ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE COEFICIENTES VARIABLES

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE COEFICIENTES VARIABLES MÉTODO DE CAUCHY-EULER ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA ESIME CULHUACAN

2 En el tema anterior tocamos el caso de las ecuaciones diferenciales de orden superior de coeficientes constantes homogéneas y no homogéneas, en este caso ahora abarcaremos el tema de ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, donde analizaremos el método de Cauchy-Euler. Cuando tenemos una ecuación diferencial de la forma: a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y dx n 1 + a n 2x n 2 dn 2 y dx n a 0y = f(x) Debido a que se involucran variables con exponentes, se dice que es una ecuación diferencial con coeficientes variables, donde se debe tener cuidado que los exponentes sean equivalentes a los valores de orden de las diferenciales que acompañan estas, para poder aplicar el método de Cauchy- Euler, en el cual se propone el para la variable dependiente de la ecuación el siguiente valor: y = x m El cual debe ser derivado según el orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo: y = x m y = mx m 1 y = m(m 1)x m 2 y = (m 2 m)x m 2 Al elaborar esta sustitución se debe de obtener una fusión algebraica de la cual obtendremos sus raíces donde de misma forma que el tema anterior tendremos los siguientes tres casos: 1. Raíces diferentes: en este caso la solución de la ecuación diferencial se deberá presentar de la siguiente forma: y(x) = c 1 x m 1 + c 2 x m 2 + c 3 x m c n x m n 2. Raíces idénticas: cuando la función algebraica presenta raíces idénticas la solución de la ecuación diferencial se presentara como: y(x) = c 1 x m + c 2 x m ln(x) + c 3 x m ln(x) c n x m ln (x) n 1 3. Raíces complejas: Cuando la expresión algebraica contiene raíces complejas la solución de la ecuación diferencial se presentara como: y(x) = x α {c 1 cos[β ln(x)] + c 2 sin [β ln(x)]} Se tiene que tomar en cuenta que si la ecuación diferencial es mayor al segundo orden dos o más casos pueden combinarse. ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 1

3 Ejemplos. 1. x 2 y + 3xy + 5y = 0 Como podemos apreciar la ecuación es de segundo orden por lo cual tendremos que sustituir los siguientes valores: y = x m y = mx m 1 y = (m 2 m)x m 2 x 2 (m 2 m)x m 2 + 3xmx m 1 + 5x m = 0 (m 2 m)x m + 3mx m + 5x m = 0 (m 2 + 2m + 5)x m = 0 La función m 2 + 2m + 5 es a la que tenemos que determinar sus raíces. m 2 + 2m + 5 = 0 m = 2 ± 22 4(5) 2 m = m = 2 ± ± 16 2 m = 1 ± 2i Debido a que es el caso de raíces complejas entonces aplicaremos que la solución a la ecuación diferencial es: y(x) = x 1 {c 1 cos[2 ln(x)] + c 2 sin [2 ln(x)]} ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 2

4 2. x 2 y 16xy + 30y = 0, y(2) = 9 y (2) = 5 Aplicaremos las siguientes sustituciones: y = x m y = mx m 1 y = (m 2 m)x m 2 x 2 (m 2 m)x m 2 16xmx m x m = 0 (m 2 m)x m mx m + 30x m = 0 (m 2 17m + 30)x m = 0 Calculando las raíces: m 2 17m + 30 = 0 (m 15)(m 2) = 0 m 1 = 2, m 2 = 15 De los cual el resultado de la E.D será: y(x) = c 1 x 2 + c 2 x 15 Como el problema propone valores iniciales los aplicaremos para conocer el valor de las constantes: y (x) = 2c 1 x + 15c 2 x 14 c 1 (2) 2 + c 2 (2) 15 = 9 2c 1 (2) + 15c 2 (2) 14 = 5 4c c 2 = 9 4c c 2 = 5 En este ejemplo el sistema de ecuaciones los solucionaremos por Gauss-Jordan ( ) 1 4 R 1 R 1 ( ) 4R 1 + R 2 R ( ) R 2 R 2 ( 4 ) 8192R R 1 R ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 3

5 ( 52 ) Por lo que entonces los valores de las constantes son: Y la ecuación diferencial resultante es: c 1 = c 2 = y(x) = x x2 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 4

6 3. x 3 y 2x 2 y 6xy + 24y = 0, y(1) = 2, y (1) = 3, y (1) = 0 Iniciaremos realizando las sustituciones correspondientes según el grado de las diferenciales parciales: x 3 (m 3 3m 2 + 2m)x m 3 2x 2 (m 2 m)x m 2 6x(mx m 1 ) + 24x m = 0 (m 3 3m 2 + 2m)x m + ( 2m 2 + 2m)x m 6mx m + 24x m = 0 (m 3 5m 2 2m + 24)x m = 0 De lo cual entonces determinaremos las raíces de la función: m 3 5m 2 2m + 24 = m 1 = 2 De los cual ahora obtenemos las raíces de la nueva expresión algebraica m 2 7m + 12 = 0 (m 4)(m 3) = 0 m 2 = 3, m 3 = 4 De lo cual podemos obtener la subsecuente solución de la ecuación diferencial: y(x) = c 1 x 2 + c 2 x 3 + c 3 x 4 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 5

7 Ahora aplicaremos los valores iniciales para conocer las constantes de la ecuación diferencial y obtener un resultado definitivo y(x) = c 1 x 2 + c 2 x 3 + c 3 x 4 y (x) = 2c 1 x 3 + 3c 2 x 2 + 4c 3 x 3 y (x) = 6c 1 x 4 + 6c 2 x + 12c 3 x 2 Sustituyendo sobre la función y sus derivadas parciales, los valores iniciales: c 1 (1) 1 + c 2 (1) 3 + c 3 (1) 4 = 2 2c 1 (1) 3 + 3c 2 (1) 2 + 4c 3 (1) 3 = 3 6c 1 (1) 4 + 6c 2 (1) + 12c 3 (1) 2 = 0 c 1 + c 2 + c 3 = 2 2c 1 + 3c 2 + 4c 3 = 3 6c 1 + 6c c 3 = 0 Para este ejemplo usaremos el método de Cramer para obtener el valor de las constantes: De lo que el resultado definitivo es: = = c1 = = c 2 = = c3 = = c 1 = 6 30 = 1 5, c 2 = = 19 5, c 3 = = 2 y(x) = 2x x3 1 5x 2 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 6

8 4. x 2 y 9xy + 25y = 0 Empezaremos con la sustitución de sus diferenciales parciales: Obteniendo las raíces x 2 (m 2 m)x m 2 9x(mx m 1 ) + 25x m = 0 (m 2 m)x m 9mx m + 25x m = 0 (m 2 10m + 25)x m = 0 m 2 10m + 25 = 0 (m 5) 2 = 0 m 1 = m 2 = 5 Observamos que este es el caso de raíces idénticas por lo tanto el resultado de la Ecuación Diferencial es: y(x) = c 1 x 5 + c 2 x 5 ln(x) ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 7

9 5. xy 5y = 0 Como se aprecia en este caso el grado de las variables no corresponde al grado de las diferenciales parciales por lo cual buscaremos forzaremos que así sea: x(xy 5y = 0) x 2 y 5xy = 0 Y ahora realizaremos la sustitución de las diferenciales parciales: Y la ecuación resultante será: x 2 (m 2 m)x m 2 5x(mx m 1 ) = 0 (m 2 m)x m 5mx m = 0 (m 2 6m)x m = 0 m 2 6m = 0 m(m 6) = 0 m 1 = 0, m 2 = 6 y(x) = c 1 + c 2 x 6 En este ejemplo se realizara la comprobación para verificar que el resultado obtenido sea el correcto: y (x) = 6c 2 x 5 y (x) = 30c 2 x 4 x(30c 2 x 4 ) 5(6c 2 x 5 ) = 0 30c 2 x 5 30c 2 x 5 = 0 0 = 0 De lo cual se comprueba que aun realizando el cambio que se realizó al principio el resultado obtenido si corresponde a la ecuación diferencial. ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 8

10 6. x 2 y 3xy + 3y = 2x 4 e x En este ejemplo ahora tenemos el caso de una ecuación diferencial no homogénea en la cual aplicaremos el método de variación de parámetros. Como se analizó en el caso de las ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes obtendremos dos soluciones, la complementaria y la particular. De misma forma al tema anterior la solución particular se obtendrá tratando la ecuación diferencial como una ecuación homogénea. x 2 y 3xy + 3y = 0 x 2 (m 2 m)x m 2 3x(mx m 1 ) + 3x m = 0 (m 2 m)x m 3mx m + 3x m = 0 (m 2 4m + 3)x m = 0 m 2 4m + 3 = 0 (m 3)(m 1) = 0 m 1 = 1, m 2 = 3 y c (x) = c 1 x + c 2 x 3 Ahora entonces aplicaremos el método de variación de parámetros: El sistema de ecuaciones para el método será: y 1 = x y 1 = 1 y 2 = x 3 y 2 = 3x2 y p (x) = u 1 x + u 2 x 3 u 1x + u 2x 3 = 0 u 1 + u 2 (3x 2 ) = 2x 4 e x W = x x3 1 3x 2 = 3x3 x 3 = 2x 3 W 1 = x 3 2x 4 e x = 2x 7 e x W 2 = x 2x 4 e x = 2x 5 e x ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 9

11 u 1 = 2x7 e x 2x 3 u 2 = 2x5 e x 2x 3 = x 4 e x = x2 e x Ahora determinaremos los valores de las funciones constantes: u 1 = x 4 e x dx u 2 = x 2 e x dx Por la forma que tienen las dos integrales para facilitar su cálculo emplearemos las siguientes fórmulas que son definidas a partir de la integral por partes: x n e ax dx = 1 a xn e ax n a xn 1 e ax dx xe ax dx = 1 a xeax 1 a 2 eax u 1 = (x 4 e x 4 x 3 e x dx) = x 4 e x + 4 (x 3 e x 3 x 2 e x dx) = x 4 e x + 4x 3 e x 12 (x 2 e x 2 xe x dx) = x 4 e x + 4x 3 e x 12x 2 e x + 24(xe x e x ) = x 4 e x + 4x 3 e x 12x 2 e x + 24xe x 24e x u 1 = ( x 4 + 4x 3 12x x 24)e x u 2 = x 2 e x 2 xe x dx u 2 = x 2 e x 2(xe x e x ) u 2 = x 2 e x 2xe x + 2e x u 2 = (x 2 2x + 2)e x Por lo que la solución particular es: y p (x) = [( x 4 + 4x 3 12x x 24)e x ]x + [(x 2 2x + 2)e x ]x 3 y p (x) = ( x 5 + 4x 4 12x x 2 24x + x 5 2x 4 + 2x 3 )e x y p (x) = (2x 4 10x x 2 24x)e x La solución final se presentan como: y(x) = c 1 x + c 2 x 3 + (2x 4 10x x 2 24x)e x ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 10

12 7. Resuelva la ecuación diferencial utilizando el valor x = e t x 2 y 4xy + 6y = ln(x 2 ) Primero obtendremos la solución complementaria como el ejemplo anterior Por lo que la solución complementaria sería: x 2 (m 2 m)x m 2 4x(mx m 1 ) + 6x m = 0 (m 2 5m + 6)x m = 0 (m 3)(m 2) = 0 m 1 = 2, m 2 = 3 y c (x) = c 1 x 2 + c 2 x 3 Como al principio del problema se propone una sustitución de x = e t, haremos este cambio. f(x) = ln(x 2 ) f(e t ) = ln[(e t ) 2 ] = ln(e 2t ) = 2t y c (e t ) = c 1 (e t ) 2 + c 2 (e t ) 3 y c (e t ) = c 1 e 2t + c 2 e 3t Con esta nueva forma la solución complementaria se presenta como: W = e2t y 1 = e 2t, y 1 = 2e2t y 2 = e 3t, y 2 = 3e3t y p (e t ) = u 1 e 2t + u 2 e 3t u 1e 2t + u 2e 3t = 0 u 1 (2e 2t ) + u 2 (3e 3t ) = 2t 2e 2t e 3t 3e 3t = 3e5t 2e 5 t = e 5t W 1 = e 3t (2t) = 2te 3t W 2 = e 2t (2t) = 2te 2t u 1 = 2te3t e 5t u 2 = 2te2t e 5t = 2te 2t = 2te 3t ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 11

13 u 1 = 2 te 2t dt = 2 ( 1 2 te 2t 1 4 e 2t ) u 1 = (t ) e 2t u 2 = 2 te 3t dt = 2 ( 1 3 te 3t 1 9 e 3t ) u 2 = ( 2 3 t 2 9 ) e 3t y p (e t ) = [(t ) e 2t ] e 2t + [( 2 3 t 2 9 ) e 3t ] e 3t y p (e t ) = 1 3 t Como este último resultado está en función de e t, lo regresaremos a que este en termino de x. x = e t t = ln(x) y p (x) = 1 3 ln(x) Por lo que la solución final a la ecuación diferencial es: y(x) = c 1 x 2 + c 2 x ln(x) ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 12

14 Ejercicios 1. x 2 y 3xy + 2y = 0 2. x 2 y 20xy + 110y = 0, y(1) = 3, y (1) = 0 3. x 3 y + 3x 2 y + xy + 8y = 0 4. t 3 y + 12t 2 y + 24ty 24y = 0, y(1) = 2, y (1) = 3, y (1) = 4 5. r 2 s 17rs + 81s = 0 6. x 4 y (4) + 2x 3 y + 3x 2 y + xy + y = 0 7. xy y = 0 8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por Variación de parámetros. a. t 2 y + 12ty 15y = t + 2 b. Utilizando x = e t resuelva las ecuaciones: i. x 3 y + 3x 2 y + 10xy = ln(x) ii. x 2 y + 2y = 3t 2 ING. JONATHAN ALEJANDRO CORTÉS MONTES DE OCA 13