Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3

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1 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se denota por R n ; así, R n := {(x 1,..., x n ) x i R, 1 i n}. Los elementos de R n también se suelen denominar vectores de orden n. Observación. (i) Geométricamente, un n-vector a = (a 1,..., a n ) es un segmento de recta dirigido que tiene por punto inicial el origen O = (0,..., 0) y punto final el punto a. En consecuencia, los elementos de R n pueden pensarse como puntos o vectores de acuerdo a lo que requiera el contexto. (ii) Dado un segmento de recta dirigido (o vector en el sentido clásico) con punto inicial P = (P 1,..., P n ) y punto final Q = (Q 1,..., Q n ), existe un n-vector u con las misma logitud y direccción que P Q: basta tomar u := P Q; en consecuencia, a todo vector arbitrario es posible siempre asociarle un vector equipolente 1 que tenga punto inicial en el origen O. (iii) En resumen, a cada n-vector es posible asociarle un segmento de recta dirigido y, recíprocamente, a cada segmento dirigido se le puede asociar uno con la misma longitud y dirección pero con punto inicial en e origen, es decir, un n-vector. Definición. Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) vectores en R n. Se dice que ellos son iguales si, y sólo si, u i = v i para cada 1 i n. Sobre el conjunto R n se definen las siguientes operaciones: (i) Suma Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) R n ; su suma se define de la siguiente forma: u + v := (u 1 + v 1,..., u n + v n ). (ii) Producto por escalar. Dados u = (u 1,..., u n ) R n y λ R un escalar, se define el producto escalar de u con λ como: λ u := (λu 1,..., λu n ). Estas operaciones satisfacen las siguientes propiedades: Teorema. Sean u, v, w R n y λ, µ R. Entonces: (i) u + v = v + u. (ii) u + (v + w) = (u + v) + w. 1 Sean P Q y RT segmentos dirigidos en R n. Se dice que ellos son equipolentes (o equivalentes) si Q P = T R. Geométricamente esto significa que ambos vectores tienen la misma longitud y dirección. 1

2 (iii) Existe un único vector O R n tal que O + u = u + O = u para todo u R n. (iv) Para cada vector u R n existe un único vector u R n tal que u+( u) = ( u)+u = O. (v) λ (u + v) = λ u + λ v. (vi) (λ + µ) u = λ u + µ u. (vii) λ (µ u) = (λµ) u y 1 u = u para todo u R n. Nota. En caso que se advierta lo contrario, dado λ y u un vector, λu denotará el producto escalar de λ con u. Definición. Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) vectores en R n. Se define el producto punto entre dichos vectores por: u v := u 1 v u n v n = n u i v i. La norma o longitud del vector u = (u 1,..., u n ) por su parte se define como: u := u u2 n. Finalmente, la distancia entre los puntos u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) se define como la longitud del vector v u: Observación. u = u u. i=1 d(u, v) := v u = (v 1 u 1 ) (v n u n ) 2 Teorema. (Propiedades del producto punto). Sean u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) y w = (w 1,..., w n ) vectores en R n y λ un escalar. Entonces, 1. u u 0 y u u = 0 u = O. 2. u v = v u. 3. (u + v) w = u w + v w. 4. (λu) v = λ(u v) = u (λv). Prposición. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si u, v son vectores en R n. Entonces, u v u v. Demostración. Nótese inicialmente que si v = O o u = O, la desigualdad es inmediata. Supóngase entonces que v O y sea λ un escalar arbitrario. Entonces, 0 (u λv) (u λv) = u u λu v λv u + λ 2 v v. 2

3 Dado que esta última desigualdad vale para todo λ, será cierta si en particular tomamos λ = u v v 2. Reemplazando tenemos: De esta desigualdad se sigue que, es decir, y en consecuencia, 0 u 2 (u v)2 2 v 2 + = u 2 (u v)2 v 2, (u v) 2 v 2 u 2, (u v) u 2 v 2 ; u v u v. (u v)2 v 4 v 2 Usaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz para definir el ángulo entre dos vectores no nulos de R n : sean u, v vectores no nulos de R n ; la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que u v u v 1, es decir, 1 u v u v 1. Examinando la gráfica de y = cos(θ) en el intervalo 0 θ π, es posible verificar que para cualquier r [ 1, 1] existe un único θ tal que r = cos(θ). Por lo tanto, existe un único θ [0, π] tal que cos(θ) = u v u v, 0 θ π. Este valor θ se denomina en ángulo entre u y v. Definición. Dos vectores u y v en R n se dicen paralelos si existe λ 0 tal que u = λv, equivalentemente si u v = u v. Se dice además que estos vectores son ortogonales si u v = 0. Proposición. (Desigualdad del triángulo) Sean u y v vectores en R n ; entonces, Demostración. En efecto, u + v u + v. u + v 2 = (u + v) (u + v) = u u + 2u v + v v u u v + v 2 = ( u + v ) 2 Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz 3

4 Tomando raíz cuadrada a ambos de la desigualdad obtenida, se tiene que u + v u + v. Definición. Un vector u en R n se dice unitario si u = 1. Si v es un vector arbitrario en R n no nulo, el vector v := 1 v v es un vector unitario en la dirección de v y se denomina la dirección de v Observación. (Ejercicio opcional) Sean u y v vectores en R n no nulos y paralelos, entonces existe λ 0 tal que u = λv. Se puede mostrar que estos vectores tienen la misma dirección si, y sólo si λ > 0 si, y sólo si, u v = u v. Proposición. Dado u R n y λ un escalar, se tiene: (i) λu = λ u. (ii) u = 0 si, y sólo si, u = O. (iii) Para u O, u = u û. Definición. Sean u, v R n. Se define la proyección ortogonal de u sobre v de la siguiente forma: (u v) Proy v (u) := v 2 v. Producto Vectorial Definición. Sean u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k vectores en R 3, donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son los vectores estándar (canónicos) de R 3. El producto vectorial de u con v es el vector u v definido por: u v := (u 2 v 3 u 3 v 2 )i (u 1 v 3 u 3 v 1 )j + (u 1 v 2 u 2 v 1 )k Proposición. (Propiedades del producto vectorial). Sean u, v y w vectores en R 3 y λ un escalar. Entonces, (i) u v = (v u), u u = 0. (ii) u (v + w) = u v + u w; (u + v) w = u w + v w. (iii) (λu) v = u (λv) = λ(u v). (iv) 0 u = u 0 = 0. (v) (u v) w = (w u)v (w v)u; u (v w) = (u w)v (u v)w. Ejemplo. De hecho se tiene en particular que i j = k, j k = i, k i = j. (Verificar!!!!!) Observación. (i) Dados u y v vectores en R 3, el vector u v es ortogonal tanto a u como a v; e.d., (u v) u = 0 y (u v) v = 0. (ii) Como consecuencia de (i), el vector u v será perpendicular al plano generado por los vectores u y v. Para determinar su dirección se hace uso de la regla de la mano derecha (véase 4

5 [1], página 263). (iii) Sean u, v y w vectores en R 3 ; se puede mostrar que más aún, tenemos que (u v) w = u (v w); (1) u 1 u 2 u 3 (u v) w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. El producto (u v) w se conoce como el producto triple (o mixto) de los vectores u, v y w. (iv) Se puede mostrar (por favor hacerlo!!!) que los vectores u y v son paralelos 2 si, y sólo si, u v = 0. Por otra parte tenemos: u v 2 = (u v) (u v) = u (v (u v)) por (6) = u ((v v)u (v u)v) = (v v)(u u) (v u)(u v) = u 2 v 2 (u v) 2. La igualdad u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 se conoce como la identidad de Lagrange. Ahora, recordemos que el ángulo entre los vectores u y v (estos últimos distintos de 0), se definió como aquel número real θ [0, π] tal que cos(θ) = u v u v ; de esta igualdad se sigue que u v = cos(θ) u v. Reemplazando en la identidad de Lagrange tenemos: En consecuencia, u v 2 = u 2 v 2 cos 2 (θ) u 2 v 2 = u 2 v 2 (1 cos 2 (θ)) = u 2 v 2 sin 2 (θ). u v = u v sin(θ); sin(θ) = sin(θ) dado que sin(θ) es positiva en el intervalo [0, π]. Área de un paralelogramo Consideremos el paralelogramo determinado por los puntos P 1, P 2, P 3 y P 4 en R 3. Sea u = P 1 P 2 = P 2 P 1, v = P 1 P 3 = P 3 P 1. 2 Recordemos que dos vectores u y v en R n se dicen paralelos si existe un escalar λ 0 tal que u = λv. 5

6 Entoces, si A P de nota el área de este paralelogramo, A P = v h, pero sin(θ) = h u donde θ es el ángulo entre los vectores u y v. En consecuencia, A P = u v sin(θ) (2) = u v. (3) Nótese en particular que el área del triángulo determinado por los puntos P 1, P 2 y P 3 será 1 2 A P. Observación. Si el paralelogramo o triángulo considerado estan sobre el plano xy, basta recordar que los vectores en el plano se pueden ver como vectores en el espacio cuya última entrada es 0. Área de un paralelepípedo Sean u, v y w tres vectores que no están en el mismo plano. Ellos entonces forman los lados de un paralelepípedo (véase la figura a continuación). Calculemos entonces su volumen: la base del paralelepípedo es el paralelogramo con lados u y v. Por lo visto líneas atrás, su área está dada por u v. Recordemos ahora que el vector u v es ortogonal tanto a u como a v, y por lo tanto es ortogonal al paralelogramo determinado por u y v. Nótese que la altura del paralelepípedo es la norma de la proyección del vector w sobre u v, es decir, h = w (u v) u v. Por lo tanto, el area del paralelepípedo es precisamente: V = u v w (u v) u v (4) = w (u v). (5) Rectas en R n Definición. Sea P un punto en R y u un vector no nulo en R n. El conjunto de todos los puntos de la forma P + tu, con t recorriendo R, se denomina la recta que pasa por P y con dirección u. Denotamos esta recta por L(P, u) y escribimos: L(P, u) := {P + tu t R}. El vector u se denomina el vector director de L(P, u). 6

7 Ejemplo. Dados P y Q puntos en R n, la recta que por estos puntos es L(P, Q P ) (o L(Q, Q P )). Definición. Dos rectas L(P, u) y L(Q, v) se dicen paralelas si sus vectores directores lo son, e.d., si existe λ 0 en R tal que u = λv. Análogamente, estas rectas se dicen perpendiculares (u ortogonales) si sus vectores directores los son, e.d., si u v = 0. Observación. (i) Dado u un vector no nulo en R n, L(0, u) consiste de los múltiplos escalares de u, e.d., L(0, u) = {tu t R}. (ii) Dados P punto en R n y u R n un vector, L(P, u) es la recta paralela a L(0, u) que pasa por P. Teorema. (i) Dos rectas L(P, u) y L(P, v) que pasan por el mismo punto P son iguales si, y sólo si, u y v son paralelos. (ii) Dos rectas L(P, u) y L(Q, u) con el mismo vector director u son iguales si, y sólo si, Q L(P, u), si y sólo si, P L(Q, u). (iii) Sean L(P, u) una recta en R n y Q R n un punto. Entonces, Q L(P, u) si, y sólo si P Q es paralelos a u. Demostración. Ejercicio opcional. Ejemplo. Sea P = (1, 2, 3), u = (2, 1, 5); veamos si Q = (1, 1, 4) está en L(P, u). Por (iii) del anterior teorema basta con verificar si existe algún λ R tal que P Q = λu; e.d., si existe λ tal que (0, 1, 1) = λ(2, 1, 5) = (2λ, λ, 5λ); igualando cada una de las entradas tendríamos que 2λ = 0, 1 = λ, 1 = 5λ, con lo que tendríamos λ = 0 = 1, que es claramente una contradicción. En consecuencia, Q / L(P, u). Dados P un punto en R y u un vector no nulo en R n, L(P, u) se puede representar como el conjunto de puntos X = (x 1,..., x n ) R n que satisfacen la siguiente ecuación vectorial: X = P + tu, con t un parámetro real. La anterior se denomina la ecuación vectorial paramétrica de L(P, u). Si escribimos X = (x 1,..., x n ), P = (p 1,..., p n ) y u = (u 1,..., u n ), la igualdad anterior la podemos escribir de la siguiente forma: con lo que (x 1,..., x n ) = (p 1,..., p n ) + t(u 1,..., u n ) = (p 1 + tu 1,..., p n + tu n ), x 1 = p 1 + tu 1,..., x n = p n + tu n Las anteriores ecuaciones se denominan ecuaciones escalares paramétricas de L(P, u). Si además, u i 0 para cada 1 i n, despejando de las anteriores igualdades el parámetro t obtenemos: x 1 p 1 = x 2 p 2 = = x n p n, u 1 u 2 u n 7

8 estas ecuaciones son las ecuaciones simétricas de L(P, u). Observación. (i) Sea n = 2, u = (u 1, u 2 ) R 2 tal que u i 0 para i = 1, 2; de las anteriores ecuaciones obtenemos que y p 2 = u 2 u 1 (x p 1 ) que corresponde a la forma punto pendiente de una recta en el plano. (ii) Sea L una recta en el plano y ax + by = c su ecuación en forma general, entonces ( (x, y) L (x, y) = x, c ax ) ( = 0, c ) ( + 1, a ) x b b b en consecuencia, L es una recta que pasa por el punto P = ( 0, c b) y con vector director u = ( 1, a b ) ; nótese además que (a, b) u = 0. Distancia de un punto a una recta: sea L una recta en R 3 dada por la ecuación vectorial paramétrica X = P + tu y sea Q R 3 un punto. Entonces la distancia del punto Q a la recta L está dada por dist(q, L) = P Q u ; u en efecto, considere el siguiente gráfico: sea θ = ( P Q, u), tenemos en este caso que, sen(θ) = d y por tanto, que d = P Q sen(θ). P Q Pero P Q u = P Q u sen(θ), de manera que d = P Q sen(θ) = P Q u u tal y como se quería mostrar. Planos en el espacio Definición. Sean u, v vectores en R 3 no nulos y no paralelos, y P R 3 un punto. El plano (α) que pasa por P y tiene vectores directores u y v se define como el siguiente conjunto de puntos: (α) := {P + λu + µv λ, µ R}. Los vectores u y v se denominan vectores directores del plano (α) 8

9 Observación. Nótese que si u y v son vectores paralelos, (α) sería una recta que pasa por P y con vector director u (o v). De la definición anterior se sigue que los puntos X de R 3 que están sobre el plano (α) son aquellos que satisfacen la siguiente ecuación X = P + λu + µv, (6) para ciertos escalares λ, µ en R. (6) se denomina ecuación vectorial biparamétrica de (α). Ejemplo. El plano xy consiste de los puntos (λ, µ, 0), donde λ y µ recorren todo R. Más aú, este plano tiene por ecuación vectorial biparamétrica X = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0) = λi + µj. Dado que el vector u v es perpendicular tanto a u como a v, él resulta ser por tanto perpendicular al plano que tienen a u y v como vectores directores. Consideremos nuevamente la ecuación vectorial no paramétrica del plano (α) que pasa por el punto P y que tiene por vectores directores a u y v. Multiplicando producto punto por u v tenemos: X u v = (P + λu + µv) u v = P u v + λu u v + µv u v = P u v. En consecuencia tenemos la siguiente ecuación (X P ) u v = 0 (7) conocida como ecuación vectorial no paramétrica de (α). En general, si n es un vector perpendicular al plano (α) (e.d., n es paralelo a u v), entonces la ecuación general no paramétrica de (α) es: En este caso se dice que n es un vector normal al plano (α). Sea n = (a, b, c), X = (x, y, z) y P = (p 1, p 2, p 3 ), entonces esto último implica que n (X P ) = 0. (8) n (X P ) = a(x p 1 ) + b(y p 2 ) + c(z p 3 ) = 0, (9) se conoce como ecuación cartesiana de (α). ax + by + cz = ap 1 + bp 2 + cp 3. (9) Ejemplo. Hallar la ecuación cartesiana del plano (α) que pasa por P = (2, 1, 1) y que es 9

10 perpendicular al vector n = ( 1, 1, 3). Solución. Sea X = (x.y, z); entonces, n (X P ) = ( 1, 1, 3) (x 2, y 1, z + 1) = x + y + 3z + 4; por lo tanto, la ecuación buscada es x + y + 3z = 4. Observación. En cualquier ecuación de una recta en el plano de la forma ax + by = c, el vector (a, b) es perpendicular a la recta determinada por esta ecuación. De manera análoga se puede mostrar que en R 3, el vector (a, b, c) es perpendicular al plano determinado por la ecuación ax + by + cz = d. Ejemplo. De la anterior observación se sigue que el plano con ecuación 2x y + 3z = 5 es perpendicular al vector (2, 1, 3). Ahora, si queremos hallar su ecuación vectorial no parmétrica, basta considerar un punto sobre el plano; para ello basta considerar valores fijos para dos de las variables x, y o z; con ayuda de la ecuación hallamos el tercero. Por ejemplo, tomemos x = 1, y = 1; de la ecuación se sigue que z = 4 3, de manera que el punto (1, 1, 4 3 ) es un punto en el plano, de manera que la ecuaciónn buscada es (2, 1, 3) ((x, y, z) (1, 1, 4 3 )) = 0 Definición. Sean (α) y (β) planos en el espacio. Se dice que ellos son paralelos, si sus respectivos vectores normales son paralelos; análogamente, se dicen perpendiculares (u ortogonales) si sus respectivos vectores normales lo son. Observación. (i) Dados tres puntos P, Q y R en R 3, ellos determinan un único plano si, y sólo si, P, Q y R no están todos sobre la misma recta. En caso de tenerse esto último, los vectores directores del plano podemos construirlos de la siguiente forma: fijamos uno de los tres puntos, digamos Q, entonces u := QP y v := QR son vectores directores de este plano. (ii) Sea (α) un plano y Q R 3 un punto que no está en el plano. La distancia del punto Q al plano la determinamos de la siguiente forma: sea d(q, (α)) la distancia del punto Q al plano (α), entonces Véase la siguiente figura: d(q, (α)) = P roy n ( P Q) = ( P Q n)n n 2 = P Q n n 2 n = P Q n n 10

11 Bibliografía [1] Grossman, S., Álgebra Lineal, Quinta edición, Mc Graw Hill, [2] Lang, S., Linear algebra, Third Edition, Springer,