VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES COPLANARES. Tres vectores u, v y w son coplanares si, y solamente si, existen. dos reales α y β tales que: w = αu + βv.

Transcripción

1 VECTORES DEL ESACIO. Las definiciones operaciones con los vectores del plano se generalian al espacio. Igualdad de vectores Fórmula de Chasles Multiplicación de un real por un vector AB = CD si sólo si ABDC es un paralelogramo para cualquier terna de puntos A, B C, AB + BC = AC kab = AM Dos vectores u v son colineales si eiste un real k tal que v = ku. VECTORES COLANARES. Tres vectores u, v w son coplanares si, solamente si, eisten dos reales α β tales que: w = αu + βv. A v u C w B D Si u = AB, v = AC w = AD, entonces los puntos A, B, C D están en el mismo plano. v Dos vectores colineales son coplanares. u

2 REFERENCIAL EN EL ESACIO Al igual que en el plano: Una terna de vectores independientes del espacio ( i ; j ; k ) se llama una base del espacio. Todo vector del espacio se puede epresar como una única combinación lineal de ellos: w = i + j+ k. En un cubo de arista 1, los puntos O, I, J K definen un referencial ortonormal en el espacio. Los triángulos IOJ, JOK KOI son rectángulos isósceles. Se obtiene el referencial: (O; i ; j ; k ). eje de las cotas K k i O I eje de las abscisas j J eje de las ordenadas Un tetraedro ABCD define un referencial cualquiera en el espacio: (A; AB; AC; AD). A k eje de las cotas D C eje de las ordenadas j i B eje de las abscisas

3 COORDENADAS DE UN UNTO EN EL ESACIO OM = i + j + k significa que el punto M tiene por coordenadas (; ; ) en el referencial (O; i ; j ; k ). M(; ; ) es la abscisa; es la ordenada, es la cota. La terna representa también a las coordenadas del vector OM. O M CÁLCULOS CON COORDENADAS Se tienen las mismas propiedades de cálculo que en el plano, como por ejemplo: Dos vectores son iguales si, solamente si, sus coordenadas respectivas son iguales. Sean dos puntos A( A ; A ; A ) B( B ; B ; B ) del espacio El vector AB tiene por coordenadas: ( B A ; B A ; B A ) El punto medio M del segmento [AB] tiene por coordenadas la semisuma de las coordenadas de A B: M A + B A + B A + ; ; B 2 2

4 DISTANCIA Y ORTOGONALIDAD EN EL ESACIO. En un referencial ortonormado del espacio (O; i ; j ; k ), se considera un vector uxyz ( ; ; ) representado por OM. OM 2 = OH 2 + HM 2 = OK 2 + KH 2 + HM 2 = X 2 + Y 2 + Z 2. Así el cuadrado de la distancia OM es igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del vector OM. O M Si u = AB, se obtiene la distancia AB. K H DISTANCIA ENTRE DOS UNTOS DEL ESACIO. Ejemplo: Si A(1; 3; 3); B(2; 0; 1) C(4; 3; 0). Entonces AB( 1; 3; 2) BC( 23 ; ; 1). por lo tanto: AB 2 = ( 3) 2 + ( 2) 2 = = 14 BC 2 = ( 1) 2 = = 14. Como AB 2 = BC 2, AB = BC = B C A 3

5 VECTORES COLINEALES. Teorema: En un referencial ortonormal, dos vectores uxyz ( ; ; vx' ( ; Y' ; Z' son colineales si, solamente si, X Y Z = ---- = X Y Z Ejemplo:, son colineales? = u( 23 ; ; 5) w( 4; 6; 10) u w VECTORES ORTOGONALES. Teorema: En un referencial ortonormal, dos vectores son ortogonales si, solamente si, uxyz ( ; ; vx' ( ; Y' ; Z' XX + YY + ZZ = 0. u( 4; 1; 0) w( 283 ; ; ) u w = 0 Ejemplo:, son ortogonales pues:

6 ECUACIONES DE LANOS ARTICULARES. En un referencial del espacio (O; i ; j ; k ) las ecuaciones siguientes se obtienen de manera evidente, por simple lectura. LANOS DE BASE. M O El plano (O) tiene por ecuación = 0 LANOS ARALELOS A UN LANO DE BASE. a //(O) = a. LANOS ARALELOS A UN EJE DEL REFERENCIAL. //(O) M b + c = d.

7 ECUACIÓN CARTESIANA DE UN LANO. n En un referencial ortonormado, = 8, es la ecuación cartesiana de un plano del espacio de vector normal: n( 34 ; ; 2). LANOS ARALELOS 1 ) = 1 2 ) = 5 son paralelos puesto que sus vectores normales ( 214 ; ; 8) n 2 ( 17 ; ; 4) son colineales. O lanos paralelos El coeficiente de colinealidad es 2 como para los términos independientes no se verifica esa proporcionalidad se puede asegurar que los planos son distintos.

8 ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESACIO. Una recta del espacio está determinada por dos ecuaciones cartesianas de coeficientes no proporcionales: (r) a + b + c = d a' + b' + c' = d' O lanos secantes RERESENTACIÓN ARAMÉTRICA DE UNA RECTA. La recta (r), que pasa por A( A ; A ; A ) vector director u( a; b; c) está caracteriada por el sistema = A + ta = A + tb = A + tc, con t R. A u B

9 SISTEMAS E INTERSECCIÓN DE LANOS. INTERSECCIÓN DE DOS LANOS. a + b + c = d ( abc ; ; ) ( 000,, ) Sea el sistema con. a' + b'+ c' = d' ( a' ; b' ; c' ) ( 000,, ) Las soluciones del sistema son las coordenadas de los eventuales puntos de intersección de los planos de ecuaciones respectivas, en un referencial ortonormal del espacio (O; i ; j ; k ), a + b + c = d a + b + c = d. Se tiene entonces tres posibilidades: son estrictamente paralelos. coinciden. son secantes. (r) Los dos planos son: = = = r El sistema: no tiene solución. tiene infinitas soluciones. tiene infinitas soluciones. Sistema incompatible Sistema indeterminado Sistema indeterminado

10 INTERSECCIÓN DE TRES LANOS. Sea el sistema a'+ b'+ c' = d' con ( a' ; b' ; c' ) ( 000,, ). a''+ b''+ c'' = d'' ( a'' ; b'' ; c'' ) ( 000,, ) Las soluciones del sistema, en un referencial ortonormal del espacio (O; i ; j ; k ), son las coordenadas de los eventuales puntos de intersección de los planos, de ecuaciones respectivas: a + b + c = d, a + b + c = d A. Los tres planos son paralelos. a + b + c = d a + b + c = d. ( abc ; ; ) ( 000,, ), coinciden. son estrictamente paralelos. Los tres planos son: El sistema: coincidentes: = tiene infinitas soluciones. Sistema indeterminado dos entre ellos son estrictamente paralelos: = no tiene solución. Sistema incompatible

11 B. Los planos son secantes dos a dos. = r r estrictamente paralela a = r r = r r secante a (r) (r) (r) Los tres planos son: = = r = {} El sistema: no tiene solución. Sistema incompatible tiene infinitas soluciones. Sistema indeterminado El sistema tiene una única solución. Sistema determinado

12 Interpreta geométricamente los siguientes sistemas luego resuelve. a) = = 7 + = 8 (, 12; 1) n 2 (, 24; 2) n 3 (, 5 1; 1) n 2 colineales; 1 // n 3 no colineales; 1 3 secantes Sistema Incompatible. 2 + = 10 b) + 2 = = 8 (, 21; 1) n 2 (, 1 1; 2) n 3 ( 1, 1; 2) n 3 n 2 colineales; 3 // 2 3 = 2 n 3 no colineales; 1 3 secantes Sistema Compatible Indeterminado. c) = = = 25 (, 12; 1) n 2 (, 24; 2) n 3 ( 10, 20; 10) n 2 colineales; 1 // n 3 colineales; 1 // Sistema Incompatible.

13 d) 2 + = 3 + = = 6 ( 11, ; 0) n 2 ( 01, ; 1) n 3 ( 20, ; 2) n 2 no colineales; n 3 no colineales; n 2 n 3 no colineales. = 3 t + = 3 La recta (r) de intersección de 1 2 : = t con t R. + = 6 = 6 t tiene como vector director u( 1, 1; 1). n 3 u no son ortogonales a que (r) 3 son secantes. Sistema Compatible Determinado.