Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Análisis Numérico. Raíces de ecuaciones Teoría General de la iteración

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1 Métodos Numéricos/ Calculo Numérico/ Aálisis Numérico. Raíces de ecuacioes Teoría Geeral de la iteració Bibliografía: Métodos Numéricos G. Pacce Editorial EUDENE Problemas resueltos de Métodos Numéricos. Cordero Barbero, A. y otros. Thomso Editores Spai INTRODUCCIÓN Se preseta co frecuecia la ecesidad de resolver: f( x) = 0 f(x) es ua fució de variable real x co coeficietes reales Problema geeral es hallar valores uméricos de la variable idepediete x, llamadas raíces. Razó fudametal para resolver ec. o lieales es que carece de solució exacta e la mayoría de las veces.

2 Itroducció Objetivo: Resolució umérica de ecuacioes mediate la aplicació de métodos iterativos, y además, haciedo uso de los resultados a los cuales ha llegado la TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN. Esta teoría permite categorizar los métodos recursivos o iterativos. Permite elaborar métodos que puede clasificarse como muy rápidamete covergetes. Se obtiee valores altamete precisos luego de ejecutar u úmero relativamete bajo de pasos e el procesamieto. MÉTODO DE ITERACIÓN Para calcular r de la ecuació f(x) = 0 por el MÉTODO DE ITERACIÓN, es ecesario reescribir la expresió aalítica de la ecuació dada, e la forma: f 1 (x) = f 2 (x) Esto requiere la mayoría de las veces u secillo tratamieto algebraico de la ecuació dada. Si e u etoro del puto comú o de itersecció de ambas curvas, e la figura siguiete: y 1 =f1 (x); y 2 = f2 (x)

3 MÉTODO DE ITERACIÓN Fig. 1 e u etoro del puto x = r, la pediete de la curva f 1 (x) < la pediete de la curva f 2 (x) Método de Iteració. El proceso que es ecesario realizar se sitetiza así : x f ( x ) = f ( x ) x x f ( x ) = f ( x ) x x f ( x ) = f ( x ) x x f ( x ) = f ( x ) x lo cual permite obteer, si el proceso resultase covergete, al valor aproximado r, de la raíz buscada.

4 Método de Iteració. Si se parte de u x 0 y se procede sistemáticamete se obtedrá valores x 1 ; x 2 ; x 3 que coverge hacia la raíz r buscada. Fig. 2 Método de Iteració. Si las derivadas f1 (x) y f2 (x), e u etoro del puto x = r, tiee igual sigo, como se idica e la Figura 1, y recibe el ombre de ESCALERA. Si los sigos de las pedietes de las curvas ivolucradas so diferetes, la aproximació se llama e ESPIRAL, como se muestra e la Figura 2.

5 CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN Codició de covergecia: demostrar que x +1 es ua mejor aproximació a la raíz r que x. Para ello, por ser f 1 (r) = f 2 (r), etoces: f 1 (r) - f 1 (x ) = f 2 (r) - f 2 (x +1 ) Aplicado el teorema del valor medio a a.m. y tomado módulos, resulta: r x. f '( ξ ) r x. f '( ξ ) dode, r ξ x ; r ξ x 1 1 = < 1< < 2< + 1 Como x x +1 etoces ξ 1 ξ 2 CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE ITERACIÓN ( II ) cuado el proceso se ecuetra e estado relativamete avazado; el valor de x esta próximo al de la raíz r. E todo puto de u etoro de x = r, por hipótesis se cumple que: Debe ser: f 1 (x) < f 2 (x) r x < r x +1 es decir que, la aproximació de orde +1 de la raíz r es mejor que la aproximació aterior, de orde.

6 UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN Uso más frecuete: cuado la expresió f(x) se puede escribir como x = g(x). Ua de las derivadas es costatemete igual a uo. Si x 0 es ua aproximació al valor de r; etoces, si es: g'(x) < 1 resulta la siguiete sucesió de iteracioes: x 1 = g(x 0 ) x 2 = g(x 1 ) x = g(x -1 ) x +1 = g(x ) UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN

7 UTILIDAD DEL MÉTODO DE ITERACIÓN Bajo estas codicioes el algoritmo es mas secillo. Es importate, que se cumpla: g' ( x) <1 Caso cotrario, el proceso resultaría divergete, o bie, podría reducirse al caso gral. estudiado, ya que, debería ser iterceptada primero la curva y = x; co lo cual se pierde la posibilidad de lograr el objetivo deseado. Tabla Comparativa de Métodos Newto- 2do orde de Raphso Newto Necesita u bue valor iicial Evalúa e cada paso la fució y su derivada Error por redodeo o se icremeta Aplicable a raíces complejas. Derivada puede o existir e todos los putos Coverge más rápido aú Aproximació extremadamete cercaa a r co u míimo de pasos Limitado a ec. co deriv.de orde superior simples Aplicable a raíces complejas Iteració Covergecia leta Gra secillez y flexibilidad para elegir la forma de las fucioes

8 Coclusioes: No existe igú método que sea la paacea uiversal, la selecció del mismo depede de la fució particular f(x). U programa eficiete debe producir ua aproximació a ua o más solucioes de f(x) = 0, teiedo cada ua u error absoluto o relativo detro de la toleracia fijada y el resultado debe geerarse e u tiempo razoable. Existe umeroso software que cotiee desarrollos de los métodos uméricos, por ejemplo: Subrutias e la biblioteca ISML( Iteratioal Mathematical Software Library) ( EEUU) Subrutias NAG (Numerical Algorithms Group)(Gra Bretaña) Subrutias NUMERICAL RECIPES e Fortra 77, Pascal y C (Cambridge Uiversity Press) (Gra Bretaña) MATLAB: Paquete de cálculo umérico: ROOTS : para calcular todas las raíces reales como complejas MATHEMATICA: Paquete de cálculo simbólico co fucioes ya programadas. Problema a resolver: Nos ofrece u crédito de 6000 euros a devolver e 50 mesualidades de 150 euros. Llamado C al importe del préstamo, al úmero de pagos, a al importe del plazo e i al tipo de iterés por período, se cumple la ecuació siguiete: C r = a r -1 r - 1 Obteer el iterés del crédito partiedo de la estimació iicial de r = 1,1. y co ua precisió < Resolver utilizado el método del puto fijo, tomado tres fucioes diferetes para hacer el estudio, aaliza e cada caso la covergecia del método.

9 TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN f(x)=0, de modo gral., puede ser resuelta haciedo uso de la siguiete expresió recursiva: x = φ Los métodos categorizados como MÉTODOS ITERATIVOS; y se resuelve tomado x 0 como ua 1era. aproximació de la raíz real r. Mediate (*) se puede geerar ua sucesió x 0 ; x 1 ; x 2 ;... ; x que aproxima el valor r. Llamado E k = x k - ( ) X +1 ( * ) r, de la raíz, resulta: TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN x 0 = r + E 0 ; x 1 = r + E 1 ;... ; x = r + E (5.5) Bajo codicioes expuestas, la sucesió x 0 ; x 1 ;... ; x tederá al valor r si, para algú k e adelate: (5.6) E > E > E > Κ > E k k+ 1 k+ 2 0 Reemplazado los valores de x +1 y x de la expresió (*), por los correspodietes dados e la (5.5), se obtiee (5.7) : ( r E ) r+ E = + +1 φ y, aplicado el teorema de TAYLOR al segudo miembro de (5.7), es:

10 TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN 1 2 r+ E+1 = φ( r) + E φ ( r) + E φ ( r) + Κ 2! pero, dado que dado que r es ua raíz de la ecuació dada, fialmete es: E+ 1 = Eφ ( r) + E φ ( r) + E φ ( r) + Κ 2! 3! Cosiderado las cosecuecias de este resultado ta importate, es posible distiguir los siguietes casos: TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN Caso 1.-φ r ( ) 0. Despreciado desde el térmio de 2do. orde e adelate, resulta: (5.9) E+1 Eφ ( r) Si Φ (r ) < 1, ->, c/ térmio de: E > E > E > Κ > E k k+ 1 k+ 2 0 será meor que el aterior, de tal modo que la sucesió x 0 ; x 1 ; x 2 ;...; x tederá al valor de r. Es u caso ITERACIÓN DE 1er. ORDEN DE CONVERGENCIA). Es u proceso lieal de E. Dado que el valor de r es descoocido, e (5.9), se puede reemplazar su valor por el de x.

11 TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN ( ) ( ). Caso 2.-φ r = 0; φ r 0 Si se despreciara desde el 3er. orde y potecias superiores de E, : (5.13) 1 2 E+ 1 ( r) E 2 φ Para que la sucesió x 0 ;x 1 ;x 2 ;... coverja a la raíz r, es ecesario que la derivada 2da. sea fiita y E 0 sea relativamete pequeño. Se puede deducir de (5.13) que cada error es proporcioal al cuadrado del aterior -> velocidad de la covergecia, es bastate rápida. ITERACIÓN DE 2do. ORDEN (caso de 2do. ORDEN DE CONVERGENCIA. Duplica el ro. de dígitos exactos e cada iteració; si e u cierto paso mejora la aproximació de 4 a 8 decimales exactos, e el sgte. se mejorará de 8 a 16 decimales exactos. TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN Caso 3. ( r) = 0; φ ( r) = 0; φ ( ) 0. φ r De maera similar a lo aterior y realizado toda la operatoria, resulta la siguiete relació de errores: E ( r) E 3! φ Se preseta rara vez e la práctica, permite obteer ua covergecia muy rápida; Desvetaja: teer, tato la fució como sus sucesivas derivadas, expresioes mucho más complejas que e los casos de covergecia de meor orde; Cosecuecia: el tiempo gaado debido a la rapidez de covergecia, es perdido por la dificultad de evaluació de la fució y sus derivadas. 3

12 TEORÍA GENERAL DE LA ITERACIÓN Se trata de ua ITERACIÓN DE TERCER ORDEN o bie que, este caso es de TERCER ORDEN DE CONVERGENCIA. Siguiedo ua metodología similar, puede ser defiidos órdees de iteració o covergecia más altos. Rara vez se preseta e la práctica; La vetaja e el aumeto e la velocidad de covergecia de los mayores órdees, se ve eutralizada por la egorrosa evaluació de la fució y sus sucesivas derivadas. PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN ( 2 ) Método idóeo para acelerar la covergecia de cualquier fórmula recursiva (proceso iterativo) de 1er. Orde. Sea x -1 ; x ; x +1 aproximacioes sucesivas y cosecutivas de la raíz r de f(x)=0 obteidas mediate u método de 1er. Orde DE CONVERGENCIA; Los errores E -1 ; E ; E +1 correspodietes, está dispuestos, segú ua progresió geométrica: E + 1 E o, lo que resulta equivalete: E E 1 x+ 1 r x r x r x r 1

13 PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN la que, resuelta e térmios de r, resulta: r x x x x x + x Sumado y restado al segudo miembro de esta última expresió, el térmio x +1, se obtiee: x 1x + 1 x r x+ 1+ x 2x + x y, e defiitiva: r x x x+ 1 = x+ 1 x x ( x x ) + 1 2x + x x x + x x + x PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN La metodología, haciedo uso de la expresió aterior: Iicio co x=x 0, de cualquier algoritmo iterativo de 1er. orde, se calcula dos aproximacioes sucesivas x 1 ; x 2 de la raíz r que, jutamete co la primera aproximació x 0 costituye la tera de base del método de AITKEN, 2.- Haciedo uso de la expresió (5.20) se calcula ua cuarta aproximació a la raíz r que, si satisface las codicioes de precisió previamete establecidas para el cálculo, se toma como tal, 3.- De o resultar satisfactoria la aproximació obteida e el paso aterior, es utilizada como primera aproximació para hallar otros dos valores sucesivos de la raíz, mediate el método iterativo origial.

14 PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN 4.- Se reitera los putos 2 y 3 hasta satisfacer las codicioes de precisió previamete establecidas para la raíz. Ejemplo.-de iteració, cojutamete co la aceleració de la covergecia de AITKEN, determiar la raíz compredida e el itervalo (1;2) de la ecuació: e x - x 2-3 = 0 co ua aproximació de cuatro cifras decimales exactas. PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN Solució: Primero, y segú las codicioes establecidas, es ecesario volver a escribir la ecuació dada bajo la forma: ( ) x= φ x = e x 3 de dode, puede deducirse que: x e φ ( x) = x 2 e 3 E cosecuecia, comezado co x 0 = 1, es egativa la catidad subradical del deomiador, por lo tato resulta coveiete hacer x 0 = 1,1. Co ello: φ x ( ) 23, 27

15 PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN Dado que el valor obteido es > 1 -> o se geerará u proceso covergete. Resulta imprescidible escribir la ecuació e forma diferete. Sea: de dode: φ ( x) ( ) ( ) x= φx= lx x = x y fialmete, tomado x 0 = 1, resulta: φ ( 1) = 0, 5 valor aceptable, se requiere que φ ( r) < 1 PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN Etoces la relació : x +1 = l (x 2 + 3) co x 0 = 1, es idóea para iiciar el procedimieto descripto, resultado: x 0 = 1 ; x 1 = 1,38629 ; x 2 = 1,59367 Utilizado los valores hallados co el objeto de la aplicació de la expresió (5.20), se obtiee: x 3 = 1,83405 Aplicado uevamete el método de iteració origial, da como resultado: x 4 = 1,85062 ; x 5 = 1,86016

16 PROCESO DELTA - CUADRADO DE AITKEN valores que, jutamete co el de x 3 y la reiteració de la formula de recurrecia (5.20), arroja : x 6 = 1,87311 Tomado x 6 valor como primera aproximació del método de iteració, resulta: x 7 = 1,87311 ; x 8 = 1,87311 E los tres últimos resultados o se ha obteido mejoría algua, pudiédose aceptar r=1,87311 como valor de la raíz co todas sus cifras decimales exactas. Resolver el mismo problema utilizado Método de Iteració y comparar el ro. de iteracioes requerido MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON Vetajas: Muy rápida covergecia a la solució deseada, Aproximació extremadamete cercaa al valor de la raíz co u bajo úmero de pasos y u míimo de cálculo. Limitacioes: Utilizació e ecuacioes que tiee derivadas de mayor orde (por lo meos de segudo), relativamete fáciles de programar y calcular. Cosidérese ua ecuació de la forma: f (x) = 0 u valor aproximado de la raíz, el que puede ser uo de los extremos de algú itervalo de separació y llamado x = x a este puto.

17 MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON Desarrollado la fució f(x) e serie de TAYLOR co respecto a x = x se obtiee: ( ** ) Si h fuera el icremeto particular de x para el cual la serie dada por ( ** ) se redujera a cero, la catidad x + h sería la raíz exacta, como se muestra e la figura 5.4. ( ) f x h f( x+ ) = f( x) + f ( x) h Κ 2! MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON Figura 5.4 y h Y=f(x) r=x +1 x Vale decir, haciedo uso de solamete los tres primeros térmios de la serie dada por (5.21), resulta: ( ) f x h f( x) + h f ( x) + =

18 MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON U valor aproximado de h, a partir de la expresió (5.22) y sumado a x o proporcioará el valor exacto de la raíz, ya que fuero utilizados para su cálculo, solo los tres primeros térmios de la serie ifiita (5.21). Pero se obtedrá ua aproximació mejor de la raíz. Sustituyedo el valor de h ecerrado detro del corchete por la expresió dada por NEWTON-RAPHSON, que es: f( x) h= x+1 x = f x se obtiee: f ( x ) + hf ( x ) f ( ) ( x) f( x) 2f ( x ) = 0 MÉTODO DE SEGUNDO ORDEN DE NEWTON y despejado el valor de h, resulta: f( x) h= x+1 x = f ( x) f( x) f ( x) 2f ( x ) fialmete, despejado x +1, se obtiee: f( x) x+ 1= x f ( ) ( x) f( x) f x 2f x ( ) Co aplicacioes sucesivas, es posible calcular e cada paso, aproximacioes cada vez más cercaas a la raíz, co elevada velocidad de covergecia. Para fucioes de 2do. orde de covergecia, es el equivalete a DELTA-cuadrado de AITKEN, aplicado a ec. de 1er. orde de covergecia, para acelerar la misma.