GEOMETRÍA. DESPLAZAMIENTO 2 Nuevas isometrías: composición de simetrías axiales

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1 GEOMETRÍA DESPLAZAMIENTO 2 Nuevas isometrías: composición de simetrías axiales Instituto de Profesores Artigas Departamento de Matemática de Formación Docente 2013

2 DEFINICIÓN 1 1? DEFINICIONES DE ROTACIÓN i) El juego es el siguiente: De cuántas maneras puedes mover cada figura de manera que al observarla en la posición inicial y en la posición final no se note ninguna diferencia? ii) Cada una de estas formas de mover cada figura podríamos expresarla mediante una función. Indica para cada figura qué funciones te permiten lograr las superposiciones. iii) Qué elementos tuviste en cuenta para definir estas funciones? iv) Define la función Rotación en forma explícita (indicando cómo se construye la imagen de un punto, para cada punto del plano, al igual que como lo hicimos con la simetría axial). CON ESTA DEFINICIÓN Dados un punto A y una recta r fijos con A r, se consideran los triángulos (ABC) horarios rectángulos en A e isósceles, tales que B r. Halla el lugar geométrico de C al variar B (ABC) antihorario con AB fijo y C variable de modo que ACB = 60º. a) N pertenece a la semirrecta CA tal que CN = CB. Halla el lugar geométrico de N. Elabora dos estrategias diferentes para ello. b) M pertenece al a opuesta de la semirrecta CA tal que CM = CB. Halla el lugar geométrico de M. Puedes elaborar dos estrategias diferentes para ello? Justifica A fijo. R A, 90º, horario: / R A, 90º, horario (P) = P. Halla el lugar geométrico de P para que d( P,P' ) = (C O,r ) es una circunferencia de centro O y radio r. P exterior fijo. Se consideran los triángulos equiláteros (APB) antihorarios con A (C O,r ). Halla el lugar geométrico de B al variar A Se dan dos rectas a, b y un punto P que no pertenece a ninguna de ellas. Construye un triángulo (PMN) equilátero tal que M a y N b. Considera dos casos: i) a // b, ii) a y b secantes A y O dos puntos fijos en el mismo semiplano respecto de una recta r dada y B r. i) Construye un paralelogramo (ABCD) de centro O. ii) Halla el lugar geométrico de D al variar B. iii) Halla D para que el paralelogramo (ABCD) sea (a) rectángulo, (b) rombo, (c) cuadrado Se dan dos puntos M y B fijos y un ángulo cte.. Se considera la familia de triángulos (ABC) de modo que M es el punto medio de AC y BAC = cte. Halla el lugar geométrico de C Dado aob y P interior. Construye un segmento AB de modo que A Oa, B Ob y P sea punto medio de AB (ABC) cualquiera. M A punto medio de BC. B O y C O los pies de las perpendiculares trazadas por B y C a la recta AM A. i) Demuestra que B O y C O se corresponden en una simetría central. ii) Indica la naturaleza de (BC OCB O) y justifica. 1

3 DEFINICIÓN 2 2? 1) i) Estás de acuerdo que las posibles funciones que permiten superponer la figura sobre sí misma son la identidad, dos simetrías axiales de ejes a y b y una rotación de 180º? ii) Halla la imagen de la figura en S b o S a. iii) Cómo hallarías la imagen de un punto en un solo paso? Cómo nombrarías a esa isometría composición? iv) Completa el cuadro. Qué observas de sorprendente? o Id R O,180º S a S b Id R O,180º S a S b 2) i) Indica cuáles son todas las funciones que permiten superponer la figura. ii) Si S a y S b son dos de las simetrías axiales que hallaste en i), halla la imagen de la figura en S b o S a. iii) Cómo hallarías la imagen de un punto en un solo paso? Cómo nombrarías a esa isometría composición? iv) Completa el cuadro. Qué observas de sorprendente? o Id R O,120º, ah R O,240º, ah S a S b S c Id R O,120º, ah R O,240º, ah S a S b S c 3) Dados a, P, P halla b y c de modo que (S b o S a )(P) = P y (S a o S c )(P) = P. 4) Construye dos triángulos congruentes y nómbralos con el mismo sentido. Qué simetrías axiales compondrías para transformar uno en el otro? Discute según tengan o no lados paralelos. 5) a) Podrías ahora encontrar una definición alternativa para rotación? Enúnciala. b) Según esta definición, la rotación es una isometría? Justifica. c) Es equivalente con la definición elaborada en la actividad 1? Justifica. 6) Dibuja una figura que sea invariante (que se transforme en sí misma) solamente en dos simetrías axiales, además de en la identidad. 7) Dibuja una figura que sea invariante solamente en tres simetrías axiales, además de en la identidad. 2

4 3? PROPIEDADES DE LA ROTACIÓN Responde las siguientes preguntas y en caso de que corresponda, enuncia una propiedad. Recuerda que tienes dos definiciones equivalentes de rotación, por lo que en cada caso puedes emplear cualquiera de ellas para argumentar tu respuesta. Utiliza la que consideres más conveniente. 1.- La rotación es una isometría directa o indirecta? Justifica. 2.- La rotación tiene puntos fijos o unidos (que su imagen es el mismo punto)? Justifica. 3.- Es conmutativa la composición de dos simetrías axiales de ejes secantes? Sobre qué aspecto de la rotación influye? 4.- Existe una relación entre el ángulo determinado por los ejes de dos simetrías axiales y el ángulo de la rotación que resulta de su composición? Cuál? Justifica. 5.- Si tenemos una rotación dada por su centro, ángulo y sentido, es posible determinar los ejes de las simetrías axiales cuya composición es la rotación? En caso de que existan Cuántos pares de ejes son posibles? Justifica. 6.- Cuál es la isometría inversa de la rotación? Es la rotación una isometría involutiva? Justifica. 7.- a) Elabora un algoritmo para hallar la imagen de una recta en esta isometría sin necesidad de utilizar las simetrías axiales. Justifica. b) Existe una relación entre el ángulo determinado por dos rectas correspondientes en una rotación y el ángulo de rotación? Cuál? Justifica. c) Dadas dos semirrectas correspondientes en una rotación, pueden determinarse su centro y ángulo? Justifica y escribe el algoritmo que te permite realizar la construcción. 8.- Ya vimos que hay un caso particular de rotación, la de ángulo 180º, que generalmente se denomina SIMETRÍA CENTRAL. Lee nuevamente las preguntas y respóndelas para ese caso particular, deteniéndote en aquéllas en las que la respuesta se vea modificada o las situaciones planteadas sean diferentes. AHORA CON MÁS HERRAMIENTAS (ABC) equilátero antihorario de circuncentro O. a) Halla la imagen de (ABC) en de cada una de las isometrías que siguen: i) e : / e = S AB o S BC ii) f : / f = S BC o S AB iii) g : / g o S AO = S AC iv) h : / h = S OB o R B, 60º, horario. v) j : / j = R B, 60º, horario o R A, 60º, horario vi) k : / R B, 120º, horario o k = R C, 120º, antih vii) m : / R O, 60º, antih o R O, 240º, horario o m = R O, 120º, horario viii) n : / S AC o n o R C, 90º, horario = S AO o R C, 30º, antih b) Qué punto(s) del triángulo (ABC) está(n) a menor distancia de su imagen? Y a mayor distancia? c) Expresa cada una de las isometrías de la parte a) en su forma canónica. 11 Se consideran B fijo y C variable, ambos pertenecientes a una circunferencia (C) y los cuadrados (BCDE) horarios. i) Demuestra que las rectas CD pasan por un punto fijo A. ii) Demuestra que las rectas CE pasan por un punto fijo F. iii) Demuestra que las rectas DE pasan por un punto fijo J, tal que F es punto medio de AJ. 3

5 (ABC) antihorario isósceles con A = 120º. i) Halla el centro O y el ángulo de la rotación en que a la semirrecta AB le corresponde la semirrecta CA. ii) Sean M AB y N AC de modo que AM = CN. Indica la naturaleza del (MNO). iii) Halla la imagen (A'B'C') del (ABC) en la rotación de i) y demuestra que B, O, C' alineados y que BAC' = 90º (ABCD) cuadrado antihorario de centro O. M punto medio de AB. a) Hallar la imagen de (ABCD) en cada una de las siguientes isometrías: i) e : / e = S AC o S BD ii) f : / f = S BD o S AC iii) g : / g o C D = S DC iv) h : / h o C M = R B, 90º, horario v) j : / C O o S BC o j = S DB vi) k : / R D, 90º, horario o C O o k o C A = I b) Qué punto(s) del cuadrado (ABCD) está(n) a menor distancia de su imagen? Y a mayor distancia? c) Expresa cada una de las isometrías de la parte a en su forma canónica (ABC) antihorario rectángulo en A. f : la isometría directa que transforma la semirrecta AB en la semirrecta CA. i) Halla P, punto fijo en f. ii) Una circunferencia variable que pasa por A y P corta a AB en D y a AC en E. Demuestra que si O es el centro de la circunferencia, se cumple que PO DE. iii) S DE : / S DE( P ) = P. Halla el lugar geométrico de P al variar O. iv) f : / f ( P' ) = P. Halla el lugar geométrico de P i) A y B son dos puntos cualesquiera. Expresa en forma canónica la isometría f : / f = R B,90ªh o R A,90ªh. Justifica e indica los elementos de f, ubicándolos en función de las posiciones de A y de B. ii) Sobre los lados de un triángulo (ABC) antihorario y exteriores a él se construyen los cuadrados (BCDE) y (ACFG). Si A y B son fijos y C varía libremente demuestra que las rectas GE pasan por un punto fijo (ABC) antihorario cualquiera. Demuestra que la composición de las rotaciones de centros A, B, C y ángulos α,, respectivamente y en sentido horario se pueden expresar como una simetría central de centro perteneciente a AC Sean (C O,r ) y A (C O,r ) fijos y de manera que r d(a,o) 2r. P variable en (C O,r ). i) R B, -60º :. Para una posición de P, construir B / R B, -60º (A) = P. ii) Halla el lugar geométrico de B al variar P. iii) C B: / C B (A) = A'. Demostrar que APA' = 90º. iv) Ubica P para que d(a,a') = 2r. 4

6 DEFINICIÓN 1 4? DEFINICIONES DE TRASLACIÓN Considera que la figura se extiende indefinidamente en ambos sentidos a lo largo de la misma formando una franja infinita. i) De cuántas maneras puedes mover la figura (infinita) de manera que al observarla en la posición inicial y en la posición final no se note ninguna diferencia? ii) Cada una de estas formas de mover la figura podríamos expresarla mediante una función. Indica qué funciones te permiten lograr las superposiciones. iii) Qué elementos tuviste en cuenta para definir estas funciones? iv) Define la función Traslación en forma explícita (indicando cómo se construye la imagen de un punto, para cada punto del plano, al igual que como lo hicimos con la simetría axial). CON ESTA DEFINICIÓN 18 Dada una circunferencia (C O,r ) y el segmento AB que corta a la circunferencia, se consideran los paralelogramos (ABCD) de modo que C (C O,r ). Halla el lugar geométrico de D al variar C. 19 Se consideran los trapecios (ABCD) tales que AB = a es fijo, CD es paralelo a AB, variable pero de longitud constante igual a 2a y además CAD es recto. i) M punto medio de CD. Halla el lugar geométrico de M al variar C. ii) Halla el lugar geométrico de D y el lugar geométrico de C. iii) Ubica M para que ADC = 60º y para ese caso construir (ABCD) y calcula su área en función de AB = a. 20 Sea (ABC) con AB fijo y ACB agudo constante. H el ortocentro de (ABC), D el punto diametralmente opuesto de C en la circunferencia circunscripta de centro O y M el punto medio de AB. i) Prueba que si (ABC) no es rectángulo se cumple que: (a) AH // DB, (b) (ADBH) es paralelogramo, (c) D, M, H alineados. Distingue según (ABC) acutángulo u obtusángulo. ii) Prueba que CH = 2OM. Distingue según (ABC) acutángulo, rectángulo u obtusángulo. iii) Halla el lugar geométrico de H al variar C. 21 Tienes dos rectas secantes r y s dos puntos A y B. Cómo construirías un paralelogramo ABCD de forma que C pertenezca a r y D pertenezca a s? Explica. 22 Cómo construirías un trapecio conociendo sus cuatro lados? Explica. 5

7 DEFINICIÓN 2 5? Considera que la figura se extiende indefinidamente en ambos sentidos a lo largo de la misma formando una franja infinita. 1) a) Marca en la figura (recuerda que se extiende indefinidamente) los ejes de simetría que hacen que la figura se transforme en sí misma. b) Si compones (si aplicas una y a lo que obtienes le aplicas la otra) dos simetrías axiales contiguas qué efecto genera dicha composición sobre cada punto de la figura? c) Puedes establecer un vínculo entre la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos y la función que definiste en 4?? d) La función que definiste en 4?, podrías expresarla como composición de simetrías axiales? Explica. 2) a) Podrías ahora encontrar una definición alternativa para traslación? Enúnciala. b) Según esta definición, la traslación es una isometría? Justifica. c) Es equivalente con la definición elaborada en la actividad 4?? Justifica. 6? PROPIEDADES DE LA TRASLACIÓN Responde las siguientes preguntas y en caso de que corresponda, enuncia una propiedad. Recuerda que tienes dos definiciones equivalentes de rotación, por lo que en cada caso puedes emplear cualquiera de ellas para argumentar tu respuesta. Utiliza la que consideres más conveniente. 1.- La traslación es una isometría directa o indirecta? Justifica. 2.- La traslación tiene puntos fijos o unidos (que su imagen es el mismo punto)? Justifica. 3.- Es conmutativa la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos? Sobre qué aspecto de la traslación influye? 4.- Existe una relación entre la distancia entre los ejes de las simetrías y la distancia entre un punto y su imagen? Cuál? Justifica. 5.- Si tenemos una traslación dada por su vector, es posible determinar los ejes de las simetrías axiales cuya composición es la traslación? En caso de que existan Cuántos pares de ejes son posibles? Justifica. 6.- Cuál es la isometría inversa de la traslación? Es la traslación una isometría involutiva? 7.- a) Elabora un algoritmo para hallar la imagen de una recta en esta isometría sin necesidad de utilizar las simetrías axiales. Justifica. b) Dadas dos semirrectas correspondientes en una traslación, puede determinarse su vector? Justifica. 8.- a) Responde las preguntas 1 a 7 para el caso particular en que los ejes de las simetrías axiales que compuestas generan la traslación son coincidentes. b) Qué etiqueta le pondrías a esta isometría? 6

8 COMPOSICIONES PARTICULARES 7? Investiga la expresión canónica de las siguientes funciones: 1) f : / f = C B o C A con A B 2) g : / g = C C o C B o C A distinguiendo según si están o no alineados los puntos A, B, C. 3) j : / j = T v2 o T v1 4) h : / h = R A, o R B, distinguiendo según el sentido de y. 5) k : / k = R A,, ah o T v1 AHORA CON MÁS HERRAMIENTAS 23 (ABCD) cuadrado de centro O. a) Halla la imagen de (ABCD) en de cada una de las isometrías que siguen: i) e : / e = S BC o S AD ii) j : / j = T AC o C O iii) f : / f = S AD o S BC iv) k : / R C, 90º, antih o T AD o k = I v) g : / g = T DA o S CD vi) m : / m = R B, 90º, antih o C A o T BA vii) h : / h o T DB = S AC b) Qué punto(s) del cuadrado (ABCD) está(n) a menor distancia de su imagen? Y a mayor distancia? c) Expresa cada una de las isometrías de la parte a) en su forma canónica. 24 Sobre los lados de un triángulo (ABC) antihorario y exteriores a él se construyen los cuadrados (BCDE) y (ACFG) antihorarios. Si A y B son fijos y C varía libremente demostrar que las rectas GE son paralelas. 25 (ABCD) paralelogramo. Halla la imagen de (ABCD) en de cada una de las isometrías que siguen: i) e : / e = C B o C A ii) f : / f = C C o C B o C A iii) g : / g = T CO o T AD o T AB iv) h : / T CO o T AB o T AD o h o T DA = T CB v) j : / T BO o j o C A = T CB o C D 7

9 8? COMPOSICIÓN DE TRES SIMETRÍAS AXIALES Considera que la figura se extiende indefinidamente en ambos sentidos a lo largo de la misma formando una franja infinita. 1) a) Marca en la figura los ejes de las simetrías que compuestas permiten superponer la figura con sí misma. b) Existe alguna manera de expresar esa composición como alguna de las isometrías que conocemos hasta ahora? Justifica. A la composición de estas tres simetrías axiales (dispuestas en esa posición y en ese orden) le llamaremos ANTITRASLACIÓN. 2) a) Qué posibles posiciones pueden tener tres rectas en un plano? b) Halla la expresión canónica de la composición de las tres simetrías axiales para cada uno de los casos anteriores. c) Hay algún OVNI (es decir, alguna composición que no la reconozcamos como algo ya conocido)? 3) Será posible transformar la composición de tres simetrías axiales (como en los casos OVNI) en una composición equivalente pero donde los ejes estén dispuestos como en la parte 1? PROPIEDADES DE LA ANTITRASLACIÓN 9? Responde las siguientes preguntas y en caso de que corresponda, enuncia una propiedad. 1.- La antitraslación es una isometría? Justifica. 2.- La antitraslación es una isometría directa o indirecta? Justifica. 3.- La antitraslación tiene puntos fijos o unidos (que su imagen es el mismo punto)? Justifica. 4.- Utilizando sólo dos de las isometrías ya conocidas, expresa de tres maneras distintas la composición de tres simetrías axiales de ejes no paralelos ni concurrentes. 5.- Elabora un algoritmo para hallar la imagen de un punto en esta isometría sin necesidad de utilizar las simetrías axiales. Justifica. 6.- Si tenemos una antitraslación dada por su eje y vector, es posible determinar los ejes de las simetrías axiales cuya composición es la antitraslación? En caso de que existan Cuántas ternas de ejes son posibles? Justifica. 7.- Cuál es la isometría inversa de la antitraslación? Es la antitraslación una isometría involutiva? 8.- a) Elabora un algoritmo para hallar la imagen de una recta en esta isometría sin necesidad de utilizar las simetrías axiales. Justifica. b) Dadas dos semirrectas correspondientes en una antitraslación, pueden determinarse su eje y vector? Justifica. 9.- Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos que tienen por extremos un punto y su imagen en la antitraslación? 8

10 AHORA CON MÁS HERRAMIENTAS: INTEGRANDO LO VISTO EN LA FICHA 26 (ABEF) y (BCDE) cuadrados como en la figura. Halla la expresión canónica de cada una de las isometrías que se indican: i) f : / S BE o f o S AB = S AE. ii) g: / S BE o g = S AB o S AE. iii) h : / h o C E = S BD. iv) j : / S FE o j o R B, 90º, antih = I v) k : / k o T 2FA = S EC. 27 (ABC) isósceles con AC = BC y ACB =. i) Determina f : / f = S AB o S BC o S AC. ii) Halla para que el módulo del vector sea igual a la altura CH del (ABC). 28 Se consideran una recta m y una circunferencia (C O, r ) exterior. i) Construye un triángulo (PQR) isósceles de base PQ = 6r, R (C O, r ) y de modo que los respectivos puntos medios de PR y QR pertenezcan a la recta m. ii) Halla el lugar geométrico de P al variar R. Construir. iii) Halla el lugar geométrico de Q al variar R. Construir. 29 (ABCD) cuadrado de lado a. At AC, AC : / At AC, AC ( P ) = P'. Halla el lugar geométrico de P para que d( P, P' ) = (a 10)/2. 30 (ABC) equilátero. Determina e y v para que At e, v (semirrecta AC ) = semirrecta BA. 31 Dadas dos rectas r, s y una circunferencia (C) y un segmento de longitud 'a', construye un rectángulo (ABCD) tal que r sea paralela media, A s, C (C) y d(a,b) = a. Considera dos casos según (ABCD) horario o antihorario. 9