Ecuaciones de Segundo Grado
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- María Victoria Beatriz Naranjo Río
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1 Ecuaciones de Segundo Grado Julio Yarasca UNI April 15, 2015 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
2 Denición Ecuacion de Segundo Grado Una ecuación de segundo grado es de la forma donde a, b, c R y a 0 ax 2 + bx + c = 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
3 Denición Ecuacion de Segundo Grado Una ecuación de segundo grado es de la forma donde a, b, c R y a 0 ax 2 + bx + c = 0 Ejemplos 1. x 2 + 2x + 1 = x 2 + 4x + 2 = 0 3. x 2 1 = x 2 + 9x = x 3 + x 2 + 3x + 4 = 0 NO Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
4 Solución Tenemos dos formas de como resolver una ecuación de segundo grado, por factorizacion( método de aspa simple) o por la fórmula general. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
5 Aspa Simple Aspa simple Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
6 Aspa Simple Aspa simple Ejemplo Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
7 Fórmula general Fórmula general Sea una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0 y x 1, x 2 raíces de la ecuación entonces son de la forma x 1 = b + b 2 4ac, x 2 = b b 2 4ac 2a 2a Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
8 Fórmula general Fórmula general Sea una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0 y x 1, x 2 raíces de la ecuación entonces son de la forma x 1 = b + b 2 4ac, x 2 = b b 2 4ac 2a 2a Ejemplo Sea la ecuacion x 2 + 5x + 6 = 0 entonces a = 1, b = 5, c = 6 aplicando la fórmula general tenemos x 1 = = 2, x 2 = = 3 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
9 Discriminante Denición Sea la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 se dene su discriminante como = b 2 4ac Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
10 Discriminante Denición Sea la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 se dene su discriminante como = b 2 4ac Ejemplo Sea la ecuación su discriminante es 2x 2 + 5x 2 = 0 = 5 2 (4.2. 2) = 41 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
11 Propiedades del Discriminante Propiedades El discriminante de una ecuación cuadratica nos permite estudiar el tipo de raíz que presenta la ecuación. 1. Si > 0, la ecuación tiene raices reales y diferentes. 2. Si = 0, la ecuación tiene raices reales e iguales. 3. Si < 0, la ecuación tiene raices complejas y conjugadas. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
12 Propiedades del Discriminante Propiedades El discriminante de una ecuación cuadratica nos permite estudiar el tipo de raíz que presenta la ecuación. 1. Si > 0, la ecuación tiene raices reales y diferentes. 2. Si = 0, la ecuación tiene raices reales e iguales. 3. Si < 0, la ecuación tiene raices complejas y conjugadas. Ejemplo 1. x 2 + 3x + 1 = 0 entonces = = 5 > 0 tiene raices reales y diferentes. 2. x 2 + 2x + 1 = 0 entonces = = 0 tiene raices reales e iguales. 3. x 2 + 2x + 3 = 0 entonces = = 8 < 0 tiene raices complejas. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
13 Teorema de Cardano Teorema de Cardano Sea la ecuación ax 2 + bx + c = 0 y x 1, x 2 sus raíces, se cumple x 1 + x 2 = b a x 1.x 2 = c a Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
14 Teorema de Cardano Teorema de Cardano Sea la ecuación ax 2 + bx + c = 0 y x 1, x 2 sus raíces, se cumple x 1 + x 2 = b a x 1.x 2 = c a Ejemplo Sea la ecuación x 2 10x + 3 = 0 entonces la suma de sus raices es igual a 10 1 = 10 y el producto 3 1 = 3 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
15 ¾Cómo reconstruir una ecuación cuadrática? Podemos formar una ecuación cuadratica a partir de sus rai es, sean las raíces x 1, x 2 entonces la ecuación de segundo grado se puede escribir (x x 1 )(x x 2 ) = 0 x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 Ejemplo Sea las raíces x 1 = 2 y x 2 = 3 entonces la ecuación donde estas son raices es x 2 ( 2 + 3)x + ( 2)( 3) = 0 x 2 + 5x + 6 = 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
16 ¾Cómo reconstruir una ecuación cuadrática? Podemos formar una ecuación cuadratica a partir de sus rai es, sean las raíces x 1, x 2 entonces la ecuación de segundo grado se puede escribir (x x 1 )(x x 2 ) = 0 x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 Ejemplo Sea las raíces x 1 = 2 y x 2 = 3 entonces la ecuación donde estas son raices es x 2 ( 2 + 3)x + ( 2)( 3) = 0 x 2 + 5x + 6 = 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
17 Ecuación Bicuadrada Denición Es una ecuación de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0 donde a, b, c R y a 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
18 Ecuación Bicuadrada Denición Es una ecuación de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0 donde a, b, c R y a 0 Ejemplos 1. x 4 + 3x = 0 2. x = 0 3. x 4 + 2x 2 = 0 4. x = 0 NO Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
19 Solución Solución Sea la ecuaciones bicuadrada de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0 y x 1, x 2, x 3, x 4 raíces de la ecuaciones entonce son de la forma b + b x 1 = 2 4ac 2a b + b x 3 = 2 4ac 2a b b, x 2 = 2 4ac 2a b b, x 4 = 2 4ac 2a Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
20 Ejemplo Sea la ecuación x 4 8x 2 9 = 0 Entonces a = 1, b = 8 y c = 9, tenemos x 1 = x 2 = ( 8) + ( 8) ( 9) ( 8) ( 8) ( 9) ( 8) + ( 8) x 3 = ( 9) = 3 = i = 3 ( 8) ( 8) x 4 = ( 9) = i 2 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
21 Propiedad Sea la ecuación bicuadrada ax 4 + bx 2 + c = 0 Notemos que si m, n dos raíces de tal que m + n 0 es decir m n. tenemos 1. C.S = {m, n, m, n} 2. m 2 + n 2 = b a 3. m 2.n 2 = c a Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
22 ¾Cómo reconstruir una ecuación Bicuadrática? Sea m, n dps raíces tal que su suma no sea cero(es decir m n), entonces la ecuación bicuadratica donde m y n son sus raices es: x 4 (m 2 + n 2 )x 2 + m 2.n 2 = 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
23 Inecuaciones Cuadráticas Son aquellas inecuaciones de la forma donde a, b, c R y a 0 ax 2 + bx + c 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
24 Propiedades Trinomio siempre positivo Tenemos ax 2 + bx + c > 0 x R a > 0 y < 0 Trinomio siempre negativo Tenemos ax 2 + bx + c < 0 x R a < 0 y < 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
25 Inecuaciones de grado superior Son aquellas inecuaciones de la forma a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n a n 0 donde a 0, a 1, a 2, a n R, n 3 y a 0 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
26 Inecuaciones Racionales Son aquellas inecuaciones de la forma a 0 x n + a 1 x n 1 + a 2 x n a n b 0 x m + b 1 x m 1 + b 2 x m b m 0 donde a 0, a 1, a 2, a n, b 0, b 1, b 2, b m R, m 1 y algún b 1, b 2, b m 1 es distinto de cero. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
27 Existencia de Radicales n impar Si n es un número entero impar positivo y a un número real cualquiera, entonces hay un número único b tal que a = b n.el número b esta denotado por n a y se le llama n-ésima raíz de a. Ejemplos = = 2 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
28 n: par Si n es un número entero positivo par, para cada número a 0 hay un número único b 0 tal que a = b n. El número no negativo b se denota por n a y se llama n-ésima raíz de a. Ejemplo = = 2 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
29 Ecuación Irracional La ecuación que contiene una incógnita bajo el signo del radica se llama ecuación irracional. En forma general es muy difícil señalar algún método universal de resolución de cualquiera ecuación irracional; sin embargo, se va a indicar procedimientos. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
30 Conjunto de valores admisibles Si en una ecuación intervienen radicales de la forma n P(x) Utilizaremos en conjunto de valores admisibles (C.V.A), este conjunto esta descrito por Consideración 1 Si n es par, soluciones donde P(x) 0. Consideración 2 Si n es par, soluciones donde n P(x) 0. Consideración 3 Si n es impar, no existe ninguna restricción. Nota: Primero encontramos el conjunto de valores admisibles y luego pasamos resolver la ecuación. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
31 Ejemplos Ejemplo 1 Resolver la ecuación: Solución: x + 2 = 3 Notemos que en este caso n es par y P(x) = x + 2, entonces el conjunto de valores admisibles para esta ecuación es C.V.A = {x R/x } = [ 2, + Ahora empezemos a resolver la ecuación, elevendo al cuadrado tenemos ( x + 2) 2 = 3 2 x + 2 = 9 = x = 7 Ahora como 7 pertenece al conjunto de valores admisibles, por lo tanto x = 7 es la solución de la ecuación. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
32 Ejemplo 2 Resolver la ecuación x + 5 = 1 Solución: Encontremos el conjunto de valores admisibles C.V.A = {x R/x } = Por lo tanto esta ecuación no tiene soluciones reales. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
33 Ejemplo 3 Resolver la ecuación 3x 2 = 2(x 1) Encontremos el conjunto de valores admisibles C.V.A = {x R/3x 2 0 2(x 1) 0} = {x R/x 2 3 x 1} = [1, + Ahora elevando al cuadrado tenemos ( 3x 2) 2 = (2(x 1)) 2, 3x 2 = 4(x 2 2x + 1) = 4x 2 8x + 4 3x 2 = 4x 2 8x + 4 = 4x 2 11x + 6 = 0 = (x 2)(4x 3) = 0 Entonces x = 2 x = 3, ahora solo 2 C.V.A, por lo tanto la solución de la 4 ecuación es x = 2. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
34 Inecuaciones Irracionales La inecuación que contiene una incógnita bajo el signo del radical se llama inecuación irracional. Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
35 Herramientas Proposición 1 Si n es par se cumple que para todo x, y R n x + n y 0 x 0 y 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
36 Ejemplo 4 Resolver Entonces x x 0 x x 0 }{{}}{{} x 2 3 x Se tiene x [ 2, 3], por lo tanto el conjunto solución es C.S = [ 2, 3] Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
37 Proposición 2 Sean x, y R se cumple x < y x 0 y > 0 x < y 2 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
38 Ejemplo 5 Resolver x 5 < 3 En efecto tenemos x 5 < 3 x > 0 x 5 < 3 2 x 5 x < x 5 x < 14 Por lo tanto el conjunto solución es C.S = [5, 14 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
39 Ejemplo 6 Resolver x + 2 < x En efecto tenemos x + 2 < x x x > 0 x + 2 < x 2 x 2 x > 0 0 < x 2 x 2 0 < (x 2)(x + 1) }{{}, 1 2,+ Entonces el conjunto solución es C.S = 2, + Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
40 Proposición 3 Para todo y < 0 se cumple x > y x 0 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
41 Ejemplo 7 Resolver x + 2 > x 1 Como x 1 < 0 tenemos x = x 2 Por lo tanto el conjunto solución es C.S = [ 2, + Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
42 Proposición 4 Para todo y > 0 se cumple x > y x 0 x > y 2 Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
43 Ejemplo 8 Resolver x + 1 > 4 Entonces x + 1 > 4 x x + 1 > 4 }{{}}{{} 2 x 1 x>15 Entonces el conjunto solución es C.S = 15, + Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
44 Ejemplo 9 Resolver x 2 3x + 2 > 2 x En esta inecuacion tendremos 2 casos Caso 1 Si 2 x < 0 }{{}, entonces 2<x aplicando la proposición 3 tenemos x 2 3x (x 2)(x 1) 0 }{{},1] [2,+ C.S.1 = 2, + Caso 2 Si 2 x 0, entonces aplicando la proposición 4 tenemos 2 x 0 x 2 3x + 2 > (2 x) 2 }{{}}{{} 2 x x 2 3x+2>4 4x+x 2 = x>2 Entonces C.S.2 = Por lo tanto el conjunto solución es la unión C.S = C.S1 C.S2 = 2, + Julio Yarasca (UNI) Ecuaciones de Segundo Grado April 15, / 36
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