1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES

Transcripción

1 1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES 1. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS Definición. Sea H un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos, un producto escalar sobre H es una aplicación ( ) de H H en C tal que (x x) 0, para todo x H; (x x) = 0 si y sólo si x = 0; (x y) = (y x), para todo x, y H; (αx + βy z) = α(x z) + β(y z), para todo x, y, z H, α, β C. Un espacio vectorial dotado de un producto escalar es un espacio prehilbertiano. 1. Se cumple (x αy + βz) = α(x y) + β(x z). 2. Si H es un espacio vectorial sobre R, entonces (x y) = (y x). 3. x = 0 si y sólo si (x y) = 0 para todo y H. Proposición. Desigualdad de Cauchy Schwarz: (x y) 2 (x x) (y y) x, y H 1. C n con (x y) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. 2. l 2 con (x y) = 1 x iy i. 3. L 2 ([0, 1], C) con (f g) = 1 f(x)g(x) dx Análogamente R n, L 2 ([0, 1], R) y l 2 para sucesiones reales. Definición. La norma de x H es x := (x x), se cumple x 0, x = 0 si y sólo si x = 0; x + y x + y ; αx = α x, para x H y α C. Definiendo d(x, y) = x y se obtiene una distancia en H. 1. El producto escalar es una aplicación continua de H H en C. 2. La norma es una aplicación continua de H en C. 3. Ley del paralelogramo: x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. Definición. Un espacio prehilbertiano que es completo para la distancia inducida por el producto escalar es un espacio de Hilbert. Todo subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert, es un espacio de Hilbert. 1. Los espacios C n, L 2 [0, 1] y l 2 son de Hilbert. 2. El espacio de sucesiones casi nulas c 00 = {(x n ) : x n C, x n = 0 para n n 0 } con el producto escalar de l 2 no es completo. Análisis Funcional, 2011/12 1

2 2. ORTOGONALIDAD Definición. Sea H un espacio prehilbertiano, dos vectores x, y H son ortogonales si (x y) = 0; se denota por x y. Se llama ortogonal de un conjunto A al conjunto A de todos los vectores ortogonales a los vectores de A, es decir, A = {x H : x y, y A}. A es un subespacio vectorial cerrado. Proposición. (Teorema de Pitágoras) Si x e y son ortogonales entonces x + y 2 = x 2 + y 2. Definición. Un subconjunto A de un espacio vectorial es convexo si dados x, y A el segmento que une x con y está contenido en A, es decir, αx + (1 α)y A, para todo 0 α 1. Ejemplo. La bola unidad de un espacio de Hilbert H, B H = {x H : x 1}, es convexa. Teorema. (Lema de Riesz) Sea H un espacio de Hilbert, A un subconjunto convexo y cerrado y x H. Entonces existe un único x 0 A tal que d(x, x 0 ) = d(x, A) = inf{d(x, y) : y A}. Teorema. (Teorema de la proyección) Sea H un espacio de Hilbert, Y un subespacio vectorial cerrado de H. Entonces todo elemento x H se puede expresar de forma única como x = y + z donde y Y y z Y. 1. Si x = y + z, con y Y y z Y, se dice que y es la proyección de x sobre Y. 2. Y es el complemento ortogonal en H de Y. 3. Si Y es un subespacio vectorial cerrado de H y Y H entonces Y {0}. 3. BASES E ISOMORFISMOS (en espacios separables) Definición. Una sucesión (x n ) en un espacio prehilbertiano es un sistema ortogonal si x n 0 y x n x m para n m. Si todos los vectores del sistema tienen norma uno, se dice que es ortonormal. {e int : n Z} en L 2 (T) y e n = (0,..., 1, 0,...) en l Todo sistema ortogonal está formado por vectores linealmente independientes. 2. Proceso de ortonormalización de Gram Schmidt: dados vectores x 1,..., x n linealmente independientes en un espacio prehilbertiano, existen vectores ortonormales y 1,..., y n tales que para todo k, con 1 k n, los subespacios vectoriales generados por {x 1,..., x k } y por {y 1,..., y k } coinciden. 3. El proceso anterior se puede hacer para (x n ) 1 linealmente independientes. Teorema. (Desigualdad de Bessel) Sea (x n ) un sistema ortonormal, se cumple (x x n ) 2 x 2, para todo x H. Teorema. (Teorema de Riesz Fischer) Sea H un espacio de Hilbert y (x n ) un sistema ortonormal. Entonces α n x n converge si y sólo si α n 2 <. Definición. Sea H un espacio de Hilbert y (x n ) n N x H respecto de (x n ) n N es (x x n )x n. un sistema ortonormal en H. La serie de Fourier de Teorema. (Teorema de la base) Sea H un espacio de Hilbert (separable) y (x n ) un sistema ortonormal en H. Son equivalentes: a) (x n ) es un sistema ortonormal maximal: si (x x n ) = 0 para todo n, entonces x = 0; Análisis Funcional, 2011/12 2

3 b) (x n ) es completo: H es el menor subespacio vectorial cerrado que contiene a (x n ); c) (x n ) es una base de H: x = (x x n )x n, para todo x H; d) Identidad de Parseval: x 2 = (x x n ) 2, para todo x H. Ejemplo. (e n ) es una base de l 2 y {e int : n Z} es una base de L 2 (T). Corolario. Todo espacio de Hilbert tiene una base. Definición. Un isomorfismo entre espacios de Hilbert es una aplicación lineal sobreyectiva T : H 1 H 2 que conserva el producto escalar (T x T y) = (x y), para todo x, y H 1 (en ese caso es inyectiva y conserva la norma, es una isometría). 1. Dos espacios de Hilbert son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión (el cardinal de una base). 2. Todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a l Un espacio de Hilbert tiene dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta. Teorema. (Teorema de la mejor aproximación) Sea H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial cerrado y (x n ) una base de M. Dado x H la mejor aproximación de a x en M es la serie de Fourier de x respecto de (x n ). 4. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT Propiedad. Sea T : H 1 H 2 a) T es continuo; b) T es continuo en x = 0; c) T es acotado, es decir, existe C > 0 tal que T x C x. un operador lineal entre dos espacios prehilbertianos, son equivalentes: 1. Un operador lineal T : C n C m tiene asociada una matriz n m respecto de dos bases ortonormales (u i ) n 1 de C n y (v j ) m 1 de C m, dada por (a ij ), donde a ij = (T u i v j ). En estas condiciones todo operador lineal es acotado. 2. Operador de desplazamiento: T : l 2 l 2 dado por T (α 1, α 2,...) = (0, α 1, α 2,...) es lineal y continuo. 3. Operadores diagonales: T : l 2 l 2 dado por T (α 1, α 2,...) = (β 1 α 1, β 2 α 2,...) es lineal y continuo si la sucesión (β n ) está acotada. 4. Operador de multiplicación: T : L 2 (0, 1) L 2 (0, 1) definido por T f = fg para g L (0, 1) es lineal y continuo. 5. El operador de Volterra T f(x) = x 0 f(t) dt de L2 (0, 1) en L 2 (0, 1) es lineal y continuo. Definición. Se llama norma de un operador lineal y continuo entre dos espacios prehilbertianos a T = sup{ T x : x 1}. El espacio de los operadores lineales y continuos de H 1 en H 2 se denota por L(H 1, H 2 ), es un espacio vectorial donde d(t, S) = T S es una métrica. Propiedad. Si H 2 es completo entonces L(H 1, H 2 ) es completo. Nota. El espacio B(l 2 ) = L(l 2, l 2 ) con la norma de operadores no es un espacio prehilbertiano. Definición. Sea H un espacio prehilbertiano sobre C (ó R), un funcional lineal es una aplicación lineal f: H C (ó R). Análisis Funcional, 2011/12 3

4 Ejemplo. P i0 : l 2 (I) C, siendo P i0 ((α i ) i I ) = α i0. Nota. Si H tiene dimensión finita, todo funcional lineal es continuo. Definición. El espacio vectorial de los funcionales lineales y continuos sobre un espacio prehilbertiano H, es el dual topológico de H denotado por H. La norma de un funcional lineal continuo es f = sup{ f(x) : x 1}. El dual topológico H es completo. Nota. El núcleo de un operador T : H 1 H 2 es KerT = {x H 1 : T x = 0}. Teorema. (Teorema de Frechet Riesz) Un vector x 0 H define un funcional lineal f(x) = (x x 0 ), que es continuo. Recíprocamente, dado un funcional lineal y continuo f sobre un espacio de Hilbert H, existe un único vector x 0 H tal que f(x) = (x x 0 ) para todo x H. Se cumple f = x 0. Corolario. Identificación de un espacio de Hilbert con su dual. Definición. Dado un operador lineal y continuo entre dos espacios de Hilbert T : H 1 H 2, existe un único operador T : H 2 H 1 lineal y continuo tal que (T x y) = (x T y) para todo x H 1, y H 2. T es el adjunto de T. Adjuntos de los operadores del ejemplo anterior. 1. (αt + βs) = αt + βs. 2. T = (T ) = T. 3. T = T. 4. (T S) = S T, para S: H 1 H 2 y T : H 2 H 3. Definición. Un operador lineal y continuo T : H H es autoadjunto si T = T, y es una proyección si T T = T. Propiedad. Si T es una proyección autoadjunta (proyección ortogonal), entonces para cada x H, T x es la proyección de x sobre el subespacio vectorial cerrado T H. Se cumple T = OPERADORES COMPACTOS Definición. Un operador lineal T : H 1 H 2 es compacto si la imagen de la bola unidad de H 1 es un conjunto de clausura compacta en H 2. Un operador lineal T : H 1 H 2 tiene rango de dimensión finita si dim T (H 1 ) <. Nota. K H es relativamente compacto si y sólo si es totalmente acotado: para todo ε > 0 existen x 1,, x n H tal que n K B(x i, ε) = {x 1,, x n } + B ε. i=1 Ejemplo. Los operadores: finita. x H 1 (x x 0 )y 0 H 2, con x 0 H 1 y y 0 H 2 tienen rango de dimensión 1. Todo operador lineal y compacto es continuo. 2. Un operador lineal y continuo con rango de dimensión finita es compacto. Análisis Funcional, 2011/12 4

5 3. El conjunto de los operadores lineales compactos de H 1 en H 2, K(H 1, H 2 ), es un subespacio vectorial cerrado de L(H 1, H 2 ). 4. Los operadores compactos forman un ideal de operadores: si T y S son operadores lineales y continuos y uno de ellos es compacto, entonces ST es compacto. Teorema. Sean H 1 y H 2 espacios de Hilbert y T : H 1 H 2 a) T es compacto; b) T es compacto; lineal y continuo. Son equivalentes: c) T es límite en L(H 1, H 2 ) de una sucesión de operadores con rango de dimensión finita. Ejemplo. El operador de Volterra es compacto. Teorema. (Teorema espectral para operadores compactos) Un operador lineal T : H 1 H 2 es compacto si y sólo si se puede representar de la forma T = a n ( e n )f n, 1 donde (e n ) es una sucesión ortonormal en H 1, (f n ) es una sucesión ortonormal en H 2, (a n ) es una sucesión de escalares que tiende a cero y la serie converge en la norma de L(H 1, H 2 ). Análisis Funcional, 2011/12 5