ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constates de orden dos y superior.

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1 Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Euios lils homogés o ofiits ostts d ord dos suprior Apliqu l método d rduió pr dtrmir u soluió d l uió o homogé dd los siguits jriios L fuió idid (), s u soluió d l uió homogé soid Dtrmi u sgud soluió d l uió homogé u soluió prtiulr d l ED o homogé ; ; 5 ; ; Problms pr disusió grupo: g u dmostrió ovit d qu l uió d sgudo ord u b 0;,b, ostts, simpr ti udo mos u soluió d l m form, dod m s u ostt Epliqu por qué l ED dl puto db tr, osui, u sgud m m soluió d l form o d l form, dod m m so ostts ECUACIONES LINEALES OMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES d mos visto qu l uió lil d primr ord, u 0, dod s u ostt, ti l soluió poil l itrvlo - ; turls trtr d dtrmir si ist soluios poils uios lils homogés d ord suprior dl tipo: 0 0 () por osiguit, lo más - d ls E dod los ofiits, i 0,,, so ostts rls 0 Pr ustr i sorprs, tods ls soluios d l uió () so fuios poils o stá formds prtir d fuios poils Método d soluió: Comzrmos o l so spil d l uió d sgudo ord + b + = 0 ()

2 Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti Si probmos o u soluió d l form m, tos m m m m, d modo qu l uió () s trsform :, m m m bm 0, o s m m bm 0 Como m u s ro udo ti vlor rl, l úi form qu l fuió poil stisf l uió difril s ligido u m tl qu s u ríz d l uió udráti m bm 0 () Est uió s llm uió uilir o uió rtrísti d l uió difril () Emirmos trs sos: ls soluios d l uió uilir qu orrspod rís rls distits, rís rls iguls rís ompljs ojugds m CASO : Rís rls distits: Si l uió () ti dos rís rls distits, m m, llgmos dos soluios, m Ests fuios so lilmt idpdits m -, osui, form u ojuto fudmtl Etos, l soluió grl d l uió m m () s itrvlo s () CASO II: Rís rls iguls m Cudo m m llgmos, srimt, sólo u soluió poil, b Sgú l fórmul udráti, m porqu l úi form d qu m m s qu b 0 Así, u sgud soluió d l uió s: m m m m m (5) b E st uió provhmos qu m L soluió grl s, osui, m m (6) CASO III: Rís ompljos ojugdos m so ompljs, podrmos sribir i i,, m Si 0 r p > 0 so rls, i l so ; por llo, m m, dod No h difri forml tr st so ( i ) ( i ) Si mbrgo, l práti s

3 Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti prfir trbjr o fuios rls o o poils ompljs Co st objto s us l fórmul d Eulr: i os i s, qu s u úmro rl L osui d st fórmul s qu: i os i s, -i os i s, (7) dod hmos mpldo os (- ) os ( ) s (- ) s ( ) Obsérvs qu si primro summos dspués rstmos ls dos uios d (7), obtmos rsptivmt: i -i i -i os, i s ( ( i ) i ) Como s u soluió d l uió () pr ulquir lió d ls ostts, si, obtmos ls soluios: ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) i i Pro os i i i s E osui, los dos últimos rsultdos dmustr qu ls fuios rls os s so soluios d l uió () Admás, ss soluios form u ojuto fudmtl - ; por lo tto, l soluió grl s: os os s s Euios difrils d sgudo ord Rsulv ls uios difrils siguits: 5 0 SOLUCIÓN: Prsto ls uios uilirs, rís soluios grls orrspodits m m m ; m m 5m 0 D hí qu:

4 Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti SOLUCIÓN: m m 5 0 m 5 0 m m D hí qu: 0 SOLUCIÓN: m 0 m - i, m - i, m os s D hí qu: Problm d vlor iiil Rsulv l problm d vlor iiil 0; (0) -, 0 SOLUCIÓN: Ls rís d l uió uilir m m 0 m i, m i d modo qu os s 0, vmos qu os 0 s 0 Al plir l odiió ( 0 ) qu Difrimos l uió d rrib otiuió, plido (O) =, obtmos o s ; por osiguit, l soluió s: os Ls dos uios difrils, p 0 s k 0, k rl, so importts ls mtmátis plids Pr l primr, l uió uilir m k 0 ti ls rís imgiris m k i m k i Sgú l uió (8), o 0 k, l soluió grl s os k s k (9)

5 Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti L uió uilir d l sgud uió, m k 0, ti ls rís rls distits m k k ; por llo, su soluió grl s m k -k (0) Not qu si lgimos dspués 0, llgmos ls soluios Prtiulrs k -k osh k k -k sh k Pusto qu osh k sh k so lilmt idpdits ulquir itrvlo dl j, u form ltrtiv d l soluió grl d p 0 s osh k sh k Euios d ord suprior E grl, pr rsolvr u uió difril d ord omo 0 0 () E dod ls i poliomil d grdo :, i 0,,, so ostts rls, dbmos rsolvr u uió m m m m 0 0 () Si tods ls rís d l uió () so rls distits, l soluió grl d l uió () s m m m Es más difíil rsumir los álogos d los sos II III porqu ls rís d u uió uilir d grdo mor qu dos pud prstrs muhs ombiios Por jmplo, u uió d quito grdo podrí tr io rís rls distits, o trs rís rls distits dos ompljs, o u rl utro ompljs, io rls pro iguls, io rls pro dos iguls, tétr Cudo m s u ríz d multipliidd k d u uió uilir d grdo (sto s, k rís so iguls m ), soluios lilmt idpdits so s pud dmostrr qu ls,, m m m k m

6 Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti Por último, ruérds qu udo los ofiits so rls, ls rís ompljs d u uió uilir simpr pr prs ojugdos Así, por jmplo, u uió poliomil úbi pud tr dos rís ompljs udo muho Euió difril d trr ord Rsolvr 0 + ~ - = 0 SOLUCIÓN: Al mir m m 0 dbmos otr qu u d sus rís s m vmos qu m Si dividimos m m tr, m m m m m, m m m m Así, l soluió grl s tos ls dmás rís so - - Euió difril d urto ord d d Rsolvr 0 SOLUCIÓN: L uió uilir s m m 0 m 0 rís ti ls m i m i Así, d urdo o l so II, l soluió s: m m i -i i -i Sgú l fórmul d Eulr, s pud sribir l grupmito os s i -i l form Co u mbio d dfiiió d ls ostts Igulmt, i -i s pud prsr l form os s l soluió grl s E osui, os s os s

7 Prof Eriqu Mtus Nivs Dotordo Eduió Mtmáti Ejriios grls d Euios lils homogés o ofiits ostts d ord dos suprior Pr d u d ls siguits E D hll l soluió grl: d d d d d d d d 5 d d d 5 d

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