Definición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe.

Transcripción

1 CALCULO DIFERENCIAL Definición. Una función f ( ) tiene un máimo absoluto (o máimo global) en c si f ( c ) f ( ) D, donde D es el dominio de f. El numero f ( c ) se llama valor máimo de f en D. De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si. El numero f se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máimo mínimo de f se conocen como valores etremos de f Definición. Una función f posee un máimo local ( o máimo relativo), en c si cuando esta cercano a c. [Esto significa que f ( c ) f ( ) en algún intervalo abierto que contiene a. de manera análoga, f tiene un mínimo local en c si f ( c ) f ( ) cuando esta cerca de Teorema del valor etremo: Si f es continua sobre un intervalo cerrado I a,b, entonces f alcanza un valor máimo absoluto f ( c ) un valor mínimo absoluto f ( d ) en algunos números d a, b c en Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal que f ( c ) 0, ó, f ( c ) no eiste. Definición 4. Si f tiene un etremo local en c, entonces c es un número crítico de f. Método del intervalo cerrado: para hallar los valores máimo mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado a, b: a. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en a,b. b. Halle los valores de f en los puntos etremos del intervalo El mas grande de los valores de los pasos es el valor máimo absoluto; el mas pequeño, el valor mínimo absoluto. Prueba de las funciones decrecientes: a. Si f ( ) 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b. Si f ( ) 0 sobre un intervalo entonces f es decreciente en ese intervalo. Prueba de la primera derivada. Supóngase que c es un número crítico de una función continua f. a. Si f cambia de positiva a negativa en c; entonces f tiene un máimo local en b. Si f cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en Si f no cambia de signo en c, (es decir, f es positiva en ambos lados en c, o negativa en ambos lados), entonces f no tiene máimo ni mínimos locales en Se dice que una función (o su grafica), es cóncava hacia arriba sobre un intervalo I si f es una función creciente sobre I. Se dice que es cóncava hacia abajo sobre I si f es decreciente sobre I.

2 Prueba de la continuida Si f ( ) 0 para todo en I, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba sobre I. Si f ( ) 0 para todo en I, entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo sobre I. Prueba de la segunda derivada. Supóngase que f es continua cerca de a. Si f ( c ) 0 f ( c ) 0 entonces f tiene un mínimo local en b. Si f ( c ) 0 f ( c ) 0 entonces f tiene un máimo local en Regla de L Hospital: Supóngase que f g son diferenciables que g ( ) 0 cerca de a (ecepto quizás en a ). Supóngase que: lim f ( ) 0 a lim g( ) 0 a o que lim f ( ) a lim g( ) a En otras palabras, tenemos una forma indeterminadas de tipo 0 0 o del tipo, entonces: f ( ) f ( ) lim lim a g( ) a g( ) si el limite del segundo miembro eiste o es o - Teorema de Rolle. Sea f una función tal que: i. Es continua en el intervalo I a,b ii. Es diferenciable en el intervalo abierto ( a,b ) iii. f ( a ) 0 f ( b ) 0 Entonces eiste un número c en el intervalo abierto ( a,b ) talque f ( c ) 0 Demostración: se consideran dos casos: Caso: f ( ) 0 a,b entonces f ( ) 0 b puede considerarse como c (a,b) por tanto, cualquier número entre a Caso. Si f ( ) 0 Para algún valor de en el intervalo ( a,b ) como f es continua en el intervalo I a,b entonces por el teorema del valor etremo f tiene un valor máimo absoluto en a,b un valor mínimo absoluto en a,b De iii f ( a ) 0 f ( b ) 0. Además f ( ) 0 para algún valor de ( a,b ). En consecuencia f tendrá un valor máimo absoluto positivo en c ( a,b ), o un valor mínimo absoluto negativo en c (a,b) o ambos. Así para c c o c c, según sea el caso, eiste un etremo absoluto en un punto interior del intervalo [a,b]. por tanto, el etremo absoluto f ( c ) es también un etremo relativo, como f ( c ) eiste por hipótesis, se deduce que f ( c ) 0 Quedando demostrado el teorema.

3 Teorema del valor medio. Sea f una función talque: i. Es continua en el intervalo I a,b ii. Es diferenciable en el intervalo I ( a,b ) Entonces eiste un número c I ( a,b ) tal que f ( b ) f ( a ) f ( c ) b a Demostración: Una ecuación de la recta que pasa por los puntos A B de la grafica es: f ( b ) f ( a ) f(b) - f(a) f ( a ) ( a ) ( a ) f ( a ) b a b a Ahora, si mide la distancia vertical entre el punto (, f ( )) de la grafica de la función f punto correspondiente de la recta secante que pasa por A B, entonces: el f ( b ) f ( a ) F( ) f ( ) ( a ) f ( a ) b a * Debemos mostrar que esta función satisface las tres condiciones de la hipótesis el tma de Rolle. Veamos: La función es continua en el intervalo I a,b por que es la suma de f una función lineal, las que son continuas. Por tanto satisface la condición i. También satisface la condición ii a que f es diferenciable en ( a,b ). De * tenemos que F( a ) 0 F( b ) 0, por tanto satisface la condición iii del tema de Rolle. Recordemos que la conclusión del tma de Rolle establece que eiste un numero c en el intervalo f ( b ) f ( a ) I ( a,b ) tal que F ( c ) 0 F ( ) f ( ) pero: b a de modo que f ( b ) f ( a ) F ( c ) f ( c ) b a. Lo que nos lleva a concluir que en consecuencia, eiste un número f ( b ) f ( a ) f ( b ) f ( a ) c(a,b) 0 f ( c ) f ( c ) tal que b a b a. Nota: en la maoría de los casos nos e puede determinar el valor eacto de sin embargo, el valor de c no es significativo a que el hecho realmente importante es que el numero c eista. Ejercicios de práctica:

4 En los siguientes ejercicios halle todos los puntos críticos de cada función. Defina si ha máimos o mínimos etremos o relativos. Eamine el signo de f ( ) 0 determine los intervalos en los que f crece o decrece. Eamine el signo de f ( ) indique la concavidad que tiene la función. a. f ( ) 3 b. f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) 4 f ( ) 4 9 e. f ( ) ( )( 3 ) f. f ( ) sen g. f ( ) 5 h. f ( ) i.. f ( ) 3( 4 ) 3 En los siguientes ejercicios determine los etremos relativos de la función, calcule los valores en los que ocurren los etremos relativos. Determine los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Dibuje la grafica a partir de las respuestas obtenidas. 9, a. f ( ), si si - b. f ( ) 5, si 3 3 0, si 3 f ( ) ( 5 ) 5 -, 00 - ( - 7), si 3 si - 3 -, si - 7 f ( ) 4 ( 5 ), si ( ), si 4 g. f ( ) sen cos, si, si 0 0 h.. tan, si - f ( ) Csc, si - - sec, si En los siguientes ejercicios encuentre el punto de infleión de la grafica de la función, si eiste alguno, determine donde la grafica es cóncava hacia arriba donde es cóncava hacia abajo. Dibuje la grafica. a. f ( ), 7 -, si si b. f ( ), si 4 -, si 3 f ( ), si 0 -, si 0 f ( ), 4, si 0 si 0 3 e. f ( ) f. f ( ) PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

5 . Asignar símbolos a todas las cantidades dadas a las cantidades a determinar.. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se desea hacer máima o mínima. 3. Reducir la ecuación primaria a otra que tenga una sola variable independiente. Esto puede eigir el uso de ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. 4. Determinar el dominio de la ecuación primaria.( esto es para aquellos valores en que el problema tenga sentido). 5. Hallar el valor máimo o mínimo por medio de las técnicas a conocidas. Solucionar los siguientes problemas:. qué largo ancho debe tener un rectángulo de 00 m de perímetro para que su área sea máima?.. Una empresa construe cajas abiertas con base cuadrada, para el empaque de uno de sus productos; empleando 08 in de material. qué dimensiones producirán una caja de volumen máimo? 3. Un hombre dispone de 00m de valla para delimitar dos corrales adanecentes trectangulares. (como lo muestra la figura), qué dimensiones debe elegir para que el área encerrada sea máima? 4. Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de material de cm de lado, cortando cuadritos iguales de cada esquina doblando por las líneas internas, como lo muestra la. Hallar el volumen máimo que puede lograrse con una caja de estas características. 5. Una página ha de tener 30 cm de teto. Las márgenes superior e inferior son de cm los laterales de cm. Halle las dimensiones de la pagina que ahorra mas papel. 6. Se forman triángulos rectángulos en el primer cuadrante, limitados por los ejes por una recta que pasa por el punto (,3). Ver figura. Halle los vértices del triangulo de área mínima. 7. El rectángulo esta limitado por el eje por el semicírculo 5 ( figura 3.) qué longitud ancho debe tener tal rectángulo para que su área sea máima? Figura Figura Figura 3 Figura 3 8. Ha que construir un cilindró circular recto para contener onzas de refresco, usando la menor cantidad posible de material. Halle sus dimensiones ( onza de refresco aproimadamente equivale a,80469 pul 3)