Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

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1 CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes reles y 0. Tod ecución de segundo grdo tiene lo más dos soluciones, llmds tmbién ríces o ceros de l ecución, representds generlmente como x y x, lo que signific que ésts, x y x, stisfcen dich ecución MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE º GRADO. POR FACTORIZACIÓN Este método fue visto en le cpítulo de Álgebr. Aquí lo volveremos nlizr medinte un ejemplo. Se l ecución x 7x + 7 = 0 El objetivo es encontrr el producto de dos binomios del tipo ( x + p)( x+ q) = 0, en el cul p y q son números Reles, tles que p i q= 7 y p+ q= 7. Los vlores que stisfcen lo nterior son p= 8 y q= 9, por lo cul l ecución nos qued ( x 8)( x 9) = 0 luego se tom cd uno de los términos por seprdo y se iguln cero. Como obtendremos dos resultdos, los llmremos x yx. x 8= 0 x 9= 0 x = 8 x = 9 Cómo sber fácilmente el signo de p y q? Si l ecución es como l nterior, de tipo x ( signo ) αx ( signo ) β Signo (+) ( ) p y q tienen igul signo p y q tienen distinto signo Signo (+) El número de myor vlor bsoluto es positivo ( ) El número de myor vlor bsoluto es negtivo Anliz el ejemplo nterior.. POR COMPLETACIÓN DEL CUADRADO DEL BINOMIO Por ejemplo si se quiere resolver l ecución 9x 6x 8 = 0, se rregl l ecución sí: 9x 6x = 8, y se complet un cudrdo del binomio con el miembro izquierdo 9x 6x+ b = 8+ b (). Con el miembro izquierdo, rmremos el cudrdo de binomio y lo desrrollremos ( ) x b = 9x 6bx + b (). L ecución () es igul l miembro izquierdo de l ecución (), por lo tnto 6x = 6bx b = b = teniendo esto completmos en l ecución (): 9x 6x + = 8+ ( x ) = 9 / x =± 9 x = ± + 4 x = = x = = 4 El conjunto solución de est ecución serí S =, Entonces, el conjunto solución de est ecución serí S= { 8,9}

2 . UTILIZANDO LA FÓRMULA CUADRÁTICA Se desprende de l resolución lgebric de un ecución de segundo grdo tipo x + bx + c = 0 / : bx c x = (), teniendo esto se complet un cudrdo de binomio b c x + x m m + = + () x + m ( ) b b b x = xm m= m =, teniendo esto reemplzmos 4 en l ecución () x + b x+ b = c + b, se fctoriz l izquierd y se sum l 4 4 derech b b 4c x + = 4 / b b 4c x + =± y despejndo x se obtiene x FÓRMULA CUADRÁTICA = ESTA FÓRMULA SE UTILIZA ASÍ b± b 4c suponiendo que se quier resolver l siguiente ecución: 4x 7x+ = 0. En est ecución = 4, b = 7 y c=, entonces, se reemplzn estos vlores en l fórmul ( ) 7± 7 4 i 4 i 7± ± 7± x = = = = i x = = = x = = = El conjunto solución de est ecución serí: S =, NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES O RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE º GRADO Pr determinrl se nliz l cntidd subrdicl o DISCRIMINANTE de l fórmul cudrátic, es decir, Si Si Si b 4c = 0 b 4c> 0 b 4c< 0 b± b 4c x = b 4c Ls ríces pertenecen los Reles y tienen el mismo vlor. Ls ríces pertenecen los Reles y son distints Ls ríces pertenecen l conjunto de los números Complejos. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA MEDIANTE SUS RAÍCES Si se tienen ls dos ríces de un ecución cudrátic, es posible bx c formr l ecución originl de form x =, medinte el producto de dos binomios, de mner invers l método de resolución por fctorizción y visto. Por lo tnto, si ls ríces son x yx, el binomio qued ( x x)( x x) = 0 Recuerd que cundo se despejron ls ríces por fctorizción, ests cmbiron de signo, por eso quí SE RESTAN.

3 Ahor, desrrollndo el binomio e igulándolo l ecución que se quiere obtener b c x ( x+ x) x+ xi x = x + x+ De donde se deduce que b c x+ x = x i x = Buscr l ecución cudrátic cuys ríces son y 9. Formmos el binomio y lo desrrollmos x x+ 9 = 0 ( )( ) x + 9x x 4 = 0 x + 4x 4 = FUNCIÓN CUADRÁTICA f x = x + bx+ c donde, b, y c son vlores Reles y 0. L función cudrátic está definid pr todo vlor rel y su gráfico corresponde un PARÁBOLA. Se llm función cudrátic l función ( ) CARACTERÍSTICAS DEL GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA y = x + bx + c. INTERSECCIÓN CON EL EJE X L intersección con el eje x se obtiene hciendo f( x) = 0, es decir, resolviendo l ecución cudrátic x + bx + c = 0, tl como se explicó nteriormente. Por tnto, los puntos de intersección con el eje X son ls ríces de l ecución cudrátic!!. Son posibles tres csos. Que corte l eje X en dos puntos distintos. Que corte l eje X en un solo punto. Que no corte l eje X. Pr determinr cuál es el cso, es necesrio nlizr el DISCRIMINANTE, l cul denotremos con l letr delt myúscul del lfbeto griego Δ= b 4c ) Si Δ > 0, l prábol cort l eje X en dos puntos distintos: b + Δ b Δ x = x = b) Si Δ = 0, l prábol cort l eje X en un sólo punto (es tngente l eje x), el cuál coincide con su vértice. b± 0 b x = x = c) Si Δ < 0, signific que l ecución no tiene solución en los reles, por lo tnto, l prábol no cort l eje X.. ORIENTACIÓN Si > 0 l prábol se bre hci rrib, es cóncv. ( Si es positiv l prábol está content!!!) Si < 0 l prábol se bre hci bjo, es convex. ( Si es negtiv l prábol está triste!!!) Compr ests propieddes del Discriminnte con ls vists nteriormente!!. EJE DE SIMETRÍA b L prábol es simétric respecto l rect x = 4

4 4. VÉRTICE Es el punto de intersección entre l prábol y su eje de simetrí, teniendo por coordends x+ x x+ x b b b Δ V =, f =, f =, 4 L bscis de este punto corresponde l vlor del eje de simetrí, y l ordend corresponde l máximo o mínimo de l función según se l orientción de l prábol.. INTERSECCIÓN CON EL EJE Y L intersección con el eje Y se obtiene igulndo x cero en l ecución cudrátic. Entonces, l prábol intercept l eje y en el punto ( 0, c ) Se l función cudrátic ( ) f x = x + 4x. Orientción: = > 0, por lo tnto l prábol es cóncv (biert hci rrib). Intersección con el Eje X: Δ= b 4c= 4 4 ii ( ) = 6+ 48= 64> 0, por lo tnto l prábol cort l eje x en dos puntos que son: b+ Δ x = = = = = i b Δ x = = = = = 6 i Ahor que se tiene el vértice, se tiene tmbién el vlor del mínimo de est función, ddo que es cóncv. Con esto se puede determinr el Recorrido de l función que serí: 6, + Rec f = [ [. Intersección con el Eje Y: f(x) = i 0 =, por lo tnto el punto de intersección de l prábol con el eje y es ( 0, ) Al utilizr todos los dtos obtenidos pr grficr l función result lo siguiente: y = x + 4x - Entonces, según el gráfico qué vlores son importntes pr ubicr un prábol en el plno crtesino? Eje de Simetrí: b 4 4 x = = = = i 4. Vértice: b Δ V =, =, =, =, 6 4 i 4 i 4 ( )

5 EJERCICIOS NOTA: Luego de resolver un ecución es consejble verificr en l ecución originl cd un de ls potenciles soluciones. En cso de resolver un problem plicdo, se debe verificr que ls soluciones sen pertinentes.. Cuál(es) de ls siguientes ecuciones es(son) de do grdo? I. x = 0 II. (x + ) = x III. (x + ) = (x ) Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III. Si l ecución x x + 6 = 0 tiene un solución igul, cuál es el vlor de? Al escribir l ecución cuál es el vlor de b? 7 9 (x + ) = 7x en l form x + bx + c = 0, 4. El conjunto definido por {x R / x - 7x + = 0} es el conjunto: {, } [, ] {, 4} [, 4]. L ecución cudrátic que tiene por ríces es: x + x - = 0 x + x - = 0 x x + = 0 x 6 x + = 0 x x + = 0 6. Cuál es el discriminnte de l ecución 7 7. Si x x + = 0, con 0, entonces x = + ± ± ± + ± x x + = 0? Es necesrio que seps l fórmul de l solución de l ecución de segundo grdo. 0 = x b ± + bx + c. L fórmul es b 4c 6

6 8. Cuál es el discriminnte de l ecución x 7 = (x + ) (x )? Pr qué vlor de l ecución 4x x + + = 0, tiene ríces reles e igules? Qué vlor debe tener en l ecución x + x = 0, pr que un de sus ríces vlg 6? Si el discriminnte de l ecución x x + = 0 es 64, entonces cuál es el vlor de? 7. Hllr el vlor de, si l sum de ls ríces de l ecución x x + = 0 es Cuáles son ls soluciones (o ríces) de l ecución x x = 0? 0 y y y 0 y y 4. Pr que ls ríces de l ecución x px + = 0 sen inverss multiplictivs, debe ser igul : p p p En l 0 = x + bx + c, ls soluciones x y x, cumplen con: b = ( x + x ) ; c = x x 7

7 . L sum de dos números es y l sum de sus cudrdos es 4. Si llmmos x uno de ellos, l ecución que permite clculrlo es: x + ( + x) = 4 x ( + x) = 4 x + ( x) = 4 x ( x) = 4 x (x ) = 4 6. L sum de ls ríces de l ecución x + 8x + = 0 es: Pr qué vlor de l ecución x 4 x + (4 ) = 0, tiene soluciones igules? 0 8. Cuál es l ecución de segundo grdo cuys ríces son x = 8 y x =? x + x 4 = 0 x x + 4 = 0 x x 4 = 0 4 x + x = 0 x x 4 = 0 9. Un niño tení dos cudrditos de plsticin, uno er de ldo x, el otro de ldo (x + ). Los juntó, los msó y volvió construir un cudrdito similr los nteriores. Si este nuevo cudrdito quedó de ldo (x + ), qué vlores pudo tener x? Sólo Sólo Sólo y y 0. Cuáles son ls soluciones (o ríces) de l ecución x = 0 + x? 4 y 4 y + y y + 4 y. Cuál es l ecución de do grdo cuys ríces son y? x 6 x + = 0 x 6 x - = 0 x + 6 x - = 0 x + 6 x + = 0 x 6 x - = 0. Cuáles son ls soluciones (o ríces) de l ecución (x ) = x + (9x 7)? y y y y No se puede resolver (no es ecución de do grdo) En l función cudrátic, Si el determinnte ( b 4c ) es negtivo, l prábol no cort l eje X 8

8 . Cuál es el producto de ls soluciones (o ríces) de l ecución (x ) = 4( x)? 4. Si α y β son ls soluciones (o ríces) de l ecución x p x + q = 0, entonces l expresión (α + ) (β + ) = q + 4 q p q + p q + p + 4 q p Cuál(es) de ls siguientes prábols tienen el mismo eje de simetrí? I. II. III. y = x 7x + 6 y = 4x 4x + y = x 7x+ 6 Sólo I y II Sólo II y III Sólo I y III I, II y III Ningun de ls tres. b 7. Si 0 y = 4c, entonces cuál de los siguientes gráficos represent mejor l función f(x) = x + bx + c? A B C. Un prábol tiene por ecución y = x x. Entonces, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I. Ell cort mbos eje coordendos II. Ell cort l eje x en dos puntos III. Ell cort sólo uno de los ejes coordendos Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo II y III 8. L prábol y = x + x + es tngente l eje x en el punto (, 0). El vlor de es: 8 8 ± 8 Ayud pr el ejercicio. Se define el número i, como el que cumple con: i = 9

9 y = x + px+ q cort l eje X en el punto ( ) en el punto ( 0, ). Entonces los vlores de p y q son, respectivmente: 9. L prábol y y y y -- y, 0 y l eje Y 0. L figur muestr el gráfico de un función cudrátic cuyo eje de simetrí es el eje de ls ordends y que ps por los puntos indicdos. Entonces l función se escribe: y = x y = x + x y = x x+ y = x y = (x ). Con respecto l función f(x) = x + 6x + 9, cuál(es) de ls siguientes firmciones es(son) verdder(s)? I. Toc l eje x en un punto II. No cort l eje y III. Sus rms se extienden hci bjo Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Ningun de ells. Pr que l prábol y = x pse por el punto de intersección de ls dos rects x + y = 0 x + y 4 = 0, el vlor de tiene que ser: 0, L tryectori de un proyectil está dd por l ecución y(t) = 00t t, donde el tiempo t se mide en segundos y l distnci y( t) se mide en metros. A cuántos segundos estrá el proyectil 40 metros sobre el nivel del suelo? I. 6 segundos II. 0 segundos III. 4 segundos Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III 4. Si l prábol y = x + 0x 0 se pone en l form entonces los vlores de y h son, respectivmente: y y y y y y = (x h), En f( x) = x + bx + c. c es l ltur en l que l función cort l eje Y. El signo de determin si l prábol es hci bjo o rrib. Si el determinnte ( b 4c ) es negtivo, l prábol no cort l eje X 0

10 . Si < 0 y b 4c< 0, entonces l función f(x) = x + bx + c está mejor representd por: A B C 8. El gráfico de l figur corresponde l función cudrátic: f(x) = x + x + f(x) = + x x f(x) = x x + f(x) = x + x f(x) = x x D 6. En el gráfico son: (, - 4) (, - ) (4, - ) (, - 4) (, - 8) f(x) = x 8x + ls coordends del vértice P 7. Cuáles deben ser los vlores de y c pr que l prábol de ecución y = x 4x + c teng su vértice en el punto de coordends (, )? E 9. Respecto l prábol f(x) = x 9x + 4, cuál(es) de ls siguientes proposiciones es(son) verdder(s)? I. Sus ceros son 7 y II. Intercept l eje y en (0, 4) III. Su eje de simetrí es x = 4 Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III 40. L prábol punto: (0, - ) (0, - ) (0, - ) (0, - 4) (0, -) y = x + bx+ cde l figur intercept l eje y en el c Pr obtener el punto vértice de l prábol y = x + bx + c, l coordend b x =. Pr l otr coordend, evlú este x en l función.

11 PAUTA GUÍA EC. DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA SODOKU. D. A. C 4. D. D 6. E 7. C 8. B 9. C 0. D. C. C. E 4. C. C 6. B 7. A 8. D 9. B 0. C. C. A. B 4. D. D 6. A 7. D 8. A 9. B 0. A. A. B. E 4. A. E 6. C 7. A 8. D 9. C 40. C Solución

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