Análisis del lugar geométrico de las raíces
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- Agustín Méndez Alarcón
- hace 7 años
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1 Análii del lugar geométrio de la raíe La araterítia báia de la repueta tranitoria de un itema en lazo errado e relaiona etrehamente on la ubiaión de lo polo en lazo errado. Si el itema tiene una ganania de lazo variable, la ubiaión de lo polo en lazo errado depende del valor de la ganania de lazo elegida. Lo polo en lazo errado on la raíe de la euaión araterítia. W. R. Evan dieñó un método enillo para enontrar la raíe de la euaión araterítia, que e ua ampliamente en la ingeniería de ontrol. Ete método e denomina método del lugar geométrio de la raíe, y en él e grafian la raíe de la euaión araterítia para todo lo valore de un parámetro del itema. Oberve que el parámetro e, por lo general, la ganania la ual e varía de ero a infinito, aunque e poible uar ualquier otra variable de la funión de tranferenia en lazo abierto. Sea el iguiente itema de ontrol La funión de tranferenia de lazo abierto y de lazo errado on G 4 C R 4 La euaión araterítia de lazo errado 4 0 La raíe de la euaión araterítia o polo de lazo errado on, 4 1 1
2 i -+i 8 --i -+i i -+3i Trayetoria del lugar geométrio de la raíe Lugar geométrio de la raíe De la grafia: El itema e etable i 0, dado que en eta ondiión ambo polo etán en el lado izquierdo del plano. Repueta tranitoria 1. Sobreamortiguada 1 (Polo reale y diferente) 0 4. Crítiamente amortiguada 1 (Polo reale e iguale) 4 3. Subamortiguada (Polo omplejo onjugado) 4. Sin amortiguamiento 0 (Polo imaginario) No hay valor de que haga que el itema tenga ete tipo de repueta.
3 Gráfia del lugar geométrio de la raíe Conidere el iguiente itema de ontrol, la funión de tranferenia de lazo errado e C R G 1 G H La euaión araterítia de ete itema e o bien 1G H 0 GH 1 El término GH e un oiente de polinomio en. Como GH e una antidad ompleja e puede repreentar en, magnitud y ángulo Condiión de ángulo 180º 1 0,1,, G H k k Condiión de magnitud GH 1 Lo valore de que umplen tanto la ondiione de ángulo omo la de magnitud on la raíe de la euaión araterítia, o lo polo en lazo errado. El lugar geométrio de la raíe e una gráfia de lo punto del plano omplejo que ólo atifaen la ondiión de ángulo. La raíe de la euaión araterítia (lo polo en lazo errado) que orreponden a un valor epeífio de la ganania e determinan a partir de la ondiión de magnitud. Magnitud y Ángulo en el plano. Por ejemplo Si GH e en donde p y p3 G H z1 p p p p G H e on polo omplejo onjugado, el ángulo de G H z p p p p G H
4 La magnitud de GH para ete itema e G H z 1 p1 p p3 p4 1 G H B A A A A
5 Regla generale para ontruir lo lugare geométrio de la raíe. 1 Iniio y final de la trayetoria La trayetoria del lugar geométrio de la raíe empiezan en lo polo en lazo abierto G H on 0 G H o en el infinito (ero finito o ero en infinito) on. y terminan en lo ero de Trayetoria obre el eje real: Cada parte del lugar geométrio de la raíe obre el eje real e extiende obre un rango de un polo o ero a otro polo o ero. Exiten trayetoria obre el eje real i la antidad total de polo y ero reale de GH a la dereha de un punto de prueba e impar. 3 Ubiaión de lo ero infinito: Cuando el lugar geométrio de la raíe tiende a infinito lo hae en forma aintótia (en línea reta). a Número de aíntota # A # A n p n z donde: n Número de polo de G H p n Número de ero finito de G H z b Centroide de la aíntota o Pi Z o n n p z i donde: i P Suma de valore de lo polo Z Suma de valore de lo ero i Angulo de la aíntota A 180 k 1 A n n p z k 0,1,, 5
6 4 Punto de quiebre o de ruptura S q a Cuando exiten trayetoria entre do polo o do ero reale, exite punto de ruptura en el uál el lugar de la raíe deja el eje real. Proedimiento para determinar lo punto de quiebre i) De la euaión araterítia, depejar ii) Derivar una vez on repeto a e igualar a ero la euaión reultante. iii) Obtener la raíe de la euaión obtenida en el inio (ii), eleionar el o lo punto de quiebre del itema. A G B Si H La e. Caraterítia ería G H Depejando A 1 1 B B B A A 0 Lo punto de ruptura e determinan reolviendo la iguiente euaión. d d 0 5. Ganania de quiebre q E el valor de en el punto de quiebre. Se obtiene utilizando la ondiión de magnitud en el punto 6. Ganania Critia E el valor de que hae que el itema e enuentre en el límite de etabilidad. Se obtiene apliando el riterio de Routh-Hurwitz en la euaión araterítia, e etablee el rango de valore de para que el itema ea etable. Lo límite de ee rango definirán lo. 7. Freuenia Critia El valor de lo raíe (polo) uando e ruza el eje imaginario; eto e uando Se obtiene utituyendo S q en el polinomio auxiliar de la tabla de Routh. 6
7 8. Pertenenia de un punto a la trayetoria del L.G.R. Para que un punto perteneza a la trayetoria del L.G.R. debe umplir la ondiión de ángulo: G delo angulodelo ero finito deg( ) H( ) al punto H 180º k 1 k 0,1,, delo angulodelo polo 180 ( ) ( ) del G H al punto k 1 9. Cálulo de para ualquier punto del L.G.R. Si un punto pertenee al L.G.R. e puede obtener la ganania que permite tener ee punto. produtodela longitudeentre el punto produtodela longitudeentre el punto y lo polo de G( ) H( S) y lo ero deg( ) H( S) 10. Cálulo de el ángulo de alida (o ángulo de llegada) de un trayetoria a partir de un polo omplejo (un ero omplejo) Para trazar lo lugare geométrio de la raíe on una preiión razonable, debemo enontrar la direione de lo lugare geométrio de la raíe erana a lo polo y ero omplejo. Si e eleiona un punto de prueba y e mueve en la eranía preia del polo omplejo (o del ero omplejo), e onidera que no ambia la uma de la ontribuione angulare de todo lo otro polo y ero. Ángulo de alida dede un polo omplejo = (uma de lo ángulo de vetore haia el polo omplejo en uetión dede otro polo) + (uma de lo ángulo de vetore haia el polo omplejo en uetión dede lo ero) Ángulo de llegada a un ero omplejo = (uma de lo ángulo de vetore haia el ero omplejo en uetión dede otro ero) + (uma de lo ángulo de vetore haia el ero omplejo en uetión dede lo polo) 7
8 Ejemplo 1 Conidere el itema de la figura. G H 1 Trae la gráfia del lugar geométrio de la raíe y determine el valor de tal que el fator de amortiguamiento relativo de lo polo dominante omplejo onjugado en lazo errado ea 0.5. Para el itema determinado, la ondiión de ángulo e onvierte en G H 1 La ondiión de magnitud e 1 180º k 1 k 0,1, G H Iniio y final de la trayetoria: La trayetoria del L.G.R. empiezan en lo polo de lazo abierto 0, 1 y on 0, y terminan en el infinito on Polo de lazo abierto. Trayetoria obre el eje real: La trayetoria del L.G.R. obre el eje real exiten entre lo polo 0 y 1 y de a. Trayetoria del LGR 3. Ubiaión de lo ero infinito: La antidad de trayetoria del L.G.R. que tienden a infinito on 3, ya que no exiten ero finito. # A n p n P Zi z i 0 np nz 3 1 8
9 k k A n n 3 p z k 1 60, 4. Punto de quiebre o de ruptura S q. Como exite lugar de la raíe entre do polo 0 y 1, entone exite un punto de quiebre. De la euaión araterítia depejamo derivando repeto a e igualando a ero d d reolviendo Como el punto de ruptura debe etar entre 0 y 1 entone el punto ería q 0.4 Punto de quiebre 9
10 5. Ganania de quiebre q Utilizando el punto de quiebre q alulamo la ganania de quiebre on la ondiión de magnitud 6. Ganania Critia araterítia 1 (0.4)(0.578)(1.578) S q : Se obtiene apliando el riterio de Routh-Hurwitz en la euaión 3 3 La euaión araterítia e 0 La tabla de Routh e PolinomioAuxiliar P() 0 La ganania rítia e obtiene de El punto rítio e obtiene del polinomio auxiliar j Punto rítio 10
11 Para determinar la ganania que permite tener una repueta on relaión de amortiguamiento 0.5 Primero e determina el punto, que ete obre el L.G.R. y que ete obre la reta de relaión de amortiguamiento Punto deeado d Se determina la euaión de la reta de 0. 5 o 1 1 o º 10º 1. x y x tan 73 Con eta euaión de la reta e propone un valor en x y e determina el valor en y, x jy ete punto debe de umplir la ondiión de ángulo para que ete obre el LGR x j y 1 = j º º -3.4º º -0.3+j0.5-10º º -17º º j El punto que umple on la do ondiione e j Apliando la ondiión de magnitud j La ganania que me permite tener una repueta on una relaión de amortiguamiento 0. 5 e
12 1
13 Ejemplo Conidere el itema de la figura. G H ( 5) 1 Trae la gráfia del lugar geométrio de la raíe y determine el valor de tal que el fator de amortiguamiento relativo de lo polo dominante omplejo onjugado en lazo errado ea 0.6. Para el itema determinado, la ondiión de ángulo e onvierte en ( 5) G ( ) H ( 5) ( ) ( 1) ( ) 180 ( 1)( ) La ondiión de magnitud e ( 5) G ( ) H ( 1)( ) Iniio y final de la trayetoria: La trayetoria del L.G.R. empiezan en lo polo de lazo abierto 0, 1 y on 0 5 y do en el infinito on, y terminan, una en. Trayetoria obre el eje real: La trayetoria del L.G.R. obre el eje real exiten entre lo polo 0 y 1 y de a Ubiaión de lo ero infinito: La antidad de trayetoria del L.G.R. que tienden a infinito on, ya que olo exite un ero finito. # A n p n 31 P Zi z i 0 np nz k k A 90 n n p z 1 13
14 Aíntota Aíntota 4. Punto de quiebre o de ruptura ( S q ). Como exite lugar de la raíe entre do polo 0 y 1, entone exite un punto de quiebre. De la euaión araterítia depejamo 1 ( 5) derivando repeto a e igualando a ero 3 d d Reolviendo Como el punto de ruptura debe etar entre (0 y -1) entone el punto ería q Punto de quiebre Aíntota Aíntota 5. Ganania de quiebre ( q ) Utilizando el punto de quiebre quiebre on la ondiión de magnitud q alulamo la ganania de 14
15 1 ( 5) S q (0.447)(0.553)(1.553) Ganania Critia ( ): Se obtiene apliando el riterio de Routh-Hurwitz en la euaión araterítia 3 3 La euaión araterítia e ( ) 5 0 La tabla de Routh e PolinomioAuxiliar P() 0 La ganania rítia e obtiene de El punto rítio e obtiene del polinomio auxiliar j Punto rítio Punto rítio Para determinar la ganania que permite tener una repueta on relaión de amortiguamiento
16 Primero e determina el punto, que ete obre el L.G.R. y que ete obre la reta de relaión de amortiguamiento 0. 6 Se determinan lo punto que etén obre la reta de 0. 6 o 1 o x y x tan 333 on eta euaión de la reta e propone un valor en x y e determina el valor en y el punto debe de umplir la ondiión de ángulo para que ete obre el LGR x j y 5 1 = j 6.61º º º -18.4º = º j 6.59º -16.8º º º = º El punto que umple on la do ondiione e j Apliando la ondiión de magnitud 16
17 j La ganania que me permite tener una repueta on una relaión de amortiguamiento 0. 6 e
18 Ejemplo 3 Conidere el itema de la figura. G H G H 4 8 j j Para el itema determinado, la ondiión de ángulo e G ( ) H ( ) ( j) ( j) 180 La ondiión de magnitud e j j G ( ) H 1 j j j j 1. Iniio y final de la trayetoria: La trayetoria del L.G.R. empiezan en lo polo de lazo abierto 0, j y j on 0, y terminan, en el infinito on. Polo de lazo abierto. Trayetoria obre el eje real: La trayetoria del L.G.R. obre el eje real exiten entre 0 y. Trayetoria del LGR 3. Ubiaión de lo ero infinito: La antidad de trayetoria del L.G.R. que tienden a infinito on 3, ya que no exiten ero finito. P Zi # A n p n z 0 j j 3 i 0 n p nz
19 180 A n n p k k 1 z 3 60,180º aíntota aíntota Punto de quiebre o de ruptura ( S q ): No exite punto de quiebre. 5. Ganania de quiebre ( q ): No exite ganania de quiebre 6. Ganania Critia ( ): Se obtiene apliando el riterio de Routh-Hurwitz en la euaión araterítia 3 4 La euaión araterítia e 8 0 La tabla de Routh e PolinomioAuxiliar P() 0 La ganania rítia e obtiene de El punto rítio e obtiene del polinomio auxiliar j 19
20 Punto rítio 10. Cálulo de el ángulo de alida (o ángulo de llegada) de un trayetoria a partir de un polo omplejo (un ero omplejo) Se toma omo polo omplejo j Ángulo de alida = 180 j
21 Ejemplo 4 Conidere el itema de la figura. G H G( ) H j 3 j Para el itema determinado, la ondiión de ángulo e 4 3 j 3 j 4 ( 3 j) ( 3 ) G ( ) H j 180 La ondiión de magnitud e 4 3 j 3 j G ( ) H 1 3 j 4 3 j 1. Iniio y final de la trayetoria: La trayetoria del L.G.R. empiezan en lo polo de lazo abierto 3 j y 3 j on 0, y terminan, una en el ero 4 y la otra en el infinito on. Trayetoria obre el eje real: La trayetoria del L.G.R. obre el eje real exiten entre 4 y. 3. Ubiaión de lo ero infinito: La antidad de trayetoria del L.G.R. que tienden a infinito e 1, ya que olo exite un ero finito. # A n p n 11 P Zi z 3 j 3 j 1 i 0 n p nz k k A 180 n n 1 p z 4. Punto de quiebre o de ruptura ( S q ): Como exite lugar de la raíe entre un ero y el infinito 4 y, entone exite un punto de quiebre. De la euaión araterítia depejamo 3 j 3 j ( 4) derivando repeto a e igualando a ero d d ( 4) 4 1
22 reolviendo Como el punto de ruptura debe etar entre 4 y entone el punto ería Ganania de quiebre ( q ): Utilizando el punto de quiebre quiebre on la ondiión de magnitud q q alulamo la ganania de 3 j 3 j ( 4) S q 3 j 4 3 j (6.357)(6.357) Ganania Critia : No exite ganania rítia porque el LGR no ruza el eje imaginario 7. El punto rítio : No exite punto rítio 10. Cálulo de el ángulo de alida (o ángulo de llegada) de un trayetoria a partir de un polo omplejo (un ero omplejo) Se toma omo polo omplejo 3 j Ángulo de alida = j
23 Ejemplo 5 Conidere el itema de la figura. G H Para el itema determinado, la ondiión de ángulo e onvierte en G ( ) H 180 La ondiión de magnitud e 3 4 ( ) ( 1) G ( ) H Iniio y final de la trayetoria: La trayetoria del L.G.R. empiezan en lo polo de lazo abierto y 1 on 0, y terminan, en lo ero 3 y 4 on.. Trayetoria obre el eje real: La trayetoria del L.G.R. obre el eje real exiten entre 1 3 y 4. y y 3. Ubiaión de lo ero infinito: No exiten trayetoria del L.G.R. que tiendan a infinito. 4. Punto de quiebre o de ruptura ( S q ): Como exite lugar de la raíe entre y 1 y el infinito 4 y, entone exite un punto de quiebre. De la euaión araterítia depejamo 1 ( 3)( 4) derivando repeto a e igualando a ero reolviendo d d ( 3)( 4) ( 3) ( 4) Lo do punto on punto de ruptura ya que etán entre 1 q q y y 4 y 3
24 5. Ganania de quiebre ( q ): Utilizando lo punto de quiebre q1 y q, alulamo la ganania de quiebre on la ondiión de magnitud q1 q ( 3)( 4) S q ( 3)( 4) S q S q1 S q Ganania Critia : No exite ganania rítia porque el LGR no ruza el eje imaginario 7. Punto rítio : No exite punto rítio 4
25 5
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27 G H
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29 9 Mp Tp T
30 =5.5 =6 =9 =.5 =1.036 =0. = G H 1 =
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