - a + La función = ²- ³ + 9 tiene un valo MÍNIMO paa el valo cítico = -. Sustituendo el valo cítico en la función oiginal, se obtiene el valo MÍNIMO de = -6. = ²- ³ + 9 = (-) - (-) + (-) 9 = = 5 = -6 nalizando el valo cítico = Consideando un valo un poco meno Consideando un valo un poco mao.8. Tomándolo del intevalo [-, ] Y lo sustituimos en tomándolo del intevalo [, + ) tenemos: lo sustituimos en = 6-6² + = 6-6² + = 6(.8) 6(.8)² + = 6(.) 6(.)² + = = = +.6 = -.8 Como 0 Como 0 La función es CRECIENTE. tenemos: La función es DECRECIENTE. MÁXIMO poque cambio de + a - La función = ³ - 9² + tiene un valo MÁXIMO paa el valo cítico =. 6

7 Sustituendo el valo cítico en la función, se obtiene el valo MÁXIMO de =. = ²- ³ + 9 = () - () + () 9 = = 6 5 = En base a lo anteio podemos conclui que el valo MÁXIMO de la función, se encuenta en el punto (,) que el valo MÍNIMO de la misma, se encuenta en el punto (-, -6). ) Sea la función = ³ 9² +, detemina sus puntos óptimos sean máimos /o mínimos. Sea la función = ³ - 9 ² + ; paa obtene sus máimos /o mínimos, aplicamos el citeio de la pimea deivada: = ³ - 9² + º Calcula la deivada = 6² º Iguala esta deivada a ceo, 0 6² = 0 Podemos esolve esta ecuación cuadática usando la fomula geneal o mediante factoización la epesión anteio e igualando a ceo cada facto se obtienen los valoes cíticos. Usando la fomula geneal, siendo a =6, b = -8, c = = b ± b ac a Si factoizamos obtenemos: 6(-) (-) = 0 Igualando a ceo cada facto, obtenemos: = 0, se obtiene = oa, = 0, esulta =. 7

8 Valoes cíticos =, = Obsévese que cuando la gáfica de la deivada cuza al eje, en la gáfica de la función oiginal ocue un máimo o un mínimo. De lo anteio podemos ve que la función oiginal es ceciente (m = +) de (-,], es dececiente (m = -) de [, ] es ceciente (m = +) de [, + ). nalizando el valo cítico = Consideando un valo un poco meno Consideando un valo un poco mao 0 Tomándolo del intevalo (-,] tomándolo del intevalo [, ] Y lo sustituimos en tenemos: lo sustituimos en Como 0 Como 0 tenemos: 8

9 La función es CRECIENTE. La función es DECRECIENTE. MÁXIMO poque cambio de + a - La función = ³ - 9² + tiene un valo MÁXIMO paa el valo cítico =. Sustituendo el valo cítico en la función oiginal, se obtiene el valo MÁXIMO de =. = ³ - 9² + = ()³ - 9()² + () = = = nalizando el valo cítico = Consideando un valo Tomándolo del intevalo [, ] Y lo sustituimos en tenemos: Consideando un valo tomándolo del intevalo [, + ) lo sustituimos en tenemos: Como 0 Como 0 La función es DECRECIENTE. La función es CRECIENTE. MÍNIMO poque cambio de a + La función = ³ - 9² + tiene un valo MÍNIMO paa el valo cítico =. Sustituendo el valo cítico en la función, se obtiene el valo MÍNIMO de =. = ³ - 9² + = ()³ - 9()² + () = = 0 9 = En base a lo anteio podemos conclui que el valo MÁXIMO de la función, se encuenta en el punto (, ) que el valo MÍNIMO de la misma, se encuenta en el punto (,). 9

10 ) Encuente los valoes máimo mínimo absoluto de la función f. º Calcula f º Iguala 0 0 Resolviendo la ecuación esultante se obtiene el valo cítico =. Obsévese que cuando la gáfica de la deivada cuza al eje, en la gáfica de la función oiginal ocue un máimo o un mínimo. De lo anteio podemos deci que la función es dececiente de (-,], es ceciente de [, + ). nalizando el valo cítico = Consideando un valo. 8 Consideando un valo. Tomándolo del intevalo (-,] Y lo sustituimos en tenemos: Como 0 Como 0 tomado del intevalo [, + ) lo sustituimos en tenemos: 0

11 La función es DECRECIENTE. La función es CRECIENTE. MÍNIMO poque cambió de a + La función f tiene un valo MÍNIMO paa el valo cítico =. Sustituendo el valo cítico en la función, se obtiene el valo MÍNIMO de = 8. = ² - + = () - () + = = 6 8 = 8 En base a lo anteio podemos conclui que el valo MÍNIMO de la función, se encuenta en el punto (, 8). 5 ) Dada la función f ( ) 6 6 estudia su monotonía (intevalos de cecimiento dececimiento) detemina los puntos cíticos decide si son máimos, mínimos o puntos de infleión. Pimeo deivando la función oiginal e igualándola a ceo: 5 f '( ) () () 6() 6() f '( ) 6 0 Resolviendo esta ecuación algebaica, cuas soluciones son los divisoes de 6: ±, ±, ±, ±, ±6, ±9, ±, ±8, ±6. Sustituendo estos valoes en la deivada paa ve si la anulan: f '() () () () f '( ) ( ) f '() f '( ) ( ) f '() () () f '( ) ( ) f ') () () f '( ) ( ) ( ) () () ( ) () ( ) () ( ) ( ) 6 6 () ( ) ( ) ( )

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13 Obsévese que cuando la gáfica de la deivada cuza al eje, en la gáfica de la función oiginal ocue un máimo o un mínimo. MÁXIMOS Y MÍNIMOS PLICNDO EL CRITERIO DE L SEGUND DERIVD: º Se obtiene la pimea deivada de la función. º La pimea deivada se iguala a ceo se calculan las aíces eales de la ecuación esultante, que epesentan los valoes cíticos de la ecuación. º Se obtiene la segunda deivada de la función.

14 º Se sustitue en la segunda deivada, en el luga de la vaiable, cada uno de los valoes cíticos obtenidos; si el valo esultante es positivo, la función tiene un MÍNIMO paa el valo cítico que se está analizando; si el esultado es negativo, la función tiene un MÁXIMO paa el valo cítico que se analiza, si el valo de la segunda deivada es ceo, no podemos deci si eiste máimo o mínimo, o posiblemente ni uno ni oto. El pocedimiento de la segunda deivada, no es aplicable, si la segunda deivada es igual a CERO o no eiste, en tal caso se aplica el pocedimiento de la pimea deivada. Paa compoba los ejemplos desaollados con el citeio de la pimea deivada, aoa los esolveemos con el citeio de la segunda deivada, aciendo nota que los pasos de ambos citeios son iguales. Ejemplo : Sea la función 9 ; paa obtene sus máimos /o mínimos, aplicamos el citeio de la pimea deivada: 9 º Calcula 6 8 º Iguala Factoizando la epesión anteio e igualando a ceo cada facto se obtienen los valoes cíticos. (-) (-) = 0 Valoes cíticos =, = º Calcula 8 nalizando el valo cítico = nalizando el valo cítico = Como 0 Como 0 La función tiene un MÁXIMO. La función tiene un MÍNIMO.

15 La función 9 tiene un valo MÁXIMO paa el valo cítico =. Sustituendo el valo cítico en la función, se obtiene el valo MÁXIMO de =. La función 9 tiene un valo MÍNIMO paa el valo cítico =. Sustituendo el valo cítico en la función, se obtiene el valo MÍNIMO de =. En base a lo anteio podemos conclui que el valo MÁXIMO de la función, se encuenta en el punto (, ) que el valo MÍNIMO de la misma, se encuenta en el punto (,). Ejemplo.- Encuente los valoes máimo /o mínimo absoluto de la función f. º Calcula f º Iguala 0 0 Resolviendo la ecuación esultante se obtiene el valo cítico =. º Calcula nalizando el valo cítico = Como 0 La función tiene un MÍNIMO. La función f tiene un valo MÍNIMO paa el valo cítico =. Sustituendo el valo cítico en la función, se obtiene el valo MÍNIMO de =. 5

16 En base a lo anteio podemos conclui que el valo MÍNIMO de la función, se encuenta en el punto (, ). Ejemplo.- Eamine la función detemine si tiene máimo o mínimo: º Calcula º Iguala 0 0 Resolviendo la ecuación esultante se obtiene el valo cítico =. º Calcula nalizando el valo cítico = Como 0 La función tiene un MÍNIMO. La función tiene un valo MÍNIMO paa el valo cítico =. Sustituendo el valo cítico en la función, se obtiene el valo MÍNIMO de = -. En base a lo anteio podemos conclui que el valo MÍNIMO de la función, se encuenta en el punto (, -). Eamine si tienen máimo o mínimo las siguientes funciones: a) 6 f) f b) 7 g) f c) ) f d) 0 6

17 e) 5 Solución.- Sabemos que una función es ceciente en un punto si su deivada es positiva en dico punto en consecuencia seá ceciente en un intevalo cuando su deivada sea positiva en todos los puntos de dico intevalo(análogamente se dice paa dececiente). Po tanto tendemos que calcula los puntos en los que la deivada de la función es ceo a pati de aquí (po se continua la función deivada) detemina en qué intevalos la deivada es positiva po tanto la función ceciente en que intevalos la deivada es negativa en consecuencia la función es dececiente. f ( ) 0 0. Estudiamos pues el signo de la deivada en, f 0 f ceciente en, f 0 f, f 0 f ceciente dececiente en Como la función en pasa de ceciente a dececiente, () Máimo elativo que vale:( f ( ) ). Como la función en pasa de dececiente a ceciente, () Mínimo elativo que vale:( f ( ) 0 ). f tiene en f tiene en un un 7

18 (-,) P f() cece decece cece Q (,0) La pincipal utilidad al obtene los puntos máimos mínimos de una función, así como los intevalos donde es ceciente dececiente es paa ealiza un esbozo geneal de la gáfica de la función, sin embago, en poblemas de aplicación el objetivo pincipal es detemina los valoes máimos o mínimos que optimicen el poblema. Paa detemina los puntos máimos mínimos de una función, así como los intevalos donde es ceciente dececiente, se emplea el pocedimiento utilizando el citeio de la pimea segunda deivada. Ejemplo: Obtenga los puntos máimos mínimos de la función f() = 9 +, así como los intevalos en los cuales es ceciente dececiente. Deivando la función f () = 6 9 Igualando con ceo la pimea deivada 6 9 = 0 Simplificando esolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los puntos cíticos = 0 8

19 ( )( + ) = 0 -=0 +=0 = =- Calculando la segunda deivada de la función f () = 6 6 Valuando la segunda deivada en los puntos cíticos. X f () = 6 6-6(-)-6=- f () < 0 entonces se tiene un máimo en = 6()-6= f () > 0 entonces se tiene un mínimo en = Valuando los puntos cíticos en la función oiginal, se tiene el valo de sus odenadas f() = ( ) ( ) -9(-)+= 8 Entonces se tiene un máimo en (-,8) () 9() + = Entonces se tiene un mínimo en (,-) pati de estos datos, se deteminan los intevalos donde la función es ceciente o dececiente, es impotante tene en cuenta que estos mismos intevalos también es posible obtenelos mediante la pimea deivada de la función. La función es ceciente en: (, ) en (, ) La función es dececiente en: (,) Se deja al estudiante el tazo de la gáfica. Ejecicios: Tace la gáfica de las siguientes funciones deteminando sus puntos máimos mínimos, así como los intevalos en los cuales es ceciente dececiente.. f() = + 6 R: D (, ), Min(,0), C(, ). f() =. f() = 8. f() = 7 + 9

20 5. f() = R: C(, ), má(,9), D(, ) Poblemas. Calcula los maimos minimos - de cda una de las funciones siguientes : Solución. Má. paa. Min. 0 paa. Má. 7 paa. Min. -0 paa -. No tiene ni máimos ni minimos. Má. paa. Min. 0 paa 0. Min. 0 paa 0. Min. - 5 paa 0. Má. 0 paa. Min. - paa. Má. 0 paa 0. Min paa. Poblemas de plicación Páctica de Máimos Mínimos lgunos poblemas de planteo en los cuales la solución es un máimo o un mínimo, pueden esolvese con la teoía que se a desaollado asta el momento. La aplicación pincipal de este tipo de poblemas se pesenta en poblemas de optimización, en los cuales se pide obtene uno o vaios valoes máimos o mínimos. No eiste un método geneal que se pueda aplica paa esolve 0

21 todos los poblemas de este tipo, peo en el libo de teto se acen algunas ecomendaciones que el estudiante puede consulta. Po poblema páctico entendemos un poblema que puede sugi en la vida cotidiana. Tales poblemas en aas ocasiones tienen puntos singulaes; po lo egula en éstos los valoes máimos mínimos se pesentan en puntos estacionaios, aunque también debeán compobase los puntos fontea. Ejemplo: Un poectil es dispaado siguiendo una taectoia paabólica, dada po la ecuación = t + 8t, donde es la altua en metos t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altua máima el valo de ésta. En este caso la función objetivo a maimiza es = t + 8t Deivando la altua con especto al tiempo, igualando a ceo esolviendo la ecuación = t + 8 t + 8 = 0 t = Po lo tanto el punto cítico se pesenta cuando t= La segunda deivada es = En el punto cítico () = < 0 entonces en t= la función pesenta un máimo. Sustituendo t en se obtiene = () +8()- =, po lo tanto el poectil tada segundos en alcanza la altua máima que es de metos. Es posible esolve poblemas en los que se buscan valoes máimos o mínimos, si podemos epesalos mediante una función de dos vaiables. En los poblemas de máimos mínimos se sigue, po egla geneal la siguiente noma: epesa la función cuos valoes etemos se buscan, en téminos de una sola vaiable independiente, convenientemente escogida; anula la deivada de la función especto a dica vaiable, despeja ésta. En mucos casos el mismo poblema indica si se tata de una valo máimo o un mínimo. En los casos dudosos, ecúase al citeio de la segunda deivada, ecodando que, si ésta es positiva, a un mínimo; si es negativa a un máimo. Ejemplo.- Una multinacional a estimado que anualmente sus ingesos en vienen dados po la función: I , mientas que sus gastos(también en ) vienen dados po la función G ( ) , donde epesenta la cantidad de unidades vendidas. Detemina:

22 a) la función que define el beneficio anual en. b) la cantidad de unidades que deben se vendidas paa que el beneficio sea máimo. c) el beneficio máimo. Solución.- a) Los beneficios de una empesa vienen dados po la difeencia ente los ingesos los gastos anuales,es deci: B ( ) I( ) G( ) b) Queemos obtene el máimo de la función B ( ) 000 Calculamos los puntos cíticos: B() paa ello calculamos: Compobamos con el citeio del signo de la segunda deivada que es un máimo: B ( ) B (750) en a máimo Paa obtene el máimo beneficio se an de vende 750 unidades. c) Paa calcula el beneficio máimo evaluamos la función del beneficio en B ( 750) diez miles de euos (750,80) P B() Un eladeo a compobado que, a un pecio de 50 céntimos de euo la unidad, vende una media de 00 elados diaios. Po cada céntimo que aumenta el pecio, vende dos elados menos al día. Si el coste po unidad es de 0 céntimos, a qué pecio de venta es máimo el beneficio diaio que obtiene el eladeo? Cual seá ese beneficio?

23 Solución: Llamamos al númeo de céntimos en los que aumenta el pecio. sí, cada elado costaá 50 + céntimos; vendeá 00 - elados diaios. Po tanto, po la venta de los elados obtendá unos ingesos: I () = (50 + ) (00 - ) Peo tiene unos gastos de: G () = (00 - ) 0 Luego, el beneficio seá de: B () = I () - G () = (50 + ) (00 - ) - (00 - ) 0 = (00 - ) ( ) = = (00 - ) ( + 0) = Hallamos paa que el beneficio sea máimo: B '() = B '() = = 0 = 5 B ''() = -; B ''(5) < 0 en = 5 a un máimo Po tanto, obtendá el máimo beneficio vendiendo cada elado a céntimos de euo. En este caso, el beneficio seía de B (5) = céntimos, es deci, de 60,50 euos. Una ueta tiene actualmente áboles, que poducen 600 futos cada uno. Se calcula que, po cada ábol adicional plantado, la poducción de cada ábol disminue en 5 futos. Cuál debe se el númeo total de áboles que debe tene la ueta paa que la poducción sea máima? Cuál seá esa poducción? Solución: Llamamos al númeo de áboles que se plantan. Tenemos que el númeo de futos seía: f () ( ) (600 5) Buscamos paa que f () sea máima: f ' () 0 0 f ' Veamos que es un máimo: 0 0 f '' () 0 ; f '' (8) 0 < 0 en 8 a máimo. (Como f () coesponde a una paabola invetida, en 8 está el máimo absoluto). Po tanto, se deben planta 8 áboles. sí, abá un total de 8 áboles, que poducián 5 60 futos. El lado de un cuadado tiene una longitud de metos. Ente todos los cuadados

24 inscitos en el cuadado dado, alla el de áea mínima: Solución: Si llamamos a la distancia de uno de los vétices del cuadado inscito, al vétice más póimo del cuadado oiginal (como indica la figua), tenemos que el áea del cuadado inscito seá: Áea l ( ) ; 0 Buscamos paa que el áea sea mínima: () ( ) ' () ( ) () 8 8 ' () Compobamos que es el mínimo: '' (), '' () > 0 en a mínimo (0) () 6 Po tanto, el mínimo se alcanza en, que coesponde al cuadado de lado: l 8,8 metos, cua áea es de 8 m Un depósito abieto de latón con base cuadada capacidad paa 000 litos, qué dimensiones debe tene paa que su fabicación sea lo más económica posible?

25 Solución: Llamamos al lado de la base e a la altua del depósito. sí, el volumen es: 000 V 000 dm La supeficie total del depósito (ecodemos que está abieto) seá: ; 0 Buscamos paa que sea mínima: ' ' dm Veamos que es un mínimo: 000 ' ', '' 0 0 en 0 a mínimo Po tanto, el lado de la base debe medi 0 dm la altua, 0 dm. Ejemplo. Encuente las dimensiones de un ectángulo con áea máima si el peímeto tiene que se de 000 metos. Solución.. Se taza un diagama del teeno, estableciendo el valo de paa la medida de uno de sus lados: 5

26 . oa, sabiendo que la suma de los lados es 000 que la altua del ectángulo es, encontamos que los otos dos lados deben suma sí, cada uno de estos lados mide (000-)/.. El áea, que debe se máima, indicada como función de es. Haciendo algunas opeaciones se tiene que ()= Como se tata de maimiza el áea, deivamos la función que la epesenta la igualamos a ceo: ()=500-=0. 6. Resolviendo: 500-=0; o sea = 500 = Uno de los lados del ectángulo (la altua) mide =50 metos. El oto lado (la base) mediá (000-)/= ( )=50; es deci, también mediá 50 metos. 8. Po lo tanto, paa que el áea sea máima cuando el peímeto se fija en 000 metos, el teeno debeá se un cuadado de 50 metos po lado. Ejemplo. Se quiee constui una caja abieta utilizando una pieza cuadada de catón de pies de lado, cotando un cuado en cada una de las esquinas doblando acia aiba los lados. Enconta el máimo volumen que la caja esultante puede tene. Solución: 6

27 . Dibujando la pieza de catón de pies po lado, con los cuados po ecota de pies po lado cada uno, luego tazando también el catón a ecotado, se tiene:. oa bien, el volumen de la caja se calcula usando la fómula del volumen de un pisma, es deci, áea de la base po la altua. Po lo tanto, en función de, el volumen es: V()=(-).. Realizando opeaciones se tiene: V()= (9-+ )= Deivando, se tiene: V ()= Buscando el máimo, igualamos a ceo la deivada esolvemos: 0= -+9 0= -8+ 0=(-)(-) 7

28 =/ o =/ 6. Claamente =/ no puede se solución poque, en ese caso, la dimensión (-) seía ceo la caja no tendía ningún volumen. 7. En cambio =/ nos da un volumen de: V()= - +9=(/8)- (/)+9(/)=(/)-+(9/). 8. Po lo tanto, el máimo volumen posible de acuedo a las condiciones del poblema, seá pies. Ejemplo. Los costos de una fima manufactuea, dados como una función de su poducción q, están epesentados po C= (/)q 6q + 0q + 50 Suponiendo condiciones de competencia pefecta, tal que el pecio p=0 no se ve afectado po la cantidad que llega al mecado que toda la poducción de la fima es vendida, los ingesos po ventas son R=0q. Entonces, las utilidades son: U(q)=R-C Enconta el valo de q que maimice las utilidades. Solución.. Función de utilidades:. La pimea deivada de la función con especto a q es: U (q)=0-q +q-0= -q +q-0.. Igualando a ceo esta deivada esolviendo se tiene: 8

29 -q +q-0=0, o sea q -q+0=0. Factoizando: (q-)(q-0)=0. Ha dos soluciones a la ecuación: q= q=0. Po ello es necesaio utiliza el citeio de la segunda deivada. U (q)= -q+. 5. En q=, la segunda deivada es positiva, lo cual indica que aí eiste un mínimo. En q=0, esta es negativa, lo que indica un máimo. 6. Po lo tanto, la solución es q=0. El nivel de utilidades en este punto es U=6.66. Ejemplo. Una compañía fabica altenadoes paa automóvil, su poducción está pacialmente automatizada usando obotes. La opeación diaia cuesta $00 po obeo $6 po obot. Paa enconta la combinación adecuada, la compañía calcula que las cantidades de obeos obotes tiene que satisface la condición =0 000 Donde es el númeo de obeos el númeo de obotes. Suponiendo que la compañía desea establece su sistema de poducción al mínimo costo, cuántos obeos cuántos obotes debeía utiliza? Solución.. Las vaiables desconocidas son.. El costo de la jonada de tabajo es C= Eiste la esticción de que =0 000 de que >0, >0.. Po lo tanto, se tata de minimiza la función C=00+6, sujeta a =0 000, >0, >0. 5. Con el fin de epesa C en función sólo de, despejamos de la esticción: 9

30 =0 000/ 6. Po lo que C= 00+ (60 000/). La deivada es C'() = 00-60, Igualando a ceo la pimea deivada esolviendo, se tiene: 0 = = 60,000 60, = 60,000 =,600 O sea =0 tabajadoes. 8. El valo coespondiente a se obtiene: = 0,000/ = 0,000/0 = 50 obotes. 9. Finalmente, el mínimo costo C se obtiene sustituendo =0 =50 en la función po minimiza: C = = 00(0) + 6(50) = $8, Usted puede veifica que el punto encontado (0,50) es efectivamente un mínimo gaficando la función objetivo: C = ,000 0

31 Ejemplo: Halla las dimensiones de una caja sin tapa de 08 cm de volumen que tiene la foma de un pisma ecto de base cuadada, paa que en su constucción se emplee la meno cantidad posible de mateial. Consideando la figua 7, se tiene. Figua 7. Si = lado de la base v = 08, la altua seá de 08/ Entonces el áea equeida es = + ( 08/ ) = + / = + - donde debe se tal que sea un mínimo. Deivando la función tenemos: d d d = d d d = - = - Igualando a ceola deivada, esulta: = 0 = 0 = = 6 = 6 Paa sabe si se tata de un máimo o un mínimo toma un valo ligeamente meno oto ligeamente mao sustitui en d / d.

32 Paa = 5 d (5) valo d 5 paa 7 negativo d (7) 6.5 valo positivo. d 5 Po lo tanto paa = 6 la función tiene un mínimo. Entonces el lado de la base mide 6 cm. Y la altua = 08/6 = cm. Su áea seá = 6 + () = 08 cm En la siguiente gáfica de la figua 8, se pesenta el compotamiento de la función = + / Figua 8. Se obseva que la función tiene un mínimo en el punto T Ejemplo Demosta que si se equiee constui un bote de ojalata ceado, en foma de cilindo cicula ecto de un lito de capacidad gasta la meno cantidad posible de ojalata, se equiee que la altua sea igual a diámeto de la base. Consideando la figua 9, tenemos:

33 d d d d d d Figua 9. = adio de la base = altua El áea toal del cilindo seá. = + Como la capacidad del bote es de un lito, po consiguiente su volumen equivale a un decímeto cúbico. Entonces, si V = π π = = π Sustituendo la ecuación de la altua en la ecuación del áea, esulta - Deivando la función obtenida paa, se tiene: - - Igualando a ceo la deivada esulta: π - = 0 π - = 0 ; π = = π - - ; = π = π Obtene la segunda deivada paa sabe si se tata de un máimo o un mínimo.

34 d - d d - d d d d d Sustituendo = (/) en la segunda deivada esolviendo su valo tenemos: d 7.68 es positivo. d Como el valo es positivo, se pesenta un mínimo. Paa obtene la altua, sustituimos = ( /) en la ecuación = /( ), de donde = ( /) Compaando este valo de con el diámeto esulta = (/) Luego, =, lo que significa que la altua es igual al diámeto, que es lo que se quiee demosta. Podemos compoba que el bote cilíndico con estas dimensiones tiene una capacidad de un lito, aplicando la fómula del volumen de un cilindo. V V de donde V V PLTOS, NTENS PRBÓLICS, FROS DE LUZ Hasta este punto emos manejado téminos como ceciente, dececiente, máimo, mínimo, cítico; que desde el punto de vista matemático emos definido. Los téminos concavidad e infleión se pesentan aoa, vamos a ve cómo se definen de acuedo a un diccionaio compaalos con su definición matemática. De un diccionaio obtén la definición de las siguientes palabas: Ceciente:

35 Dececiente: Máimo: Mínimo: Cítico: Concavidad: Infleión: Busca en un diccionaio de sinónimos antónimos las siguientes palabas: Ceciente: Dececiente: Máimo: Mínimo: Cítico: Concavidad: Infleión: Deduce conclusiones de las actividades ) ) coméntalas con tus compañeos. Obseve la cuva definida po = f () que se muesta en la gáfica. Y C B X Sabemos que en el punto la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquieda de es positiva a la deeca es negativa, po lo tanto la cuva en el punto es cóncava acia abajo. En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquieda de es negativa a la deeca es positiva, po lo tanto la cuva en el punto B es cóncava acia aiba +. En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquieda es positiva a la deeca también es positiva, es deci no cambia de signo, 5

36 sólo cambia el sentido de concavidad, po lo tanto no eiste ni máimo, mínimo, a este punto se le define como PUNTO DE INFLEXIÓN. Paa calcula el sentido de concavidad de una función sigamos el poceso de la segunda deivada: º Calcula la pimea segunda deivada de la función. º Iguala la segunda deivada a ceo obtene las aíces (puntos cíticos) de la ecuación esultante. º nalizamos la segunda deivada; si paa un valo meno que la aíz obtenemos un esultado NEGTIVO la cuva es CÓNCV HCI BJO º Si el esultado es POSITIVO, la cuva es CÓNCV HCI RRIB. Dico de ota manea: Si f () > 0, es condición paa que una cuva sea CÓNCV HCI RRIB + Si f () < 0; es condición paa que una cuva sea CÓNCV HCI BJO Paa detemina los puntos de infleión de una CURV se sigue el mismo poceso anteio, sólo que el punto tes tiene una vaiación: Calcula la pimea segunda deivada de la función. Iguala la segunda deivada a ceo obtene las aíces (punto cítico) de la ecuación esultante. nalizamos la segunda deivada. Si paa un valo meno que la aíz paa oto valo mao que la aíz cambia de signo al sustitui los valoes en la segunda deivada, entonces a punto de infleión en el punto cítico analizado. Ejemplo.- Calcula la concavidad de la función 6, el punto de infleión si eiste. 6 º Calcula Calcula 6 º Iguala Resolviendo la epesión anteio se obtiene el valo cítico. De lo anteio podemos deci que la función cambia de,, de,. 6

37 nalizando el valo cítico Consideando un valo 0 Consideando un valo Tomándolo del intevalo lo sustituimos en, tomándolo del intevalo tenemos: lo sustituimos en Como 0 6 Como 0, tenemos: La cuva es: La cuva es: CÓNCV HCI BJO. CÓNCV HCI RRIB. En base a que la concavidad de la cuva cambia, podemos conclui que paa el valo cítico, la función tiene un punto de infleión. Ejemplo.- Calcula la concavidad de la función eiste. - -, el punto de infleión si º Calcula - Calcula º Iguala 0 0 Factoizando la epesión anteio e igualando a ceo, se obtienen los valoes cíticos. 0 Valoes cíticos = -, = De lo anteio podemos deci que la función cambia de (-,-), (-, ) de (, + ). nalizando el valo cítico = - Consideando un valo Consideando un valo 0 Tomándolo del intevalo (-,-) tomándolo del intevalo (-, ) Y lo sustituimos en tenemos: lo sustituimos en tenemos: 7

38 0 0 6 Como 0 0 Como 0 La cuva es: CÓNCV HCI RRIB. La cuva es: CÓNCV HCI BJO. Debido a que la concavidad de la cuva cambia, podemos conclui que paa el valo cítico, la función tiene un punto de infleión. 0 Consideando un valo Tomándolo del intevalo (-, ) Y lo sustituimos en nalizando el valo cítico = Consideando un valo tomándolo del intevalo (, + ) tenemos: lo sustituimos en Como 0 Como 0 tenemos: La cuva es: CÓNCV HCI BJO. La cuva es: CÓNCV HCI RRIB. Debido a que la concavidad de la cuva cambia, podemos conclui que paa el valo cítico, la función tiene un punto de infleión. Calcula el sentido de concavidad puntos de infleión de las funciones siguientes, en los puntos que se indican. a) = ³ + ² - en = -, = 0 Sol. + b) f () = ³ - ² + en = - /5; = 0; = Sol. ; + c) = ³ - 6² en = - ; = 0 Sol. ; 8

39 Calcula en qué intevalos las cuvas siguientes son cóncavas acia aiba o cóncava acia abajo. d) 6 Sol., a la izquieda de = +, a la deeca de = e) 5 f) f 5 Sol. +, a la izquieda de = 0, a la deeca de = Sol., a la izquieda de = + PROBLEMS DE M XIMOS Y MI NIMOS. Halla un númeo positivo cua suma con 5 veces su ecípoco sea mínima. S S S ; S S 0 Solución. Descompón el númeo 50 en dos sumandos de tal foma que la suma de sus cuadados sea mínima. 50 S S ; 50 S 50 S S Solución 5; Descompón el númeo en dos sumandos, tales que la suma del quíntuplo del cuadado del pimeo más el sétuplo del cuadado del segundo sea mínimo. S 5 6 S S 0 0 S S Solución ; De todos los tiángulos isósceles cua base altua suman 0m, qué base tiene el de áea máima? 9

40 0 0 0; b Solución b b b 5. Halla las dimensiones del mao ectángulo inscito en un tiángulo isósceles de 0 cm de base 5 cm de altua. 5 5; Solución 6. Dado un cículo de adio dm, inscibe en él un ectángulo de áea máima. 0 0; Solución 7. Dada una lámina cuadada de m de lado, calcula la longitud del lado del cuadado que se a de cota en las cuato esquinas, paa constui una caja abieta, de volumen máimo. OJO! ; Solución Má V V V V V b

41 8. Un pasto dispone de 000m de tela metálica paa constui una ceca ectangula apovecando una paed a eistente. Halla las dimensiones de la ceca paa que el áea enceada sea máima Má Solución 500; Se quiee constui un maco paa una ventana de m de áea. Si el coste del maco es de 8 céntimos po cada meto de altua de ventana de 50 céntimos po cada meto de ancua, cuáles son las dimensiones del maco más económico? OJO! C 00 C 00 C C C 0,6 0 0 Mín Solución ; 0, ,6 0. Se desea constui un embudo cónico de geneatiz 0 cm. Detemina la altua del embudo, de modo que su volumen sea máimo.

42 Solución Má V V V V V V b. Una fábica de envases metálicos desea constui un bote cilíndico ceado de dm de volumen, de modo que sea mínima la cantidad de mateial empleado en su constucción. Detemina cuáles deben se las dimensiones de dico envase. 0 total total total b 0 8 Solución Mín. Se quiee ace una piscina con foma de paalelepípedo ectangula de base cuadada, de modo que su volumen sea máimo, siendo la supeficie total de la piscina de 9 m. Halla las dimensiones que debe tene la piscina.

43 l Solución Má V l V l l V l l l l l V l l l l l l l V b. El eglamento de coeos de un cieto país autoiza paquetes otoédicos (paalelepípedos donde todas sus caas son ectángulos) cua suma de lago, anco gueso no eceda de 8 dm. Calcula cuáles deben se las dimensiones de un paquete de igual anco que gueso, paa que el volumen que se puede envia po coeos sea máimo z Solución Má V V V z V z z z. Halla el punto de la paábola que está más ceca del punto,0

44 " " ,, poque petenecea mismo el Solución Mín d d P d paábola de la puntos P 5. Se considea una ventana ectangula ematada en la pate supeio po un tiángulo equiláteo. Sabiendo que el peímeto de la ventana es de 6,6m, alla sus dimensiones paa que su supeficie sea máima. 0,98,55 0,55 6 6, ,6,,, :, 6,6 6,6 Solución Má Pitágoas 6. Halla la base la altua de una catulina ectangula de peímeto 60 cm que, al da la vuelta completa alededo de un lado vetical, genee un cilindo de volumen máimo.

45 V V V b Má Solución V En un jadín eiste un paseo ceado que consta de media cicunfeencia de adio 0 m de su diámeto coespondiente. En el inteio de la figua se va a instala un patee ectangula, uno de cuos lados está sobe el diámeto el opuesto a él tiene sus etemos en la pate cuva. El patee se plantaá de camelias, que ocupan 0,5 m cada una. Cuál es el númeo máimo de plantas que pueden ubicase? (Nótese que el númeo depende del áea del patee) (00 ) Mín Solución N º de camelias : 0, camelias

46 8. Un jadineo desea constui un patee con foma de secto cicula. Si dispone de 0 m de alambe paa odealo, qué adio debe tene el secto paa que el patee tenga la mao supeficie posible? 0 0 el adio Má Solución (Selectividad. Sep 0). Con un alambe de m se desea foma un cuadado un ciculo. Detemina el lado del cuadado el adio del ciculo paa que la suma de sus áeas sea mínima. Solución = página del libo ejecicios esueltos de selectividad 9. (Selectividad. Sep 0). Ente todos los ectángulos de áea dada cuál es el de peímeto mínimo?. Solución = página 7 del libo ejecicios esueltos de selectividad 0. (Selectividad. Junio 0). Detemina el mao áea que puede encea un tiángulo ectángulo cuo lado mao mide m. Solución = página del libo ejecicios esueltos de selectividad. (Selectividad. Sep 0). Se desea constui un paalelepípedo ectangula de 9 litos de volumen tal que un lado de la base sea doble que el oto. Detemina las longitudes de sus lados paa que el áea total de sus 6 caas sea mínima. Ejecicios: Solución = página 5 del libo ejecicios esueltos de selectividad. Un diseñado gáfico tiene que ealiza un tabajo donde tenga 80 cm de mateial impeso, dejando cm de magen supeio e infeio cm de magen izquiedo deeco. Detemine las dimensiones que debe tene el tabajo paa que se utilice la meno cantidad de papel posible. R..95 X. cm. Se desea ceca un teeno utilizando 00 m de ollo de tela de alambe, el teeno cecado debe queda en foma cuadada o ectangula. 6

47 Detemine las dimensiones del teeno de tal manea que el áea cecada sea máima.. Encuente el volumen de la caja sin tapa más gande que se pueda ace con una oja cuadada de catón, de pulgadas de lado, cotando cuadados iguales en las esquinas doblando. R: 0 pulgadas cubicas.. Un poectil es dispaado siguiendo una taectoia paabólica, dada po la ecuación = t + 60t, donde es la altua en metos t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altua máima el valo de esta. 5. Se equiee constui un ecipiente cilíndico sin tapa empleando 80 cm de lámina. Qué dimensiones debe tene el cilindo paa que el volumen contenido en el sea máimo? R., =7. cm Poblema. Enconta dos númeos positivos cua suma sea 9 dado que el poducto del pimeo po el cuadado del segundo es máimo. Poblema. Se va a constui una caja ectangula abieta con base cuadada con una pieza de lámina de 8 pies. Cuáles seán sus medidas si su volumen es el máimo posible? Poblema. Los ingesos semanales que cieta empesa editoial está obteniendo po la venta del más eciente best-selle están definidos po la función: I = -p + p + 9p con (8 p 8) 7

48 Donde p es el pecio en dólaes de cada ejempla. La empesa quiee cambia el pecio del ejempla paa maimiza sus ingesos. Cuál debeía se este nuevo pecio cuál seá el ingeso a loga? Poblema. Suponga usted que se popone fabica vende sillas. Su investigación de mecados le indica que el númeo de sillas que puede vende depende del pecio que usted le asigne a cada una, de acuedo a la siguiente función, conocida como función de demanda: n() = Según esta función, si usted egalaa las sillas tendía que fabica 0000 (poque =0); peo si les asignaa un pecio de $50, no vendeía ninguna [poque =50 ace n()=0]. Usted está buscando un punto medio que le pemita obtene alguna utilidad, sabiendo que pagaá de enta $000 mensuales po el local donde instalaá la fábica que le costaá $ el mateial mano de oba de cada silla. Si la utilidad es igual a los ingesos po venta menos los costos, detemine el pecio que usted fijaía, con el fin de maimiza sus utilidades. Respuestas. Poblema. 6. Poblema. La base mide pies po lado la altua es de pies. Poblema. Nuevo pecio: $.. Máimo ingeso: $ Poblema. =$