71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES"

Transcripción

1 71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores 7. 1

2 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA Nos disponemos trvesr ndo un río de 20 m de ncho. L velocidd de l corriente es de 3 m/s y l nuestr es de 4 m/s (según el diujo). Diuj el punto l que iré prr.. Diuj l velocidd resultnte. c. Clcul l velocidd que llevré: módulo y dirección (ángulo que form con l dirección de l corriente) d. Hci dónde tendrí que ndr pr trvesrlo de form perpendiculr l orill. 4 m/s 3 m/s Dos remolcdores rrstrn un trnslántico según ls fuerzs que se hn representdo en el diujo. Cuál será el vector de l fuerz resultnte? Dos homres tirn de un cuerpo medinte cuerds. El primero lo hce con un fuerz de 30 N el otro con un de 50 N y formndo un ángulo de 60º entre ells. Hllr l intensidd de l resultnte (R). 30 N 60º 50 N Vectores 7. 2

3 Un vión es llev l velocidd del diujo por efecto de sus motores; si l co de un cierto tiempo prece un viento con l velocidd del gráfico, cuál será l nuev velocidd que tendrá el vión? (Resolverlo gráficmente). viento vión Un vgón es rrstrdo por un fuerz de 50 Kilos según se ve en l figur: Cuál es el vlor de l componente útil? 60º 50 K 2. VECTORES Y OPERACIONES GEOMETRIA ANALITICA PLANA. VECTORES Geometrí es l prte de ls mtemátics que estudi el espcio, los ojetos y sus trnsformciones. Anlític signific que el estudio se hce en coordends. Esto permite psr l lenguje lgerico. Un rect, por ejemplo, se convierte en un ecución de primer grdo: y = 3x 5 Pln, en dos dimensiones. Es decir, en el plno. Aquí entrn puntos, rects, polígonos, giros, semejnzs Se llm MAGNITUD todo quello que se puede medir. Dentro de ls mgnitudes se hl de mgnitudes esclres y vectoriles Ls mgnitudes esclres son quells que sólo precisn de un número pr su cuntificción. Por ejemplo, l ms (5 Kg), l tempertur (20 C) Ls mgnitudes vectoriles son direccionles y, por tnto, necesitn más elementos. Por ejemplo, l posición en el plno, l fuerz, l velocidd, l trslción. En estos últimos csos hlremos no de «esclr» sino de vector. Vector de posición, vector de fuerz, vector de velocidd, A vectores de posición de un móvil fuerz de rrstre de un vgón velocidd del ire B trslción del punto A l B Vectores 7. 3

4 VECTOR Un vector AB es un segmento orientdo. Qued determindo por dos puntos A (origen) y B (finl) Se llm módulo l distnci entre los dos puntos y se represent AB Se llm dirección del vector l de l rect en l que se encuentr y l de tods ls prlels. Sentido l ordención que tiene entre sus extremos. Cd dirección dmite dos sentidos que se dicen opuestos. Los designremos en l form: u, v, w,... Equivlenci o iguldd de vectores Recordr l equivlenci de frcciones. Dos vectores se dicen equivlentes o igules si tienen igul dirección, módulo y sentido. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR El vector resultnte k v tiene L mism dirección. Sentido: Opuesto si k<0 Igul si k>0 Modulo: k v = k v r Ejercicio Se v = 5. Hllr el módulo de 7 v Vector unitrio Es un vector de módulo unidd. 1 u v es un vector unitrio en l dirección de v. (Se puede dejr pr ejercicios) v Por ejemplo si SUMA DE VECTORES 1 1 v 5; v u; u Es l operción que result de l cción conjunt de dos vectores. Vectores 7. 4

5 Ley del prlelogrmo y ley del triángulo o poligonl El vector sum de dos vectores, que situmos + con origen común, equivle + con l digonl principl del prlelogrmo que determinn. Utilizr u y v. A Si los vectores vienen definidos por puntos tendrímos; o ponemos uno continución de otro tendrímos l ley del triángulo o l poligonl. El vector resultnte es el que une el principio con el finl. En el diujo se ve que el resultdo es el mismo vector. B C PROPIEDADES AB BC C Sum de vectores Asocitiv Cundo hy que sumr vrios vectores el orden de socición no vrí el resultdo (u + v) + w = u + (v + w) Asocitiv: c c Vector nulo o cero El vector 0 = AA v + 0 = v Elemento neutro: AA 0; 0 Vector opuesto Conmuttiv El vector opuesto de v es el vector v v + ( v) = 0 El vector opuesto de AB es BA Elemento opuesto: v AB ; v BA; v v 0 El orden de l sum de vectores no lter el resultdo u + v = v + u Ilustrrlo con el diujo: prlelogrmo o triángulo. Conmuttiv: Vectores 7. 5

6 Producto por esclres Asocitiv: Distriutiv 1: Distriutiv 2: Neutro: r (s ) = r s (r + s) = r + s r ( + ) = r + r 1 = Otrs: 0 v = 0. Su módulo es cero, no tiene dirección. -1 v=-v. Los módulos y dirección son igules el sentido es opuesto. 0 0; 1 RESTA DE VECTORES Restr un vector otro es sumr el opuesto. u v = u + ( v) COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES En este prtdo vmos fijrnos en los vectores como direcciones del espcio. Vmos clsificrlos según su dirección. Dos vectores u y v se dicen linelmente dependientes si tienen l mism dirección. Pueden tener distinto módulo y sentido. v r u Dos vectores se dicen linelmente independientes si ocurre lo contrrio: COMBINACION LINEAL Un vector v es cominción linel de x y y si v = x + y En el diujo el vector v es cominción linel de x y y. En concreto, v = 2 x + 3 y Otro ejemplo x -2y c 3. COORDENADAS DE UN VECTOR Dos vectores del plno de distint dirección se dice que formn un se porque culquier otro vector se puede poner como c.l. de ellos. Y est cominción linel es únic. v x y A los números de l c.l. se le llmn coordends del vector respecto de l se. Se llm se ortogonl, l que los vectores son perpendiculres. Bse ortonorml, si demás tiene de módulo 1. OPERACIONES CON COORDENADAS L se lo que me d propimente es un mll en el plno Vectores 7. 6

7 COORDENADAS DEL VECTOR SUMA Sen u(x 1, y1) y v(x2, y2) Mejor usr se ortonorml. u + v = (x 1 + x 2, y 1 +y 2 ) En el gráfico u (1, 3) y v(4,2): u + v = (1, 3) + (4, 2) = (5, 5) + Ejercicio Hllr l sum de los vectores u(3, 4) y v( 1, 5) COORDENADAS DEL VECTOR r u Se r R un número y u(x1, y1) un vector del plno. r u = (r x1, r y1) Por ejemplo, 4 u(3, 5) = (12, 20) COORDENADAS DE UNA COMBINACIÓN LINEAL Sen los vectores u(x 1, y1) y v(x2, y2). Se llm cominción linel de ellos culquier vector que otenemos en l form: Ejercicio.- u v ( x x, y y ) Siendo y dos números reles. Hcerlo pso pso. Sen u(2, -1) y v(-1, 3). Hllr 3u 5v. Hllr u-2v Expresr el vector (4, 3) como c.l. de (2, 1) y ( 1, 3) Vectores 7. 7

8 Ejemplo físico: Aquí vemos lo que signific l cominción linel o l posiilidd de expresr un vector respecto otros dos que hrín como de se. 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Un operción es un correspondenci que dos elementos le hce corresponder otro. Se pueden poner sum de vectores, producto esclr por vector y ls de esclres. Sum de números. Producto de números ( 3,5) x ( 3,5) De los vectores hemos visto distints operciones: sum, rest, producto por esclres. A continución vmos ver un nuev operción que se llm PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. Producto porque se prece stnte un producto. Esclr porque el resultdo de l operción es un esclr (número) y de vectores porque se le soci un prej de vectores. Est operción de vectores se define prtir del teorem del coseno Por el teorem del coseno: c cosc Pues ien, llmremos producto esclr de los vectores y : cos c Vectores 7. 8

9 Ejemplos Hllr el producto esclr de los vectores y siendo que = 3; = 2 y = 45 Lo mismo pr los vectores y siendo que = 5; = 2 y = 90 Idem pr y siendo que = 5; = 0 y = 45 PROPIEDADES 1. Módulo: = 2 2. Conmuttiv: 3. Distriutiv: c c 4. Perpendiculridd: 0 ( y 0) 5. Asocitiv: (r ) = r ( ) = (r ) EJEMPLOS 1. Siendo que los vectores y tienen de módulo respectivmente: = 5 y = 3; efectú el siguiente producto esclr simplificndo el resultdo: ( + ) ( ) Sol: ( + ) ( ) = ( + ) ( + ) = 2. En el cso nterior, si = 60º, cuánto es el módulo de +? 3. Siendo que = 5, clcul (7 ) (5 ) PRODUCTO ESCALAR EN COORDENADAS Si referimos los vectores un se ortonorml (perpendiculres y de módulo 1) y plicndo ls propieddes nteriores otenemos l expresión del producto esclr en coordends. Sen ( 1, 2 ) y ( 1, 2 ) referidos un se ortonorml i, j. Es decir, = 1 i + 2 j y = 1 i + 2 j Ejemplos = ( 1 i + 2 j) ( 1 i + 2 j) = Hllr el producto esclr de los vectores (3, 5) y (2, 4) = = 26 Lo mismo pr los vectores (3, 4) y ( 4, 3) = 3 ( 4) = 0. Luego son perpendiculres Vectores 7. 9

10 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) MÓDULO DE UN VECTOR: v v v COSENO DEL ÁNGULO DE DOS VECTORES De l expresión inicil podemos despejr el coseno del ángulo que formn llegndo l siguiente expresión: Ejemplo: cos cos u1v 1 u 2v 2 cos u v Hllr el ángulo que formn los vectores (2, 1) y (3, 5) Cómo dr un vector perpendiculr otro en coordends? suys De v(, ) es perpendiculr n(-,) y tods sus c.l. Lo mismo que n(, -) y tods ls Por ejemplo, dr un vector perpendiculr (2, 3) PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO Sen y dos vectores. Se llm proyección ortogonl de sore l segmento que determin l proyección ortogonl de sore p cos pr Es el producto esclr de mos vectores dividido entre el módulo del vector sore el que se proyect. L proyección será positiv si el ángulo es gudo. Será negtiv si el ángulo es otuso. Es decir, según l proyección teng el sentido de o el sentido opuesto. Ejemplo Vmos hllr l proyección de (2, 1) sore ( 3, 5) Proyección de (2, 1) sore ( 3, 6) ÁREA DE UN PARALELOGRAMO. INTRODUCCIÓN AL DETERMINANTE (Se puede dejr. Tmpoco viene en el liro) Se el prlelogrmo determindo por los vectores (1, 2) y (1, 2). Podemos tomr como se el vector y como ltur l proyección de sore. Entonces l ltur del prlelogrmo quedrí: n Vectores 7. 10

11 n S n ( 1, 2) ( 2, 1 ) n Vectores 7. 11

12 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. VECTORES Y OPERACIONES 2. COORDENADAS DE UN VECTOR 3. OPERACIONES CON COORDENADAS 1. Hllr pr que el vector u(, 3) teng de módulo Determinr el vlor de x pr que el vector v(6, x) teng de módulo Hllr ls coordends de (1, 2) respecto de (2, 1) y c( 1, 1). 4. De los siguientes vectores del plno: (1, 2); (3, 1) y c(0, 5) ) Demuestr que y son linelmente independientes ) Hllr ls coordends de c respecto de y. c) Hllr el ángulo que formn y. d) Determinr l pendiente de y. 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. Clcul el vlor de x pr que el ángulo que formen los vectores (3, x) y (5, 2) se de De los vectores y conocemos = 2 y = 5 y el ángulo que formn es = 60º. Clcul Ddos los vectores x, 1 e y 2,, hll los vlores de y pr que x e y sen perpendiculres, y que y Responder los siguientes prtdos: (1 punto) y ) Hll el ángulo que formn los vectores 2, 3 2, 3. ) Cuánto h de vler k pr que los vectores x k, 3 e y k, 3 sen perpendiculres? 9. Hll el ángulo que formn los vectores y ) 2, 3 2, Responder los siguientes prtdos: Siendo que los vectores y son perpendiculres y que tienen de módulo respectivmente: = 5 y = 3; ) Clculr el siguiente producto esclr: (2 + ) ( + 3) ) Clcul + c) Clcul d) Siendo que (x, 3) y (y, z) hllr los vlores de x, y, z. 11. Responder los siguientes prtdos: ) Hllr un vector perpendiculr l u (6, 8) Vectores 7. 12

13 ) Un vector unitrio linelmente dependiente con él. c) L proyección de u sore el v ( 3, 4) d) El ángulo que formn u y v. e) El áre del prlelogrmo que determinn. 12. Responder los siguientes prtdos: ) Ddo el vector u(3,4 ), hllr el vlor de pr que su módulo se 10. ) Hllr un vector perpendiculr él que se unitrio. c) Diujr el vector u y determinr el ángulo que form con el eje X. d) Hllr l pendiente de dicho vector. 5. APLICACIONES 13. Hllr el áre del prlelogrmo determindo por los vectores siguientes (2, 6) y (3, - 3). Vectores 7. 13

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

VECTORES PLANO Y ESPACIO

VECTORES PLANO Y ESPACIO TETO º 3 ECTOES PLAO ESPACIO Conceptos Básicos Ejercicios esueltos Ejercicios Propuestos Edict Arrigd D. ictor Perlt A Diciemre 008 Sede Mipú, Sntigo de Chile Introducción Este mteril h sido construido

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v )

1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v ) º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto e vector Un

Más detalles

Suma de DOS vectores angulares o concurrentes

Suma de DOS vectores angulares o concurrentes Suma de DOS vectores angulares o concurrentes y F 2 o a q=? F 1 x Suma de DOS vectores angulares o concurrentes Trángulo oblcuo: aquel que no tene nngún ángulo recto Ley de los Senos Ley de los Cosenos

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

51 EJERCICIOS DE VECTORES

51 EJERCICIOS DE VECTORES 51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619 1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

Los números racionales:

Los números racionales: El número rel MATEMÁTICAS I 1 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL 1.1. El conjunto de los números reles. Como y sbes los números nturles surgen de l necesidd de contr, expresr medids, pr

Más detalles

SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL Dinámica I: fuerza y leyes de Newton

SOLUCIONARIO GUÍA ESTÁNDAR ANUAL Dinámica I: fuerza y leyes de Newton SOLUCIORIO GUÍ ESTÁDR UL Dináic I: fuerz y leyes de ewton SGUICES016C3-16V1 Solucionrio guí Dináic I: fuerz y leyes de ewton Íte lterntiv Hbilidd 1 D Coprensión Coprensión 3 E plicción 4 D plicción 5 plicción

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que:

R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que: Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento

Más detalles

Cristal. Estado Sólido. Estructura Cristalina. Red. Celdas. Red

Cristal. Estado Sólido. Estructura Cristalina. Red. Celdas. Red Estdo Sólido Estructurs Cristlins Cristl Un cristl es un rreglo periódico de átomos o grupos de átomos que es construido por l repetición infinit de estructurs unitris idéntics en el espcio. L estructur

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

UNIDAD. Vectores y rectas

UNIDAD. Vectores y rectas UNIDAD 6 Vectores y rects L os ectores fcilitn el estudio de los elementos del plno y los prolems que se pueden estlecer entre ellos En su origen, el concepto de ector prece en Físic pr crcterizr cierts

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

TEMA 1 EL NÚMERO REAL

TEMA 1 EL NÚMERO REAL Tem El número rel Ejercicios resueltos Mtemátics B º ESO TEMA EL NÚMERO REAL CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES EJERCICIO : Clsific los siguientes números como 0 ; ;,...; 7; ; ; ; 7, = 0,8

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

r = 1 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESPLAZAMIENTO Y VECTORES

r = 1 1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R DESPLAZAMIENTO Y VECTORES 1 Introducción l Físic Prlelos 10 13. Profesor RodrigoVergr R DPLAZAMIT Y VCTR 1) Repso de trigonometrí Definir plicr ls 3 funciones trigonométrics ásics en triángulos rectángulos. Definir ls funciones

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

es pa c i o s c o n p r o d U c t o

es pa c i o s c o n p r o d U c t o Unidd 5 es p c i o s c o n p r o d U c t o i n t e r n o (n o r M, d i s t n c i ) Objetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Aplicrá los conceptos de longitud y dirección de vectores en R. Aplicrá el concepto

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

DESPLAZAMIENTO VECTORES

DESPLAZAMIENTO VECTORES CAPÍTULO DESPLAZAMIENTO ECTORES Hemos indicdo que un cuerpo se mueve cundo cmi de posición en el espcio. Es mu importnte en Físic ser medir ese cmio de posición, introduciendo el concepto de desplzmiento.

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo

1.- El producto escalar de un vector consigo mismo coincide con el cuadrado de su módulo UNIDAD.- Geometrí eclíde. Prodcto esclr (tem 6 del libro). PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES LIBRES Definición: Se llm prodcto esclr de los ectores se not por sigiente form: del ánglo qe formn dichos ectores.

Más detalles

Qué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa.

Qué es la aceleración? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. www.fisicaa. Qué es el movimiento rectilíneo uniformemente vrido? Es un movimiento mecánico que experiment un móvil donde l tryectori es rectilíne y l celerción es constnte. Qué es l celerción? Es un mgnitud vectoril

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. Log P X Se llm ritmo en bse de P, y se escribe P, l eponente l que hy que elevr l bse pr obtener P. Log P P Ejemplo: 8 8 L l it b d 8 Leemos, ritmo en bse de 8 es porque elevdo es 8. Anámente podemos decir:

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CECYT MIGUEL BERNARD PERALES GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA I. LA RECTA. Ejercicios pr resolver. 1. Demuestr que los puntos A(-,8); B(-6,1) C(0,4) son los vértices de un tringulo

Más detalles

Vectores. Dr. Rogerio Enríquez

Vectores. Dr. Rogerio Enríquez Vectores Dr. Rogerio Enríquez Objetivo Eductivo Reflexión sobre lo que y se sbe Dominr los conceptos como mestros Unir l geometrí con el álgebr Deducir lógicmente el álgebr Explorr el dominio mtemático

Más detalles

Tema VII: Plano afín y espacio afín

Tema VII: Plano afín y espacio afín Tem VII: Plno fín y espcio fín Hst hor el contexto en el que hemos trbjdo h sido fundmentlmente el de los espcios IR n, y de estos espcios nos h interesdo su estructur vectoril, es decir, por decirlo con

Más detalles

Resolución de triángulos

Resolución de triángulos 8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del

Más detalles

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ... Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo

Más detalles

CURSO CERO DE FÍSICA APLICACIÓN DE VECTORES A LA FÍSICA

CURSO CERO DE FÍSICA APLICACIÓN DE VECTORES A LA FÍSICA CURSO CERO DE FÍSIC PLICCIÓN DE VECTORES L FÍSIC Vness de Csto Susn i Deptmento de Físic CURSO CERO DE FÍSIC.UC3M PLICCIÓN DE VECTORES L FÍSIC CONTENIDO Mgnitudes escles vectoiles. Repesentción gáfic de

Más detalles

Vectores en R 2 y R 3

Vectores en R 2 y R 3 Vectores en R R 3 Vectores en R R 3 Mgnitudes esclres vectoriles H mgnitudes que quedn determinds dndo un solo número rel. Por ejemplo: l longitud de un regl, l ms de un cuerpo o el tiempo trnscurrido

Más detalles

10.- Teoremas de Adición.

10.- Teoremas de Adición. Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics.

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

VECTORES. b procesador de texto lo más usual es escribirlo con negrita (a). Ambas notaciones se leen el vector a. De ahora en

VECTORES. b procesador de texto lo más usual es escribirlo con negrita (a). Ambas notaciones se leen el vector a. De ahora en /o Físic Generl. FCQN. UNM. Ciclo Lectio 008 VECTORES En físic eisten cntiddes que quedn representds por un número, ests cntiddes dimensionles pueden ser: el umento de un lente ( M 3); el coeficiente de

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

AX = B. X es la matriz columna de las variables:

AX = B. X es la matriz columna de las variables: ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:

Más detalles

EJERCICIOS DE RAÍCES

EJERCICIOS DE RAÍCES EJERCICIOS DE RAÍCES º ESO RECORDAR: Definición de ríz n-ésim: n x x Equivlenci con un potenci de exponente frccionrio: n m x Simplificción de rdicles/índice común: Propieddes de ls ríces: x m/n n n b

Más detalles

LÁMINA No. 1.1 LECTURA Y ESCRITURA DE UN NÚMERO

LÁMINA No. 1.1 LECTURA Y ESCRITURA DE UN NÚMERO 6 LÁMINA No. 1.1 REPRESENTACION GRÁFICA DE N N {0, 1,,, 4, 5,...} Propieddes de N: 1. Tiene primer elemento. 0 1 4 5... 1er elemento suc() último elemento. Todo número tiene sucesor. No existe último elemento

Más detalles

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 1 1. Intervlos Ddos dos números reles y,

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina

MATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina MTRICES Mtrices de números reles. Definimos mtriz rel de elementos pertenecientes R y de dimensión n fils por m columns, quel conjunto de números reles escritos de l form siguiente: n n mtriz nxm m m nm

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes

Más detalles

Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA

Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA Mtemátics º ESO Fernndo Brroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA. En cd cso escribe un polinomio que cumpl ls condiciones que se indicn. Con grdo coeficientes enteros. Trinomio de grdo sin

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGIN 13 EJERCICIOS Operciones con ángulos y tiempos 1 Efectú ls siguientes operciones: ) 7 31' 15" 43 4' 57" b) 163 15' 43" 96 37' 51" c) (37 4' 19") 4 d) (143 11' 56") : 11 ) 7 31' 15" 43 4' 57"

Más detalles

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)

1 Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c) Pág. 1 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m 25 m 11,6 cm 8 m 32 m 60 m 2 Midiendo los ldos, hll ls rzones trigonométrics

Más detalles

Vectores. Glosario vector: toda magnitud en la que, además de la cantidad, hay que considerar la dirección y el sentido.

Vectores. Glosario vector: toda magnitud en la que, además de la cantidad, hay que considerar la dirección y el sentido. UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción 1 13-07-11 9:25 Págin 102 Vectores Como y lo mencionmos, en el desrrollo de l prueb olímpic del lnzmiento del mrtillo se mnifiestn diverss fuerzs. Observ el dibujo donde se

Más detalles

Los números enteros y racionales

Los números enteros y racionales Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

Un vector es simplemente un segmento orientado. sentido. módulo a

Un vector es simplemente un segmento orientado. sentido. módulo a 1 1-MAGNITUDES ESCALARES Y ECTORIALES. CÁLCULO ECTORIAL BÁSICO -CINEMÁTICA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DEL MOIMIENTO. 3-CLASIFICACIÓN DE MOIMIENTOS. 4-COMPOSICIÓN DE MOIMIENTOS. PROYECTILES.

Más detalles

Propiedades de los números

Propiedades de los números Propieddes de los números Qué son los números? qué propieddes tienen? L primer de ls pregunts ry con l filosofí... vmos ver qué podemos contestr con respecto l segund pregunt. Lo primero que tenemos que

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 70 EJERCICIOS Áres y perímetros de figurs sencills Hll el áre y el perímetro de ls figurs coloreds de los siguientes ejercicios: 1 ) b) 3 m 3 m 1,8 m 4 m 6 m ) S3 m3 m9 m b) S 6m 1,8 m 5,4

Más detalles

Aplicaciones de la integral indefinida

Aplicaciones de la integral indefinida Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

Problema 5.154. w A. 24 kn 30 kn. 0.3 m. 1.8 m

Problema 5.154. w A. 24 kn 30 kn. 0.3 m. 1.8 m Problem 5.54 A w A 4 kn 0 kn.8 m 0. m w L vig A soport dos crgs concentrds y descns sobre el suelo el cul ejerce un crg linelmente distribuid hci rrib como se muestr. Determine ) l distnci pr l cul w A

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura).

Llamaremos S a la superficie dada y D a su proyección sobre el plano XY (ver figura). TEOREMA E GAU. 15. Hllr el flujo del cmpo i + j + z k trvés de l superficie z 1 +, z 1. ) irectmente. b) Aplicndo el teorem de Guss. olución Llmremos l superficie dd su proección sobre el plno XY (ver

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Laboratorio N 7, Asíntotas de funciones.

Laboratorio N 7, Asíntotas de funciones. Universidd Diego Portles Fcultd de Ingenierí. Instituto de Ciencis Básics Asigntur: Cálculo I Lortorio N 7, Asíntots de funciones. Introducción. Ls síntots de un función son rects que seprn ls regiones

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES.

MATRICES Y DETERMINANTES. punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem

Más detalles