EL PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACION

Transcripción

1 EL PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACION Terminología Tipos de soluciones Resultados teóricos sobre existencia y unicidad de soluciones Método gráfico de resolución Problemas de optimización Este tipo de problemas se conocen como problemas de optimización o programas matemáticos OPTIMIZACIÓN = PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA Elementos de todo problema de optimización Variables de decisión x = (x,x,...,x n ) Función objetivo f(x) = f(x,x,...,x n ) Región factible o espacio de soluciones factibles: D conjunto en R n máximo Equivalencia entre problemas de maximización y de minimización punto máximo D f(x) punto D -f(x) El punto en el que una función alcanza su máximo es el mismo en el que su función opuesta alcanza el, siendo los es óptimos respectivos opuestos Clasificación de problemas de optimización Sin resticciones : Con restricciones de igualdad : D = D = D = R n { x R g ( x) = i =,,..., m} Con restricciones de desigualdad i n { x R g ( x) i =,,..., k} i n : Problemas lineales La función objetivo y todas las funciones que determinan las restricciones son lineales cx cnxn + d La rama de la ax an xn b optimización que se... encarga del estudio de los problemas amx amnxn bm lineales es la ux un xn = w PROGRAMACIÓN... LINEAL ukx uknxn = wk

2 Problemas convexos Son problemas convexos los problemas de minimización de funciones convexas sobre conjuntos convexos función convexa También son problemas convexos los problemas de maximización de funciones cóncavas sobre conjuntos convexos función cóncava Problemas estrictamente convexos Son problemas convexos los problemas de minimización de funciones estrictamente convexas sobre conjuntos convexos función estrictamente convexa También son problemas convexos los problemas de maximización de funciones estrictamente cóncavas sobre conjuntos convexos función estrictamente cóncava Todo programa lineal es convexo pero no estrictamente Programas estrictamente convexos Programas lineales Programas convexos Soluciones óptimas Un punto x es un local cuando existe δ >, tal que si y d( x, x) < δ f ( x ) ( x) x f Si la desigualdad es estricta, entonces el se dice estricto Un punto x es un global cuando f ( x ) f ( x) x Se llama al de la función en el punto f(x ) global Ejemplo de s de una función de una variable x global estricto x local estricto x local no estricto Un óptimo local es la mejor solución entre las "cercanas", en cambio, un óptimo global es la mejor solución de todas las factibles Todo óptimo global lo es también local, pero no todo óptimo local es global Por supuesto, es preferible un óptimo global a uno local Desgraciadamente, la mayoría de las técnicas de optimización localizan óptimo locales y tienen dificultades para reconocer si se trata de un óptimo global

3 Teorema fundamental de la programación convexa Todo óptimo de un problema convexo es global función convexa Todo es global Todo óptimo (máximo o ) de un programa lineal es global función cóncava Todo máximo es global Existencia de óptimos Qué condiciones debe cumplir el problema para garantizar que tenga solución? EJEMPLOS DE PROBLEMAS SIN SOLUCIÓN f ( x) x si x < x con f ( x) = / si x / x si x > La discontinuidad de la función provoca la inexistencia de solución min x x De nuevo, la discontinuidad provoca la inexistencia de solución min x 7. x + < x < Al ser la región factible un conjunto no acotado, la función no llega a alcanzar el - Al ser el conjunto factible un intervalo abierto, no es factible y el problema no tiene solución

4 Teorema de Weierstrass Todo problema en el que la función objetivo sea continua en todos los puntos de la región factible y esta región factible sea un conjunto compacto tiene al menos un y un máximo globales f ( x) con f ( x) función continua con D conjunto compacto existe al menos un y un máximo global CONJUNTO COMPACTO = CERRADO + ACOTADO Un conjunto es cerrado cuando todos sus puntos frontera están incluidos en el conjunto Las restricciones de igualdad generan conjuntos cerrados Las restricciones de desigualdad no estrictas también generan conjuntos cerrados El conjunto es acotado cuando los es de todas las variables de los puntos del conjunto se mantienen dentro de unos rangos finitos EJEMPLO: x + xx + x ( x ) x + 4 x + x La función objetivo es un polinomio y por tanto continua en todo R Las restricciones son desigualdades no estrictas (conjunto cerrado) La región factible es un conjunto acotado Conjunto compacto EL PROBLEMA TIENE AL MENOS UN MÍNIMO GLOBAL Y UN MÁXIMO GLOBAL Unicidad de solución En un problema estrictamente convexo, el óptimo, en caso de existir, es único y global función estrictamente convexa El en caso de existir es único y global función estrictamente cóncava El máximo en caso de existir es único y global EJEMPLO: x + xx + x ( x ) x + 4 x + x La función objetivo es estrictamente convexa La región factible es un conjunto convexo EL MÍNIMO DEL PROBLEMA ES ÚNICO Y GLOBAL EL MÁXIMO ES ÚNICO? No se puede asegurar la unicidad del máximo Caso de problemas convexos En un problema convexo, toda combinación lineal convexa de óptimos es también un óptimo función convexa Toda combinación lineal convexa de dos s es también un Toda combinación lineal convexa de dos máximos es también un máximo función cóncava 4

5 En un problema convexo, pero no estrictamente, se pueden dar tres situaciones:. El problema no tiene solución. El problema tiene un único óptimo. El problema tiene infinitos óptimos Resolución de problemas con dos variables de decisión Primer método de resolución: método gráfico Se basa en representar en un mismo gráfico tres elementos: Región factible del problema Curvas de nivel de la función objetivo Campo gradiente de la función objetivo Representación de funciones de dos variables Una función de dos variables tiene una representación gráfica tridimensional f(x,=x +y Curvas de nivel Las curvas de nivel permiten representar en el plano una función de dos variables También son conocidas como curvas de indiferencia Dada una función f(x,, sus curvas de nivel son la familia de curvas: f(x, = c donde c es una constante arbitraria Cada curva de nivel une los puntos en los cuales la función toma un mismo (curva de indiferencia) f(x,=x + y f(x,=x+y Curvas de nivel: x + y = c Curvas de nivel: x+y = c Si c < la correspondiente curva de nivel es vacía Las curvas de nivel son una familia de rectas paralelas Si c > la curva es una circunferencia de centro (,) y radio raíz de c.. Las curvas de nivel corresponden a los contornos que se generarían al "cortar" la superficie de la función con planos horizontales

6 f(x,=x +xy Curvas de nivel: x +xy = c Campo gradiente Dada una función de dos variables f(x,, su vector gradiente es: f ( x, f ( x, = x f ( x, y El vector gradiente asocia a cada punto del dominio de la función un vector Esa asociación se puede representar en el plano dibujando cada vector a continuación del punto al que está asociado EJEMPLO: f(x,=x + y x f ( x, = y Gráfico conjunto de las curvas de nivel y el campo gradiente de la función f(x,=x + y. Los vectores gradientes son ortogonales con las curvas de nivel Siempre señalan sobre el dominio la dirección de más rápido crecimiento de la función "Huyen" de los s y se sienten "atraídos" por los máximos Descripción del método gráfico de resolución. Representar la región factible. Representar las curvas de nivel. Representar el campo gradiente 4. Si lo que se busca es un, buscar la última curva de nivel que tenga intersección no vacía con la región factible siguiendo la dirección contraria a la indicada por los vectores gradientes. Los puntos factibles que se encuentren en esa última curva de nivel son los s EJEMPLO x + y x y En el caso de problemas de máximos, la dirección a seguir es la señalada por los vectores gradiente 6