Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3"

Transcripción

1 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se denota por R n ; así, R n := {(x 1,..., x n ) x i R, 1 i n}. Los elementos de R n también se suelen denominar vectores de orden n. Observación. (i) Geométricamente, un n-vector a = (a 1,..., a n ) es un segmento de recta dirigido que tiene por punto inicial el origen O = (0,..., 0) y punto final el punto a. En consecuencia, los elementos de R n pueden pensarse como puntos o vectores de acuerdo a lo que requiera el contexto. (ii) Dado un segmento de recta dirigido (o vector en el sentido clásico) con punto inicial P = (P 1,..., P n ) y punto final Q = (Q 1,..., Q n ), existe un n-vector u con las misma logitud y direccción que P Q: basta tomar u := P Q; en consecuencia, a todo vector arbitrario es posible siempre asociarle un vector equipolente 1 que tenga punto inicial en el origen O. (iii) En resumen, a cada n-vector es posible asociarle un segmento de recta dirigido y, recíprocamente, a cada segmento dirigido se le puede asociar uno con la misma longitud y dirección pero con punto inicial en e origen, es decir, un n-vector. Definición. Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) vectores en R n. Se dice que ellos son iguales si, y sólo si, u i = v i para cada 1 i n. Sobre el conjunto R n se definen las siguientes operaciones: (i) Suma Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) R n ; su suma se define de la siguiente forma: u + v := (u 1 + v 1,..., u n + v n ). (ii) Producto por escalar. Dados u = (u 1,..., u n ) R n y λ R un escalar, se define el producto escalar de u con λ como: λ u := (λu 1,..., λu n ). Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades: Teorema. Sean u, v, w R n y λ, µ R. Entonces: (i) u + v = v + u. (ii) u + (v + w) = (u + v) + w. 1 Sean P Q y RT segmentos dirigidos en R n. Se dice que ellos son equipolentes (o equivalentes) si Q P = T R. Geométricamente esto significa que ambos vectores tienen la misma longitud y dirección. 1

2 (iii) Existe un único vector O R n tal que O + u = u + O = u para todo u R n. (iv) Para cada vector u R n existe un único vector u R n tal que u+( u) = ( u)+u = O. (v) λ (u + v) = λ u + λ v. (vi) (λ + µ) u = λ u + µ u. (vii) λ (µ u) = (λµ) u y 1 u = u para todo u R n. Nota. En caso que se advierta lo contrario, dado λ y u un vector, λu denotará el producto escalar de λ con u. Definición. Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) vectores en R n. Se define el producto punto entre dichos vectores por: u v := u 1 v u n v n = n u i v i. La norma o longitud del vector u = (u 1,..., u n ) por su parte se define como: u := u u2 n. Finalmente, la distancia entre los puntos u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) se define como la longitud del vector v u: Observación. u = u u. i=1 d(u, v) := v u = (v 1 u 1 ) (v n u n ) 2 Teorema. (Propiedades del producto punto). Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) y w = (w 1,..., w n ) vectores en R n y λ un escalar. Entonces, 1. u u 0 y u u = 0 u = O. 2. u v = v u. 3. (u + v) w = u w + v w. 4. (λu) v = λ(u v) = u (λv). Prposición. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si u, v son vectores en R n. Entonces, u v u v. Demostración. Nótese inicialmente que si v = O o u = O, la desigualdad es inmediata. Supóngase entonces que v O y sea λ un escalar arbitrario. Entonces, 0 (u λv) (u λv) = u u λu v λv u + λ 2 v v. 2

3 Dado que esta última desigualdad vale para todo λ, será cierta si en particular tomamos λ = u v v 2. Reemplazando tenemos: De esta desigualdad se sigue que, es decir, y en consecuencia, 0 u 2 (u v)2 2 v 2 + = u 2 (u v)2 v 2, (u v) 2 v 2 u 2, (u v) u 2 v 2 ; u v u v. (u v)2 v 4 v 2 Usaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz para definir el ángulo entre dos vectores no nulos de R n : sean u, v vectores no nulos de R n ; la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que u v u v 1, es decir, 1 u v u v 1. Examinando la gráfica de y = cos(θ) en el intervalo 0 θ π, es posible verificar que para cualquier r [ 1, 1] existe un único θ tal que r = cos(θ). Por lo tanto, existe un único θ [0, π] tal que cos(θ) = u v u v, 0 θ π. Este valor θ se denomina en ángulo entre u y v. Definición. Dos vectores u y v en R n se dicen paralelos si existe λ 0 tal que u = λv, equivalentemente si u v = u v. Se dice además que estos vectores son ortogonales si u v = 0. Proposición. (Desigualdad del triángulo) Sean u y v vectores en R n ; entonces, Demostración. En efecto, u + v u + v. u + v 2 = (u + v) (u + v) = u u + 2u v + v v u u v + v 2 = ( u + v ) 2 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 3

4 Tomando raíz cuadrada a ambos de la desigualdad obtenida, se tiene que u + v u + v. Definición. Un vector u en R n se dice unitario si u = 1. Si v es un vector arbitrario en R n no nulo, el vector v := 1 v v es un vector unitario en la dirección de v y se denomina la dirección de v Observación. (Ejercicio opcional) Sean u y v vectores en R n no nulos y paralelos, entonces existe λ 0 tal que u = λv. Se puede mostrar que estos vectores tienen la misma dirección si, y sólo si λ > 0 si, y sólo si, u v = u v. Proposición. Dado u R n y λ un escalar, se tiene: (i) λu = λ u. (ii) u = 0 si, y sólo si, u = O. (iii) Para u O, u = u û. Definición. Sean u, v R n. Se define la proyección ortogonal de u sobre v de la siguiente forma: (u v) Proy v (u) := v 2 v. Producto Vectorial Definición. Sean u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k vectores en R 3, donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son los vectores estándar (canónicos) de R 3. El producto vectorial de u con v es el vector u v definido por: u v := (u 2 v 3 u 3 v 2 )i (u 1 v 3 u 3 v 1 )j + (u 1 v 2 u 2 v 1 )k Proposición. (Propiedades del producto vectorial). Sean u, v y w vectores en R 3 y λ un escalar. Entonces, (i) u v = (v u), u u = 0. (ii) u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w. (iii) (λu) v = u (λv) = λ(u v). (iv) 0 u = u 0 = 0. (v) (u v) w = (w u)v (w v)u; u (v w) = (u w)v (u v)w. Ejemplo. De hecho se tiene en particular que i j = k, j k = i, k i = j. (Verificar!!!!!) Observación. (i) Dados u y v vectores en R 3, el vector u v es ortogonal tanto a u como a v; e.d., (u v) u = 0 y (u v) v = 0. (ii) Como consecuencia de (i), el vector u v será perpendicular al plano generado por los vectores u y v. Para determinar su dirección se hace uso de la regla de la mano derecha (véase 4

5 [1], página 263). (iii) Sean u, v y w vectores en R 3 ; se puede mostrar que más aún, tenemos que (u v) w = u (v w); (1) u 1 u 2 u 3 (u v) w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. El producto (u v) w se conoce como el producto triple (o mixto) de los vectores u, v y w. (iv) Se puede mostrar (por favor hacerlo!!!) que los vectores u y v son paralelos 2 si, y sólo si, u v = 0. Por otra parte tenemos: u v 2 = (u v) (u v) = u (v (u v)) por (6) = u ((v v)u (v u)v) = (v v)(u u) (v u)(u v) = u 2 v 2 (u v) 2. La igualdad u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 se conoce como la identidad de Lagrange. Ahora, recordemos que el ángulo entre los vectores u y v (estos últimos distintos de 0), se definió como aquel número real θ [0, π] tal que cos(θ) = u v u v ; de esta igualdad se sigue que u v = cos(θ) u v. Reemplazando en la identidad de Lagrange tenemos: En consecuencia, u v 2 = u 2 v 2 cos 2 (θ) u 2 v 2 = u 2 v 2 (1 cos 2 (θ)) = u 2 v 2 sin 2 (θ). u v = u v sin(θ); sin(θ) = sin(θ) dado que sin(θ) es positiva en el intervalo [0, π]. Área de un paralelogramo Consideremos el paralelogramo determinado por los puntos P 1, P 2, P 3 y P 4 en R 3. Sea u = P 1 P 2 = P 2 P 1, v = P 1 P 3 = P 3 P 1. 2 Recordemos que dos vectores u y v en R n se dicen paralelos si existe un escalar λ 0 tal que u = λv. 5

6 Entoces, si A P de nota el área de este paralelogramo, A P = v h, pero sin(θ) = h u donde θ es el ángulo entre los vectores u y v. En consecuencia, A P = u v sin(θ) (2) = u v. (3) Nótese en particular que el área del triángulo determinado por los puntos P 1, P 2 y P 3 será 1 2 A P. Observación. Si el paralelogramo o triángulo considerado estan sobre el plano xy, basta recordar que los vectores en el plano se pueden ver como vectores en el espacio cuya última entrada es 0. Área de un paralelepípedo Sean u, v y w tres vectores que no están en el mismo plano. Ellos entonces forman los lados de un paralelepípedo (véase la figura a continuación). Calculemos entonces su volumen: la base del paralelepípedo es el paralelogramo con lados u y v. Por lo visto líneas atrás, su área está dada por u v. Recordemos ahora que el vector u v es ortogonal tanto a u como a v, y por lo tanto es ortogonal al paralelogramo determinado por u y v. Nótese que la altura del paralelepípedo es la norma de la proyección del vector w sobre u v, es decir, h = w (u v) u v. Por lo tanto, el area del paralelepípedo es precisamente: V = u v w (u v) u v (4) = w (u v). (5) Rectas en R n Definición. Sea P un punto en R y u un vector no nulo en R n. El conjunto de todos los puntos de la forma P + tu, con t recorriendo R, se denomina la recta que pasa por P y con dirección u. Denotamos esta recta por L(P, u) y escribimos: L(P, u) := {P + tu t R}. El vector u se denomina el vector director de L(P, u). 6

7 Ejemplo. Dados P y Q puntos en R n, la recta que por estos puntos es L(P, Q P ) (o L(Q, Q P )). Definición. Dos rectas L(P, u) y L(Q, v) se dicen paralelas si sus vectores directores lo son, e.d., si existe λ 0 en R tal que u = λv. Análogamente, estas rectas se dicen perpendiculares (u ortogonales) si sus vectores directores los son, e.d., si u v = 0. Observación. (i) Dado u un vector no nulo en R n, L(0, u) consiste de los múltiplos escalares de u, e.d., L(0, u) = {tu t R}. (ii) Dados P punto en R n y u R n un vector, L(P, u) es la recta paralela a L(0, u) que pasa por P. Teorema. (i) Dos rectas L(P, u) y L(P, v) que pasan por el mismo punto P son iguales si, y sólo si, u y v son paralelos. (ii) Dos rectas L(P, u) y L(Q, u) con el mismo vector director u son iguales si, y sólo si, Q L(P, u), si y sólo si, P L(Q, u). (iii) Sean L(P, u) una recta en R n y Q R n un punto. Entonces, Q L(P, u) si, y sólo si P Q es paralelos a u. Demostración. Ejercicio opcional. Ejemplo. Sea P = (1, 2, 3), u = (2, 1, 5); veamos si Q = (1, 1, 4) está en L(P, u). Por (iii) del anterior teorema basta con verificar si existe algún λ R tal que P Q = λu; e.d., si existe λ tal que (0, 1, 1) = λ(2, 1, 5) = (2λ, λ, 5λ); igualando cada una de las entradas tendríamos que 2λ = 0, 1 = λ, 1 = 5λ, con lo que tendríamos λ = 0 = 1, que es claramente una contradicción. En consecuencia, Q / L(P, u). Dados P un punto en R y u un vector no nulo en R n, L(P, u) se puede representar como el conjunto de puntos X = (x 1,..., x n ) R n que satisfacen la siguiente ecuación vectorial: X = P + tu, con t un parámetro real. La anterior se denomina la ecuación vectorial paramétrica de L(P, u). Si escribimos X = (x 1,..., x n ), P = (p 1,..., p n ) y u = (u 1,..., u n ), la igualdad anterior la podemos escribir de la siguiente forma: con lo que (x 1,..., x n ) = (p 1,..., p n ) + t(u 1,..., u n ) = (p 1 + tu 1,..., p n + tu n ), x 1 = p 1 + tu 1,..., x n = p n + tu n Las anteriores ecuaciones se denominan ecuaciones escalares paramétricas de L(P, u). Si además, u i 0 para cada 1 i n, despejando de las anteriores igualdades el parámetro t obtenemos: x 1 p 1 = x 2 p 2 = = x n p n, u 1 u 2 u n 7

8 estas ecuaciones son las ecuaciones simétricas de L(P, u). Observación. (i) Sea n = 2, u = (u 1, u 2 ) R 2 tal que u i 0 para i = 1, 2; de las anteriores ecuaciones obtenemos que y p 2 = u 2 u 1 (x p 1 ) que corresponde a la forma punto pendiente de una recta en el plano. (ii) Sea L una recta en el plano y ax + by = c su ecuación en forma general, entonces ( (x, y) L (x, y) = x, c ax ) ( = 0, c ) ( + 1, a ) x b b b en consecuencia, L es una recta que pasa por el punto P = ( 0, c b) y con vector director u = ( 1, a b ) ; nótese además que (a, b) u = 0. Distancia de un punto a una recta: sea L una recta en R 3 dada por la ecuación vectorial paramétrica X = P + tu y sea Q R 3 un punto. Entonces la distancia del punto Q a la recta L está dada por dist(q, L) = P Q u ; u en efecto, considere el siguiente gráfico: sea θ = ( P Q, u), tenemos en este caso que, sen(θ) = d y por tanto, que d = P Q sen(θ). P Q Pero P Q u = P Q u sen(θ), de manera que d = P Q sen(θ) = P Q u u tal y como se quería mostrar. Planos en el espacio Definición. Sean u, v vectores en R 3 no nulos y no paralelos, y P R 3 un punto. El plano (α) que pasa por P y tiene vectores directores u y v se define como el siguiente conjunto de puntos: (α) := {P + λu + µv λ, µ R}. Los vectores u y v se denominan vectores directores del plano (α) 8

9 Observación. Nótese que si u y v son vectores paralelos, (α) sería una recta que pasa por P y con vector director u (o v). De la definición anterior se sigue que los puntos X de R 3 que están sobre el plano (α) son aquellos que satisfacen la siguiente ecuación X = P + λu + µv, (6) para ciertos escalares λ, µ en R. (6) se denomina ecuación vectorial biparamétrica de (α). Ejemplo. El plano xy consiste de los puntos (λ, µ, 0), donde λ y µ recorren todo R. Más aú, este plano tiene por ecuación vectorial biparamétrica X = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0) = λi + µj. Dado que el vector u v es perpendicular tanto a u como a v, él resulta ser por tanto perpendicular al plano que tienen a u y v como vectores directores. Consideremos nuevamente la ecuación vectorial no paramétrica del plano (α) que pasa por el punto P y que tiene por vectores directores a u y v. Multiplicando producto punto por u v tenemos: X u v = (P + λu + µv) u v = P u v + λu u v + µv u v = P u v. En consecuencia tenemos la siguiente ecuación (X P ) u v = 0 (7) conocida como ecuación vectorial no paramétrica de (α). En general, si n es un vector perpendicular al plano (α) (e.d., n es paralelo a u v), entonces la ecuación general no paramétrica de (α) es: En este caso se dice que n es un vector normal al plano (α). Sea n = (a, b, c), X = (x, y, z) y P = (p 1, p 2, p 3 ), entonces esto último implica que n (X P ) = 0. (8) n (X P ) = a(x p 1 ) + b(y p 2 ) + c(z p 3 ) = 0, (9) se conoce como ecuación cartesiana de (α). ax + by + cz = ap 1 + bp 2 + cp 3. (9) Ejemplo. Hallar la ecuación cartesiana del plano (α) que pasa por P = (2, 1, 1) y que es 9

10 perpendicular al vector n = ( 1, 1, 3). Solución. Sea X = (x.y, z); entonces, n (X P ) = ( 1, 1, 3) (x 2, y 1, z + 1) = x + y + 3z + 4; por lo tanto, la ecuación buscada es x + y + 3z = 4. Observación. En cualquier ecuación de una recta en el plano de la forma ax + by = c, el vector (a, b) es perpendicular a la recta determinada por esta ecuación. De manera análoga se puede mostrar que en R 3, el vector (a, b, c) es perpendicular al plano determinado por la ecuación ax + by + cz = d. Ejemplo. De la anterior observación se sigue que el plano con ecuación 2x y + 3z = 5 es perpendicular al vector (2, 1, 3). Ahora, si queremos hallar su ecuación vectorial no parmétrica, basta considerar un punto sobre el plano; para ello basta considerar valores fijos para dos de las variables x, y o z; con ayuda de la ecuación hallamos el tercero. Por ejemplo, tomemos x = 1, y = 1; de la ecuación se sigue que z = 4 3, de manera que el punto (1, 1, 4 3 ) es un punto en el plano, de manera que la ecuaciónn buscada es (2, 1, 3) ((x, y, z) (1, 1, 4 3 )) = 0 Definición. Sean (α) y (β) planos en el espacio. Se dice que ellos son paralelos, si sus respectivos vectores normales son paralelos; análogamente, se dicen perpendiculares (u ortogonales) si sus respectivos vectores normales lo son. Observación. (i) Dados tres puntos P, Q y R en R 3, ellos determinan un único plano si, y sólo si, P, Q y R no están todos sobre la misma recta. En caso de tenerse esto último, los vectores directores del plano podemos construirlos de la siguiente forma: fijamos uno de los tres puntos, digamos Q, entonces u := QP y v := QR son vectores directores de este plano. (ii) Sea (α) un plano y Q R 3 un punto que no está en el plano. La distancia del punto Q al plano la determinamos de la siguiente forma: sea d(q, (α)) la distancia del punto Q al plano (α), entonces Véase la siguiente figura: d(q, (α)) = P roy n ( P Q) = ( P Q n)n n 2 = P Q n n 2 n = P Q n n 10

11 Bibliografía [1] Grossman, S., Álgebra Lineal, Quinta edición, Mc Graw Hill, [2] Lang, S., Linear algebra, Third Edition, Springer,

3.1 El espacio afín R n

3.1 El espacio afín R n 3. Geometría analítica 3.1 El espacio afín R n Consideremos el conjunto R n, formado por las listas ordenadas (x 1,...,x n ) de números reales. Convengamos en llamar puntos a los elementos de R n. Pero

Más detalles

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π

GEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Más detalles

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy). UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios

Más detalles

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos

Más detalles

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática.

Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática. Álgebra Geometría Analítica Prof. Gisela Saslavsk Vectores en R en R 3. Rectas planos en el espacio Verifique los resultados analíticos mediante la resolución gráfica usando un software de Matemática..

Más detalles

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos

Problemas métricos. 1. Problemas afines y problemas métricos . Problemas afines y problemas métricos Al trabajar en el espacio (o análogamente en el plano) se nos pueden presentar dos tipos de problemas con los elementos habituales (puntos, rectas y planos): Problemas

Más detalles

Ecuaciones de la recta en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu

Más detalles

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo

Más detalles

Problemas métricos. Ángulo entre rectas y planos

Problemas métricos. Ángulo entre rectas y planos Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares

Más detalles

Algebra Lineal Xa: Álgebra Vectorial en R3

Algebra Lineal Xa: Álgebra Vectorial en R3 Algebra Lineal Xa: Álgebra Vectorial en R3 José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

Más detalles

Capítulo 1 Vectores. 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99)

Capítulo 1 Vectores. 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99) Capítulo 1 Vectores 26 Problemas de selección - página 13 (soluciones en la página 99) 21 Problemas de desarrollo - página 22 (soluciones en la página 100) 11 1.A PROBLEMAS DE SELECCIÓN Sección 1.A Problemas

Más detalles

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector

VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por:

CÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por: PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y, y escribimos A, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A yson (LI), entonces el vector A se caracteriza por:

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado

Más detalles

1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.

1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3. . Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión

Más detalles

Capítulo 8: Vectores

Capítulo 8: Vectores Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no

Más detalles

Superficies paramétricas

Superficies paramétricas SESIÓN 7 7.1 Introducción En este curso ya se han estudiando superficies S que corresponden a gráficos de funciones de dos variables con dos tipos de representaciones: Representación explícita de S, cuando

Más detalles

I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1

I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1 PRODUCTO ESCALAR INTRODUCCIÓN El espacio vectorial de los vectores libres del plano se caracteriza por tener definidas dos operaciones: una interna, suma de vectores, y otra externa, producto de un número

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

Tema 6. Planos y rectas en el espacio. Problemas métricos (Ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías, distancias )

Tema 6. Planos y rectas en el espacio. Problemas métricos (Ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías, distancias ) Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Problemas métricos 7 Tema 6 Planos rectas en el espacio Problemas métricos (Ángulos, paralelismo perpendicularidad, simetrías, distancias

Más detalles

CÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B

CÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean

Más detalles

1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes)

1. Coordenadas en el plano. (Sistema de coordenadas, ejes de coordenadas, abcisas, ordenadas, cuadrantes) Bloque 7. VECTORES. ECUACIONES DE LA RECTA. (En el libro Tema 9, página 159) 1. Coordenadas en el plano. 2. Definiciones: vector libre, módulo, dirección, sentido, vectores equipolentes, vector fijo, coordenadas

Más detalles

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3

Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3 Objetivos. Definir el conjunto R 3 y operaciones lineales en R 3. Requisitos. Conjunto de los números reales R, propiedades de las operaciones aritméticas en

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones

Proyecciones. Producto escalar de vectores. Aplicaciones Proyecciones La proyección de un punto A sobre una recta r es el punto B donde la recta perpendicular a r que pasa por A corta a la recta r. Con un dibujo se entiende muy bien. La proyección de un segmento

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de innovación didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice Puntos y vectores en En R 3, conviene distinguir

Más detalles

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253

En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253 Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían

Más detalles

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA

TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera

Más detalles

Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta

Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta página 1/14 Teoría Tema 6 Ecuaciones de la recta Índice de contenido Base canónica en dos dimensiones como sistema referencial...2 Ecuación vectorial de la recta...4 Ecuación paramétrica de la recta...6

Más detalles

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que

Más detalles

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL.

Universidad Alonso de Ojeda. Facultad de Ingeniería GUIA DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL. UNIDAD IV: VECTORES EN R2 Y R3 VECTOR Se puede considerar un vector como un segmento de recta con una flecha en uno de sus extremos. De esta forma lo podemos distinguir por cuatro partes fundamentales:

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide

Más detalles

2. El conjunto de los números complejos

2. El conjunto de los números complejos Números complejos 1 Introducción El nacimiento de los números complejos se debió a la necesidad de dar solución a un problema: no todas las ecuaciones polinómicas poseen una solución real El ejemplo más

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN

GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (ÁLGEBRA VECTORIAL - PRÁCTICA) AÑO 2014 ÁLGEBRA VECTORIAL - EJERCICIOS

Más detalles

Capítulo 8. Geometría euclídea. 8.1 Problemas métricos

Capítulo 8. Geometría euclídea. 8.1 Problemas métricos Capítulo 8 Geometría euclídea 81 Problemas métricos Espacios vectoriales El plano: R 2 = { (x,y : x,y R } El espacio: R 3 = { (x,y, z : x, y, z R } Si u = λv para algún λ 0 diremos que son proporcionales:

Más detalles

1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio. 3. Calcula la distancia existente entre las rectas: Solución: d(r, s) =

1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio. 3. Calcula la distancia existente entre las rectas: Solución: d(r, s) = 7 Espacio métrico. Distancia entre puntos y rectas en el espacio Piensa y calcula Dados los puntos A, 4, ) y B5,, 4), halla las coordenadas del vector: AB AB,5,) Aplica la teoría. Calcula la distancia

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina la distancia entre pares de puntos. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son dos puntos dados. Halla la pendiente de una recta. COMUNICACIÓN

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Cálculo III.

Ejercicios Resueltos de Cálculo III. Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como

Más detalles

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

Más detalles

La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones

La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones 58 Sociedad de Matemática de Chile La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones Miguel Bustamantes 1 - Alejandro Necochea 2 El propósito

Más detalles

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta

Más detalles

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Capítulo 3 ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 3.1. Introducción: La Geometría Analítica es el estudio de figuras o cuerpos geométricos mediante técnicas básicas de análisis matemático y del álgebra en un

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo de año 200 [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función a maximizar A (/2)(x)(y)

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que

Más detalles

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga

ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.

Más detalles

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder

Más detalles

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales. TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1

Más detalles

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio)

Vectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio) demattematicaswordpresscom Vectores y rectas º curso de ESO, opción B Modelo de examen (ficticio) Sean los vectores u = (,5) y v = (, ) a) Analiza si tienen la misma dirección No tienen la misma dirección

Más detalles

TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y

TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos

Más detalles

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también

Más detalles

1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos.

1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma del cuadrado de las distancias a los puntos P 1 = (, 0) y P = (, 0)

Más detalles

95 EJERCICIOS de RECTAS

95 EJERCICIOS de RECTAS 9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos

Más detalles

ESTÁTICA 3 3 VECTORES

ESTÁTICA 3 3 VECTORES ESTÁTICA Sesión 3 3 VECTORES 3.1. Componentes en dos dimensiones 3.1.1. Operación con vectores por sus componentes 3.1.2. Vectores de posición por sus componentes 3.2. Componentes en tres dimensiones 3.2.1.

Más detalles

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A

ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE G E O M É T R Í A GUÍA A N A L Í T I C A CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO LIC. JESÚS REYES HEROLES ACADEMIA DE FÍSICO-MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III CICLO ESCOLAR TERCER SEMESTRE GEOMETRÍA G E O M É T R Í A GUÍA ANALÍTICA A N A L Í T I C A G U

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva

Derivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente

Más detalles

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre

Más detalles

Ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el espacio

Ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta en el espacio Cálculo ectorial Unidad II.. Ecuaciones de rectas y planos M.C. Ángel León Unidad II - Álgebra de ectores.. Ecuaciones de rectas y planos Habíamos mencionado que una recta en el plano, se expresa a traés

Más detalles

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta

Proyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto

Más detalles

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante

Más detalles

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.

PAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes

Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos

Áreas entre curvas. Ejercicios resueltos Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Lineal Ma1010 Líneas y s en el Espacio Departamento de Matemáticas ITESM Líneas y s en el Espacio Álgebra Lineal - p. 1/34 Los conjuntos solución a un sistema de ecuaciones lineales cuando tienen

Más detalles

EJERCICIO. Dadas las rectas y

EJERCICIO. Dadas las rectas y EJERCICIO Dadas las rectas x4 y1 z y z 8 r : y s: x1 1 3 se pide: a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) Determina la ecuación de la perpendicular común. c) Calcula la distancia entre ambas. Perpendicular

Más detalles

Solución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T. 96, 99, 01, curso cero de física

Solución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T. 96, 99, 01, curso cero de física VECTORES: TRIÁNGULOS Demostrar que en una semicircunferencia cualquier triángulo inscrito con el diámetro como uno de sus lados es un triángulo rectángulo. Solución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T. 96, 99,

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS: C

NÚMEROS COMPLEJOS: C NÚMEROS COMPLEJOS: C Alejandro Lugon 21 de mayo de 2010 Resumen Este es un pequeño estudio de los números complejos con el objetivo de poder usar las técnicas de solución de ecuaciones y sistemas diferenciales

Más detalles

Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS

Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1 Tema I 1. EL CUERPO DE LOS REALES, EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS 1.1 Los Números Naturales. Los números naturales aparecen por la necesidad que tiene el hombre (primitivo) tanto de contar como de ordenar

Más detalles

Tema 7. Geometría analítica.

Tema 7. Geometría analítica. Tema 7. Geometría analítica.. Vectores y puntos en el plano. Sistemas de coordenadas. Operaciones con vectores.. Suma y resta de vectores... Producto de un número real por un vector.3. Punto medio de dos

Más detalles

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:

Más detalles

1 Área de un paralelogramo

1 Área de un paralelogramo Geometría Analítica I Lectura 4 Profesor: Pablo Barrera Día 15 de febrero, 28 El día de hoy veremos: 1. Área de un paralelogramo en R 3. 2. Cálculo de vectores ortogonales. 3. Volúmen. 1 Área de un paralelogramo

Más detalles

Tema 2: Vectores libres

Tema 2: Vectores libres Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores

Más detalles

Tema 2.- Formas Cuadráticas.

Tema 2.- Formas Cuadráticas. Álgebra. 004 005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema.- Formas Cuadráticas. Definición y representación matricial. Clasificación de las formas

Más detalles

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa

Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real

Más detalles

Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A

Examen de Selectividad Matemáticas JUNIO Andalucía OPCIÓN A Eámenes de Matemáticas de Selectividad ndalucía resueltos http://qui-mi.com/ Eamen de Selectividad Matemáticas JUNIO 5 - ndalucía OPCIÓN.- [,5 puntos] Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada

Más detalles

Problema a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente.

Problema a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente. Problema 717.- a) En un triángulo rectángulo OAB una recta r paralela a la hipotenusa corta a los catetos OA y OB en los puntos A y B respectivamente. Hallar el lugar geométrico de los puntos comunes a

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA A Introducción teórica A Módulo y argumento de un vector A Producto escalar A3 Punto medio de un segmento A4 Ecuaciones de la

Más detalles

PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO

PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO PUNTOS Y VECTORES EN EL PLANO PUNTOS EN EL PLANO Tomando como referencia los ejes cartesianos del plano, un punto se representa mediante un par ordenado (a, b) de números reales, es decir, mediante un

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano

MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano MATEMÁTICAS BÁSICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad

Más detalles

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales

Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: pendiente de una línea. : Contenido Discutiremos: pendiente de una línea. fórmula de la pendiente : Contenido

Más detalles

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1

Academia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos

Más detalles

Bloque 2. Geometría. 2. Vectores. 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas

Bloque 2. Geometría. 2. Vectores. 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas Bloque 2. Geometría 2. Vectores 1. El plano como conjunto de puntos. Ejes de coordenadas Para representar puntos en un plano (superficie de dos dimensiones) utilizamos dos rectas graduadas y perpendiculares,

Más detalles

Problemas de Geometría Analítica del Espacio

Problemas de Geometría Analítica del Espacio 1) Dados los vectores u(4, 4, 8), v( 2,, 5), w(3, 5, 8) y a(22,, 11). Hallar los valores de x, y, z que verifican la combinación lineal a = x u + y v + z w. 2) Dados los vectores a( 5, 19, n) y b( h, 3,

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE GEOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN 1.2. OPERACIONES CON COMPLEJOS NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. INTRODUCCIÓN La ecuación x + 1 0 no tiene solución en el cuerpo de los números reales R ya que no existe un número real x tal que x 1. Necesitamos un conjunto que contenga a R, que

Más detalles

Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión

Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Producto vectorial Definición Interpretación geométrica Producto mixto

Producto vectorial Definición Interpretación geométrica Producto mixto Producto vectorial Definición Interpretación geométrica Producto mixto c Jana Rodriguez Hertz p. 1/2 Producto vectorial - definición Dados X = (x 1,x 2,x 3 ) Y = (y 1,y 2,y 3 ) c Jana Rodriguez Hertz p.

Más detalles

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos

Lección 2: Funciones vectoriales: límite y. continuidad. Diferenciabilidad de campos Lección 2: Funciones vectoriales: límite y continuidad. Diferenciabilidad de campos vectoriales 1.1 Introducción En economía, frecuentemente, nos interesa explicar la variación de unas magnitudes respecto

Más detalles

2.2 Rectas en el plano

2.2 Rectas en el plano 2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto

Más detalles